人教新課標(biāo)萬(wàn)有引力理論的成就精講精練 省賽獲獎(jiǎng)

庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、重力與萬(wàn)有引力重力是萬(wàn)有引力產(chǎn)生的.由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要向心力.重力實(shí)際上是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，另一個(gè)分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力.如圖7-4-1所示，由于緯度的變化，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F向不斷變化，因而地球表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化.圖7-4-1在赤道處，物體的萬(wàn)有引力分解的兩個(gè)分力F向和mg剛好在一條直線上，則有F=F向+mg所以mg=F-F向=-mR·ω自2因地球自轉(zhuǎn)角速度很小，＞＞mRω自2，所以mg≈在兩極，向心力為零，故萬(wàn)有引力就等于重力，即mg＝可見(jiàn)，從赤道到兩極，重力加速度逐漸變大.通常的計(jì)算中因重力和萬(wàn)有引力相差不大，所以認(rèn)為兩者相等，即mg=.深化升華從上式可以得到重力加速度的一個(gè)表達(dá)式：g=，式中，M為天體的質(zhì)量，R為天體的半徑，g為天體表面的重力加速度.在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，因?yàn)槲矬w所受引力隨物體離地面高度的增加而減小，即g′=.二、計(jì)算天體的質(zhì)量1.研究天體運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用公式研究天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，太陽(yáng)系中的九大行星及其衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)都可以看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力就是它們受到的萬(wàn)有引力.F=〔或F==mω2r=m=mr=m（2πn）2r〕.2.計(jì)算天體的質(zhì)量以地球質(zhì)量的計(jì)算為例（1）若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，半徑為r，根據(jù)=m月得M地=4π2r3/GT2.（注意理解r、T的意義，不要與地球的自轉(zhuǎn)周期、半徑相混淆）（2）若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和半徑r，根據(jù)=m月v2/r得M地=rv2/G.（3）若已知月球運(yùn)行的線速度v和周期T，根據(jù)=m月v·和=m月v2/r得M地=v3T/（2πG）.（4）若已知地球半徑R和地球表面的重力加速度g，根據(jù)mg=得M地=.深化升華（1）在用萬(wàn)有引力等于向心力列式求天體的質(zhì)量時(shí)，只能求出中心天體的質(zhì)量，而不能求出環(huán)繞天體的質(zhì)量.（2）掌握日常知識(shí)中地球的公轉(zhuǎn)周期、地球的自轉(zhuǎn)周期、月球的周期及地球同步衛(wèi)星的周期等，在估算天體質(zhì)量時(shí)，應(yīng)作為隱含的已知條件加以挖掘運(yùn)用.（3）將一個(gè)不易測(cè)量的被測(cè)量轉(zhuǎn)化為可以直接測(cè)量的量加以測(cè)量，而后依據(jù)由規(guī)律導(dǎo)出的關(guān)系式（測(cè)量式）進(jìn)行計(jì)算，間接獲取測(cè)量結(jié)果，稱為間接測(cè)量.三、發(fā)現(xiàn)未知天體歷史上天文學(xué)家曾經(jīng)根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算太陽(yáng)系中天王星的運(yùn)動(dòng)軌道，由于計(jì)算值與實(shí)際情況有較大偏差，促使天文學(xué)家經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的研究先后發(fā)現(xiàn)了海王星和冥王星.這兩顆星的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步證明了萬(wàn)有引力定律的正確性，而且也顯示了萬(wàn)有引力定律對(duì)天文學(xué)研究的重大意義.海王星和冥王星的發(fā)現(xiàn)是理論指導(dǎo)實(shí)踐的光輝典范，它表明了一個(gè)科學(xué)的理論不僅能解釋已知的事實(shí)，而且要能預(yù)言未知的事實(shí).聯(lián)想發(fā)散海王星和冥王星的實(shí)際軌道與計(jì)算結(jié)果仍然不能完全符合，你認(rèn)為這預(yù)示著什么問(wèn)題？也許在海王星和冥王星的外面還有未發(fā)現(xiàn)的行星，但是距離遙遠(yuǎn)，太陽(yáng)的光到達(dá)那里已經(jīng)太微弱了，從地球上很難看出究竟.