方差分析的基本原理和F測驗(yàn)課件

1、檢驗(yàn)過程煩瑣例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)；若有k個(gè)處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗(yàn)。1、檢驗(yàn)過程煩瑣1

2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低對同一試驗(yàn)的多個(gè)處理進(jìn)行比較時(shí)，應(yīng)該有一個(gè)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差的估計(jì)值。若用t檢驗(yàn)法作兩兩比較，由于每次比較需計(jì)算一個(gè)，故使得各次比較誤差的估計(jì)不統(tǒng)一，同時(shí)沒有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計(jì)的精確性降低，從而降低檢驗(yàn)的靈敏性。2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈2例如，試驗(yàn)有5個(gè)處理，每個(gè)處理重復(fù)6次，共有30個(gè)觀測值。進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，每次只能利用兩個(gè)處理共12個(gè)觀測值估計(jì)試驗(yàn)誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用整個(gè)試驗(yàn)的30個(gè)觀測值估計(jì)試驗(yàn)誤差，顯然估計(jì)的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25?？梢?，在用t檢法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，由于估計(jì)誤差的精確性低，誤差自由度小，使檢驗(yàn)的靈敏性降低，容易掩蓋差異的顯著性。例如，試驗(yàn)有5個(gè)處理，每個(gè)處理重復(fù)6次，共3

3、推斷的可靠性低即使利用資料所提供的全部信息估計(jì)了試驗(yàn)誤差，若用t檢驗(yàn)法進(jìn)行多個(gè)處理平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，由于沒有考慮相互比較的兩個(gè)平均數(shù)會(huì)增大犯I型錯(cuò)誤的概率，降低推斷的可靠性。由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。方差分析(analysisofvariance,ANOVA)是由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。3、推斷的可靠性低4這種方法是將k個(gè)處理的觀測值作為一個(gè)整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源總體方差估計(jì)值；通過計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。方差是平方和除以自由度的商。

“

方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技術(shù)”，方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。這種方法是將k個(gè)處理的觀測值作為一個(gè)整體看待，5第四章方差分析（analysisofvariance,ＡＮＯＶＡ）

方差分析是用于兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)試驗(yàn)所得的兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)是否來自相同總體。它將總變異剖分為各個(gè)變異來源的相應(yīng)部分，從而發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對重要程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。第二節(jié)方差分析的基本原理第四章方差分析（analysisofvarianc6第四章方差分析（analysisofvariance,ＡＮＯＶＡ）由于各種因素的影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動(dòng)狀，造成波動(dòng)的原因可分成兩類，一是不可控的隨機(jī)因素，另一是研究中施加的對結(jié)果形成影響的可控因素。

方差分析的基本思想是：將全部觀察著的總變異按影響試驗(yàn)結(jié)果的諸因素分解為若干部分變異，構(gòu)造出反映各部分變異作用的統(tǒng)計(jì)量，之后構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F，實(shí)現(xiàn)對總體均屬的推斷。也就是通過分析研究不同來源的變異對總變異的貢獻(xiàn)大小，從而確定可控因素對研究結(jié)果影響力的大小。第一節(jié)方差分析的意義第四章方差分析由于各種因素的影響，研究所得的數(shù)7第四章方差分析（analysisofvariance,ＡＮＯＶＡ）

方差分析主要用途：①均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)，②分離各有關(guān)因素并估計(jì)其對總變異的作用，③分析因素間的交互作用，④方差齊性檢驗(yàn)。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中常常要探討不同實(shí)驗(yàn)條件或處理方法對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。通常是比較不同實(shí)驗(yàn)條件下樣本均值間的差異。例如農(nóng)業(yè)研究土壤、肥料、日照時(shí)間等因素對某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響；不同化學(xué)藥劑對作物害蟲的殺蟲效果等，很多問題都可以使用方差分析方法去解決。第一節(jié)方差分析的意義第四章方差分析（analysisofvarianc8一、基本原理二、F測驗(yàn)

