微積分試卷及規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案6套

微積分試題(A卷).填空題(每空2分，共20分).已知limf(x)=A，則對于Vs>0，總存在b>0，使得當(dāng)xt1+時(shí)，恒有I/(x)—A|<￡oTOC\o"1-5"\h\z.已知lima2+b+5=2，則a=,bn-g3n-2=oa-B.若當(dāng)x-x0時(shí)，嶼。是等價(jià)無窮小量，則lim=。x—x0P.若f(x)在點(diǎn)x=a處連續(xù)，則limf(x)=。x—a.f(x)=ln(arcsinx)的連續(xù)區(qū)間是。.設(shè)函數(shù)丫=/(x)在xo點(diǎn)可導(dǎo)，則limf(x0+3h)-f(xJ=oh—0h.曲線y=X2+2X-5上點(diǎn)M處的切線斜率為6，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為。.d(Jxf'(x)dx)-。.設(shè)總收益函數(shù)和總成本函數(shù)分別為R-24Q-2Q2,C=Q2+5，則當(dāng)利潤最大時(shí)產(chǎn)量Q是。.單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共18分).若數(shù)列｛4｝在2的鄰域(a-尸+)內(nèi)有無窮多個(gè)點(diǎn)，則()o(A)數(shù)列儀「必有極限，但不一定等于a(B)數(shù)列｛乂3極限存在，且一定等于a

(D)數(shù)列&｝的極限(C)數(shù)列｛xn｝(D)數(shù)列&｝的極限一定不存在TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)f(x)=arctg則x=1為函數(shù)f(x)的()。x一1(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(C)無窮型間斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)3.lim(1+—)3x-i=()。X.8x(A)1(B)8(C)e2(D)e3.對需求函數(shù)Q=e-p，需求價(jià)格彈性Ed=-P。當(dāng)價(jià)格p=()時(shí)，需求量減少的幅度小于價(jià)格提高的幅度。(A)3(A)3(B)5(C)6(D)10.假設(shè)limf(x)=0，limg(x)=0if(x)，g'(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)(x0可以除外)存x.x0x.x0在，又a是常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()。(A)若limf-(x)-二a或8，則limf(xL=a或8x.x0g(x)x-x0gf(x)(B)若lim于(x)二a或8，則limf(x)=a或8x.x0g'(x)x-x0g(x)(C)若limf(l不存在，則limf(-)不存在x.x0g'(x)x-x0g(x)(D)以上都不對.曲線f(x)=x3+ax2+bx+a2的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)是((A)0(B)1(A)0(B)1(C)2(D)37.曲線7.曲線y=4%T((X-2)2)。(A)只有水平漸近線；(A)只有水平漸近線；(B)只有垂直漸近線；(C)沒有漸近線；又有垂直漸近線.假設(shè)f(%)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如右圖所示，則f(%)具有((A)兩個(gè)極大值一個(gè)極小值(B)兩個(gè)極小值一個(gè)極大值(C)兩個(gè)極大值兩個(gè)極小值(D)三個(gè)極大值一個(gè)極小值.若/兇的導(dǎo)函數(shù)是1-2,則/(x)有一個(gè)原函數(shù)為()。(A)ln%;(B)Tn%;(C)-X-1；(D)-%-3三．計(jì)算題(共36分).求極限lim"+%一％(6分)%f0%%f+8sin2%,%?設(shè)%f+8sin2%,%?設(shè)f(%)=1a%sin-+b%<0%=0，求a，b的值，使f(%)在(-8,+8)上連續(xù)。(6分)%>0〔%．設(shè)e%+y=%y+1,求y'及y'(6分)%=0?求不定積分J%e-2%d%(6分).求不定積分1％4一x2dx.(6分)四.利用導(dǎo)數(shù)知識列表分析函數(shù)y=-1-的幾何性質(zhì)，求漸近線，并作圖。(14分)1一x2五.設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0,f(J」，試證：⑴至少存在一點(diǎn)q^^D，使f&)=己；(2)至少存在一點(diǎn)”在0,q)，使f'm)=1；(3)對任意實(shí)數(shù)九，必存在x0G(0,q)，使得f(x0)-入［f(x0)-x0］=1。(12分)微積分試題(B卷)一.填空題(每空3分,共18分)Jbf，Q+b)dx=a，e-2xdx二0關(guān)于級數(shù)有如下結(jié)論：①若級數(shù)￡u,豐0)收斂，則不—發(fā)散.nnun=1n=1n②若級數(shù)￡uQ中0)發(fā)散，則￡1-收斂.nnun=1n=n=1③若級數(shù)￡un=1和￡V都發(fā)散，則￡(u+V)必發(fā)散.nnnn=③若級數(shù)￡un=1和￡V都發(fā)散，則￡(u+V)必發(fā)散.nnnn=1n=1④若級數(shù)￡u收斂，￡V發(fā)散，則￡（u土V）必發(fā)散.nnnnn=1n=1n=1⑤級數(shù)￡kunn=1（k為任意常數(shù)）與級數(shù)￡u的斂散性相同.

