復變函數(shù)試題庫

《復變函數(shù)論》試題庫梅一A111《復變函數(shù)》考試試題（一）1、__________.（為自然數(shù)）2._________.3.函數(shù)的周期為___________.4.設(shè)，則的孤立奇點有__________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是__________.7.若，則______________.，其中n為自然數(shù).9.的孤立奇點為________.10.若是的極點，則.三.計算題（40分）：1.設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2.3.

設(shè)，其中，試求4.求復數(shù)的實部與虛部.四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2.試證:在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支,并求出支割線上岸取正值的那支在的值.《復變函數(shù)》考試試題（二）二.

填空題.(20分)1.設(shè)，則2.設(shè)，則________.3._________.（為自然數(shù)）4.

冪級數(shù)的收斂半徑為__________.5.

若z0是f(z)的m階零點且m>0，則z0是的_____零點.6.

函數(shù)ez的周期為__________.7.

方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為________.8.

設(shè)，則的孤立奇點有_________.9.

函數(shù)的不解析點之集為________.10..三.計算題.(40分)1.

求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2.

在復平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3.

計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4.求.四.證明題.(20分)1.

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2.

試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.《復變函數(shù)》考試試題（三）二.填空題.(20分)1.

設(shè)，則f(z)的定義域為___________.2.

函數(shù)ez的周期為_________.3.

若，則__________.4.

___________.5.

_________.（為自然數(shù)）6.

冪級數(shù)的收斂半徑為__________.7.

設(shè)，則f(z)的孤立奇點有__________.8.設(shè)，則.9.

若是的極點，則.10..三.計算題.(40分)1.

將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2.

試求冪級數(shù)的收斂半徑.3.

算下列積分：，其中是.4.

求在|z|<1內(nèi)根的個數(shù).四.

證明題.(20分)1.

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2.

設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當時，證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)?！稄妥兒瘮?shù)》考試試題（四）二.填空題.(20分)1.設(shè)，則.2.

若，則______________.3.

函數(shù)ez的周期為__________.4.

函數(shù)的冪級數(shù)展開式為__________5.

若函數(shù)f(z)在復平面上處處解析，則稱它是___________.6.

若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________.7.

設(shè)，則.8.

的孤立奇點為________.9.

若是的極點，則.10.

_____________.三.

計算題.(40分)1.解方程.2.

設(shè)，求3..4.

函數(shù)有哪些奇點各屬何類型（若是極點，指明它的階數(shù)）.四.證明題.(20分)1.證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.2.

證明方程在內(nèi)僅有3個根.《復變函數(shù)》考試試題（五）二.填空題.（20分）1.

設(shè)，則.2.

當時，為實數(shù).3.

設(shè)，則.4.

的周期為___.5.

設(shè)，則.6.

.7.

若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________。8.

函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_________.9.

的孤立奇點為________.10.

設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三.計算題.(40分)1.求復數(shù)的實部與虛部.2.

計算積分：，在這里L表示連接原點到的直線段.3.求積分：，其中0<a<1.4.應用儒歇定理求方程，在|z|<1內(nèi)根的個數(shù)，在這里在上解析，并且.四.證明題.(20分)1.

證明函數(shù)除去在外，處處不可微.2.

設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個數(shù)R及M，使得當時，證明:是一個至多n次的多項式或一常數(shù).《復變函數(shù)》考試試題（六）一、填空題（20分）1.若，則___________.2.設(shè)，則的定義域為____________________________.3.函數(shù)的周期為_______________________.4._______________________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6.若是的階零點且，則是的____________零點.7.若函數(shù)在整個復平面處處解析，則稱它是______________.8.函數(shù)的不解析點之集為__________.9.方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為___________.10.公式稱為_____________________.二、計算題（30分）1、.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、求的值.三、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、若是的階零點，則是的階極點.６．計算下列積分．（８分）(1)；

(2)．７．計算積分．（６分）８．求下列冪級數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)；

(2)．９．設(shè)為復平面上的解析函數(shù)，試確定，，的值．（６分）三、證明題．１．設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)．（５分）２．試證明的軌跡是一直線，其中為復常數(shù)，為實常數(shù)．（５分）試卷一至十四參考答案《復變函數(shù)》考試試題（一）參考答案二．填空題1.；2.1；

3.