（一）F分布

（二）F測驗(yàn)的思想第四章方差分析第二節(jié)方差分析的基本原理和F測驗(yàn)一、基本原理第四章方差分析第二節(jié)方差分析的基本原理9一、基本原理：看以下試驗(yàn)結(jié)果：有K個(gè)果樹品種的品種對比試驗(yàn)，每個(gè)品種隨機(jī)抽取n株調(diào)查單株產(chǎn)量，得到如下數(shù)據(jù)表品種單株及產(chǎn)量123……K（i=1…K）123…nTiX11X12X13…X1nX21X22X23…X2nX31X32X33…X3n……XK1XK2XK3…XKnT1T2T3……TK……一、基本原理：品種123……K（i=1…K10…上表中X11、X12…XKn是kn個(gè)變異的數(shù)值，即處理平方和SSt=

與總平均數(shù)用品種的平均數(shù)品種不同引起的變異，就是處理變異，可能的原因有二：一是品種不同；

總變異SST是由哪些原因?qū)е碌淖儺惤M成？其變異用離均差平方和表示即總變異SST=之差的平方和乘以n表示二是試驗(yàn)誤差?！媳碇蠿11、X12…XKn是kn個(gè)變異的數(shù)值，即處理平11…試驗(yàn)誤差引起的變異是指處理因素以外的其它偶然因素引起的變異如土壤肥力、觀察測定差異等用誤差平方和SSe來表示當(dāng)然是試驗(yàn)誤差。是品種內(nèi)觀測值與該品種平均值之差，…試驗(yàn)誤差引起的變異當(dāng)然是試驗(yàn)誤差。是品種內(nèi)觀測值與該品種12于是，在這個(gè)試驗(yàn)中，有如下關(guān)系：總變異平方和

…處理間變異SSt=誤差變異SSe=列成下面的表于是，在這個(gè)試驗(yàn)中，有如下關(guān)系：…處理間變異SSt=誤差變異13一、自由度和平方和的分解設(shè)有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個(gè)觀察值，則該資料共有nk個(gè)觀察值，其數(shù)據(jù)分組如表6.1。表6.1

每組具n個(gè)觀察值的k組數(shù)據(jù)的符號表組別觀察值(yij，i=1，2，…，k；j=1,2…，n)總和平均均方1y11y12…y1j…y1nT12y21y22…y2j…y2nT2……iyi1yi2…yij…yinTi……kyk1yk2…ykj…yknTk一、自由度和平方和的分解設(shè)有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個(gè)觀14在表6.1中，總變異是nk個(gè)觀察值的變異，故其自由度v=nk－1，而其平方和SST則為：（6·1）其中的C稱為矯正數(shù)：(6·2)對于第

i

組的變異，有在表6.1中，總變異是nk個(gè)觀察值的變異，故其15從而總變異(6·1)可以剖分為:（6·3）即總平方和=組內(nèi)(誤差)平方和+處理平方和組間變異由k個(gè)的變異引起，故其自由度v

=k－1,組間平方和SSt為：組內(nèi)變異為各組內(nèi)觀察值與組平均數(shù)的變異，故每組具有自由度v=n－1和平方和；而資料共有k組，故組內(nèi)自由度

v

=k(n－1),組內(nèi)平方和SSe為：

(6·5)（6·4）從而總變異(6·1)可以剖分為:（6·3）即16因此，得到表6.1類型資料的自由度分解式為：(6·6)總自由度DFT=組間自由度DFt+組內(nèi)自由度DFe

求得各變異來源的自由度和平方和后，進(jìn)而可得:(6·7)因此，得到表6.1類型資料的自由度分解式為：(6·6)總17…MSe作分母去除MSt，商數(shù)用F表示，即F=MSt/MSeMSt可能有兩種情況：其一處理間產(chǎn)量有顯著差異

MSt=處理效應(yīng)方差（MSt’）+誤差方差（MSe）；其二處理間產(chǎn)量無顯著差異

MSt是誤差方差MSe的估計(jì)值MSt=MSe

前一種情況下，后一種情況下，∴可以根據(jù)F的大小來判斷處理間有無顯著差異。

F接近于1，處理間無顯著差異；

F>>1，處理間有顯著差異。F接近于1。1+較大的數(shù)即

F>>1;…MSe作分母去除MSt，商數(shù)用F表示，即F=MSt/MS18方差分析的基本思路方差分析的基本思路：（1）把全部數(shù)據(jù)看成從

同一

總體抽出的幾組樣本，求出總變異,即SST=

（2）將總變異根據(jù)可能引起變異的原因分解成由各原因引起的變異平方和與自由度，得到各原因引起的方差；（3）將各項(xiàng)方差與誤差方差相除得到F值；（4）若F>>1，推斷處理間有顯著差異，接著做多重比較；（5）若F接近于1，推斷處理間無顯著差異，分析結(jié)束。。方差分析的基本思路方差分析的基本思路：。19基本思路圖示：

