數學分析課件第四版華東師大研制 第18章 隱函數定理及其應用

隱函數是函數關系的另一種表現形式.討論隱函數的存在性、連續(xù)性與可微性,不僅是出于深刻了解這類函數本身的需要,同時又為后面研究隱函數組的存在性問題打好了基礎.§1

隱函數返回四、隱函數求導數舉例

一、隱函數概念二、隱函數存在性條件分析三、隱函數定理隱函數是函數關系的另一種表現形式.討論隱函數的存在性、連方程式所確定的函數,通常稱為隱函數．例如：一、隱函數概念顯函數：因變量可由自變量的某一分析式來表示的函數稱為顯函數．例如：隱函數：自變量與因變量之間的關系是由某一個方程式所確定的函數,通常稱為隱函數．例如：一、隱函數概念顯則成立恒等式有惟一確定的與之對應,能使且滿足方程(1),則稱由方程(1)確定了一個定義在,值域含于的隱函數.如果把此隱函數記為隱函數一般定義：

則成立恒等式有惟一確定的與之對應,能使且滿足方程取值范圍．例如由方程可確定如下兩個函數：注2

不是任一方程都能確定隱函數,例如顯然不能確定任何隱函數．注1

隱函數一般不易化為顯函數，也不一定需要化為顯函數．上面把隱函數仍記為，這與它能否用顯函數表示無關．注3

隱函數一般需要同時指出自變量與因變量的取值范圍．例如由方程可確定如下兩個函數：注2注5

在§2還要討論由多個方程確定隱函數組的問題.注4類似地可定義多元隱函數．例如:由方程確定的隱函數由方程確定的隱函數等等.注5在§2還要討論由多個方程確定隱函數組的問題.注二、隱函數存在性條件分析條件時，由方程(1)能確定隱函數,并使

下討論問題：當函數滿足怎樣一些該隱函數具有連續(xù)、可微等良好性質?(a)

把上述看作曲面與坐標平面的交線，故至少要求該交集非空，即，滿足

連續(xù)是合理的．(b)

為使在連續(xù)，故要求在點二、隱函數存在性條件分析條件時，由方程(1)能確定隱函由此可見，是一個重要條件．點存在切線，而此切線是曲面在點的切平面與的交線，故應要求在(c)

為使在可導，即曲線在點可微，且(d)

在以上條件下，通過復合求導數,由(1)得到由此可見，是一個重要條件．點存在切線，三、隱函數定理定理18.1(隱函數存在惟一性定理)

設方程(1)中的函數滿足以下四個條件：(i)

在以為內點的某區(qū)域上連續(xù)；(ii)(初始條件)；(iii)

在內存在連續(xù)的偏導數；(iv)則有如下結論成立：三、隱函數定理定理18.1(隱函數存在惟一性定理)在上連續(xù)．惟一地確定了一個隱函數它滿足：,且當時,使得證

首先證明隱函數的存在與惟一性．

證明過程歸結起來有以下四個步驟(見圖18－1)：存在某鄰域，在內由方程(1)在上連

(c)同號兩邊伸

＋＋＋＋－－－－(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－

(b)正、負上下分

＋＋＋

___+_0

(a)一點正,一片正

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++圖

18－1(c)同號兩邊伸＋＋＋＋－－－－(d)利用介(a)“一點正,一片正”由條件(iv),不妨設因為連續(xù)，所以根據保號性，使得

(a)一點正,一片正

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++(a)“一點正,一片正”由條件(iv),不妨

(b)正、負上下分

＋＋＋

___+_0(b)“正、負上下分”因故把看作的函數，它在上嚴格增，且連續(xù)(據條件(i))．特別對于函數由條(b)正、負上下分＋＋＋___+_0(b)因為關于連續(xù)，故由(b)的結論，根據保號性，使得

(c)同號兩邊伸

＋＋＋＋－－－－(c)“同號兩邊伸”(d)“利用介值性”因關于連續(xù),且嚴

格增，故由(c)的結論，依據介值性定理,存在惟因為(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－滿足一的就證得存在惟一的隱函數:由的任意性,這若記則定理結論得證．下面再來證明上述隱函數的連續(xù)性:欲證上述在連續(xù).(d)利用介值性＋＋＋＋－－－－滿足一的就證得類似于前面(c)，使得由對嚴格增，而推知＋＋＋＋－－－－..圖

