人教版高中數(shù)學(xué)選修4-4全部課件

第一講坐標(biāo)系一平面直角坐標(biāo)系2022/11/22第一講坐標(biāo)系2022/11/211【自主預(yù)習(xí)】1.直角坐標(biāo)系(1)數(shù)軸.①定義:規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和_________的直線.②對應(yīng)關(guān)系:數(shù)軸上的點(diǎn)與_____之間一一對應(yīng).單位長度實(shí)數(shù)2022/11/22【自主預(yù)習(xí)】單位長度實(shí)數(shù)2022/11/212(2)直角坐標(biāo)系.①定義:在同一個(gè)平面上相互垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系,簡稱直角坐標(biāo)系.②相關(guān)概念:數(shù)軸的正方向:水平放置的數(shù)軸_____的方向、豎直放置的數(shù)軸_____的方向分別是數(shù)軸的正方向.向右向上2022/11/22(2)直角坐標(biāo)系.向右向上2022/11/213x軸或橫軸:坐標(biāo)軸_____的數(shù)軸.y軸或縱軸:坐標(biāo)軸_____的數(shù)軸.坐標(biāo)原點(diǎn):坐標(biāo)軸的__________.③對應(yīng)關(guān)系:平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與_________________之間一一對應(yīng).水平豎直公共原點(diǎn)O有序?qū)崝?shù)對(x,y)2022/11/22x軸或橫軸:坐標(biāo)軸_____的數(shù)軸.水平豎直公共原點(diǎn)O有序?qū)?④公式:設(shè)平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點(diǎn)為P,填表:兩點(diǎn)間的距離公式中點(diǎn)P的坐標(biāo)公式|P1P2|=________________________________2022/11/22④公式:兩點(diǎn)間的距離公式中點(diǎn)P的坐標(biāo)公式|P1P2|=___52.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換φ:____________的作用下,點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡稱伸縮變換.2022/11/222.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換2022/11/216【即時(shí)小測】1.函數(shù)y=ln|x|的圖象為(

)2022/11/22【即時(shí)小測】2022/11/217【解析】選D.函數(shù)y=ln|x|是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,又y=lnx在(0,+∞)上為增函數(shù),故選D.2022/11/22【解析】選D.函數(shù)y=ln|x|是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,82.曲線C經(jīng)過伸縮變換后,對應(yīng)曲線的方程為:x2+y2=1,則曲線C的方程為(

)2022/11/222.曲線C經(jīng)過伸縮變換后,對應(yīng)曲線的方程209【解析】選A.曲線C經(jīng)過伸縮變換①后,對應(yīng)曲線的方程為x′2+y′2=1②,把①代入②得到:+9y2=1.2022/11/22【解析】選A.曲線C經(jīng)過伸縮變換①后,對應(yīng)210【知識探究】探究點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置1.平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的符號有什么特點(diǎn)?提示:平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn),第一象限符號全正,第二象限橫坐標(biāo)為負(fù),縱坐標(biāo)為正,第三象限全負(fù),第四象限橫坐標(biāo)為正,縱坐標(biāo)為負(fù),即一三同號,二四異號.2022/11/22【知識探究】2022/11/21112.伸縮變換一定會改變點(diǎn)的坐標(biāo)和位置嗎?提示:不一定.伸縮變換對原點(diǎn)的位置沒有影響.但是會改變除原點(diǎn)外的點(diǎn)的坐標(biāo)和位置,但是象限內(nèi)的點(diǎn)伸縮變換后仍在原來的象限.2022/11/222.伸縮變換一定會改變點(diǎn)的坐標(biāo)和位置嗎?2022/11/2112【歸納總結(jié)】1.平面直角坐標(biāo)系的作用與建立平面直角坐標(biāo)系是確定點(diǎn)的位置、刻畫方程的曲線形狀和位置的平臺.建立平面直角坐標(biāo)系,常常利用垂直直線為坐標(biāo)軸,充分利用圖形的對稱性等特征.2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/21132.伸縮變換的類型與特點(diǎn)伸縮變換包括點(diǎn)的伸縮變換,以及曲線的伸縮變換,曲線經(jīng)過伸縮變換對應(yīng)的曲線方程就會變化,通過伸縮變換可以領(lǐng)會曲線與方程之間的數(shù)形轉(zhuǎn)化與聯(lián)系.特別提醒:實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的,所以一個(gè)實(shí)數(shù)就能確定數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)的位置.2022/11/222.伸縮變換的類型與特點(diǎn)2022/11/2114類型一坐標(biāo)法求軌跡方程【典例】已知△ABC的邊AB長為2a,若BC的中線為定長m,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.2022/11/22類型一坐標(biāo)法求軌跡方程2022/11/2115【解題探究】求軌跡方程的一般步驟是什么?提示:建系-設(shè)點(diǎn)-列條件-得方程、整理.2022/11/22【解題探究】求軌跡方程的一般步驟是什么?2022/11/2116【解析】由題意,以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),AB邊所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(-a,0),B(a,0).設(shè)C(x,y),則線段BC的中點(diǎn)為因?yàn)閨AE|=m,所以2022/11/22【解析】由題意,以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),AB邊所在的202217化簡得(x+3a)2+y2=4m2.由于點(diǎn)C在直線AB上時(shí),不能構(gòu)成三角形,故去掉曲線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),從而所求的軌跡方程是(x+3a)2+y2=4m2(y≠0).(建系不同,軌跡方程不同)2022/11/22化簡得(x+3a)2+y2=4m2.2022/11/2118【方法技巧】1.建立平面直角坐標(biāo)系的技巧(1)如果平面幾何圖形有對稱中心,可以選對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).(2)如果平面幾何圖形有對稱軸,可以選擇對稱軸為坐標(biāo)軸.2022/11/22【方法技巧】2022/11/2119特別提醒:建系時(shí)盡量使平面幾何圖形上的特殊點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.2022/11/22特別提醒:建系時(shí)盡量使平面幾何圖形上的特殊點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.20202.運(yùn)用解析法解決實(shí)際問題的步驟(1)建系——建立平面直角坐標(biāo)系.建系原則是利于運(yùn)用已知條件,使表達(dá)式簡明,運(yùn)算簡便.因此,要充分利用已知點(diǎn)和已知直線作為原點(diǎn)和坐標(biāo)軸.(2)建模——選取一組基本量,用字母表示出題目涉及的點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程.2022/11/222.運(yùn)用解析法解決實(shí)際問題的步驟2022/11/2121(3)運(yùn)算——通過運(yùn)算,得到所需要的結(jié)果.(4)回歸——回歸到實(shí)際問題作答.2022/11/22(3)運(yùn)算——通過運(yùn)算,得到所需要的結(jié)果.2022/11/222【變式訓(xùn)練】1.已知點(diǎn)(5-m,3-2m)不在第四象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2022/11/22【變式訓(xùn)練】1.已知點(diǎn)(5-m,3-2m)不在第四象限,求實(shí)23【解析】若點(diǎn)(5-m,3-2m)在第四象限,則5-m>0,且3-2m<0,解得<m<5,故點(diǎn)(5-m,3-2m)不在第四象限時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤或m≥5.2022/11/22【解析】若點(diǎn)(5-m,3-2m)在第四象限,2022/11/242.四邊形ABCD為矩形,P為矩形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn),求證:PA2+PC2=PB2+PD2.2022/11/222.四邊形ABCD為矩形,P為矩形ABCD所在平面內(nèi)的任意一25【證明】如圖所示,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),則PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2,PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.2022/11/22【證明】如圖所示,2022/11/2126所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.故PA2+PC2=PB2+PD2.2022/11/22所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b27類型二伸縮變換公式與應(yīng)用【典例】求曲線x2+y2=1經(jīng)過φ:變換后得到的新曲線的方程.2022/11/22類型二伸縮變換公式與應(yīng)用2022/11/2128【解題探究】如何求變換后的新曲線的方程?提示:將x,y表示出來,代入到原方程即可得到新曲線的方程.2022/11/22【解題探究】如何求變換后的新曲線的方程?2022/11/2129【解析】曲線x2+y2=1經(jīng)過φ:變換后,即代入到圓的方程,可得即所求新曲線的方程為2022/11/22【解析】曲線x2+y2=1經(jīng)過φ:變換后,2030【延伸探究】1.若曲線C經(jīng)過變換后得到圓x2+y2=1,求曲線C的方程.2022/11/22【延伸探究】2022/11/2131【解析】將代入到方程x′2+y′2=1,得即曲線C的方程.2022/11/22【解析】將代入到方程x′2+y′2=1,20322.若圓x2+y2=1經(jīng)過變換φ′后得到曲線求變換φ′的坐標(biāo)變換公式.2022/11/222.若圓x2+y2=1經(jīng)過變換φ′后得到曲線2022/1133【解析】設(shè)φ′:代入到C′中得與圓的方程比較得λ=5,μ=4.故φ′的變換公式為2022/11/22【解析】設(shè)φ′:2022/11/2134【方法技巧】與伸縮變換相關(guān)問題的處理方法(1)已知變換前的曲線方程及伸縮變換,求變換后的曲線方程的方法:利用伸縮變換用(x′,y′)表示出(x,y),代入變換前的曲線方程.2022/11/22【方法技巧】與伸縮變換相關(guān)問題的處理方法2022/11/2135(2)已知變換后的曲線方程及伸縮變換,求變換前的曲線方程:利用伸縮變換用(x,y)表示(x′,y′),代入變換后的曲線方程.(3)已知變換前后的曲線方程求伸縮變換,將變換前后的方程變形,確定出(x′,y′)與(x,y)的關(guān)系即為所求的伸縮變換,也可用待定系數(shù)法.2022/11/22(2)已知變換后的曲線方程及伸縮變換,求變換前的曲線方程:利36【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(2016·蚌埠高二檢測)在同一平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C變?yōu)榍€x′2+y′2=1,則曲線C的方程為(

