基于數(shù)學(xué)史實(shí)施深度學(xué)習(xí)

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顧宇恒蔡宏圣

深度學(xué)習(xí)是教師踐行立德樹(shù)人根本任務(wù)的重要實(shí)踐路徑?；跀?shù)學(xué)史實(shí)施深度學(xué)習(xí)，可以結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的四種方式，更多地指向意義與動(dòng)機(jī)，更多地進(jìn)行知識(shí)間勾連，更多地突出思考過(guò)程，更多地進(jìn)行摸索再創(chuàng)造。

深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)史;策略

所謂深度學(xué)習(xí)，是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。黨的十八大明確提出“把立德樹(shù)人作為教育的根本任務(wù)〞。為全面深化課程改革，落實(shí)“立德樹(shù)人〞根本任務(wù)，自2022年9月起，教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心組織專(zhuān)家團(tuán)隊(duì)，著手研究將深度學(xué)習(xí)作為落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)及各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)踐路徑?？梢?jiàn)，深度學(xué)習(xí)的興起是時(shí)代發(fā)展的必然要求。

本文試圖從數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的視角，基于華東師范大學(xué)汪曉勤教授提出的“數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的四種方式〞，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何更好地踐行深度學(xué)習(xí)提出建議。

一、附加式：超越歷史史實(shí)，更多地指向意義與動(dòng)機(jī)

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中“你知道嗎〞的安排，多為簡(jiǎn)單地介紹一些數(shù)學(xué)史實(shí)，主要表現(xiàn)為“誰(shuí)什么時(shí)候提出了什么數(shù)學(xué)成就〞。如蘇教版教材一年級(jí)下冊(cè)第39頁(yè)這樣介紹：“第一個(gè)使用‘=的，是英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德。第一個(gè)使用‘>和‘<的，是英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特。〞把這些史料用在課堂教學(xué)中，往往是數(shù)學(xué)史的附加式運(yùn)用，即數(shù)學(xué)史沒(méi)有影響教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，只不過(guò)在原有的教學(xué)設(shè)計(jì)以外再附加一個(gè)“超鏈接〞。從深度學(xué)習(xí)的要義去審視，這些內(nèi)容的教學(xué)需要超越數(shù)學(xué)史的史實(shí)，更多地在指向數(shù)學(xué)知識(shí)的意義與激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)上做文章。因此，附加式運(yùn)用要注意以下三點(diǎn)。

（一）適度加工

有教師在組織學(xué)生認(rèn)識(shí)“小數(shù)的意義〞時(shí)，介紹了我國(guó)古代有名數(shù)學(xué)家劉徽在這方面的成就，其中提到“劉徽在當(dāng)時(shí)是世界上最優(yōu)良的數(shù)學(xué)家之一，他在開(kāi)方不盡的問(wèn)題中提出了‘求微數(shù)的思想，促進(jìn)十進(jìn)分?jǐn)?shù)也就是小數(shù)的產(chǎn)生，而西方直到十四五世紀(jì)才出現(xiàn)十進(jìn)分?jǐn)?shù)，劉徽的成就比西方早了將近1000多年〞。從數(shù)學(xué)史本身看，這個(gè)介紹沒(méi)有什么問(wèn)題，但從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看，“開(kāi)方〞可能超越了大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知范疇，給當(dāng)前的學(xué)習(xí)帶來(lái)了不必要的注意力分散。所以，為了深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)史選用，需要進(jìn)行適度的加工，在非關(guān)鍵的枝節(jié)處可以模糊些，從而讓學(xué)生的思考聚焦于當(dāng)前學(xué)習(xí)的關(guān)鍵數(shù)學(xué)問(wèn)題上。