（1）若F<Fα，處理間無顯著差異（2）若F>Fα，處理間有顯著差異全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)總變異SST處理間變異SSt誤差變異SSe相除得F相除得MSt處理自由度dftF與Fα相比結(jié)論總自由度dfT相除得MSe結(jié)束誤差自由度dfe判斷多重比較基本思路圖示：20

[例6.1]以A、B、C、D4種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每處理各得4個(gè)苗高觀察值(cm)，其結(jié)果如表6.2，試分解其自由度和平方和。表6.2

水稻不同藥劑處理的苗高(cm)藥劑苗高觀察值總和Ti

平均A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T=336

=21

根據(jù)(6·6)進(jìn)行總自由度的剖分：

總變異自由度DFT=(nk－1)=(44)－1=15

藥劑間自由度DFt=(k－1)=4－1=3

藥劑內(nèi)自由度DFe=k(n－1)=4(4－1)=12[例6.1]以A、B、C、D4種藥劑處理21根據(jù)(6·3)進(jìn)行總平方和的剖分：或根據(jù)(6·3)進(jìn)行總平方和的剖分：或22或藥劑A內(nèi)：

藥劑B內(nèi)：藥劑C內(nèi)：藥劑D內(nèi)：所以進(jìn)而可得均方：或藥劑A內(nèi)：所以進(jìn)而可得均方：23二、F測驗(yàn)

前面說F>>1，則判斷處理間有顯著差異?？墒蔷烤勾蟮绞裁闯潭炔拍芘袛嘤酗@著差異的呢？要F>Fα，才判斷處理有顯著差異。通過F與Fα相比較來測驗(yàn)處理間差異是否顯著的方法叫F測驗(yàn)。由上已知方差比的分布規(guī)律如何？我們下面進(jìn)行討論。，是方差比。二、F測驗(yàn)前面說F>>1，則判斷處理間有顯著差異。，是24（一）F分布：(1)F∝（0，+∞）(2)μF=1(3)分布向左偏斜……F分布df1=1df2=2繼續(xù)以1和2為自由度成對地抽取樣本，見圖：將二者相除，此“比”用F表示，即求得它們的均方為和按自由度df1=

1,df2=

2抽取兩個(gè)樣本μσ2在N（μ，）總體中，（一）F分布：(1)F∝（0，+∞）(2)μF=1(3)分布25…樣本不同F(xiàn)值不同構(gòu)成F分布。F連續(xù)型隨機(jī)變量F分布的概率密度函數(shù)1和2

分別為分布只與1和

2有關(guān)，即以1和2為參數(shù)如

1和

2確定，則曲線就定了，而與原總體參數(shù)無關(guān)。1和2不同，就得到不同的曲線。的自由度，F(xiàn)為自變量。和…樣本不同F(xiàn)值不同構(gòu)成F分布。26F分布曲線特征：（1）具有平均數(shù)=1（2）取值區(qū)間為[0，∞]；（3）某一特定曲線的形狀則僅決定于參數(shù)v1和v2。在v1=1或v1=2時(shí)，F(xiàn)分布曲線是嚴(yán)重傾斜成反向J型；當(dāng)v1≥3時(shí)，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)(圖6.1)。圖6.1F分布曲線（隨v1和v2的不同而不同）F分布曲線特征：當(dāng)v1≥3時(shí)，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)(圖6.1)。圖27…對于任何F分布，可以用積分的方法求區(qū)間內(nèi)的概率：P(F<Fi)=F(Fi)=P(F<Fi)即陰影部分的概率，外面部分的概率為P(Fi

，+∞)=1-P(F<Fi)。如圖。應(yīng)用上式求出各種自由度下F曲線不同概率相應(yīng)的F值，制成F表。請看附表：5%與1%顯著點(diǎn)的F值表。F值表結(jié)構(gòu)第一橫行大均方自由度=分子自由度=(處理自由度)第一縱列小均方自由度=分母自由度=(誤差自由度)表中F的臨界值:上行是F0.05;下行是F0.01

