數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第16章-多元函數(shù)的極限與連續(xù)

§1

平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì),同時(shí)又因自變量的增多而產(chǎn)生了許多新的性質(zhì),讀者對這些新性質(zhì)尤其要加以注意.下面著重討論二元函數(shù),由二元函數(shù)可以方便地推廣到一般的多元函數(shù)中去.

一、平面點(diǎn)集二、R2

上的完備性定理三、二元函數(shù)四、n

元函數(shù)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,一、平面點(diǎn)集※平面點(diǎn)集的一些基本概念由于二元函數(shù)的定坐標(biāo)平面上滿足某種條件P

的點(diǎn)的集合,稱為平對與平面上所有點(diǎn)之間建立起了一一對應(yīng).在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后,所有有序?qū)崝?shù)義域是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集,因此在討論二元函數(shù)之前，有必要先了解平面點(diǎn)集的一些基本概念.

面點(diǎn)集,記作一、平面點(diǎn)集※平面點(diǎn)集的一些基本概念由于二元函數(shù)例如：

(2)(3)例如：(2)(3)圖16–1

(a)

圓C

(b)矩形S

圖16–2

(a)

圓鄰域

(b)

方鄰域

圖16–1(a)圓C(b)矩形S由于點(diǎn)

A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)

A的某一方鄰域之內(nèi)(反之亦然),因此通常用“點(diǎn)A的鄰用記號或來表示.

點(diǎn)

A的空心鄰域是指:或并用記號

來表示.域”或“點(diǎn)A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域,并由于點(diǎn)A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)A的某一方鄰域之內(nèi)(注意:不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫成

:(請指出※

點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系以下三種關(guān)系之一

:任意一點(diǎn)

與任意一個(gè)點(diǎn)集

之間必有E的內(nèi)點(diǎn);由E的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E(i)內(nèi)點(diǎn)—若則稱點(diǎn)

A是的內(nèi)部,記作intE.

錯(cuò)在何處?)注意:不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫成:(請指出※點(diǎn)和(ii)外點(diǎn)—若則稱點(diǎn)A是

E的外點(diǎn);由

E的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱(iii)

界點(diǎn)—若

恒有(

其中

),則稱點(diǎn)A是E的界點(diǎn)．由E的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E的邊界,記作注

E的內(nèi)點(diǎn)必定屬于E;E的外點(diǎn)必定不屬于E;

E的界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.并請注意:為E的外部.

(ii)外點(diǎn)—若則稱點(diǎn)A是E的外點(diǎn);由E只有當(dāng)時(shí),E的外部與

才是兩個(gè)相同的集合.圖16–3例1

設(shè)平面點(diǎn)集（見圖16–3）于D;滿足的一切點(diǎn)也是D的內(nèi)點(diǎn);滿足的一切點(diǎn)是D的界點(diǎn),它們都屬滿足的一切點(diǎn)都是D的界點(diǎn),但它們都不屬于D.只有當(dāng)時(shí),E的外部與才是兩個(gè)相同的集合.圖點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來區(qū)分的.此外，還可按“疏-密”來區(qū)分，即在點(diǎn)A的近旁是否密集著E中無窮多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系:(i)

聚點(diǎn)—若在點(diǎn)A的任何空心鄰域內(nèi)都含有E中的點(diǎn)，則稱點(diǎn)A是點(diǎn)集E的聚點(diǎn)．注1聚點(diǎn)本身可能屬于E，也可能不屬于E.注2聚點(diǎn)的上述定義等同于:“在點(diǎn)A的任何鄰域內(nèi)都含有E中的無窮多個(gè)點(diǎn)”.注3

E的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E的導(dǎo)集,記點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來區(qū)分的.作

又稱為E

的閉包,記作例如,對于例1中的點(diǎn)集D,它的導(dǎo)集與閉包同為其中滿足

的那些聚點(diǎn)不屬于D,而其余

所有聚點(diǎn)都屬于D.(ii)

孤立點(diǎn)—若點(diǎn)

,但不是E的聚點(diǎn)（即存

在某δ

>

0,使得

則稱點(diǎn)A是

E的孤立點(diǎn).注孤立點(diǎn)必為界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必作又稱為E的閉包,記作例如,對于例1中為聚點(diǎn);既非聚點(diǎn),又非孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).例2

設(shè)點(diǎn)集

顯然,E中所有點(diǎn)(p,q)全為E的孤立點(diǎn);并有※

一些重要的平面點(diǎn)集根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì),可來定義一些重要的點(diǎn)集.開集—若點(diǎn)集E所屬的每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)(即E=intE),則稱E為開集.為聚點(diǎn);既非聚點(diǎn),又非孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).例2閉集—若點(diǎn)集E的所有聚點(diǎn)都屬于E

則稱E為閉集.若點(diǎn)集E沒有聚點(diǎn)這時(shí)也稱E為閉集.例如前面列舉的點(diǎn)集中,(2)式所示的C是開集;(3)式所示的S是閉集;(4)式所示的D既非開集,又

非閉集;而(1)式所示的R2

既是開集又是閉集.在平面點(diǎn)集中,只有R2

與

是既開又閉的.開域—若非空開集E具有連通性,即E中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于E的有限折線相連接,閉集—若點(diǎn)集E的所有聚點(diǎn)都屬于E則稱E為閉集.則稱E為開域.簡單地說,開域就是非空連通開集.