（二）還原意義

學(xué)生第一次學(xué)習(xí)除法，教師在講解除號(hào)的歷史時(shí)，可以這樣介紹：“300多年前，瑞士數(shù)學(xué)家開(kāi)始用符號(hào)‘÷來(lái)表示除。〞也可以這樣介紹：“300多年前，瑞士數(shù)學(xué)家開(kāi)始用符號(hào)‘÷來(lái)表示除，用一根橫線把兩個(gè)圓點(diǎn)分開(kāi)，恰好表示平均分的意思。〞看起來(lái)這兩種介紹方式差異不大，但實(shí)際上卻表達(dá)了兩種不同的價(jià)值取向。對(duì)深度學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，前一種介紹方式僅僅在形式化的層面上介紹“誰(shuí)什么時(shí)候提出了什么數(shù)學(xué)成就〞這樣的數(shù)學(xué)史實(shí)，意義不大。數(shù)學(xué)史述說(shuō)了一個(gè)知識(shí)成為現(xiàn)在這個(gè)樣子的過(guò)程，教師要把其中有意義的部分挖掘出來(lái)，像后一種介紹方式那樣，把除號(hào)表示“平均分〞這樣的意義挖出來(lái)并還原到形式化的數(shù)學(xué)史實(shí)里，可以更好地提升學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解。

（三）激發(fā)動(dòng)機(jī)

在網(wǎng)上輸入詞條“陳景潤(rùn)〞，就會(huì)出現(xiàn)這樣的故事：陳景潤(rùn)高中時(shí)很快解決了老師提出的“韓信點(diǎn)兵〞問(wèn)題，沈元老師愉快之際勉勵(lì)道：你能獨(dú)立解答“韓信點(diǎn)兵〞，不要中止思考，你能創(chuàng)造更大的奇跡，譬如解決“哥德巴赫猜想〞。于是，沈老師就講起了“哥德巴赫猜想〞的故事，“哥德巴赫猜想〞像磁石一般吸引著陳景潤(rùn)。無(wú)獨(dú)有偶，最終證明費(fèi)馬大定理的數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯，10歲時(shí)就已經(jīng)著迷于數(shù)學(xué)。懷爾斯這樣描述看到這個(gè)問(wèn)題時(shí)的感受：“看上去如此簡(jiǎn)單，但歷史上所有大數(shù)學(xué)家都未能解決它，這里正擺著一個(gè)我——一個(gè)10歲的孩子——能理解的問(wèn)題，從那個(gè)時(shí)刻起，我知道我永遠(yuǎn)不會(huì)放棄它，我必需解決它。〞深度學(xué)習(xí)是全身心投入的學(xué)習(xí)，裹挾著情感投入產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力的學(xué)習(xí)才是可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)史在這方面有著諸多優(yōu)勢(shì)，教師可尋覓并浮現(xiàn)有名數(shù)學(xué)家學(xué)生時(shí)代的故事，或者陳述與數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展相關(guān)的逸聞趣事，用數(shù)學(xué)內(nèi)在的魅力去吸引和打動(dòng)學(xué)生，將學(xué)生引入深度學(xué)習(xí)的大門(mén)。

二、復(fù)制式：超越列舉浮現(xiàn)，更多地進(jìn)行知識(shí)間勾連

復(fù)制式運(yùn)用是指教學(xué)中直接使用歷史上的經(jīng)典名題與數(shù)學(xué)方法，構(gòu)成教學(xué)內(nèi)容的組成部分。例如教學(xué)《兩位數(shù)除以一位數(shù)》一課，教師首先出示意大利數(shù)學(xué)家帕喬利的名言：“一個(gè)人能把除法做好，那么其他的運(yùn)算對(duì)他輕而易舉，由于加減乘都包含在除法運(yùn)算當(dāng)中。〞引導(dǎo)學(xué)生將探究聚焦到除法上來(lái)。在隨后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師勉勵(lì)學(xué)生采用多種方法解決除法問(wèn)題，還將歷史上出現(xiàn)過(guò)的除法算法如古埃及“加倍與減半〞的方法（如圖1）、熱貝爾及其改進(jìn)的方法（如圖2），讓學(xué)生感悟理解。上述的復(fù)制式，就是把數(shù)學(xué)史作為“課堂中一名額外的學(xué)生〞去運(yùn)用。