)2022/11/22【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(2016·蚌埠高二檢測)在同一平面直20237【解析】選B.設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),按φ:變換后的對應(yīng)的坐標(biāo)為P′(x′,y′),代入x′2+y′2=1,得16x2+9y2=1.2022/11/22【解析】選B.設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),按20382.將曲線y=sin(2016x)按φ:變換后的曲線與直線x=0,x=π,y=0圍成圖形的面積為________.2022/11/222.將曲線y=sin(2016x)按φ:39【解析】設(shè)曲線y=sin(2016x)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),按φ變換后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(x′,y′),由φ:代入y=sin(2016x),得2y′=sinx′,所以y′=sinx′,即y=sinx,所以y=sinx與直線x=0,x=π,y=0圍成圖2022/11/22【解析】設(shè)曲線y=sin(2016x)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為2040形的面積為S=答案:12022/11/22形的面積為S=2022/11/2141自我糾錯(cuò)伸縮變換公式的應(yīng)用【典例】將曲線按照φ:變換為曲線求曲線y=cos4x在φ變換后的曲線的最小正周期與最大值.2022/11/22自我糾錯(cuò)伸縮變換公式的應(yīng)用2022/11/2142【失誤案例】2022/11/22【失誤案例】2022/11/2143分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯(cuò)的根本原因是弄錯(cuò)了變換順序,錯(cuò)誤代入方程.正確解答過程如下:2022/11/22分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出正確答案.2022/11/44【解析】由φ:得φ:將曲線按照φ:變換為曲線的方程為2022/11/22【解析】由φ:2022/11/2145由題意,得3μ=1,故λ=2,則曲線y=cos4x在φ變換后的曲線的方程為

所以變換后的曲線的最小正周期為π,最大值為2022/11/22由題意,得3μ=1,2022/11/21462022/11/222022/11/2147第2課時(shí)

極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化2022/11/22第2課時(shí)2022/11/2148【自主預(yù)習(xí)】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如圖所示,把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,且長度單位相同,設(shè)任意一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x,y),(ρ,θ).2022/11/22【自主預(yù)習(xí)】2022/11/2149ρcosθρsinθx2+y22022/11/22ρcosθρsinθx2+y22022/11/2150【即時(shí)小測】1.極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(1,π)的直角坐標(biāo)為(

)A.(1,0)