四、解決天體問(wèn)題的兩條思路萬(wàn)有引力提供天體運(yùn)動(dòng)的向心力、重力等于萬(wàn)有引力是我們研究天體運(yùn)動(dòng)的兩大依據(jù).（1）萬(wàn)有引力提供向心力=研究天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不考慮其自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力全部用來(lái)提供向心力.聯(lián)想發(fā)散進(jìn)入繞地球運(yùn)行軌道的宇宙飛船，在運(yùn)行時(shí)還需要開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)嗎？為什么？不需要.宇宙飛船在軌道上運(yùn)行時(shí)，萬(wàn)有引力全部用來(lái)提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，不需開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī).（2）重力等于其所受萬(wàn)有引力mg=（m在M的表面上）式中的r是軌道半徑，R是天體半徑.誤區(qū)警示注意區(qū)分軌道向心加速度和天體表面重力加速度：在軌道上，軌道向心加速度：a向=（r為軌道半徑）也稱為軌道處的重力加速度，故a向=g軌=.在天體表面上，表面重力加速度：g=（R為天體半徑）.問(wèn)題·探究問(wèn)題1如何計(jì)算天體的密度呢？探究：上述我們已經(jīng)能夠依據(jù)衛(wèi)星繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的一些物理量來(lái)求解中心天體的質(zhì)量，同時(shí)，也可以依據(jù)中心天體表面重力加速度來(lái)求解中心天體的質(zhì)量.倘若再知道中心天體的半徑，進(jìn)而求出其體積，則密度即可求取.思路如下：（1）已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，半徑為r，根據(jù)得M=4π2r3/GT2.倘若再知道中心天體的半徑R，則天體的密度ρ=將M=代入上式得：ρ=當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ=.（2）已知天體表面上的重力加速度為g，則=mg則M=ρ=天體密度的這幾個(gè)表達(dá)式經(jīng)常用到，要能推導(dǎo)、理解各量的意義.問(wèn)題2假若你被送到月球上，已經(jīng)知道月球的半徑，給你一只彈簧秤和一個(gè)已知質(zhì)量的砝碼，你能否測(cè)出月球的質(zhì)量？怎樣測(cè)定？探究：不妨先用彈簧秤測(cè)出物體的重力，即測(cè)得了月球表面物體的重力加速度.再利用重力等于萬(wàn)有引力，列方程分析.步驟如下：（1）將砝碼掛在彈簧秤上，測(cè)出彈簧秤的讀數(shù)F由F=mg月所以g月=①（2）砝碼的重力應(yīng)等于月球的引力mg月=，所以M=②將①代入②，解得M=.典題·熱題例1利用下列哪組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球的質(zhì)量（已知引力常量G）（）A.已知地球的半徑R和地面的重力加速度gB.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和線速度vC.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和周期TD.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T解析：根據(jù)地球表面的重力加速度公式g=，可知選項(xiàng)a是正確的.根據(jù)衛(wèi)星的運(yùn)行速度公式v=，可知選項(xiàng)B是正確的.根據(jù)線速度和周期及半徑的關(guān)系式v=，算出半徑r再代入v=，可知選項(xiàng)C也是正確的.同理可知選項(xiàng)D也是正確的.答案：ABCD方法歸納應(yīng)用萬(wàn)有引力定律分析中心天體的質(zhì)量和環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)，其基本方法是：把環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由萬(wàn)有引力提供，即=m=mω2r=m()2r=m(2πn)2r=mg′.應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析或計(jì)算.例2如果到某一天，因某種原因地球自轉(zhuǎn)加快，則地球上物體的重力將發(fā)生怎樣的變化？當(dāng)角速度等于多少時(shí)，赤道上的物體重力為零？（R=×106m，M=×1024kg，G=×10-11N·m解析：重力是引力的分力.地球上物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由引力的分力提供，引力的另一分力為重力，根據(jù)平行四邊形定則和向心力公式即可判斷，赤道上物體是一種特殊情況，結(jié)合其特點(diǎn)和題中條件，可知重力為零時(shí)，引力充當(dāng)向心力，據(jù)此即可求出第二問(wèn).