nn=1寫出正確結(jié)論的序號..設(shè)二元函數(shù)z=%—+y+（%+i）inG+y），則dz=.（1,0）.若D是由x軸、y軸及2X+y-2=0圍成的區(qū)域，則JJd%dy=.D.微分方程%y'+y=0滿足初始條件y（1）=3的特解是.二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分,共24分）.設(shè)函數(shù)f(%)=J%(t-1)(t+2)dt,則f(%)在區(qū)間［-3,2］上的最大值為(0）.2(A)-2311.設(shè)I=JJcos%2+D103(C)1(D)4y2dO,I=JJcos(%2+y2)dO,I2D=JJcos(%2+y2)2doD，其中d={(%,y)%2+y241},則有(）.(A)I>I>I(B)I>I>I123321I>I>I(D)I>I>I213312.設(shè)u>0,n=123?，若￡u發(fā)散，￡（-1）n-1u收斂，則下列結(jié)論正確的是（）.nnnn=1n=1￡u￡u2,-收斂，￡u2,發(fā)散￡u收斂，￡u發(fā)散

2n2n-1n=1n=n=1n=1n=1n=1(C)￡(u+(C)￡(u+u)收斂2n-12nn=1(D)￡(u2n-1i2n)收斂n=1.函數(shù)f(%,y)在點(diǎn)P(%,y)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是f(%,y)在該點(diǎn)可微的()條件.(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充分必要(D)既非充分又非必要.下列微分方程中，不．屬．于．一階線性微分方程的為().%cosln%(A)%y-y=(B)%yln%+y=3%(In%+1)，ln%(C)(2y-%)y'-y=2%(D)(%2-1)y-%y+2=0TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)級數(shù)￡a絕對收斂，則級數(shù)￡(1+1)na().nnnn=1n=1(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)不能判定斂散性散.設(shè)F(%)=J%+2Kesintsintdt，則F(x)().%(A)為正常數(shù)(B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零(D)不為常數(shù)dudududu_.設(shè)u=f(%-y,y-z,t-z)，則一+一+一+一=().d.%dydzdt(A)2f(B)2f(C)2/(D)0123四.計(jì)算下列各題(共52分)K_-.J2x,cos%-cos3%d%(5分).2.求曲線y=%2-2%，y=0，%=1，%=3所圍成的平面圖形的面積.(6分).已知二重積分JJX2do，其中口由y=1—匚江，X=1以及y=0圍成.D(工)請畫出D的圖形，并在極坐標(biāo)系下將二重積分化為累次積分；(3分)(口)請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系下分別用兩種積分次序?qū)⒍胤e分化為二次積分；(4分)(印)選擇一種積分次序計(jì)算出二重積分的值.(4分).設(shè)函數(shù)u=fQ,y,1有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=^(x,y)是由方程xez—yey=*所確定的二元函數(shù)，求包,包及du.(8分)d.xdy.求冪級數(shù)Y(—1)〃X2n的收斂域及和函數(shù)S(x).(8分)2nn=1.求二元函數(shù)f(x,y)=(x2+y)e2y的極值.(8分).求微分方程y〃+2y'二e-—x的通解，及滿足初始條件f(0)=1,f"(0)=0的特解.(6分)五.假設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)<0,記1x—aF(x)=——JXf(t)dt，證明在(a,b)內(nèi)F'(x)<0.(6x—a微積分試卷(C)填空題(每空2分,共20分).數(shù)列｛x｝有界是數(shù)列｛X｝收斂的條件。nn.若y=sinx2,則dy=。.函數(shù)y=—，x=0是第類間斷點(diǎn)，且為tanx間斷點(diǎn)。.若lima^b=3，則a=，b=。XfX—1.在積分曲線族J2xdx中，過點(diǎn)(0，1)的曲線方程.函數(shù)f(x)=x在區(qū)間［-1,1］上羅爾定理不成立的原因.已知F(x)=Jxe-tdt，則F'(x)=。0P.某商品的需求函數(shù)為Q=12--,則當(dāng)p=6時(shí)的需求價(jià)格彈性為EQEP單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共12分))。(B)0(C).若lim—=3，則lim___=(x—x0Px—x0)。(B)0(C)(A)-2