，…對于任何F分布，可以用積分的方法求區(qū)間內(nèi)的概率：，28…查df1=8、df2=20的Fα值，見下圖。F0.05=2.45F0.01=3.56，含義

F=2.45是一個(gè)分界點(diǎn)此點(diǎn)以外曲線與橫軸所夾部分（陰影部分）概率為5%，此點(diǎn)以內(nèi)概率為95%。所以F0.05=2.45是曲線上顯著水準(zhǔn)α=0.05的臨界值。圖4-2F0.05顯著水準(zhǔn)示意圖…查df1=8、df2=20的Fα值，見下圖。圖429（二）F測驗(yàn)的思想：

df1=1,df2=2F衍生總體總體μδ2符合df1=1,df2=2的F分布……（二）F測驗(yàn)的思想：F衍生總體總體μ符合df1=1,30…從同一個(gè)總體中按1、2

抽出的一對樣本方差比值F有95%可能落在0—F0.05間只有5%的可能落在0—F0.05外，是小概率事件。待測樣本是來自同一總體嗎？依小概率原理否認(rèn)樣本來自同一總體

處理間有顯著差異計(jì)算F值，與F0.05相比→F<F0.05肯定樣本來自同一總體

處理間無顯著差異所以，實(shí)測中，先設(shè)來自同一總體，即Ho，F(xiàn)>F0.05→，再與Fα相比。求出…從同一個(gè)總體中按1、2抽出的一對樣本依小概率原理31方差分析的基本原理和F測驗(yàn)課件32F測驗(yàn)需具備條件：(1)變數(shù)y遵循正態(tài)分布N(，)，(2)s12和s22彼此獨(dú)立。

另外，在F測驗(yàn)中，如果作分子的均方小于作分母的均方，則F<1；此時(shí)不必查F表即可確定P>0.05，應(yīng)接受H0。F測驗(yàn)需具備條件：另外，在F測驗(yàn)中，如果作分33

[例6.2]測定東方紅3號小麥的蛋白質(zhì)含量10次，得均方s12=1.621；測定農(nóng)大139小麥的蛋白質(zhì)含量5次，得均方s22=0.135。試測驗(yàn)東方紅3號小麥蛋白質(zhì)含量的變異是否比農(nóng)大139為大。假設(shè)H0：東方紅小麥總體蛋白質(zhì)含量的變異和農(nóng)大139一樣，即

，對

。顯著水平=0.05，v1=9，v2=4時(shí)，F(xiàn)0.05=6.00。測驗(yàn)計(jì)算:F=1.621/0.135=12.01此F>F0.05，即P<0.05。推斷：否定H0，接受HA，即東方紅3號小麥蛋白質(zhì)含量的變異大于農(nóng)大139。[例6.2]測定東方紅3號小麥的蛋白質(zhì)含量134

[例6.3]在例6.1算得藥劑間均方st2=168.00，藥劑內(nèi)均方se2=8.17，具自由度v1=3，v2=12。試測驗(yàn)藥劑間變異是否顯著大于藥劑內(nèi)變異？假設(shè)

對

顯著水平=0.05，

F0.05=3.49。測驗(yàn)計(jì)算：F=168.00/8.17=20.56

查附表5

v1

=3，v2=12時(shí)

F0.05

=3.49，F(xiàn)0.01=5.95，實(shí)得F>F0.01>F0.05

。推斷：否定

，接受

；即藥劑間變異顯著地大于藥劑內(nèi)變異，不同藥劑對水稻苗高是具有不同效應(yīng)的。[例6.3]在例6.1算得藥劑間均方st35例6.1和例6.3的分析結(jié)果可以歸納在一起，列出方差分析表，如表6.3所示。表6.3

水稻藥劑處理苗高方差分析表變異來源DFSSMSF顯著F值藥劑處理間

3504168.0020.56＊＊F

0.05(3,12)=3.49

藥劑處理內(nèi)(誤差)12

98

8.17F

0.01(3,12)=5.95總15602例6.1和例6.3的分析結(jié)果可以歸納在一起，36

1、檢驗(yàn)過程煩瑣例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)；若有k個(gè)處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗(yàn)。1、檢驗(yàn)過程煩瑣37