閉域—開域連同其邊界所成的集合稱為閉域.區(qū)域—開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所成的集合,統(tǒng)稱為區(qū)域.不難證明:閉域必為閉集;而閉集不一定為閉域.在前述諸例中,(2)式的C是開域,(3)式的S

是閉域,(1)式的R2既是開域又是閉域,(4)式的D是區(qū)域(但既不是開域又不是閉域).又如則稱E為開域.簡單地說,開域就是非空連通開集.它是I、III兩象限之并集.雖然它是開集,但因不具有連通性,所以它既不是開域,也不是區(qū)域.有界點(diǎn)集—對于平面點(diǎn)集E,若使其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)(也可以是其他固定點(diǎn)),則稱E

是有界點(diǎn)集.否則就是無界點(diǎn)集(請具體寫出定義).

前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)與(5)是無界集.E為有界點(diǎn)集的另一等價(jià)說法是:存在矩形區(qū)域它是I、III兩象限之并集.雖然它是開集,但因此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來反映,

所謂點(diǎn)集E的直徑,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)

與P2(x2,y2)之間的距

離,即

于是,當(dāng)且僅當(dāng)d(E)為有限值時(shí),E為有界點(diǎn)集.根據(jù)距離的定義,不難證明如下三角形不等式:

此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來反映,所謂點(diǎn)集※

舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例3

證明:對任何恒為閉集.證如圖16–4所示,設(shè)的任一聚點(diǎn)，欲證（即亦為的界點(diǎn)）.為此由聚點(diǎn)定義，存在圖

16–４

再由為界點(diǎn)的定義,

在

※舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例3證明:對任何恒為閉集.的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,

為的界點(diǎn),即,這就證得為閉集．注類似地可以證明:對任何點(diǎn)集

亦恒為閉集.(

留作習(xí)題

)例4設(shè)

試證

E

為閉集的充要條件是：

內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的點(diǎn).所以,由的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,為的界③①

②

圖16–5

證下面按循環(huán)流程圖16–5來分別作出證明.

已知為閉集(

即),欲證

反之顯然有

③①②圖16–5證下面按循環(huán)流程圖16–綜合起來,便證得②已知欲證為此

外點(diǎn),反之顯然

③綜合起來,便證得②已知欲證為此外點(diǎn),反注此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論:

(i)閉集也可用“”來定義

(只是使用

起來一般不如“”方便,因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn)

有許多便于應(yīng)用的性質(zhì))．(ii)閉集與開集具有對偶性質(zhì)—閉集的余集為開

集;開集的余集為閉集.利用此性質(zhì),有時(shí)可以通

過討論

來認(rèn)識E.注此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論:例5

以下兩種說法在一般情形下為什么是錯(cuò)的?(i)

既然說開域是“非空連通開集”，那么閉域就是

“非空連通閉集”；(ii)

要判別一個(gè)點(diǎn)集是否是閉域,只要看其去除邊界后所得的是否為一開域,即答(i)例如取

這是一個(gè)非空連

通閉集.但因它是前面(5)式所示的集合G與其邊界(二坐標(biāo)軸)的并集(即),而G不是例5以下兩種說法在一般情形下為什么是錯(cuò)的?(i)開域,故S

不是閉域(不符合閉域的定義).(a)(b)(c)

圖16–6

(ii)如圖16–6所示,(a)中的點(diǎn)集為D;(b)中的點(diǎn)集為

(c)

中的點(diǎn)集為易見E為一開域,據(jù)定義F則為閉域；然而

開域,故S不是閉域(不符合閉域的定義).顯然不符合它為閉域的定義.由此又可見到:二、R2上的完備性定理

※

平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則反映實(shí)數(shù)系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理,構(gòu)成了一元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).現(xiàn)在把這些定理推廣到R2,它們同樣是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).

顯然不符合它為閉域的定義.定義1

設(shè)

為一列點(diǎn),為一固定點(diǎn).則稱點(diǎn)列{Pn}收斂于點(diǎn)P0,

記作同樣地有定義1設(shè)為一列點(diǎn),為一固定點(diǎn).則稱點(diǎn)列{Pn由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限,因

此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.

定理16.1(柯西準(zhǔn)則)收斂的充要條件是:證（必要性）由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限,因此立即得應(yīng)用三角形不等式,立刻得到(充分性)

當(dāng)(6)式成立時(shí),同時(shí)有這說明{xn}和{yn}都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則,

所以它們都收斂.