2(D)232.在2.在％=1處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)是()。y=xy=x-1y=x-1y=ln(x2-1))。(D))。(D)有最大值，但無(D)y=(x-1)23.在區(qū)間(-1,1)內(nèi)，關(guān)于函數(shù)/(x)=-x2不正確的敘述為((A)(B)有界(C)有最大值，且有最小值最小值4.當(dāng)x-0時(shí)，sin2x是關(guān)于乂的()。(A)同階無窮小(B)低階無窮小(C)高階無窮小(D)等價(jià)無窮小5.曲線y=x5.曲線y=x+x3在區(qū)間()內(nèi)是凹弧。(-8,0)(0,+8)(-8,+8)(D)以上都不對6.函數(shù)ex與6.函數(shù)ex與"滿足關(guān)系式()。ex<exex>exex>ex(D)ex<ex三．計(jì)算題(每小題7分,共42分).求極限lim.求極限limxf0x(ex-1)1-cosx一、單項(xiàng)選擇題一、單項(xiàng)選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分)：五五.證明題（每小題6分,共12分）x.求極限hm2n?sm—(x為不等于0的常數(shù))。TOC\o"1-5"\h\znT82n一.(1+Q2x.求極限liml——。X.81X/.已知y=1+x”,求yy及可。X=0X=0.求不定積分Jsin!Xdx。x.求不定積分Jxln(x+1)dx。x+1四.已知函數(shù)y=三，填表并描繪函數(shù)圖形。（14分）定義域y'二y〃=單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間極值點(diǎn)極值凹區(qū)間凸區(qū)間拐點(diǎn)漸近線圖形：.設(shè)偶函數(shù)f(x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且f〃(x)中0。證明：x=0為f(x)的極值點(diǎn)。.就k的不同取值情況，確定方程x-^sinx=k在開區(qū)間(0,1)內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你22的結(jié)論?！段⒎e分》試卷(D卷)1.函數(shù)f（x，y）在Q,y）=Q0,y0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該處可微的（）條件。A.充分；B.必要；C.充分必要；D.無關(guān)的．.函數(shù)z=ln(3+y3)在(1,1)處的全微分A.充分；B.必要；C.充分必要；D.無關(guān)的．.函數(shù)z=ln(3+y3)在(1,1)處的全微分dz=()。A.dx+dy；B.2(dx+dy)；C.3(dx+dy)；D.3Qx+dy).2.設(shè)D為：x2+y2<R2二重積分的值JJxx2+y2dxdy=(）。D.J兀R44微分方程y〃-4y'-5y=e-x+sinx的特解形式為（）。Aae-x+bsinx；ae-x+bcosx+csinx；Caxe-x+bsinx；axe-x+bcosx+csinx.5.下列級數(shù)中收斂的是（）。A,￡上匕；