18－2足夠小，使得如圖18－2所示,取類似于前面(c)，使得由在上處處連續(xù)．因此在連續(xù).由的任意性,便證得且當時，有類似于前面(d)，由于隱函數惟一，故有在上處處注1定理18.1的條件(i)～(iv)僅是充分條件,又是一組十分重要的條件.例如：在點雖不滿足條件(iv)，但仍能確定惟一的隱函數②(雙紐線),在點同樣不滿足條件(iv);如圖18－3所示,在該點無論多圖

18－3么小的鄰域內,確實注1定理18.1的條件(i)～(iv)僅是充用這兩個較強的條件，一則是使用時便于檢驗，的作用．二則是在后面的定理18.2中它們還將起到實質性注3讀者必須注意,定理18.1是一個局部性的隱函數存在定理．例如從以上雙紐線圖形看出:除了三點以外,曲線上其余各點處都注2

條件(iii)、(iv)在證明中只是用來保證在鄰域內關于為嚴格單調．之所以采不能確定惟一的隱函數.用這兩個較強的條件，一則是使用時便于檢驗，的作用．二則是在存在局部隱函數(這不難用定理18.1加以檢驗，見后面第四段的例１)．注4在方程中,與的地位是平等的.當條件(iii)、(iv)改為時，將存在局部的連續(xù)隱函數連續(xù),且

“

”存在局部隱函數(這不難用定理18.2(隱函數可微性定理)設函數滿足定理18.1中的條件(i)～(iv),在內還存在連續(xù)的.則由方程所確定的隱函數在I內有連續(xù)的導函數，且(注:其中示于定理18.1的證明(d)).定理18.2(隱函數可微性定理)設函數使用微分中值定理,使得證設則由條件易知F可微，并有使用微分中值定理,顯然也是連續(xù)函數．因都是連續(xù)函數,故時并有顯然也是連續(xù)函數．因都是連續(xù)函數,故(3)注1當存在二階連續(xù)偏導數時，所得隱函數也二階可導．應用兩次復合求導法，得將(2)式代入上式，經整理后得到(3)注1當存在二階連續(xù)偏導數時，所得隱函數注2利用公式(2),(3)求隱函數的極值:(a)求使的點,即的解．(b)在點處因，而使(3)式化簡為

(4)(c)由極值判別法,當時,隱函數

在取得極大值(或極小值)注2利用公式(2),(3)求隱函數的極值:(a)設在以點為內點的某區(qū)域上,

則存在某鄰域在其內存在惟一的、連續(xù)可微的隱函數，且有注3

由方程(5)確定隱函數的相關定理簡述如下：F

的所有一階偏導數都連續(xù)，并滿足設在以點為內點的某區(qū)域(6)更一般地，由方程確定隱函數的相關定理,見教材下冊p.149上的定理18.3,這里不再詳述.(6)更一般地，由方程各點處都能確定局部的隱函數．例1討論笛卡兒葉形線(圖18－4)(7)所確定的隱函數的存在性，并求其一階、二階導數．解令先求出在曲線(7)上使的點為

.除此兩點外,方程(7)在其他圖18－4四、隱函數求導數舉例

各點處都能確定局部的隱函數．例1討論笛卡兒葉形線然后再算出:

為了使用公式(3),先算出:由公式(2)求得然后再算出:為了使用公式(數學分析課件第四版華東師大研制第18章隱函數定理及其應用平切線和垂直切線．類似于例1的方法,求出曲線上使的點為在幾何上，它是兩條曲線和的交點(見圖).容易驗證所以隱函數在點取得極大值以上討論同時說明,該曲線在點和分別有水例2試求由方程所確定的隱函數在點處的全微分．平切線和垂直切線．類似于例1的方法,求出曲線上使解法1(形式計算法)對方程兩邊微分，得將代入，又得解法2(隱函數法)設由于上處處連續(xù),而解法1(形式計算法)對方程兩邊微分，得將因此在點P