圖7-4-2如圖7-4-2所示，物體在某一緯度為α的示意圖，O為地心，O′為物體隨地球自轉(zhuǎn)的軌道圓心，f為向心力，F(xiàn)為地球引力，（本圖是示意圖，實(shí)際上f很小，為表示問(wèn)題，示意圖將f夸大）f=mω2r=mω2Rcosα.在某一緯度上的物體m，當(dāng)ω增大時(shí)，f增大，而引力F一定，據(jù)平行四邊形定則可知重力G減小，即地球自轉(zhuǎn)加快，重力減小.特殊情況之一：在兩極的物體，因?yàn)棣?90°，所以f=0，G=F，重力不受自轉(zhuǎn)的影響.特殊情況之二：在赤道上的物體，α=0°，f=mω2R，且f、G、F均指向O，在同一直線上，有G=F-f=-mω2R令G=0，則ω=rad/s≈×10-3rad/s.所以當(dāng)?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)角速度為×10-3rad/s時(shí)，赤道上的物體重力為零（完全失重）.方法歸納通常情況下，物體隨地球自轉(zhuǎn)所做的圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力很小，故可在近似計(jì)算中取G=F，但若要考慮自轉(zhuǎn)的影響，則不能近似處理.例3太陽(yáng)光經(jīng)500s到達(dá)地球，地球的半徑是6400km，試估算太陽(yáng)質(zhì)量與地球質(zhì)量的比值（取一位有效數(shù)字）.解析：地球圍繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力是由太陽(yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力提供的，地球公轉(zhuǎn)的周期是個(gè)生活常識(shí)，可作為已知量，從而計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量.在忽略地球自轉(zhuǎn)影響的情況下，物體在地球表面所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，由此可算出地球質(zhì)量，從而可得太陽(yáng)質(zhì)量與地球質(zhì)量的比值.地球到太陽(yáng)的距離為r=ct=×108×500m=×1011地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力為太陽(yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期為T=365天=×107s，則=m()2r，太陽(yáng)的質(zhì)量為M=.地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，物體在地球表面所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即m′g=，則地球的質(zhì)量為m=.所以，太陽(yáng)質(zhì)量與地球質(zhì)量的比值為≈3×105.方法歸納求天體質(zhì)量的方法主要有兩種：一種方法是根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力，即mg=，求得M=；另一種方法是根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，即=m()2r，求得M=.當(dāng)然，用第二種方法只能求中心天體的質(zhì)量.例4在地球某處海平面上測(cè)得物體自由下落高度h、所需的時(shí)間為t，到某高山頂測(cè)得物體自由下落同樣高度所需時(shí)間增加了Δt.已知地球半徑為R，試求山的高度H.解析：物體下落時(shí)間變長(zhǎng)，是由于重力加速度隨高度增大而變小所致，我們可以依據(jù)“地球表面物體所受重力等于萬(wàn)有引力”來(lái)尋找重力加速度與高度間的關(guān)系，依此作為切入點(diǎn)分析求解.在海平面，g=，自由落體時(shí)間t=;在高山頂，g′=，自由落體時(shí)間t+Δt=，所以，所以山的高度：H=.方法歸納解決此類問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是重力和萬(wàn)有引力相等，聯(lián)系重力加速度的表達(dá)式，找出重力加速度和高度的關(guān)系即可.例5某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的衛(wèi)星的周期是T，試證明ρT2為一個(gè)常數(shù).解析：將行星看作一個(gè)球體，衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供.設(shè)半徑為R，則密度ρ與質(zhì)量M、體積V的關(guān)系為M=ρV=ρπR3對(duì)衛(wèi)星，萬(wàn)有引力提供向心力由=mR，得整理得ρT2=為一常量.例6(2022四川理綜)蕩秋千是大家喜愛(ài)的一項(xiàng)體育活動(dòng).隨著科技的迅速發(fā)展，將來(lái)的某一天，同學(xué)們也許會(huì)在其他星球上享受蕩秋千的樂(lè)趣.假設(shè)你當(dāng)時(shí)所在星球的質(zhì)量是M、半徑為R，可將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)、擺長(zhǎng)不變、擺角小于90°,萬(wàn)有引力常量為G.那么，（1）該星球表面附近的重力加速度g星等于多少？（