n

n=1B.￡2n+1n=1C.三21；n2n=1D．￡-i"sm—nn=1二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）：1x2arcsinx.J1——dx=-1\：1—x2）處取得最大值。.f(x)=Jx(t+1)(t-2)山，則在區(qū)間［-2,3］上f(x)在x=(-1）處取得最大值。.已知函數(shù)z=xy（x>0）,則生d.xd.zdy4微分方程y'=4x3y在初始條件y=4下的特解是：y=x=0.冪級數(shù)￡：”xn-1的收斂半徑是：R=10nn=1三、計(jì)算下列各題（本題共5小題，每小題8分，共40分）：.已知工=f(x-y用)，其畫具有二介連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求急.已知X=ln三，求生，生。zySx81y.改換二次積分J2dxj2siny2dy的積分次序并且計(jì)算該積分。0x.求微分方程y〃-4y'+3y=0在初始條件y=6,y，=10下的特解。x=0xx=0.曲線C的方程為J=f(x)點(diǎn)(3,2)是其一拐點(diǎn)直線/,l分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)12處的切線，其交點(diǎn)為(2,4)，設(shè)函數(shù)f(x)具有三階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算J3(x2+x)f〃'(x)dx。0四、求冪級數(shù)￡(-1)〃及的和函數(shù)s(x)及其極值(10分工2nn=1五、解下列應(yīng)用題(本題共2小題，每小題10分，共20分)：(、一a1.某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q(x,y)=100x4y4，其中x為勞動(dòng)力人數(shù)，y為設(shè)備臺數(shù)，該企業(yè)投入5000萬元生產(chǎn)該產(chǎn)品，設(shè)招聘一個(gè)勞動(dòng)力需要15萬元，購買一臺設(shè)備需要25萬元，問該企業(yè)應(yīng)招聘幾個(gè)勞動(dòng)力和購買幾臺設(shè)備時(shí)，使得產(chǎn)量達(dá)到最高？.已知某商品的需求量Q對價(jià)格P的彈性n=2P2，而市場對該商品的最大需求量為10000件，即Q（0）=10000,求需求函數(shù)Q（P）?！段⒎e分》試卷（E卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）.設(shè)函數(shù)f（1=卜2;X-1在X=1處可導(dǎo)，則（）[ax+b;x>1A.a=0,b=1B.a=2,b=-1C.a=3,b=-2D,a=-1,b=2.已知f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f（0）=0,lim_f3-=2，則在x=0處Xf01-cosxf（x）滿足（）A.不可導(dǎo)B.可導(dǎo)C.取極大值D.取極小值.若廣義積分J+s”丁收斂，則（）2x（lnx）kA.k>1B.k>1C.k<1D.k-1

limex+i=(X-—1A.0B產(chǎn)C.不存在口以上都不對5.當(dāng)5.當(dāng)x-0時(shí)，1一c0sx是關(guān)于x2的(A.同階無窮小.B.低階無窮小.).C.高階無窮小.D.等價(jià)無窮小.6.函數(shù)f6.函數(shù)f(x)具有下列特征：f(0)=1,f'(0)=0，當(dāng)x豐0時(shí)，八x)>0,f〃(x)<0,x<0>0,x>0則f(x)的圖形為()。(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)二、填空(每小題3分，共18分)sinx.limxx-8.J1<1-x2dx=-i