深度學(xué)習(xí)是指對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深度思維加工的學(xué)習(xí)，它要求學(xué)生能夠抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性從而全面把握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，而不是簡(jiǎn)單地把握孤立的知識(shí)點(diǎn)或記憶更多的事實(shí)性知識(shí)。依此要義審視上述的數(shù)學(xué)史運(yùn)用，雖然浮現(xiàn)了歷史上除法計(jì)算的不同形式，展示了除法豎式的多樣性，開(kāi)拓了學(xué)生思考除法豎式計(jì)算方法的眼界，但為了深度學(xué)習(xí)，更要抓住多樣方法背后的統(tǒng)一，組織不同方法之間的異同對(duì)比，在更為廣泛的層面上進(jìn)行知識(shí)間的勾連，在更為一般的層面上提煉所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性。譬如，無(wú)論怎么去除，都是在設(shè)法求被除數(shù)里面有多少個(gè)除數(shù)。又譬如，雖然浮現(xiàn)的除法豎式不同，但除的時(shí)候都是把被除數(shù)分解為幾個(gè)數(shù)，逐步去除，然后把各次得到的結(jié)果合并起來(lái)。

在歷史的長(zhǎng)河里可以看到，統(tǒng)一性促進(jìn)了數(shù)學(xué)分支之間的相互交流與共同發(fā)展，保證了數(shù)學(xué)的生命力，規(guī)范了數(shù)學(xué)的前進(jìn)發(fā)展。數(shù)學(xué)發(fā)展的這種屬性投射到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同樣需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的某個(gè)階段引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)起不同知識(shí)間的諸多勾連，從而在更為本質(zhì)的層面上理解和把握所學(xué)知識(shí)。線段的長(zhǎng)度、角的角度（弧度）、面積與體積，貌似毫無(wú)關(guān)系，但若從數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性角度看，它們做的實(shí)際上是同一件事，都是度量。在不同知識(shí)間實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫穿，原先汗牛充棟的內(nèi)容就統(tǒng)一為少數(shù)幾個(gè)核心概念或原理。知識(shí)不再是學(xué)習(xí)的目的，變成了養(yǎng)成素養(yǎng)的通道。所以，教學(xué)越統(tǒng)一，也就越深刻，離數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)的來(lái)源就越近，就越符合深度學(xué)習(xí)的要義。

三、順應(yīng)式：超越史料本身，更多地浮現(xiàn)思考過(guò)程

順應(yīng)式運(yùn)用是指將數(shù)學(xué)史料進(jìn)行改編，以順應(yīng)今日教學(xué)的需要。深度學(xué)習(xí)有著豐富的意義，要表達(dá)出深度學(xué)習(xí)的特質(zhì)，讓學(xué)生真正地思考起來(lái)是重要前提。于此，教師需要做這樣兩個(gè)改變。

（一）讓學(xué)生思考后再介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史料

多個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)都介紹了陳景潤(rùn)和哥德巴赫猜想，對(duì)這段數(shù)學(xué)史資料大多數(shù)教師的用法是附加式，即完成了教科書(shū)中的其他練習(xí)（這些練習(xí)和哥德巴赫猜想毫無(wú)關(guān)系）后，有時(shí)間多再讓學(xué)生讀讀有關(guān)陳景潤(rùn)和哥德巴赫猜想的介紹。為了讓學(xué)生更好地深入其中，教師可以把附加式浮現(xiàn)改變?yōu)轫槕?yīng)式浮現(xiàn)，也就是先浮現(xiàn)一些偶數(shù)，要求學(xué)生分解為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，并用歸納推理的方式提出自己的猜想，在此基礎(chǔ)上再介紹哥德巴赫猜想以及陳景潤(rùn)的研究成果。以此類(lèi)推，厄拉多塞篩法找質(zhì)數(shù)，高斯求1～100各數(shù)之和等等，只要是學(xué)生能理解和思考的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)結(jié)論，都可以讓學(xué)生先行嘗試和摸索起來(lái)，然后再接觸相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，這樣的安排顯然離深度學(xué)習(xí)更近。