B.(-1,0)C.(0,1) D.(0,-1)2022/11/22【即時(shí)小測】2022/11/2151【解析】選B.由公式得所以點(diǎn)(1,π)對應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(-1,0).2022/11/22【解析】選B.由公式得所以點(diǎn)522.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2016,-2016)的極坐標(biāo)為________(ρ>0,0≤θ<2π).2022/11/222.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2016,-2016)的極坐標(biāo)為__53【解析】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2016,-2016)到原點(diǎn)(極點(diǎn))的距離為2016,極角θ=+2kπ,k∈Z,因?yàn)?≤θ<2π,所以θ=.所以點(diǎn)(2016,-2016)的極坐標(biāo)為.答案:2022/11/22【解析】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2016,-2016)到原點(diǎn)(極54【知識探究】探究點(diǎn)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化1.點(diǎn)與極坐標(biāo)是一一對應(yīng)的嗎?2022/11/22【知識探究】2022/11/2155提示:在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M與直角坐標(biāo)(x,y)是一一對應(yīng)的,點(diǎn)M與極坐標(biāo)(ρ,θ)不是一一對應(yīng)的,即點(diǎn)M的極坐標(biāo)不唯一.2022/11/22提示:在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M與直角坐標(biāo)(x,y)是一562.將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的關(guān)鍵是什么?2022/11/222.將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的關(guān)鍵是什么?2022/11/257提示:將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的關(guān)鍵是運(yùn)用公式分別計(jì)算極徑和極角,求極角時(shí)先計(jì)算[0,2π)內(nèi)的角θ0,再表示為θ0+2kπ,k∈Z.2022/11/22提示:將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的關(guān)鍵是運(yùn)用公式2022/1158【歸納總結(jié)】1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系三角函數(shù)是點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的聯(lián)系紐帶,根據(jù)三角函數(shù)定義,角θ的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O(極點(diǎn)),始邊為橫軸的正半軸,M(x,y)為角θ終邊上的一點(diǎn),|OM|=則sinθ=,cosθ=,所以y=ρsinθ,x=ρcosθ.2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/21592.特殊角的三角函數(shù)值θ

sinθ

1cosθ

0tanθ

1

不存在2022/11/222.特殊角的三角函數(shù)值θsinθ1cosθ603.由點(diǎn)的直角坐標(biāo)確定極角當(dāng)點(diǎn)不在y軸上時(shí),由tanθ=求出[0,2π)上的θ;當(dāng)點(diǎn)在y軸正半軸上時(shí),θ=;當(dāng)點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí),θ=.2022/11/223.由點(diǎn)的直角坐標(biāo)確定極角2022/11/2161類型一點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化【典例】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,ρ≥0,θ∈R完成下列各題:(1)將極坐標(biāo)M化為直角坐標(biāo).(2)將直角坐標(biāo)N(-2016,2016)化為極坐標(biāo).2022/11/22類型一點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化2022/11/2162【解題探究】將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式是什么?將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的公式是什么?2022/11/22【解題探究】將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式是什么?將點(diǎn)的直角63提示:由公式將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),由公式將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).2022/11/22提示:由公式將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),由264【解析】(1)將點(diǎn)M的極坐標(biāo)代入公式

所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(-3,-3).2022/11/22【解析】(1)將點(diǎn)M的極坐標(biāo)代入公式2022/165(2)由點(diǎn)的直角坐標(biāo)N(-2016,2016)與公式

且θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)N(-2016,2016),所以θ=,所以點(diǎn)N的極坐標(biāo)為,k∈Z.2022/11/22(2)由點(diǎn)的直角坐標(biāo)N(-2016,2016)與公式202266【方法技巧】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的策略(1)點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的注意事項(xiàng).化點(diǎn)的直角坐標(biāo)為極坐標(biāo)時(shí),一般取ρ≥0,θ∈[0,2π),即θ取最小正角,由tanθ=(x≠0)求θ時(shí),必須根據(jù)角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(x,y)所在的象限來確定θ的值.2022/11/22【方法技巧】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的策略2022/11/2167(2)掌握特殊角的三角函數(shù)值,還需要掌握一些常用的三角變換公式,如半角公式2022/11/22(2)掌握特殊角的三角函數(shù)值,還需要掌握一些常用的2022/68【變式訓(xùn)練】1.(2016·綿陽高二檢測)將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A.(-1,-1) B.(1,1)C.(1,) D.(,1)2022/11/22【變式訓(xùn)練】1.(2016·綿陽高二檢測)將點(diǎn)M的極坐標(biāo)2069【解析】選C.由公式所以(1,)即為所求.2022/11/22【解析】選C.由公式2022/11/21702.若已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P,求點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)及直角坐標(biāo).2022/11/222.若已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P,求點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)271【解析】點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)P′到極點(diǎn)的距離仍為2,即ρ=2.又P與P′的極角間相差π+2kπ,k∈Z,故θ=-+π+2kπ,k∈Z,故P′的極坐標(biāo)可以為,2022/11/22【解析】點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)P′到極點(diǎn)的距離仍為2,202272由x=2cos=-1,y=2sin=-,故點(diǎn)P′的直角坐標(biāo)為(-1,-).2022/11/22由x=2cos=-1,y=2sin=-73類型二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的應(yīng)用【典例】已知A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為求線段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo).2022/11/22類型二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的應(yīng)用2022/11/2174【解題探究】怎樣求線段中點(diǎn)的直角坐標(biāo)?提示:先求出端點(diǎn)的直角坐標(biāo),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求中點(diǎn)的直角坐標(biāo).2022/11/22【解題探究】怎樣求線段中點(diǎn)的直角坐標(biāo)?2022/11/2175【解析】因?yàn)锳點(diǎn)的極坐標(biāo)為所以所以A(3,),同理可得B(-4,).設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(m,n),由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得2022/11/22【解析】因?yàn)锳點(diǎn)的極坐標(biāo)為2022/11/2176所以線段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為2022/11/22所以線段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為2022/1177【延伸探究】1.試求線段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo).2022/11/22【延伸探究】2022/11/2178【解析】方法一:因?yàn)锳,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為故A,B兩點(diǎn)在一條直線上,且到極點(diǎn)的距離分別為6,8,故AB中點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為1,且在線段OB上,故AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)為2022/11/22【解析】方法一:因?yàn)锳,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為2022/79方法二:因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為故因?yàn)锳B中點(diǎn)在第三象限,故故中點(diǎn)的極坐標(biāo)為2022/11/22方法二:因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為2022/1802.試求直線AB的方程.2022/11/222.試求直線AB的方程.2022/11/2181【解析】因?yàn)锳點(diǎn)的極坐標(biāo)為所以所以A(3,),又因?yàn)橹本€AB的傾斜角為故斜率故直線AB的方程為即2022/11/22【解析】因?yàn)锳點(diǎn)的極坐標(biāo)為2022/11/2182【方法技巧】應(yīng)用點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的策略在解決極坐標(biāo)平面內(nèi)較為復(fù)雜的圖形問題時(shí),若不方便利用極坐標(biāo)直接解決,可先將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),利用直角坐標(biāo)系中的公式、性質(zhì)解決,再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系中的問題即可.2022/11/22【方法技巧】應(yīng)用點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的策略2022/1183【變式訓(xùn)練】1.若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為則點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為________.2022/11/22【變式訓(xùn)練】1.若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為則點(diǎn)M關(guān)于y軸284【解析】點(diǎn)M的極坐標(biāo)為所以點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為所以點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的直角坐標(biāo)為由