附近能惟一地確定連續(xù)可微的隱函數且可求得它的偏導數如下：以代入,便得到因此在點P附近能惟一地確定連續(xù)可微的隱函數且可求得,故將此兩式相加便得所需結果.例3設是由方程所確定的隱函數,其中F具有連續(xù)的二階偏導數,試證:證易知于是有由此得到再分別對x與y求偏導數,又得因在假設條件下,,故將此兩式相加便得所需結果.例3設1．在隱函數的定義中，為什么強調必須指出3．設能確定連續(xù)可微的隱函數:(由此能說明些什么?)驗證：2．在定理18.1對隱函數連續(xù)性進行證明時，復習思考題因變量的取值范圍？(結合例題加以說明.)最后為什么要用到隱函數的惟一性？1．在隱函數的定義中，為什么強調必須指出3．設能4.試對例3的兩種解法(形式計算法與隱函數法)作一比較,指出兩者各有哪些優(yōu)缺點?4.試對例3的兩種解法(形式計算法與隱函數法)§2

隱函數組

隱函數組的存在性、連續(xù)性與可微性,是函數方程組求解問題的理論基礎.利用隱函數組的思想,又可進而討論反函數組與坐標變換等特殊問題.

一、隱函數組概念二、隱函數組定理三、反函數組與坐標變換§2隱函數組一、隱函數組概念設有一組方程使得對于任給的足方程組(1),則稱由(1)確定了隱函數組有惟一的與之對應,且使?jié)M其中函數定義在區(qū)域若存在區(qū)域一、隱函數組概念設有一組方程使得對于任給的足方并有關于隱函數組的一般情形(含有m+n個變量的m個方程所確定的n

個隱函數)，將在第二十三章采用向量函數的形式作進一步討論．并有首先來看看,若由方程組(1)能確定兩個可微的隱函數,則函數應滿足何種條件呢?

不妨先設都可微,由復合求導法,通過對(1)分別求關于x與y

的偏導數,得到首先來看看,若由方程組(1)能確定兩個可微的隱函數能由(2)與(3)惟一解出的充要條件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即由此可見，只要具有連續(xù)的一階偏導數，且其中是滿足(1)的某一初始點,則由保號性定理，使得在此鄰域內(4)式成立．根據以上分析,便有下述隱函數組定理.能由(2)與(3)惟一解出的充要

雅可比（

Jacobi,C.G.J.

1804-1851,

德國）雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-18定理18.4(隱函數組定理)設方程組(1)中的函數F與G滿足下列條件：(i)在以點為內點的某區(qū)域上連續(xù)；(ii)(初始條件);

(iii)在V

內存在連續(xù)的一階偏導數；(iv)二、隱函數組定理

定理18.4(隱函數組定理)設方程組(1)中的即有則有如下結論成立：且滿足必定存在鄰域其中使得即有則有如下結論成立：在上連續(xù).在上存在一階連續(xù)偏導數,且有本定理的詳細證明從略(第二十三章有一般隱函數定理及其證明),下面只作一粗略的解釋:在上連續(xù).①由方程組(1)的第一式確定隱函數②將代入方程組(1)的第二式,得③再由此方程確定隱函數并代回至這樣就得到了一組隱函數①由方程組(1)的第一式通過詳細計算,又可得出如下一些結果:通過詳細計算,又可得出如下一些結果:例1設有方程組試討論在點的近旁能確定怎樣的隱函數組？并計算各隱函數在點處的導數.解易知點滿足方程組(5).設例1設有方程組它們在上有連續(xù)的各階偏導數.再考察在點關于所有變量的雅可比矩陣由于它們在上有連續(xù)的各階偏導數.再考察在點因此由隱函數組定理可知,在點近旁可以惟一地確定隱函數組:但不能肯定y,z可否作為x的兩個隱函數.因此由隱函數組定理可知,在點近旁可以惟一運用定理18.4的結論,可求得隱函數在點處的導數值:運用定理18.4的結論,可求得隱函數在點*注通過詳細計算,還能求得這說明處取極大值,從而知道在點的任意小鄰域內,對每一個x的值,會有多個y的值與之對應.類似地,對每一個x的值,也會有多個z的值與之對應.所以方程組(5)在點近旁不能惟一確定以x

