新廣東高考數(shù)學(xué)理科步步高二輪復(fù)習(xí)專題突破32三角變換與解三角形(含答案解析)

第2講三角變換與解三角形(介紹時間：60分鐘)一、選擇題1．(2014浙·江)為了獲取函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖象，可以將函數(shù)y＝2cos3x的圖象()ππA．向右平移4個單位B．向左平移4個單位π個單位D．向左平移π個單位C．向右平移1212答案C剖析由于y＝sin3x＋cos3x＝π2sin(3x＋)4＝2sin[3(x＋ππ12)]，又y＝2cos3x＝2sin(3x＋2)＝ππ2sin[3(x＋)]，因此應(yīng)由y＝2cos3x的圖象向右平移個單位獲取．612ππ3，則cosα等于()2．已知α∈(，π)，sin(α＋)＝524272A．－10B.1027272C．－10或10D．－10答案A剖析∵α∈(ππ3π，5π)．，α)．∴α＋∈(24443sin(α＋4)＝5，4∴cos(α＋4)＝－5，ππππ4×23×2＝－2∴cosα＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin()＝－52＋210.444453．在△ABC中，若sinC225)sinA＝3，b－a＝ac，則cosB的值為(211A.3B.211C.5D.4答案D剖析由正弦定理：c＝sinC＝3，asinA222c2－5ac1c5351a＋c－b2.由余弦定理：cosB＝2ac＝＝×－＝－＝2ac2a42444．(2013陜·西)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定答案B剖析由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，π因此sinA＝1，由0<A<π，得A＝，因此△ABC為直角三角形．25．已知tanβ＝4，sin(α＋β)＝5，其中α，β∈(0，π)，則sinα的值為()3136333A.65B.65136333C.65D.65或65答案A剖析π依題意得sinβ＝4，cosβ＝3.注意到sin(α＋β)＝5<sinβ，因此有α＋β>(否則，若α55132ππ＋β≤，則有0<β<α＋β≤，0<sinβ<sin(α＋β)，這與“sin(α＋β)<sinβ”矛盾)，則cos(α＋β)＝2212，sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝63.13656．已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且tanB＝22－3→→1，22，BC·BA＝a－b＋c2則tanB等于()3A.2B.3－1C．2D．2－3答案D剖析→→→→由題意得，BC·BA＝|BC||BA|cos·BaccosB＝1，即cosB＝1，22ac由余弦定理，222得cosB＝a＋c－b＝12＋c2－b2＝1，2ac2ac?a因此tanB＝a22－232＝2－3，應(yīng)選D.－b＋c二、填空題π＝1，且－π2sin2α＋sin2α7．已知tanα＋2<α<0，則＝________.42cosα－π4答案－255剖析由tanα＋π＝tanα＋1＝1，142得tanα＝－.1－tanα3又－π10.<α<0，可得sinα＝－1022sin2α＋sin2α2sinαsinα＋cosα故cosα－π＝2sinα＋cosα42＝22sinα＝－255.52π8．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a＝5，b＝3，A＝，則cos4B＝________.答案223剖析sinB＝bsinA＝1.a3又在△ABC中，a>b，因此cosB＝22.3πππ9．已知0<α<<β<π，cos(β－)＝1，sin(α＋β)＝4，則cos(α＋)＝________.2435482－3答案15π剖析由于0<α<2<β<π，ππ3ππ3π因此<β－<4，2<α＋β<2.44π因此sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.4π14由于cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，435π223.因此sin(β－)＝3，cos(α＋β)＝－54ππ因此cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]44ππ＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)4431422＝82－3.＝－×＋×31553510．如圖，嵩山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道400米到達(dá)D處，回頭看索道登800米方到達(dá)C處，則索道

AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°；從B處登攀AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150°；從D處再攀AC的長為________米．答案40013剖析如題圖，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.由于∠ADC＝150°，因此∠ADB30°.因此∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD＝ADsin∠DABsin∠ABD.因此400＝AD，得AD＝4003(米)．sin30°sin120°在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理，可得AC2＝AD2＋CD2－2×AD×CD×cos∠ADC(4003)2＋8002－2×4003×800×cos150°＝4002×13，解得AC＝40013(米)．故索道AC的長為40013米．三、解答題11．(2014·徽安)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，A2B.求a的值；π(2)求sinA＋4的值．解(1)由于A＝2B，因此sinA＝sin2B＝2sinBcosB.a2＋c2－b2由正、余弦定理得a＝2b·.2ac由于b＝3，c＝1，因此a2＝12，a＝23.b2＋c2－a29＋1－121(2)由余弦定理得cosA＝2bc＝＝－.63由于0<A<π，因此sinA＝21＝22.1－cosA＝1－39故sinπ＝sinAcosππ222124－2A＋4＋cosAsin＝＋－3＝6.443×2×2π12．已知函數(shù)f(x)＝4cosωx·sin(ωx－6)＋1(ω>0)的最小正周期是π.求f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間；3π求f(x)在[8，8]上的最大值和最小值．π解(1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx－6)＋1＝23sinωxcosωx－2cos2ωx＋1π＝3sin2ωx－cos2ωx＝2sin(2ωx－6)．2π最小正周期是2ω＝π，因此，ω＝1，π從而f(x)＝2sin(2x－6)．πππ令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z.262ππ解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.63ππ因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間為[－6＋kπ，3＋kπ](k∈Z)．π3πππ7π(2)當(dāng)x∈[，]時，2x－∈[，12]，88612π6－2f(x)＝2sin(2x－6)∈[2，2]，π3π6－2因此f(x)在[8，8]上的最大值和最小值分別為2，2.13．已知角A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，若向量A－B)，n＝(5，m＝(1－cos(A＋B)，cos28A－B9cos2)，且m·n＝8.(1)求tanAtanB的值；absinC(2)求a2＋b2－c2的最大值．解552A－B(1)m·n＝－cos(A＋B)＋cos28891998－8cosAcosB＋8sinAsinB＝8，cosAcosB＝9sinAsinB得tanAtan