高中數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)問題十六_第1頁
高中數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)問題十六_第2頁
高中數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)問題十六_第3頁
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挑戰(zhàn)問題16如圖1，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P是邊AD上的一動點（不與點A、D重合），連接PC,E是邊AB上一點，設(shè)BE=a,若存在唯一點P，使∠EPC=90°，則a、AP的值分別為。（要求：至少用三種方法，看誰的方法多.）圖1思路圖1解法1：如圖1，根據(jù)題意得：AE=6-a，設(shè)AP=x,則PD=10-x，由△EAP∽△PDC,得EAPD=APDC，即6-a10-x=x6，化簡x2圖2解法2：連接CE，設(shè)AP=x,則EP2=x2+6-a2，PC2=62+10-x2圖2總結(jié)：基于“唯一“條件”，即AP的長度唯一，設(shè)AP=x,通過相似，勾股定理建立關(guān)于x的方程，進而根據(jù)X的唯一性得到方程的判別式等于0的解。圖3圖3分析：由于AP的長唯一，∠EPC=90°，所以以EC為直徑的圓與AD相切。解法3：如圖3，設(shè)以CE為直徑的☉O與AD切于點P,延長PO交BC于點F，則AE∥PO∥CD,由EO==CO,可得P為AD的中點，因為△EAP∽△PDC,得EAPD=APDC，6-a圖4解法4：由作圖可知，點O、點F為CE、BC的中點，所以O(shè)F=12BE=a2，CE=2PO=26-a圖4解法5：由圖3可知：S△EPC=12PC·PE=12BC·OP所以52+解法6：如圖4，設(shè)以CE為直徑的圓與AD切于點P，延長EP，CD交于點M，則AE∥PO∥CD，因為OE=OC,得AP=PD=5，得△EAP≌△MDP,MD=AE=6-a,由PD2=CD·MD得52=6總結(jié)：∠EPC=∠EBC=90°可得點B、C、P、E四點共圓，由P點存在的唯一位置,且∠EPC=90°,可判斷以CE為直徑的圓與AD切于點P，進而得到AP=DP=5.圖圖5思路3：建立平面直角坐標(biāo)系，利用兩直線垂直的斜率乘積為-1.解法7：如圖5，以B為坐標(biāo)原點，分別以邊BC，BA所在直線建立x，y軸，設(shè)AP=x,則kPC=-610-x,得kPC·kEP=-1,下同解法1.總結(jié)：通過建立平面

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