作為自變量的隱函數組.*注通過詳細計算,還能求得例2設函數具有連續(xù)的偏導數,是由方程組所確定的隱函數組.試求

解設則有例2設函數由此計算所需之雅可比行列式:于是求得由此計算所需之雅可比行列式:于是注計算隱函數組的偏導數(或導數)比較繁瑣,要學懂前兩例所演示的方法(利用雅可比矩陣和雅可比行列式),掌握其中的規(guī)律.這里特別需要“

精心＋細心＋耐心”.注計算隱函數組的偏導數(或導數)比較繁瑣,三、反函數組與坐標變換設有一函數組它確定了一個映射(或變換):寫成點函數形式,即為并記的象集為現在的問題是:函數組(6)滿足何種條件時,存在逆變換即存在三、反函數組與坐標變換設有一函數組它確定了一個亦即存在一個函數組使得滿足這樣的函數組(7)稱為函數組(6)的反函數組.它的存在性問題可化為隱函數組的相應問題來處理.亦即存在一個函數組使得滿足為此,首先把方程組(6)改寫為然后將定理18.4應用于(8),即得下述定理.定理18.5(反函數組定理)

設(6)中函數在某區(qū)域上具有連續(xù)的一階偏導數,是的內點,且為此,首先把方程組(6)改寫為則在點的某鄰域內,存在惟一此外,反函數組(7)在內存在連續(xù)的一階的一組反函數(7),使得偏導數;若記則在點的某鄰域則有同理又有則有同理又有由(9)式進一步看到:

此式表示:互為反函數組的(6)與(7),它們的雅可比行列式互為倒數.這和以前熟知的反函數求導公式相類似,亦即一元函數的導數和函數組(6)的雅可比行列式互為對應物.由(9)式進一步看到:例3平面上點的直角坐標與極坐標之間的坐標變換為試討論它的逆變換.解由于因此除原點(r=0)外,在其余一切點處,T存在逆變換例3平面上點的直角坐標與極坐標數學分析課件第四版華東師大研制第18章隱函數定理及其應用例4空間直角坐標與球坐標之間的坐標變換為(見右圖)由于例4空間直角坐標與球坐標因此在(即除去Oz軸上的一切點)時,存在逆變換例5設有一微分方程(弦振動方程):其中具有二階連續(xù)偏導數.試問此方程在坐標變換之下,將變成何種形式?因此在(即除去解據題意,是要把方程(10)變換成以u,v作為自變量的形式.現在按此目標計算如下:首先有故T的逆變換存在,而且又有依據一階微分形式不變性,得到并由此推知解據題意,是要把方程(10)變換成以u,v繼續(xù)求以u,v

為自變量的與的表達式:最后得到以u,v

為自變量的

微分方程為繼續(xù)求以u,v為自變量的與復習思考題1.驗證:定理18.4的結論可以寫成

2.驗證:由定理18.5的(9)式(課本中為(13)式)可以推得復習思考題1.驗證:定理18.4的結論

在本節(jié)中所討論的曲線和曲面,由于它們的方程是以隱函數(組)的形式出現的,因此在求它們的切線或切平面時,都要用到隱函數(組)的微分法.

§3

幾何應用一、平面曲線的切線與法線二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線在本節(jié)中所討論的曲線和曲面,由于它們§3一、平面曲線的切線與法線曲線L：條件：上一點,近旁,F滿足隱函數定理條件,可確定可微的隱函數:處的切線：一、平面曲線的切線與法線曲線L：條件：總之,當例1求笛卡兒葉形線在點

處的切線與法線.解設由§1例2

的討論近旁滿足隱函數定理總之,當例1求笛卡兒葉形線在點的條件.容易算出于是所求的切線與法線分別為例2用數學軟件畫出曲線的圖象；并求該曲線在點處的切線與法線.