又點(diǎn)(-3,-3)位于第三象限.2022/11/22【解析】點(diǎn)M的極坐標(biāo)為2022/11/2185故則所求點(diǎn)的極坐標(biāo)為答案:2022/11/22故則所求點(diǎn)的極坐標(biāo)為2022/11/21862.在極坐標(biāo)系中,已知求|AB|.2022/11/222.在極坐標(biāo)系中,已知求|AB87【解析】由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為可得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為同理點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(2,-2),則|AB|=2022/11/22【解析】由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為可得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為202288自我糾錯(cuò)點(diǎn)的極坐標(biāo)及其表示【典例】(2016·合肥高二檢測)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是()①(ρ,-θ);②(-ρ,-θ);③(-ρ,θ);④(ρ,π+θ).A.④ B.①②C.①③ D.③④2022/11/22自我糾錯(cuò)點(diǎn)的極坐標(biāo)及其表示2022/11/2189【失誤案例】2022/11/22【失誤案例】2022/11/2190分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯(cuò)的根本原因是忽視了ρ∈R的情形,即點(diǎn)P(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)也可以是(-ρ,θ).事實(shí)上,當(dāng)ρ>0時(shí),點(diǎn)P(ρ,θ)在極角θ的終邊上,|OP|=ρ;當(dāng)ρ<0時(shí),點(diǎn)P(ρ,θ)在極角θ的終邊的反向延長線上,|OP|=-ρ.正確解答過程如下:2022/11/22分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出正確答案.2022/11/91【解析】選D.方法一:點(diǎn)P(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是(ρ,π+θ)或(-ρ,θ).方法二:以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸方向?yàn)閤軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P(ρ,θ)的直角坐標(biāo)為(ρcosθ,ρsinθ),關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-ρcosθ,-ρsinθ),結(jié)合選項(xiàng),得③(-ρ,θ)與④(ρ,π+θ)的直角坐標(biāo)都是(-ρcosθ,-ρsinθ).2022/11/22【解析】選D.方法一:點(diǎn)P(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的202922022/11/222022/11/2193二極坐標(biāo)系第1課時(shí)極坐標(biāo)系的概念2022/11/22二極坐標(biāo)系2022/11/2194【自主預(yù)習(xí)】1.極坐標(biāo)系(1)取極點(diǎn):平面內(nèi)取一個(gè)______.(2)作極軸:自極點(diǎn)引一條射線Ox.(3)定單位:選定一個(gè)長度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向).定點(diǎn)O2022/11/22【自主預(yù)習(xí)】定點(diǎn)O2022/11/21952.點(diǎn)的極坐標(biāo)(1)定義:有序數(shù)對(ρ,θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為_________.(2)意義:ρ=_____,即極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離(ρ≥0).θ=______,即以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角.M(ρ,θ)|OM|∠xOM2022/11/222.點(diǎn)的極坐標(biāo)M(ρ,θ)|OM|∠xOM2022/11/296【即時(shí)小測】1.極坐標(biāo)系中,下列與點(diǎn)(1,π)相同的點(diǎn)為(

)A.(1,0) B.(2,π)C.(1,2016π) D.(1,2017π)2022/11/22【即時(shí)小測】2022/11/2197【解析】選D.點(diǎn)(1,π)的極徑為1,極角為π,由終邊相同的角的概念得,點(diǎn)(1,π)與點(diǎn)(1,2017π)相同.2022/11/22【解析】選D.點(diǎn)(1,π)的極徑為1,極角為π,由終邊相同的982.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(-1,),則點(diǎn)M的極點(diǎn)坐標(biāo)為

(

)2022/11/222.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(-1,),則點(diǎn)M的極點(diǎn)坐標(biāo)為2099【解析】選C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,則ρcosθ=x得:cosθ=-,結(jié)合點(diǎn)在第二象限得:θ=,則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為2022/11/22【解析】選C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,202100【知識探究】探究點(diǎn)極坐標(biāo)系1.平面直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系有什么不同?2022/11/22【知識探究】2022/11/21101提示:(1)兩種坐標(biāo)系形式上的區(qū)別是直角坐標(biāo)系有原點(diǎn),x軸,y軸,極坐標(biāo)系有極點(diǎn)、極軸.(2)點(diǎn)的直角坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(x,y),點(diǎn)的極坐標(biāo)是(ρ,θ).2022/11/22提示:(1)兩種坐標(biāo)系形式上的區(qū)別是直角坐標(biāo)系有原點(diǎn),x軸,1022.極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)唯一嗎?2022/11/222.極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)唯一嗎?2022/11/21103提示:(1)由于極坐標(biāo)系中,對于給定的有序數(shù)對(ρ,θ)都有唯一確定的點(diǎn)與之對應(yīng),但是,對于給定一點(diǎn)M,可以有無數(shù)個(gè)有序數(shù)對(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)與之對應(yīng),所以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)與極坐標(biāo)不能建立一一對應(yīng)關(guān)系.(2)如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點(diǎn)外的任意一點(diǎn)都有唯一的極坐標(biāo)(ρ,θ)與之對應(yīng),反之亦然.2022/11/22提示:(1)由于極坐標(biāo)系中,對于給定的有序數(shù)對(ρ,θ)都有104【歸納總結(jié)】1.極坐標(biāo)系的四要素①極點(diǎn);②極軸;③長度單位;④角度單位和它的正方向.四者缺一不可.2.在極坐標(biāo)系中找點(diǎn)的位置,應(yīng)先確定極角,再確定極徑,最終確定點(diǎn)的位置.2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/21105特別提醒:若已知點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ),則點(diǎn)是確定的,反之,若已知點(diǎn),則其極坐標(biāo)不確定.2022/11/22特別提醒:若已知點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ),則點(diǎn)是確定的,反之,若106類型一極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)【典例】在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到極點(diǎn)的距離為________,點(diǎn)P到極軸的距離為________.2022/11/22類型一極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)2022/11/21107【解題探究】怎樣求點(diǎn)到極點(diǎn)和極軸的距離?提示:點(diǎn)到極點(diǎn)的距離等于極徑,點(diǎn)到極軸的距離轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)計(jì)算.2022/11/22【解題探究】怎樣求點(diǎn)到極點(diǎn)和極軸的距離?2022/11/21108【解析】因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中,點(diǎn)P,ρ=2,θ=,所以點(diǎn)P到極點(diǎn)的距離為2,點(diǎn)P到極軸的距離為2sin=1.答案:2