2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低對同一試驗(yàn)的多個(gè)處理進(jìn)行比較時(shí)，應(yīng)該有一個(gè)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差的估計(jì)值。若用t檢驗(yàn)法作兩兩比較，由于每次比較需計(jì)算一個(gè)，故使得各次比較誤差的估計(jì)不統(tǒng)一，同時(shí)沒有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計(jì)的精確性降低，從而降低檢驗(yàn)的靈敏性。2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈38例如，試驗(yàn)有5個(gè)處理，每個(gè)處理重復(fù)6次，共有30個(gè)觀測值。進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，每次只能利用兩個(gè)處理共12個(gè)觀測值估計(jì)試驗(yàn)誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用整個(gè)試驗(yàn)的30個(gè)觀測值估計(jì)試驗(yàn)誤差，顯然估計(jì)的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25。可見，在用t檢法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，由于估計(jì)誤差的精確性低，誤差自由度小，使檢驗(yàn)的靈敏性降低，容易掩蓋差異的顯著性。例如，試驗(yàn)有5個(gè)處理，每個(gè)處理重復(fù)6次，共39

3、推斷的可靠性低即使利用資料所提供的全部信息估計(jì)了試驗(yàn)誤差，若用t檢驗(yàn)法進(jìn)行多個(gè)處理平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，由于沒有考慮相互比較的兩個(gè)平均數(shù)會(huì)增大犯I型錯(cuò)誤的概率，降低推斷的可靠性。由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。方差分析(analysisofvariance,ANOVA)是由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。3、推斷的可靠性低40這種方法是將k個(gè)處理的觀測值作為一個(gè)整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源總體方差估計(jì)值；通過計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。方差是平方和除以自由度的商。

“

方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技術(shù)”，方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。這種方法是將k個(gè)處理的觀測值作為一個(gè)整體看待，41第四章方差分析（analysisofvariance,ＡＮＯＶＡ）

方差分析是用于兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)試驗(yàn)所得的兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)是否來自相同總體。它將總變異剖分為各個(gè)變異來源的相應(yīng)部分，從而發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對重要程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。第二節(jié)方差分析的基本原理第四章方差分析（analysisofvarianc42第四章方差分析（analysisofvariance,ＡＮＯＶＡ）由于各種因素的影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動(dòng)狀，造成波動(dòng)的原因可分成兩類，一是不可控的隨機(jī)因素，另一是研究中施加的對結(jié)果形成影響的可控因素。

方差分析的基本思想是：將全部觀察著的總變異按影響試驗(yàn)結(jié)果的諸因素分解為若干部分變異，構(gòu)造出反映各部分變異作用的統(tǒng)計(jì)量，之后構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F，實(shí)現(xiàn)對總體均屬的推斷。也就是通過分析研究不同來源的變異對總變異的貢獻(xiàn)大小，從而確定可控因素對研究結(jié)果影響力的大小。第一節(jié)方差分析的意義第四章方差分析由于各種因素的影響，研究所得的數(shù)43第四章方差分析（analysisofvariance,ＡＮＯＶＡ）

方差分析主要用途：①均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)，②分離各有關(guān)因素并估計(jì)其對總變異的作用，③分析因素間的交互作用，④方差齊性檢驗(yàn)。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中常常要探討不同實(shí)驗(yàn)條件或處理方法對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。通常是比較不同實(shí)驗(yàn)條件下樣本均值間的差異。例如農(nóng)業(yè)研究土壤、肥料、日照時(shí)間等因素對某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響；不同化學(xué)藥劑對作物害蟲的殺蟲效果等，很多問題都可以使用方差分析方法去解決。第一節(jié)方差分析的意義第四章方差分析（analysisofvarianc44一、基本原理二、F測驗(yàn)

（一）F分布

（二）F測驗(yàn)的思想第四章方差分析第二節(jié)方差分析的基本原理和F測驗(yàn)一、基本原理第四章方差分析第二節(jié)方差分析的基本原理45一、基本原理：看以下試驗(yàn)結(jié)果：有K個(gè)果樹品種的品種對比試驗(yàn)，每個(gè)品種隨機(jī)抽取n株調(diào)查單株產(chǎn)量，得到如下數(shù)據(jù)表品種單株及產(chǎn)量123……K（i=1…K）123…nTiX11X12X13…X1nX21X22X23…X2nX31X32X33…X3n……XK1XK2XK3…XKnT1T2T3……TK……一、基本原理：品種123……K（i=1…K46…上表中X11、X12…XKn是kn個(gè)變異的數(shù)值，即處理平方和SSt=