的條件.容易算出于是所求的切線與解在MATLAB指令窗內執(zhí)行如下繪圖指令:

symsx,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);

就立即得到曲線L的圖象(見本例末頁).令容易求出:解在MATLAB指令窗內執(zhí)行如下繪圖指令:由此得到L在點處的切線與法線分別為：若在上面的MATLAB指令窗里繼續(xù)輸入如下指令,便可畫出上述切線與法線的圖象(如圖).

holdon;

a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))

由此得到L在點處的切線與法線分別為：若數學分析課件第四版華東師大研制第18章隱函數定理及其應用例3設一般二次曲線為試證L

在點處的切線方程為證例3設一般二次曲線為試證L在點由此得到所求切線為利用滿足曲線L的方程,即整理后便得到由此得到所求切線為利用二、空間曲線的切線與法平面先從參數方程表示的曲線開始討論.在第五章§3已學過,對于平面曲線若是其上一點,則曲線在點處的切線為下面討論空間曲線.二、空間曲線的切線與法平面先從參數方程表示的曲線開始討論.(A)用參數方程表示的空間曲線:

類似于平面曲線的情形,不難求得處的切線為過點且垂直于切線的平面,稱為曲線L在點處的法平面.(A)用參數方程表示的空間曲線:因為切線的方向向量即為法平面的法向量,所以法平面的方程為(B)用直角坐標方程表示的空間曲線：

設近旁具有連續(xù)的一階偏導數,且因為切線的方向向量即為法平面的法向量不妨設于是存在隱函數組這也就是曲線L以z作為參數的一個參數方程.根據公式(2),所求切線方程為不妨設于是存在隱應用隱函數組求導公式,有于是最后求得切線方程為相應于(3)式的法平面方程則為應用隱函數組求導公式,有例4求空間曲線在點處的切線和法平面.解容易求得故切向向量為由此得到切線方程和法平面方程分別為例4求空間曲線

symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);

ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])

繪制上述空間曲線的程序與所得圖形如下:symst;x=t-sin(t);y=1-c數學分析課件第四版華東師大研制第18章隱函數定理及其應用例5求曲線在點處的切線與法平面.解曲線L

是一球面與一圓錐面的交線.令根據公式(5)與(6),需先求出切向向量.為此計算F,G

在點處的雅可比矩陣:例5求曲線由此得到所需的雅可比行列式:由此得到所需的雅可比行列式:故切向向量為據此求得故切向向量為

三、曲面的切平面與法線以前知道,當f

為可微函數時,曲面z=f(x,y)在點處的切平面為現在的新問題是:曲面由方程給出.若點近旁具有連續(xù)的一階偏導數,而且三、曲面的切平面與法線以前知道,當f為可不妨設則由方程(7)在點近旁惟一地確定了連續(xù)可微的隱函數因為所以在處的切平面為又因(8)式中非零元素的不指定性,故切平面方程不妨設則由方程(一般應寫成隨之又得到所求的法線方程為回顧1現在知道,函數在點P的梯度其實就是等值面在點P

的法向量:一般應寫成回顧2若把用方程組(4)表示的空間曲線L看作曲面的交線,則L在

點的切線與此二曲面在的法線都相垂直.而這兩條法線的方向向量分別是回顧2若把用方程組(4)表示的空間曲線L看作故曲線(4)的切向向量可取的向量積:這比前面導出(5),(6)兩式的過程更為直觀,也容易記得住.故曲線(4)的切向向量可取例6

求旋轉拋物面在點解令則曲面的法向量為處的切平面和法線.從而由(9),(10)分別得到切平面為法線為例6求旋轉拋物面()例7證明:曲面的任一切平面都過某個定點(這里f是連續(xù)可微函數).()證令則有()例7證明:曲面()于是曲面在其上任一點處的法向量可取為由此得到切平面方程:將點代入上式,得一恒等式:()于是曲面在其上任一點這說明點恒在任一切平面上.這說明點恒在任一切平面上.四、用參數方程表示的曲面曲面也可以用如下雙參數方程來表示:這種曲面可看作由一族曲線所構成:每給定v的一個值,(11)就表示一條以u為參數的曲線;當v取某個區(qū)間上的一切值時,這許多曲線的集合構成了一個曲面.現在要來求出這種曲面的切平面和法線的方程.為此假設且四、用參數方程表示的曲面曲面也可以用如下雙參數方程來表示(11)式中三個函數在近旁都存在連續(xù)的一階偏導數.因為在處的法線必垂直于上過的任意兩條曲線在的切線,所以只需在上取兩條特殊的曲線(

見圖

):它們的切向量分別為(11)式中三個函數在近旁都存在連續(xù)的一階偏則所求的法向量為至此,不難寫出切平面方程和法線方程分別為

則所求的法向量為解先計算在點處的法向例8設曲面的參數方程為試對此曲面的切平面作出討論.量:解先計算在點由此看到,當時說明在曲面(12)而當時,法向量可取上存在著一條曲線,其方程為在此曲線上各點處,曲面不存在切平面,我們稱這種曲線為該曲面上的一條奇線.