12022/11/22【解析】因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中,點(diǎn)P,ρ=2,θ=,109【方法技巧】確定點(diǎn)的極坐標(biāo)的方法點(diǎn)P的極坐標(biāo)的一般形式為(ρ,θ+2kπ),k∈Z,則(1)ρ為點(diǎn)P到極點(diǎn)的距離,是個(gè)定值.(2)極角為滿足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ是始邊在極軸上,終邊過OP的任意一個(gè)角,一般取絕對值較小的角.2022/11/22【方法技巧】確定點(diǎn)的極坐標(biāo)的方法2022/11/21110【變式訓(xùn)練】1.在極坐標(biāo)系中,極軸的反向延長線上一點(diǎn)M與極點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)M的極坐標(biāo)的下列表示:①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z).其中,正確表示的序號為____________.2022/11/22【變式訓(xùn)練】1.在極坐標(biāo)系中,極軸的反向延長線上一點(diǎn)M與極點(diǎn)111【解析】由于極軸的反向延長線上一點(diǎn)M與極點(diǎn)的距離為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確.答案:②③2022/11/22【解析】由于極軸的反向延長線上一點(diǎn)M與極點(diǎn)的距離為2,極角的1122.如圖,在極坐標(biāo)系中,(1)作出以下各點(diǎn):(2)求點(diǎn)E,F的極坐標(biāo)(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R).2022/11/222.如圖,在極坐標(biāo)系中,2022/11/21113【解析】(1)如圖,在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C,D的位置是確定的.(2)由于點(diǎn)E的極徑為4,在θ∈[0,2π)內(nèi),極角又因?yàn)辄c(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R),2022/11/22【解析】(1)如圖,在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C,D的位置是2114所以點(diǎn)E的極坐標(biāo)為同理,點(diǎn)F的極坐標(biāo)為2022/11/22所以點(diǎn)E的極坐標(biāo)為2022/11/21115類型二極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離【典例】在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為極點(diǎn),已知點(diǎn)求|AB|的值.2022/11/22類型二極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離2022/11/21116【解題探究】根據(jù)點(diǎn)A,B在極坐標(biāo)系中的位置關(guān)系,可得∠AOB為多少度?提示:∠AOB=90°.2022/11/22【解題探究】根據(jù)點(diǎn)A,B在極坐標(biāo)系中的位置關(guān)系,可得∠AOB117【解析】因?yàn)楣省螦OB=90°,故2022/11/22【解析】因?yàn)?022/11/21118【延伸探究】1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.2022/11/22【延伸探究】2022/11/21119【解析】因?yàn)楣省螦OB=90°,所以S△AOB=2022/11/22【解析】因?yàn)楣省螦OB=90°,2022/1202.本例已知條件不變,試求線段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo).2022/11/222.本例已知條件不變,試求線段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo).2022/1121【解析】設(shè)線段AB中點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ,θ),則故線段AB中點(diǎn)M的極坐標(biāo)為2022/11/22【解析】設(shè)線段AB中點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ,θ),2022/11122【方法技巧】點(diǎn)與極坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式(1)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一,這是由于與角θ1的終邊相同的角的集合為{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}.如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除極點(diǎn)外,點(diǎn)與有序數(shù)對(ρ,θ)可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.2022/11/22【方法技巧】點(diǎn)與極坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式2022123(2)在極坐標(biāo)系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么兩點(diǎn)間的距離公式的兩種特殊情形為:①當(dāng)θ1=θ2+2kπ,k∈Z時(shí),|P1P2|=|ρ1-ρ2|;②當(dāng)θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z時(shí),|P1P2|=|ρ1+ρ2|.2022/11/22(2)在極坐標(biāo)系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2124【變式訓(xùn)練】1.(2016·南昌高二檢測)在極坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)間的距離是(

)A.

B.

C.6

D.42022/11/22【變式訓(xùn)練】1.(2016·南昌高二檢測)在極坐標(biāo)系中,20125【解析】選B.|AB|=2022/11/22【解析】選B.|AB|=2022/11/211262.在極坐標(biāo)系中,若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為判斷三角形的形狀.2022/11/222.在極坐標(biāo)系中,若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為127【解析】

所以△ABC是等邊三角形.2022/11/22【解析】2022/11/21128自我糾錯(cuò)已知距離求點(diǎn)的極坐標(biāo)【典例】已知在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),B(ρ,θ),OA⊥OB,|AB|=5,ρ≥0,θ∈[0,2π),求點(diǎn)B的極坐標(biāo).2022/11/22自我糾錯(cuò)已知距離求點(diǎn)的極坐標(biāo)2022/11/21129【失誤案例】2022/11/22【失誤案例】2022/11/21130分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯(cuò)的根本原因是對題目中的垂直條件理解不全面,導(dǎo)致確定極角時(shí)漏掉一種情況.正確解答過程如下:2022/11/22分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出正確答案.2022/11/131【解析】由OA⊥OB,得k∈Z,即k∈Z,由θ∈[0,2π),得由得故ρ=4.所以點(diǎn)B的極坐標(biāo)為2022/11/22【解析】由OA⊥OB,得k∈Z,21322022/11/222022/11/21133三

簡單曲線的極坐標(biāo)方程2022/11/22三2022/11/21134【自主預(yù)習(xí)】1.極坐標(biāo)方程與平面曲線在極坐標(biāo)系中,方程f(ρ,θ)=0叫做平面曲線C的極坐標(biāo)方程,滿足條件:(1)平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中___________滿足方程f(ρ,θ)=0.至少有一個(gè)2022/11/22【自主預(yù)習(xí)】至少有一個(gè)2022/11/21135(2)坐標(biāo)適合方程___________的點(diǎn)都在曲線C上.f(ρ,θ)=02022/11/22(2)坐標(biāo)適合方程___________的點(diǎn)都在曲線C上.f1362.圓的極坐標(biāo)方程圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)(0，0)ρ=__(0≤θ<2π)圓心在點(diǎn)(r，0)ρ=_________

圓心在點(diǎn)(r，)ρ=________(0≤θ<π)r2rcosθ2rsinθ2022/11/222.圓的極坐標(biāo)方程圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)(0，0137圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在點(diǎn)(r，π)ρ=__________

