均值不等式公開課課件

2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京舉行

走進(jìn)智者挑戰(zhàn)自我第1頁(yè)/共14頁(yè)2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)走進(jìn)智者1

會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)源中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明發(fā)明于中國(guó)周代的勾股定理而繪制的弦圖。它既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來(lái)自世界各地的數(shù)學(xué)精英們。2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京舉行

走進(jìn)智者挑戰(zhàn)自我第2頁(yè)/共14頁(yè)會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)源中國(guó)2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)2

走進(jìn)智者挑戰(zhàn)自我第3頁(yè)/共14頁(yè)走進(jìn)智者挑戰(zhàn)自我第3頁(yè)/共13思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些不等關(guān)系？第4頁(yè)/共14頁(yè)思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找4ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個(gè)直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？

探究１：S___>__S′問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？第5頁(yè)/共14頁(yè)ab1、正方形ABCD的２、四個(gè)直角三角形的３、S與S’有什5ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ABCDE(FGH)ab第6頁(yè)/共14頁(yè)ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b6思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）第7頁(yè)/共14頁(yè)思考：你能給出不等式的證明嗎？證7結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R問(wèn)題一第8頁(yè)/共14頁(yè)結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)8問(wèn)題一替換后得到：即：即：第9頁(yè)/共14頁(yè)問(wèn)題一替換后得到：即：即：第9頁(yè)/共14頁(yè)9證明：——比較法：如何證明不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”第10頁(yè)/共14頁(yè)證明：——比較法：如何證明不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”第10你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______第11頁(yè)/共14頁(yè)你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三Rt△ACD∽11你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關(guān)系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半ADBEOCab第12頁(yè)/共14頁(yè)你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三②如何用a,121.代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)1.代數(shù)證明:2.幾何意義：半弦長(zhǎng)小于等于半徑（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)2.幾何證明:從數(shù)列角度看:兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)小于等于它們的等差中項(xiàng)基本不等式第13頁(yè)/共14頁(yè)1.代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)1.代數(shù)證明:2.13感謝您的欣賞第14頁(yè)/共14頁(yè)感謝您的欣賞第14頁(yè)/共14頁(yè)142002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京舉行

走進(jìn)智者挑戰(zhàn)自我第1頁(yè)/共14頁(yè)2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)走進(jìn)智者15

會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)源中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明發(fā)明于中國(guó)周代的勾股定理而繪制的弦圖。它既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來(lái)自世界各地的數(shù)學(xué)精英們。2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京舉行

走進(jìn)智者挑戰(zhàn)自我第2頁(yè)/共14頁(yè)會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)源中國(guó)2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)16

走進(jìn)智者挑戰(zhàn)自我第3頁(yè)/共14頁(yè)走進(jìn)智者挑戰(zhàn)自我第3頁(yè)/共117思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些不等關(guān)系？第4頁(yè)/共14頁(yè)思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找18ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個(gè)直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？

探究１：S___>__S′問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？第5頁(yè)/共14頁(yè)ab1、正方形ABCD的２、四個(gè)直角三角形的３、S與S’有什19ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ABCDE(FGH)ab第6頁(yè)/共14頁(yè)ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b20思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）第7頁(yè)/共14頁(yè)思考：你能給出不等式的證明嗎？證21結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R問(wèn)題一第8頁(yè)/共14頁(yè)結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)22問(wèn)題一替換后得到：即：即：第9頁(yè)/共14頁(yè)問(wèn)題一替換后得到：即：即：第9頁(yè)/共14頁(yè)23證明：——比較法：如何證明不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”第10頁(yè)/共14頁(yè)證明：——比較法：如何證明不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”第24你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______第11頁(yè)/共14頁(yè)你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三Rt△ACD∽25你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關(guān)系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半ADBEOCab第12頁(yè)/共14頁(yè)你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三②如何用a,261.代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)1.代