與之對應的切平面則為由此看到,當時法線則為當動點趨于奇線(13)上的點時,法向量存在極限:法線則為當動點此點處不存在法此時切平面存在極限位置:有時需要用此“極限切平面”來補充定義奇線上的切平面.注曲面上的孤立奇點往往是曲面的尖點,如圓錐面的頂點在線和切平面.而曲面上的奇線,則往往是該曲面的“摺線”、“邊界線”或是曲面自身的“交叉線”.此點處曲面(12)及其奇線(邊界線)的圖象如下:曲面(12)及其奇線(邊界線)的圖象如下:定義若存在連續(xù)的一階偏導數,且滿足則稱曲面為一光滑曲面.對于用雙參數方程(11)表示的曲面,應如何定義它為光滑曲面?請讀者自行考慮.定義若存在連續(xù)的一階偏復習思考題

1.模仿例2、例4,使用數學軟件(例如MATLAB)分別繪出例1中的曲線和例8中的曲面.

自幾何對象的計算公式也不同.試考慮怎樣才能較2.曲線或曲面由于它們表示形式的不同,導致各容易地記住這許多公式?3.光滑曲面有怎樣的幾何特征?對于用參數方程(11)表示的曲面,應如何定義它為光滑曲面?復習思考題1.模仿例2、例4,使用數學軟件(例如為什么說是一條邊界線?4.例8所討論的曲面上,對應于的那條奇線為什么說是一條邊界線?4.例8所討論的曲面上,對應于§4

條件極值

條件極值問題的特點是:極值點的搜索范圍要受到各自不同條件的限制.解決這類極值問題的方法叫做拉格朗日乘數法.

條件極值問題的實際應用非常廣泛,而且還能用來證明或建立不等式.一、問題引入二、拉格朗日乘數法三、應用舉例§4條件極值條件極值問題的特點是:一、問題引入很多極值問題,目標函數的自變量不能在其定義域上自由變化,而是要受到某些條件的約束.例1要設計一個容積為V的長方形無蓋水箱,試問長、寬、高各等于多少時,可使得表面積達到最小?若設長、寬、高各等于x,y,z,則目標函數:約束條件:一、問題引入很多極值問題,目標函數的自變量不例2設曲線求此曲線上的點到原點距離之最大、最小值.對此問題有目標函數:約束條件:還可舉出很多這種帶有約束條件的極值問題.定義設目標函數為約束條件為如下一組方程:例2設曲線為簡便起見,記并設若存在則稱是

在約束條件之下的極小值(或最小值)

,稱是相應的極小值點(或最小值點).

類似地又可定義條件極大(或最大)值.為簡便起見,記二、拉格朗日乘數法

拉格朗日乘數法探源先從n=2,m=1的最簡情形說起,即設目標函數與約束條件分別為若由確定了隱函數則使得目標函數成為一元函數再由求出穩(wěn)定點在此點處滿足二、拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法探源先從n=這表示的等值線與曲線在點有公共切線(見圖).由此推知:存在比例常數滿足這又表示:對于函數這表示的等值線與曲線在點有公共切在點處恰好滿足:也就是說,(2)式是函數在其極值點處所滿足的必要條件.由此產生了一個重要思想:通過引入輔助函數把條件極值問題(1)轉化成了關于這個輔助函數的普通極值問題.在點處恰好滿足:(B)拉格朗日乘數法對于前面定義中所設的一般目標函數和約束條件組,應引入輔助函數此函數稱為拉格朗日函數,其中稱為拉格朗日乘數.定理18.6設上述條件極值問題中的函數在區(qū)域D上有連續(xù)一階偏導數.若(B)拉格朗日乘數法對于前面定義中所設的一般目標D的內點是該條件極值問題的極值點,且則存在m