圓心在點(diǎn)ρ=_________(-π<θ≤0)-2rcosθ-2rsinθ2022/11/22圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在點(diǎn)(r，π)ρ=______1383.直線的極坐標(biāo)方程(ρ∈R)直線位置極坐標(biāo)方程圖形過極點(diǎn),傾斜角為α(1)θ=___(ρ∈R)或θ=______(ρ∈R)(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)απ+α2022/11/223.直線的極坐標(biāo)方程(ρ∈R)直線位置極坐標(biāo)方程圖形過極點(diǎn)139直線位置極坐標(biāo)方程圖形過點(diǎn)(a,0),且與極軸垂直________=a

過點(diǎn)且與極軸平行________=a(0<θ<π)ρcosθρsinθ2022/11/22直線位置極坐標(biāo)方程圖形過點(diǎn)(a,0),且與極軸垂直____140【即時(shí)小測】1.極坐標(biāo)系中,圓心在極點(diǎn),半徑為2的圓的極坐標(biāo)方程為(

)A.ρ=2

B.ρ=4C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=12022/11/22【即時(shí)小測】2022/11/21141【解析】選A.由圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=r,得圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2.2022/11/22【解析】選A.由圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=r1422.極軸所在直線的極坐標(biāo)方程為________.【解析】如圖,設(shè)M(ρ,θ)是極軸所在直線上的任意一點(diǎn),則θ=0(ρ∈R).答案:θ=0(ρ∈R)2022/11/222.極軸所在直線的極坐標(biāo)方程為________.2022/1143【知識探究】探究點(diǎn)曲線的極坐標(biāo)方程1.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(ρ,θ)的軌跡方程中一定同時(shí)含有ρ,θ嗎?提示:不一定,如圓心在極點(diǎn),半徑為1的極坐標(biāo)方程為ρ=1,方程中只含有ρ.2022/11/22【知識探究】2022/11/211442.如何求圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程?2022/11/222.如何求圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程?145提示:設(shè)圓C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為M(ρ,θ),如圖,在△OCM中,由余弦定理,得|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,即ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)=r2.當(dāng)O,C,M三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)M的極坐標(biāo)也適合上式,所以圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.2022/11/22提示:設(shè)圓C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為M(ρ,θ),2022/11146【歸納總結(jié)】1.曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中,由于點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,θ+2π),(-ρ,θ+π),(-ρ,θ-π)都表示同一點(diǎn),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)具有唯一性明顯不同.所以對于曲線上同一點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式,只要求2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/21147點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)能滿足曲線的極坐標(biāo)方程即可.2022/11/22點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)能滿足曲線的極坐標(biāo)方程即可.2022/1482.曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用(1)與點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化一樣,以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.平面內(nèi)的曲線(含直線)的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程也可以進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化.2022/11/222.曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用2022/149(2)較簡單曲線的極坐標(biāo)方程可直接求,較復(fù)雜曲線的極坐標(biāo)方程可以先求直角坐標(biāo)方程,然后再轉(zhuǎn)化.特別提醒:極坐標(biāo)方程對應(yīng)曲線的形狀往往不易看出,通常是先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后再分析形狀.2022/11/22(2)較簡單曲線的極坐標(biāo)方程可直接求,較復(fù)雜曲線的極坐標(biāo)方程150類型一圓的極坐標(biāo)方程【典例】在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心為C,半徑為1,求圓C的極坐標(biāo)方程.2022/11/22類型一圓的極坐標(biāo)方程2022/11/21151【解題探究】求圓的極坐標(biāo)方程時(shí)需要注意什么問題?提示:求圓的極坐標(biāo)方程時(shí)需要檢驗(yàn)特殊點(diǎn)是否適合方程.2022/11/22【解題探究】求圓的極坐標(biāo)方程時(shí)需要注意什么問題?2022/1152【解析】在圓C上任取一點(diǎn)P(ρ,θ),在△POC中,由余弦定理可得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,即化簡可得2022/11/22【解析】在圓C上任取一點(diǎn)P(ρ,θ),2022/11/21153當(dāng)O,P,C共線時(shí),此方程也成立,故圓C的極坐標(biāo)方程為2022/11/22當(dāng)O,P,C共線時(shí),此方程也成立,2022/11/21154【延伸探究】1.試求圓的直角坐標(biāo)方程.2022/11/22【延伸探究】2022/11/21155【解析】圓心的極坐標(biāo)為故直角坐標(biāo)為又已知圓的半徑為1,故圓的直角坐標(biāo)方程為2022/11/22【解析】圓心的極坐標(biāo)為2022/11/211562.在極坐標(biāo)系中,試求該圓上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最大值.2022/11/222.在極坐標(biāo)系中,試求該圓上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的20157【解析】圓心與點(diǎn)的距離

故圓上的點(diǎn)與點(diǎn)P的距離的最大值為2022/11/22【解析】圓心與點(diǎn)的距離2022/1158【方法技巧】求圓的極坐標(biāo)方程的步驟(1)設(shè)圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為M(ρ,θ).(2)在極點(diǎn)、圓心與M構(gòu)成的三角形中運(yùn)用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化簡.(3)驗(yàn)證極點(diǎn)、圓心與M三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)M(ρ,θ)的極坐標(biāo)也適合上述極坐標(biāo)方程.2022/11/22【方法技巧】求圓的極坐標(biāo)方程的步驟2022/11/21159【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在極坐標(biāo)系中,圓C過極點(diǎn),且圓心的極坐標(biāo)是(a>0),則圓C的極坐標(biāo)方程是(