（二）讓學(xué)生體會(huì)和領(lǐng)悟知識(shí)蘊(yùn)含的思想方法

順應(yīng)式運(yùn)用需要教師改造數(shù)學(xué)史料為教學(xué)所用，因此特別考驗(yàn)教師自身的認(rèn)識(shí)水平和教學(xué)聰慧。認(rèn)識(shí)年、月、日，能用的史料特別多，凱撒、奧古斯都定歷法，閏年與平年的由來(lái)，年、月、日的天文學(xué)意義等等，雖然這些內(nèi)容在一定意義上可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)年、月、日各個(gè)事實(shí)性知識(shí)的理解，但并沒(méi)有觸及知識(shí)更為本質(zhì)的屬性。年、月、日的天文學(xué)意義客觀存在，但回到歷史的源頭，人類(lèi)的先祖是沒(méi)有這些時(shí)間概念的，時(shí)間對(duì)于人類(lèi)來(lái)說(shuō)是延綿不絕、混沌不清、不可刻畫(huà)的。人類(lèi)畢竟是如何厘定年、月、日這三個(gè)時(shí)間單位的？把這透露出來(lái)，可以讓學(xué)生體會(huì)和感悟概念是怎么建立的，觸及人是如何通過(guò)思考建立知識(shí)的。太陽(yáng)的升起和下降帶來(lái)的直觀感受是白天與黑夜的更替……白天，黑夜，白天，黑夜，白天，黑夜……人類(lèi)的先祖在觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，可以把一個(gè)白天和一個(gè)黑夜合并起來(lái)作為一個(gè)周期去考察對(duì)比，而且這個(gè)周期不斷地重復(fù)更替。由此及彼，同樣可以把月的陰晴圓缺、氣候的春夏秋冬作為一個(gè)周期去考察時(shí)間，并且這個(gè)周期同樣也在不斷地重復(fù)更替，由此形成了日、月、年的認(rèn)識(shí)。整個(gè)過(guò)程可以概括為嘗試分割、對(duì)比驗(yàn)證（是否重復(fù)更替）、形成認(rèn)識(shí)的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程和數(shù)學(xué)認(rèn)知中的提出猜想、證明驗(yàn)證、形成結(jié)論的過(guò)程并無(wú)不同。“刻畫(huà)時(shí)間是人類(lèi)迄今為止構(gòu)建的最為重要的數(shù)學(xué)模型，其效能幾乎可以與火的使用、與文字的發(fā)明、與自然數(shù)的發(fā)明相媲美。〞教學(xué)至此，學(xué)生在課堂中的積淀超越了知識(shí)本身，感受到了數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)模型）是怎么形成的，深度學(xué)習(xí)成了自然而然的事情。

四、重構(gòu)式：超越數(shù)學(xué)結(jié)論，更多地進(jìn)行摸索再創(chuàng)造

數(shù)學(xué)史料直接用在課堂中，總有不妥當(dāng)?shù)臅r(shí)候，重構(gòu)式運(yùn)用，讓數(shù)學(xué)史成為教學(xué)推進(jìn)的內(nèi)在依托、厚實(shí)背景，但這需要教者首先站在歷史的高度，理清數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈、數(shù)學(xué)思想的演進(jìn)走向，把握居處教內(nèi)容的知性本質(zhì)。然后設(shè)計(jì)情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程，在人類(lèi)認(rèn)識(shí)提升的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，讓他們運(yùn)用已有的積淀去再創(chuàng)造知識(shí)，在這個(gè)過(guò)程中生成的必然是深度的數(shù)學(xué)理解。