.已知八x0)存在,則limh-0.設(shè)y=ln(X+1)，那么y(n)(x)=.0et2dt=。dxx2?某商品的需求函數(shù)Q=75-P2,則在P=4時(shí)，需求價(jià)格彈性為nP=4ER收入對價(jià)格的彈性是竺EPP=4三、計(jì)算(前四小題每題5分，后四小題每題6共44分)1．limJXarctantdtXX2+1．limJXarctantdtXX2+12．2XlimX-83．JexInxdx14．jdxx(1+x6).求由Jyetdt+Jxcostdt=0所決定的隱函數(shù)y=y4)的導(dǎo)數(shù)電00dx.已知吧3是f(x)的原函數(shù)，求Jxf'(x)dx。x7?求由曲線y=x3與x=1,y=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

8?求曲線y=X2與直線y=kx+1所圍平面圖形的面積，問k為何時(shí)，該面積最??？x2四、(A類12分)列表分析函數(shù)y=函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并作出1+x函數(shù)圖形。解:(1)函數(shù)的定義域D:(f-1)■(-"，無對稱性;(2)y'=X2+2X=0,Bx=-2,x=0(1+X)212〃—(2X+2)(1+X)2-2(X2+2X)(1+x)_2yG+X)4(1+X)3(4)垂直漸近線：X=-(4)垂直漸近線：X=-1x(-8,-2)-2(-2,-1)(-1,0)0(0,+8)y'+00+y"+++y/,n極大值-4、,nF，Uy極小值0Z,u；斜漸近線⑸繪圖,描幾個(gè)點(diǎn)(-La,*2，421極小值f21極小值f(0)=0;拐點(diǎn)(1,ln2)(B類12分)列表分析函數(shù)y=ln(l+x2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并作出函數(shù)圖形。解：⑴函數(shù)定義域D：(-8,+8)，偶函數(shù)關(guān)于Y軸對稱;=-1,x=1〃2(1+x2)-2"2x2(1+x)(1—=-1,x=1y===0,1+x2為(1+x2)2

⑷該函數(shù)無漸近線；⑸繪圖，描幾個(gè)點(diǎn)：(0,0),(-1,ln2),(1,ln2)五、(B類8分)設(shè)f(x)連續(xù)，證明：Jxrf⑷該函數(shù)無漸近線；⑸繪圖，描幾個(gè)點(diǎn)：(0,0),(-1,ln2),(1,ln2)五、(B類8分)設(shè)f(x)連續(xù)，證明：JxrfufQ)dt]oLo」du-Jx(x-u)f(u)du0證明：令F(x)-JxJuf(t)dt00F(x)-Jxf(t)dt0G(x)-Jx(x-u)f(u)du只需證明F'(x)-G(x)(3分)0G(x)-xJxf(u)du-Jxuf(u)du)du+xf(x)-xf(x)-Jxf(u)du0所以F'(x)=G'(x)(8分)(A類8分)設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)在(a◎內(nèi)可導(dǎo)且f(x)<01F(x)Jxf(t)dt,xe(a,b)x-aa試證(1)F(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減(2)0<F(x)-f(x)<f(a)-f(b)證(1)F'(x)=(x-a)f(x)-fxf(t)dt己ea,x

f(x)~f()

x-aa(x-a)2(x-a)f(x-f()(x-a)(x-a)2由f'(x)<0知f(x)單調(diào)減，即在(a◎內(nèi)當(dāng)&<x時(shí)有f(x)<fg)又(x-a)>0可得F'(x)<0.即F(x)在(a力)內(nèi)單調(diào)減.1(2)F(x)-f(x)=——Ixf(t)dt-f(x)x-aa=====f(g-f(x)>0又由f(x)單調(diào)減知,f(a)>f《)〉f(x)>f(切于是有0<F(x)-f(x)<f(a)-f(b)《微積分》試卷（F卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1.設(shè)函數(shù)f（x）=]x2;x<1在x=1處可導(dǎo)，則（1.lax+b;x>12.A.a=0,b=1B.2.A.a=0,b=1B.a=2,b=-1當(dāng)xf0時(shí)，1-cosx是關(guān)于％2的（A.同階無窮小.B.低階無窮小.a=3,b=一2a=-1,b=2）.C.高