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文檔簡介

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標為的交點,若函數(shù)的圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到的函?shù)在有且僅有5個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.2.已知點,若點在曲線上運動,則面積的最小值為()A.6 B.3 C. D.3.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb5.在“一帶一路”知識測驗后,甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測.甲:我的成績比乙高.乙:丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確,那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙6.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.247.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.8.如圖,在三棱錐中,平面,,,,,分別是棱,,的中點,則異面直線與所成角的余弦值為A.0 B. C. D.19.如圖,已知三棱錐中,平面平面,記二面角的平面角為,直線與平面所成角為,直線與平面所成角為,則()A. B. C. D.10.已知正方體的體積為,點,分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.12.已知向量,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在矩形中,為邊的中點,,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.14.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.①當(dāng)x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為__________.15.已知函數(shù),若關(guān)于的方程在定義域上有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是_______.16.已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,則雙曲線C的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:ρcos2θ=4asinθ?(a>0),直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+(I)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程(不要求具體過程);(II)設(shè)P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.19.(12分)已知拋物線的頂點為原點,其焦點關(guān)于直線的對稱點為,且.若點為的準線上的任意一點,過點作的兩條切線,其中為切點.(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點,并求面積的最小值.20.(12分)某市調(diào)硏機構(gòu)對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機選取2人進行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請直接寫出你的判斷結(jié)果.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求的值;(2)令在上最小值為,證明:.22.(10分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點.(1)求的長;(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,設(shè)點的極坐標為,求點到線段中點的距離.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)題意,,求出,所以,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點,則,,,,,若函數(shù)圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?,則,所以當(dāng)時,,在有且僅有5個零點,,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.2.B【解析】

求得直線的方程,畫出曲線表示的下半圓,結(jié)合圖象可得位于,結(jié)合點到直線的距離公式和兩點的距離公式,以及三角形的面積公式,可得所求最小值.【詳解】解:曲線表示以原點為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個端點),如圖,直線的方程為,可得,由圓與直線的位置關(guān)系知在時,到直線距離最短,即為,則的面積的最小值為.故選:B.【點睛】本題考查三角形面積最值,解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系,確定半圓上的點到直線距離的最小值,這由數(shù)形結(jié)合思想易得.3.B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為:,位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】試題分析:對于選項A,,,,而,所以,但不能確定的正負,所以它們的大小不能確定;對于選項B,,,兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向,所以選項B正確;對于選項C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯誤;對于選項D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.5.A【解析】

利用逐一驗證的方法進行求解.【詳解】若甲預(yù)測正確,則乙、丙預(yù)測錯誤,則甲比乙成績高,丙比乙成績低,故3人成績由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預(yù)測正確,則丙預(yù)測也正確,不符合題意;若丙預(yù)測正確,則甲必預(yù)測錯誤,丙比乙的成績高,乙比甲成績高,即丙比甲,乙成績都高,即乙預(yù)測正確,不符合題意,故選A.【點睛】本題將數(shù)學(xué)知識與時政結(jié)合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.6.C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.7.A【解析】

因為,所以函數(shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A.8.B【解析】

根據(jù)題意可得平面,,則即異面直線與所成的角,連接CG,在中,,易得,所以,所以,故選B.9.A【解析】

作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時取等號.故.故選:A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.10.D【解析】

由題意畫出圖形,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,可得當(dāng)時最小,設(shè)正方體的棱長為,得,進一步求出四面體的體積即可.【詳解】解:如圖,

∵點M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,三線共線時,最小,

設(shè)正方體的棱長為,則,∴.

取,連接,則共面,在中,設(shè)到的距離為,

設(shè)到平面的距離為,

.

故選D.【點睛】本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問題,考查計算能力,是中檔題.11.D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線對稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.12.D【解析】

由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標運算.對于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長為2;體積為;兩個半球的半徑都為1,則兩個半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點:旋轉(zhuǎn)體的組合體.14.130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費用,然后分類討論,將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識?數(shù)學(xué)式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景,創(chuàng)設(shè)問題情境,考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).15.【解析】

由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點,運用參變分離和構(gòu)造函數(shù),進而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值,畫出函數(shù)圖象,即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點,聯(lián)立可得有兩個解,即可設(shè),則,進而且不恒為零,可得在單調(diào)遞增.由可得時,單調(diào)遞減;時,單調(diào)遞增,即在處取得極小值且為作出的圖象,可得時,有兩個解.故答案為:【點睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題,還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于難題.16.【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當(dāng)時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得(舍);當(dāng)時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】

(1)令,求出的范圍,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論;(2)對分類討論,分別求出以及的最小值或范圍,與的最小值建立方程關(guān)系,求出的值,進而求出的取值關(guān)系.【詳解】(1)當(dāng)時,,令,∵∴,而是增函數(shù),∴,∴函數(shù)的值域是.(2)當(dāng)時,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,在上單調(diào)遞增,最小值為,而的最小值為,所以這種情況不可能.當(dāng)時,則在上單調(diào)遞減且沒有最小值,在上單調(diào)遞增最小值為,所以的最小值為,解得(滿足題意),所以,解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值,熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.18.(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】

(I)利用所給的極坐標方程和參數(shù)方程,直接整理化簡得到直角坐標方程和普通方程;(II)聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標方程,結(jié)合韋達定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】(I)曲線C:ρcos2可得ρ2cos2直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)將x=-2+22t,y=-1+2t韋達定理:t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【點睛】本題考查了極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標和普通方程的互化,以及參數(shù)方程的綜合知識,結(jié)合等比數(shù)列,熟練運用知識,屬于較易題.19.(1)(2)見解析,最小值為4【解析】

(1)根據(jù)焦點到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標,利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此判斷出直線恒過拋物線焦點.求得三角形面積的表達式,進而求得面積的最小值.【詳解】(1)依題意,解得(負根舍去)∴拋物線的方程為(2)設(shè)點,由,即,得∴拋物線在點處的切線的方程為,即∵,∴∵點在切線上,①,同理,②綜合①、②得,點的坐標都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點當(dāng)時,此時,可知:當(dāng),此時直線直線的斜率為,得于是,而把直線代入中消去得,即:當(dāng)時,最小,且最小值為4【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式,考查拋物線方程的求法,考查拋物線的切線方程的求法,考查直線過定點問題,考查拋物線中三角形面積的最值的求法,考查運算求解能力,屬于難題.20.(1),頻率分布直方圖見解析;(2)分布列見解析,;(3)來自的可能性最大.【解析】

(1)由頻率和為可知,根據(jù)求得,從而計算得到頻數(shù),補全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖;(2)首先確定的所有可能取值,由超幾何分布概率公式可計算求得每個取值對應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算公式可求得期望;(3)根據(jù)中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】(1)由頻率分布表得:,即.收入在的有名,,,,則頻率分布直方圖如下:(2)收入在中贊成人數(shù)為,不贊成人數(shù)為,可能取值為,則;;,的分布列為:.(3)來自的可能性更大.【點睛】本題考查概率與統(tǒng)計部分知識的綜合應(yīng)用,涉及到頻數(shù)、頻率的計算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計估計等知識;考查學(xué)生的運算和求解能力.21.(1);(2)見解析.【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,令,故只需,

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