)A.ρ=-2asinθ B.ρ=2asinθC.ρ=-2acosθ D.ρ=2acosθ2022/11/22【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在極坐標(biāo)系中,圓C過極點(diǎn),且圓心的極2022160【解析】選B.由于圓心的極坐標(biāo)是,化為直角坐標(biāo)為(0,a),半徑為a,故圓的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-a)2=a2,再化為極坐標(biāo)方程為ρ=2asinθ.2022/11/22【解析】選B.由于圓心的極坐標(biāo)是,化為直角坐標(biāo)2021612.(2016·西安高二檢測)將極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ化成直角坐標(biāo)方程為________.【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=02022/11/222.(2016·西安高二檢測)將極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ化成162類型二直線的極坐標(biāo)方程【典例】在極坐標(biāo)系中,求過點(diǎn)(2,π)且與極軸的傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程.2022/11/22類型二直線的極坐標(biāo)方程2022/11/21163【解題探究】求直線極坐標(biāo)方程的一般方法是什么?提示:設(shè)出直線上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ),列出ρ,θ的關(guān)系式即可.2022/11/22【解題探究】求直線極坐標(biāo)方程的一般方法是什么?2022/11164【解析】令A(yù)(2,π),設(shè)直線上任意一點(diǎn)P(ρ,θ),在△OAP中,∠APO=θ-,由正弦定理得又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,π)適合上式,故所求直線的極坐標(biāo)方程為2022/11/22【解析】令A(yù)(2,π),設(shè)直線上任意一點(diǎn)P(ρ,θ),202165【方法技巧】關(guān)于直線的極坐標(biāo)方程(1)求直線的極坐標(biāo)方程的一般方法.設(shè)出直線上的任意一點(diǎn)(ρ,θ),利用三角形中的定理,如正弦定理、余弦定理等列出ρ,θ的關(guān)系式,即為直線的極坐標(biāo)方程.2022/11/22【方法技巧】關(guān)于直線的極坐標(biāo)方程2022/11/21166(2)求直線的極坐標(biāo)方程的注意事項(xiàng).①當(dāng)ρ≥0時(shí),直線上的點(diǎn)的極角不是常量,所以直線的極坐標(biāo)方程需要轉(zhuǎn)化為兩條射線的極坐標(biāo)方程,所以直線的極坐標(biāo)方程不如直線的直角坐標(biāo)方程唯一且簡便.②當(dāng)規(guī)定了“負(fù)極徑”的意義,即ρ∈R時(shí),直線的極坐標(biāo)方程就是唯一的了.2022/11/22(2)求直線的極坐標(biāo)方程的注意事項(xiàng).2022/11/21167【變式訓(xùn)練】1.(2016·銅陵高二檢測)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1,π),求過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程.2022/11/22【變式訓(xùn)練】2022/11/21168【解析】點(diǎn)P(1,π)的直角坐標(biāo)為(-1,0),所求直線的直角坐標(biāo)方程為x=-1,化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-1.2022/11/22【解析】點(diǎn)P(1,π)的直角坐標(biāo)為(-1,0),所求直線的直1692.在極坐標(biāo)系中,求過點(diǎn)且與極軸平行的直線方程.【解析】點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為即(0,2),所以過點(diǎn)(0,2)且與x軸平行的直線方程為y=2.即為ρsinθ=2.2022/11/222.在極坐標(biāo)系中,求過點(diǎn)且與極軸平行的直線方程.20170類型三直線與圓的極坐標(biāo)方程綜合題【典例】(2016·衡陽高二檢測)在極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=2acosθ(a>0),l:,C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求a的值.2022/11/22類型三直線與圓的極坐標(biāo)方程綜合題2022/11/21171(2)O為極點(diǎn),A,B為曲線C上的兩點(diǎn),且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.2022/11/22(2)O為極點(diǎn),A,B為曲線C上的兩點(diǎn),且∠AOB=,求172【解題探究】(1)如何判斷曲線的形狀?提示:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程判斷曲線的形狀.2022/11/22【解題探究】(1)如何判斷曲線的形狀?2022/11/21173(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?提示:利用點(diǎn)的極坐標(biāo)以及三角函數(shù)性質(zhì)求最大值.2022/11/22(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?2022/11/21174【解析】(1)由曲線C:ρ=2acosθ(a>0)得ρ2=2aρcosθ,化為直角坐標(biāo)方程為(x-a)2+y2=a2,直線l:得由于直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以d==a,解得a=1,a=-3(舍去).2022/11/22【解析】(1)由曲線C:ρ=2acosθ(a>0)得2022175(2)不妨設(shè)A的極角為θ,B的極角為θ+,當(dāng)θ=-時(shí),|OA|+|OB|取得最大值2.2022/11/22(2)不妨設(shè)A的極角為θ,B的極角為θ+,2022/11176【方法技巧】將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵因?yàn)橹本€和曲線是滿足某種條件的點(diǎn)的集合,所以將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的公式仍然用點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式y(tǒng)=ρsinθ,x=ρcosθ.2022/11/22【方法技巧】將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵2022/11177【變式訓(xùn)練】1.(2016·衡水高二檢測)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到圓ρ=-2cosθ的圓心的距離為(

)2022/11/22【變式訓(xùn)練】1.(2016·衡水高二檢測)在極坐標(biāo)系中,20178【解析】選D.點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,-),圓ρ=-2cosθ即ρ2=-2ρcosθ的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=1,所以點(diǎn)(1,-)到圓心(-1,0)的距離為.2022/11/22【解析】選D.點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,-),圓1792.(2016·北京高考)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ-ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________.2022/11/222.(2016·北京高考)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ-20180【解析】直線ρcosθ-ρsinθ-1=0可化為x-y-1=0.圓ρ=2cosθ可化為ρ2(cos2θ+sin2θ)=2ρcosθ,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圓心(1,0),半徑長為1.圓心在直線AB上,所以|AB|=2.答案:22022/11/22【解析】直線ρcosθ-ρsinθ-1=0可化為x-181自我糾錯(cuò)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程【典例】(2016·漳州高二檢測)化極坐標(biāo)方程ρ2cosθ-ρ=0為直角坐標(biāo)方程為(

)A.x2+y2=0或y=1 B.x=1C.x2+y2=0或x=1 D.y=12022/11/22自我糾錯(cuò)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程2022/11/21182【失誤案例】2022/11/22【失誤案例】2022/11/21183分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯(cuò)的根本原因是忽視了ρ≥0,遺漏了ρ=0的情形.正確解答過程如下:2022/11/22分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出正確答案.2022/11/184【解析】選C.由ρ2cosθ-ρ=0,得ρ(ρcosθ-1)=0,所以ρ=0或ρcosθ-1=0,即x2+y2=0或x=1.2022/11/22【解析】選C.由ρ2cosθ-ρ=0,得ρ(ρcosθ-1)1852022/11/222022/11/21186四

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介2022/11/22四2022/11/21187【自主預(yù)習(xí)】1.柱坐標(biāo)系如圖,在柱坐標(biāo)系中,ρ:_____θ:______z:___范圍:ρ≥0,__≤θ<____,____<z<____.|OQ|∠xOQQP02π-∞+∞2022/11/22【自主預(yù)習(xí)】|OQ|∠xOQQP02π-∞+∞2022/111882.球坐標(biāo)系如圖,在球坐標(biāo)系中,r:_____φ:______θ:______范圍:r≥0,__________,__________.|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ<2π2022/11/222.球坐標(biāo)系|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ<2π21893.點(diǎn)的空間坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化公式設(shè)空間一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z),柱坐標(biāo)為(ρ,θ,z),球坐標(biāo)為(r,φ,θ),則2022/11/223.點(diǎn)的空間坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化公式設(shè)空間一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,190空間直角坐標(biāo)(x,y,z)轉(zhuǎn)換公式柱坐標(biāo)(ρ,θ,z)