個常數使得D的內點個方程的解:說明對于n=2,m=1的情形,已在前面作了說明;對一般情形的證明,將放到二十三章的定理

23.19

中去進行.為拉格朗日函數(3)的穩(wěn)定點,即它是如下

個方程的解:三、應用舉例定理18.6指出的方法稱為拉格朗日乘數法.下面用這種方法先來求解本節(jié)開頭給出的兩個例題.例1解此例以往的解法是從條件式解出顯函數,例如代入目標函數后,轉而求解的普通極值問題.可是這樣做并不總是方便的,而且往往無法將條件式作顯化處理,更不用說多個條三、應用舉例定理18.6指出的方法稱為拉格朗件式的情形了.現在的新辦法是設輔助函數并求解以下方程組:為消去,將前三式分別乘以x,y,z,則得件式的情形了.現在的新辦法是設輔助函數并求解以下方程組:兩兩相減后立即得出再代入第四式,便求得注由以上結果還可以得到一個不等式(這是獲得不等式的一種好方法).那就是具體算出目標函數兩兩相減后立即得出(表面積)的最小值:去V后便得不等式例2解這里有兩個條件式,需要引入兩個拉格朗日常數;而且為了方便計算,把目標函數改取距離于是有其中

消

(表面積)的最小值:去V的平方(這是等價的),即設求解以下方程組:由此又得再代入條件的平方(這是等價的),即設式,繼而求得:(這里否則將無解)最后得到式,繼而求得:(這里否故原點至已知曲線上點的最小距離與最大距離分別為例3已知圓柱面故原點至已知曲線上點的最小距離與最大距離分別為它與平面相交得一橢圓,試求此橢圓的面積.分析(i)

如果能求得該橢圓的長、短半軸a

與b,則橢圓面積為(ii)

由方程(4)看到,此圓柱面關于坐標原點是對稱的,故此圓柱面的中心軸是通過坐標原點的某一直線;(iii)

因為所給平面也是通過坐標原點的,所以此平面上的橢圓截線必以坐標原點為其中心點.它與平面相交解由以上分析,自原點至橢圓上任意點(x,y,z)的距離之最大、小值，就是該橢圓的長、短半軸.(說明:本例的題型與例2相類似,但在具體計算策略上將有較大差異.)設拉格朗日函數為并令解由以上分析,自原點至橢圓上任意點(x,y,對(5),(6),(7)三式分別乘以x,y,z

后相加,得到對(5),(6),(7)三式分別乘以x,y,借助(8),(9)兩式進行化簡,又得這說明的極值就是這里的(即的極值就是),問題便轉而去計算為此先從(5)－(8)式消去得到一個線性方程組:它有非零解(x,y,z)的充要條件是借助(8),(9)兩式進行化簡,又得這說明由前面討論知道,方程(10)的兩個根就是的最大、小值,即于是說明(i)

一旦由方程(5)－(9)能直接求得橢圓的長、短半軸,那就不必再去計算橢圓的頂點坐標由前面討論知道,方程(10)的兩個根(x,y,z)了,這使解題過程簡單了許多.(ii)

若用解析幾何方法來處理本例的問題,則需要出緯圓半徑和緯圓面積還有平面的法線與l夾角的余弦然后根據面積投影關系最后求得橢圓先求出圓柱面的中心軸所在直線l:再求(x,y,z)了,這使解題過程簡單了許多.面積為例4設光滑封閉曲線證明:上任意兩個相距最遠點處的切線互相平行,且垂直于這兩點間的連線(見圖).證由于是光滑封閉曲線,所以滿足:(i)F在一個包含的開域內有連續(xù)的一階偏導數,面積為且(ii)在

上必有相距最遠的點.設為

上相距最遠的兩點,則點為目標函數在約束條件之下的極大值點.于是由拉格朗日乘數法,存在成為拉格朗日函數且(ii)在上必有相距最遠的點.的穩(wěn)定點.從而滿足由前兩式與后兩式分別得到的穩(wěn)定點.從而滿足前者表示后者表示所以在兩點處的切線互相平行,且垂直于*例5試求函數在條件下的最小值,并由此導出相應的不等式.解設前者表示并使由此方程組易得下面給出是條件最小值的理由.并使由此方程組易得下面給出是條件最小值的理由.都使得故存在又設由于為一有界閉集,為連續(xù)函數,因此在都使得上存在最大