與總平均數(shù)用品種的平均數(shù)品種不同引起的變異，就是處理變異，可能的原因有二：一是品種不同；

總變異SST是由哪些原因?qū)е碌淖儺惤M成？其變異用離均差平方和表示即總變異SST=之差的平方和乘以n表示二是試驗(yàn)誤差。…上表中X11、X12…XKn是kn個(gè)變異的數(shù)值，即處理平47…試驗(yàn)誤差引起的變異是指處理因素以外的其它偶然因素引起的變異如土壤肥力、觀察測定差異等用誤差平方和SSe來表示當(dāng)然是試驗(yàn)誤差。是品種內(nèi)觀測值與該品種平均值之差，…試驗(yàn)誤差引起的變異當(dāng)然是試驗(yàn)誤差。是品種內(nèi)觀測值與該品種48于是，在這個(gè)試驗(yàn)中，有如下關(guān)系：總變異平方和

…處理間變異SSt=誤差變異SSe=列成下面的表于是，在這個(gè)試驗(yàn)中，有如下關(guān)系：…處理間變異SSt=誤差變異49一、自由度和平方和的分解設(shè)有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個(gè)觀察值，則該資料共有nk個(gè)觀察值，其數(shù)據(jù)分組如表6.1。表6.1

每組具n個(gè)觀察值的k組數(shù)據(jù)的符號表組別觀察值(yij，i=1，2，…，k；j=1,2…，n)總和平均均方1y11y12…y1j…y1nT12y21y22…y2j…y2nT2……iyi1yi2…yij…yinTi……kyk1yk2…ykj…yknTk一、自由度和平方和的分解設(shè)有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個(gè)觀50在表6.1中，總變異是nk個(gè)觀察值的變異，故其自由度v=nk－1，而其平方和SST則為：（6·1）其中的C稱為矯正數(shù)：(6·2)對于第

i

組的變異，有在表6.1中，總變異是nk個(gè)觀察值的變異，故其51從而總變異(6·1)可以剖分為:（6·3）即總平方和=組內(nèi)(誤差)平方和+處理平方和組間變異由k個(gè)的變異引起，故其自由度v

=k－1,組間平方和SSt為：組內(nèi)變異為各組內(nèi)觀察值與組平均數(shù)的變異，故每組具有自由度v=n－1和平方和；而資料共有k組，故組內(nèi)自由度

v

=k(n－1),組內(nèi)平方和SSe為：

(6·5)（6·4）從而總變異(6·1)可以剖分為:（6·3）即52因此，得到表6.1類型資料的自由度分解式為：(6·6)總自由度DFT=組間自由度DFt+組內(nèi)自由度DFe

求得各變異來源的自由度和平方和后，進(jìn)而可得:(6·7)因此，得到表6.1類型資料的自由度分解式為：(6·6)總53…MSe作分母去除MSt，商數(shù)用F表示，即F=MSt/MSeMSt可能有兩種情況：其一處理間產(chǎn)量有顯著差異

MSt=處理效應(yīng)方差（MSt’）+誤差方差（MSe）；其二處理間產(chǎn)量無顯著差異

MSt是誤差方差MSe的估計(jì)值MSt=MSe

前一種情況下，后一種情況下，∴可以根據(jù)F的大小來判斷處理間有無顯著差異。

F接近于1，處理間無顯著差異；

F>>1，處理間有顯著差異。F接近于1。1+較大的數(shù)即

F>>1;…MSe作分母去除MSt，商數(shù)用F表示，即F=MSt/MS54方差分析的基本思路方差分析的基本思路：（1）把全部數(shù)據(jù)看成從

同一

總體抽出的幾組樣本，求出總變異,即SST=

（2）將總變異根據(jù)可能引起變異的原因分解成由各原因引起的變異平方和與自由度，得到各原因引起的方差；（3）將各項(xiàng)方差與誤差方差相除得到F值；（4）若F>>1，推斷處理間有顯著差異，接著做多重比較；（5）若F接近于1，推斷處理間無顯著差異，分析結(jié)束。。方差分析的基本思路方差分析的基本思路：。55基本思路圖示：

（1）若F<Fα，處理間無顯著差異（2）若F>Fα，處理間有顯著差異全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)總變異SST處理間變異SSt誤差變異SSe相除得F相除得MSt處理自由度dftF與Fα相比結(jié)論總自由度dfT相除得MSe結(jié)束誤差自由度dfe判斷多重比較基本思路圖示：56