，；

4.

；

5.

16.

整函數(shù)；

7.；

8.；

9.

0；

10..三．計算題.1.解因為所以.2.解因為

,

.所以.3.解令,則它在平面解析,由柯西公式有在內(nèi),.所以.4.解令,則.故,.四.證明題.1.證明設(shè)在內(nèi).令.兩邊分別對求偏導數(shù),得因為函數(shù)在內(nèi)解析,所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?

消去得,.1)若,則為常數(shù).2)若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.

(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明的支點為.于是割去線段的平面內(nèi)變點就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周,故能分出兩個單值解析分支.由于當從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到時,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割線上岸取正值,于是可認為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在的幅角為,故.《復變函數(shù)》考試試題（二）參考答案二.填空題，，；

2.；

3.；

4.1；

5..6.，.

7.0；

8.；

9.；

10.0.三.計算題1.解.2.解令.則.又因為在正實軸去正實值，所以.所以.3.單位圓的右半圓周為,.所以.4.解

=0.四.證明題.1.證明(必要性)令,則.(為實常數(shù)).令.則.即滿足,且連續(xù),故在內(nèi)解析.(充分性)令,則,因為與在內(nèi)解析,所以,

且.比較等式兩邊得.從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2.即要證“任一次方程有且只有個根”.證明令,取,當在上時,有..由儒歇定理知在圓內(nèi),方程與有相同個數(shù)的根.而在內(nèi)有一個重根.因此次方程在內(nèi)有個根.《復變函數(shù)》考試試題（三）參考答案二.填空題.1.;

2.;

3.;

4.1;

5.;6.1;

7.;

8.;

9.;

10..三.計算題.1.解.2.解.所以收斂半徑為.3.解令,則.故原式.4.解令,.則在上均解析,且,故由儒歇定理有.即在內(nèi),方程只有一個根.四.證明題.1.證明證明設(shè)在內(nèi).令.兩邊分別對求偏導數(shù),得因為函數(shù)在內(nèi)解析,所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?

消去得,.1),則為常數(shù).2)若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.

(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明取,則對一切正整數(shù)時,.于是由的任意性知對一切均有.故,即是一個至多次多項式或常數(shù).《復變函數(shù)》考試試題（四）參考答案.二.填空題.1.,;

2.;

3.;

4.;

5.整函數(shù);6.亞純函數(shù);

7.0;

8.;

9.;

10..三.計算題.1.2.解,.故原式.3.解原式.4.解=，令，得，而為可去奇點當時，而為一階極點.四.證明題.1.證明設(shè),在下半平面內(nèi)任取一點,是下半平面內(nèi)異于的點,考慮.而,在上半平面內(nèi),已知在上半平面解析,因此,從而在下半平面內(nèi)解析.2.證明令,,則與在全平面解析,且在上,,故在內(nèi).在上,,故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個零點,即原方程在內(nèi)僅有三個根.《復變函數(shù)》考試試題（五）參考答案一.判斷題.1．√２．√３．×４．√５．×6．×７．×８．√９．√

10．√.二.填空題.,,;

2.;

3.,

;

4.;

5.0;

6.0;

7.亞純函數(shù);

8.;

9.0;

10..三.計算題.1.解令,則.故,.2.解連接原點及的直線段的參數(shù)方程為,故.3.令,則.當時,故,且在圓內(nèi)只以為一級極點,在上無奇點,故,由殘數(shù)定理有.4.解令則在內(nèi)解析,且在上,,所以在內(nèi),,即原方程在內(nèi)只有一個根.四.證明題.1.證明因為,故.這四個偏導數(shù)在平面上處處連續(xù),但只在處滿足條件,故只在除了外處處不可微.2.證明取,則對一切正整數(shù)時,.于是由的任意性知對一切均有.故,即是一個至多次多項式或常數(shù).《復變函數(shù)》考試試題（六）參考答案二、填空題：1.

2.

3.

4.

1

5.

16.

階

7.整函數(shù)