球坐標(biāo)(r,φ,θ)

ρcosθρsinθzrsinφcosθrsinφsinθrcosφ2022/11/22空間直角坐標(biāo)(x,y,z)轉(zhuǎn)換公式柱坐標(biāo)球坐標(biāo)ρcosθ191【即時(shí)小測】1.柱坐標(biāo)系中,點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為

(

)A.(2,2,3)

B.(2,3,0)

C.(0,2,3)

D.(2,0,3)2022/11/22【即時(shí)小測】2022/11/21192【解析】選C.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z),柱坐標(biāo)為(ρ,θ,z),因?yàn)?ρ,θ,z)=

2022/11/22【解析】選C.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z),柱坐標(biāo)為(ρ193所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(0,2,3).2022/11/22所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(0,2,3).2022/11942.將球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(

)A.(1,,1) B.(1,,0)C.(1,0,) D.(0,,1)2022/11/222.將球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為()2022195【解析】選D.點(diǎn)的球坐標(biāo)(r,φ,θ)化為直角坐標(biāo)為(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),所以化為直角坐標(biāo)為2022/11/22【解析】選D.點(diǎn)的球坐標(biāo)(r,φ,θ)化為直角坐標(biāo)為(x,y196【知識探究】探究點(diǎn)柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)?2022/11/22【知識探究】2022/11/21197提示:(1)柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系都是以空間直角坐標(biāo)系為背景,柱坐標(biāo)系在平面xOy內(nèi)構(gòu)造平面極坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系是構(gòu)造點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離|OP|=r與射線Oz構(gòu)成極坐標(biāo)系,且OP在平面xOy內(nèi)的射影與射線Ox也構(gòu)成平面極坐標(biāo)系.2022/11/22提示:(1)柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系都是以空間直角坐標(biāo)系為背景,柱198(2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),柱坐標(biāo)是含有一個(gè)極角的有序數(shù)組(ρ,θ,z),球坐標(biāo)是含有兩個(gè)極角的有序數(shù)組(r,φ,θ).2022/11/22(2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),柱坐標(biāo)是含有1992.要刻畫空間一點(diǎn)的位置,就距離和角的個(gè)數(shù)來說有什么限制?提示:空間點(diǎn)的坐標(biāo)都是三個(gè)數(shù)值,至少有一個(gè)是距離.2022/11/222.要刻畫空間一點(diǎn)的位置,就距離和角的個(gè)數(shù)來說有什么限制?2200【歸納總結(jié)】1.柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系的關(guān)系柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都要定位在空間直角坐標(biāo)系中,柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)在平面xOy內(nèi)的坐標(biāo)是極坐標(biāo),豎坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)系的豎坐標(biāo)相同;球坐標(biāo)系中,則以一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和兩個(gè)角(高低角、極角)刻畫點(diǎn)的位置.2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/212012.對球坐標(biāo)系的三點(diǎn)說明(1)在球心為O,r為半徑的球中,建立球坐標(biāo)系,如圖,其中,|OP|=r與射線Oz構(gòu)成極坐標(biāo)系,且OP在平面xOy內(nèi)的射影OQ與射線Ox也構(gòu)成極坐標(biāo)系,所以球坐標(biāo)系也稱為空間極坐標(biāo)系.2022/11/222.對球坐標(biāo)系的三點(diǎn)說明2022/11/21202(2)球坐標(biāo)系在地理學(xué)、天文學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,在測量實(shí)踐中,球坐標(biāo)P(r,φ,θ)中的角θ稱為被測點(diǎn)P的方位角,90°-φ稱為高低角.(3)在球坐標(biāo)系中,方程r=r0(r0為正常數(shù))表示球心在原點(diǎn),半徑為r0的球面;2022/11/22(2)球坐標(biāo)系在地理學(xué)、天文學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,在測量實(shí)踐中203方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示過z軸的半平面,且與平面xOz所成的二面角為θ0;方程φ=φ0(0≤φ0≤π)表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),半頂角為φ0的“圓錐面”,其中心軸為z軸,當(dāng)φ0=時(shí),“圓錐面”為平面xOy;當(dāng)φ0<時(shí),“圓錐面”在平面xOy上方;當(dāng)φ0>時(shí),“圓錐面”在平面xOy下方.2022/11/22方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示過z軸的半平面,且與平20204類型一柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化【典例】把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(2,2,4)化為柱坐標(biāo).2022/11/22類型一柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化2022/11/21205【解題探究】直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)互化的依據(jù)是什么?提示:直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)互化的依據(jù)是公式2022/11/22【解題探究】直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)互化的依據(jù)是什么?2022/11206【解析】點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(2,2,4)化為柱坐標(biāo)解得所以點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為2022/11/22【解析】點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(2,2,4)化為柱坐標(biāo)207【方法技巧】點(diǎn)的柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化公式設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z),柱坐標(biāo)為(ρ,θ,z),(1)柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式為即柱坐標(biāo)(ρ,θ,z)的直角坐標(biāo)為(x,y,z)=(ρcosθ,ρsinθ,z).2022/11/22【方法技巧】點(diǎn)的柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化公式2022/11208(2)直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)的公式為即直角坐標(biāo)(x,y,z)的柱坐標(biāo)為其中,且θ的終邊經(jīng)過(x,y).2022/11/22(2)直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)的公式為2022/11/21209【變式訓(xùn)練】1.將點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(

)A.(,1,-1)

B.(,-1,-1)C.(-,1,-1) D.(-,-1,-1)2022/11/22【變式訓(xùn)練】1.將點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)20210【解析】選C.因?yàn)镸點(diǎn)的柱坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x,y,z),所以即所以2022/11/22【解析】選C.因?yàn)镸點(diǎn)的柱坐標(biāo)為20222112.將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(-,-3,4)化為柱坐標(biāo)為________.2022/11/222.將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(-,-3,4)化為柱坐標(biāo)為____212【解析】設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z),柱坐標(biāo)為(ρ,θ,z),因?yàn)?x,y,z)=(-,-3,4),由公式且θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-,-3),故θ=,2022/11/22【解析】設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z),柱坐標(biāo)為2022/213所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)(-,-3,4)化為柱