[例6.1]以A、B、C、D4種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每處理各得4個(gè)苗高觀察值(cm)，其結(jié)果如表6.2，試分解其自由度和平方和。表6.2

水稻不同藥劑處理的苗高(cm)藥劑苗高觀察值總和Ti

平均A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T=336

=21

根據(jù)(6·6)進(jìn)行總自由度的剖分：

總變異自由度DFT=(nk－1)=(44)－1=15

藥劑間自由度DFt=(k－1)=4－1=3

藥劑內(nèi)自由度DFe=k(n－1)=4(4－1)=12[例6.1]以A、B、C、D4種藥劑處理57根據(jù)(6·3)進(jìn)行總平方和的剖分：或根據(jù)(6·3)進(jìn)行總平方和的剖分：或58或藥劑A內(nèi)：

藥劑B內(nèi)：藥劑C內(nèi)：藥劑D內(nèi)：所以進(jìn)而可得均方：或藥劑A內(nèi)：所以進(jìn)而可得均方：59二、F測驗(yàn)

前面說F>>1，則判斷處理間有顯著差異?？墒蔷烤勾蟮绞裁闯潭炔拍芘袛嘤酗@著差異的呢？要F>Fα，才判斷處理有顯著差異。通過F與Fα相比較來測驗(yàn)處理間差異是否顯著的方法叫F測驗(yàn)。由上已知方差比的分布規(guī)律如何？我們下面進(jìn)行討論。，是方差比。二、F測驗(yàn)前面說F>>1，則判斷處理間有顯著差異。，是60（一）F分布：(1)F∝（0，+∞）(2)μF=1(3)分布向左偏斜……F分布df1=1df2=2繼續(xù)以1和2為自由度成對地抽取樣本，見圖：將二者相除，此“比”用F表示，即求得它們的均方為和按自由度df1=

1,df2=

2抽取兩個(gè)樣本μσ2在N（μ，）總體中，（一）F分布：(1)F∝（0，+∞）(2)μF=1(3)分布61…樣本不同F(xiàn)值不同構(gòu)成F分布。F連續(xù)型隨機(jī)變量F分布的概率密度函數(shù)1和2

分別為分布只與1和

2有關(guān)，即以1和2為參數(shù)如

1和

2確定，則曲線就定了，而與原總體參數(shù)無關(guān)。1和2不同，就得到不同的曲線。的自由度，F(xiàn)為自變量。和…樣本不同F(xiàn)值不同構(gòu)成F分布。62F分布曲線特征：（1）具有平均數(shù)=1（2）取值區(qū)間為[0，∞]；（3）某一特定曲線的形狀則僅決定于參數(shù)v1和v2。在v1=1或v1=2時(shí)，F(xiàn)分布曲線是嚴(yán)重傾斜成反向J型；當(dāng)v1≥3時(shí)，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)(圖6.1)。圖6.1F分布曲線（隨v1和v2的不同而不同）F分布曲線特征：當(dāng)v1≥3時(shí)，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)(圖6.1)。圖63…對于任何F分布，可以用積分的方法求區(qū)間內(nèi)的概率：P(F<Fi)=F(Fi)=P(F<Fi)即陰影部分的概率，外面部分的概率為P(Fi

，+∞)=1-P(F<Fi)。如圖。應(yīng)用上式求出各種自由度下F曲線不同概率相應(yīng)的F值，制成F表。請看附表：5%與1%顯著點(diǎn)的F值表。F值表結(jié)構(gòu)第一橫行大均方自由度=分子自由度=(處理自由度)第一縱列小均方自由度=分母自由度=(誤差自由度)表中F的臨界值:上行是F0.05;下行是F0.01

，…對于任何F分布，可以用積分的方法求區(qū)間內(nèi)的概率：，64…查df1=8、df2=20的Fα值，見下圖。F0.05=2.45F0.01=3.56，含義

F=2.45是一個(gè)分界點(diǎn)此點(diǎn)以外曲線與橫軸所夾部分（陰影部分）概率為5%，此點(diǎn)以內(nèi)概率為95%。所以F0.05=2.45是曲線上顯著水準(zhǔn)α=0.05的臨界值。圖4-2F0.05顯著水