例如認(rèn)識(shí)“小數(shù)的意義〞，教師首先組織學(xué)生利用元角分、長(zhǎng)度單位間的關(guān)系，理解0.2元、0.2米的意義，抽象把握0.2的意義。接著，教師拿出計(jì)數(shù)單位最小是“個(gè)〞的計(jì)數(shù)器，請(qǐng)學(xué)生嘗試撥出0.2來(lái)。在這一情境中，學(xué)生所面臨的挑戰(zhàn)和歷史上荷蘭工程師斯蒂文創(chuàng)造小數(shù)的思維過(guò)程是一脈相承的。人類(lèi)先祖最早認(rèn)識(shí)的計(jì)數(shù)單位是“個(gè)（一）〞，以此單位為原點(diǎn)，左移就是不斷“進(jìn)十〞，依次得到比“個(gè)〞大的計(jì)數(shù)單位。原先以為“個(gè)〞在計(jì)數(shù)法中是最小的單位了，而現(xiàn)在要撥的0.2顯然說(shuō)明，應(yīng)當(dāng)還有比“個(gè)（一）〞更小的計(jì)數(shù)單位，那只有以“個(gè)（一）〞為原點(diǎn)右移，也就是不斷地“退十〞。由此，學(xué)生的認(rèn)識(shí)完成了突圍，創(chuàng)造了小數(shù)計(jì)數(shù)方法，溝通了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和小數(shù)意義、分?jǐn)?shù)意義之間的聯(lián)系，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)通過(guò)十進(jìn)位值原理、數(shù)的數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）本質(zhì)實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一。

雖然數(shù)學(xué)史的重構(gòu)式運(yùn)用自然的具有深度學(xué)習(xí)的性質(zhì)，但也需要注意以下三點(diǎn)。

（一）感受再創(chuàng)造的必要

為了使學(xué)習(xí)者生成“積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)〞，讓知識(shí)的再創(chuàng)造不再成為教師命令下的無(wú)奈所為，教學(xué)中教師要把學(xué)生帶到原有認(rèn)知的邊界處。如上述案例中，學(xué)生潛意識(shí)中認(rèn)為“個(gè)〞是最小的計(jì)數(shù)單位，但0.2又沒(méi)有資格撥在個(gè)位上，這讓他們清楚地感受到?jīng)]有新的知識(shí)或新的方法解決不了眼前的問(wèn)題，學(xué)生在后續(xù)的摸索思考中才可能“全身心投入〞。

（二）設(shè)計(jì)一個(gè)好的問(wèn)題

“好問(wèn)題〞往往具有以下特點(diǎn)：其一，起點(diǎn)低，大家都可以進(jìn)行思考。其二，是非操練性的，具有挑戰(zhàn)性。其三，問(wèn)題空間適中。問(wèn)題空間太小就沒(méi)有深度思考的余地，太大又會(huì)令學(xué)生無(wú)從想起。計(jì)數(shù)器上撥個(gè)數(shù)，所有學(xué)生都能操作，而且一邊撥一邊調(diào)動(dòng)以往所學(xué)去判斷這個(gè)是0.2嗎。0.2應(yīng)當(dāng)撥在個(gè)位的右邊，也是學(xué)生能夠利用以往的計(jì)數(shù)法知識(shí)推理出來(lái)的。

（三）重視數(shù)學(xué)化的過(guò)程

課堂情境中的再創(chuàng)造有著特定的時(shí)間限制，所以特別需要厘清什么才是更為重要的，最值得花時(shí)間的。當(dāng)學(xué)生在情境中明了了0.2應(yīng)當(dāng)撥在個(gè)位的右邊，這一位的計(jì)數(shù)單位是個(gè)（一）“退十〞得到的。而新的計(jì)數(shù)單位畢竟是什么名稱等知識(shí)外在形式化的部分，學(xué)生即使沒(méi)有經(jīng)歷推測(cè)直接從老師處得到，也不會(huì)影響深度學(xué)習(xí)的