由點(diǎn)列收斂概念,推知

{

Pn

}

收斂于點(diǎn)P0(x0,y0).

應(yīng)用三角形不等式,立刻得到(充分性)當(dāng)(6)式成

(這是一個(gè)重要命題,證明留作習(xí)題.)※

下述區(qū)域套定理,是區(qū)間套定理在R2

上的推廣.定理16.2(閉域套定理)

設(shè){Dn

}是R2中的一列閉

域,它滿足：(這是一個(gè)重要命題,證明留作習(xí)題.)※下述區(qū)域套圖16–7

則存在唯一的點(diǎn)證任取點(diǎn)列從而有(參見圖16–7)

由柯西準(zhǔn)則知道存在圖16–7則存在唯一的點(diǎn)證任取點(diǎn)列從而有任意取定n,對任何正整數(shù)p,有再令由于Dn是閉域,故必定是閉集,

因此

作為Dn的聚點(diǎn)必定屬于Dn

,即最后證明

的唯一性.若還有則由任意取定n,對任何正整數(shù)p,有再令由于Dn推論注把上面的{Dn

}改為一列閉集,命題同樣成立.※

下面討論中的聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理.定理16.3(聚點(diǎn)定理)

若為有界無限點(diǎn)集,則

E在R2中至少有一個(gè)聚點(diǎn).

證現(xiàn)用閉域套定理來證明.由于E有界,因此存在一個(gè)閉正方形.如圖16–8所示,把D1分成四個(gè)相同的小正方形,則在其中至少有一小閉

正方形含有E中無限多個(gè)點(diǎn),把它記為D2.再對

推論注把上面的{Dn}改為一列閉集,命題同樣圖16–8

D2如上法分成四個(gè)更小

的正方形,其中又至少有一個(gè)小閉正方形含有E

的無限多個(gè)點(diǎn).如此下去,

得到一個(gè)閉正方形序列：很顯然,

{

Dn

}

的邊長隨著而趨于零.

于是由閉域套定理,存在一點(diǎn)圖16–8D2如上法分成四個(gè)更小的最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含有E的無限多個(gè)點(diǎn),這就證得了M0是E的聚點(diǎn).推論

有界無限點(diǎn)列

必存在收斂子列

(

證明可仿照R中的相應(yīng)命題去進(jìn)行.

)

定理16.4(有限覆蓋定理)

設(shè)為一有界閉域

,為一族開域

,它覆蓋了D

中必存在有限個(gè)開域

它們

同樣覆蓋了D,

即最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)相仿,在此從略.

注

將本定理中的D改設(shè)為有界閉集,而將改設(shè)為一族開集,此時(shí)定理結(jié)論依然成立.

例7

設(shè)試證E為有界閉集的充要條件

是:E的任一無窮子集Eq必有聚點(diǎn),且聚點(diǎn)屬于本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)證(必要性)E有界

有界,由聚點(diǎn)定理

,必有聚點(diǎn).又因的聚點(diǎn)亦為E的聚點(diǎn),而E為閉集,所以該聚點(diǎn)必屬于

E．(充分性)

先證E為有界集.倘若E為無界集,則

存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列易見這個(gè)子集無聚點(diǎn),

這與已知條件相矛盾.再證

E為閉集.為此設(shè)P0為E

的任一聚點(diǎn),由聚

點(diǎn)的等價(jià)定義,存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列

使證(必要性)E有界有界,由聚點(diǎn)定理,必有聚點(diǎn).現(xiàn)把看作,由條件的聚點(diǎn)(即)必屬于

E,

所以E為閉集.

三、二元函數(shù)

※

函數(shù)(或映射)是兩個(gè)集合之間的一種確定的對

應(yīng)關(guān)系.R到R的映射是一元函數(shù),R2到R的映射則是二元函數(shù).

現(xiàn)把看作,由條件定義2

設(shè)平面點(diǎn)集,若按照某對應(yīng)法則f,

D中每一點(diǎn)P(x,y)都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng),則稱f為定義在D上的二元函數(shù)(或稱f為

D到R的一個(gè)映射),記作也記作或點(diǎn)函數(shù)形式定義2設(shè)平面點(diǎn)集,若按照某對與一元函數(shù)相類似,稱D為f的定義域;而稱

為f在點(diǎn)P的函數(shù)值;全體函數(shù)值的集合為f的

值域,記作.通常把P的坐標(biāo)x與y稱為f的自變量,而把z稱為因變量.

當(dāng)把和它所對應(yīng)的

一起組成

三維數(shù)組(x,y,z)時(shí),三維點(diǎn)集便是二元函數(shù)f的圖象.通常該圖象是一空間曲

與一元函數(shù)相類似,稱D為f的定義域;而稱面,f的定義域D是該曲面在xOy平面上的投影.

例8

函數(shù)的圖象是R3

中的一個(gè)平面,其定義域是R2,值域是R.例9的定義域是xOy平面上的

單位圓域,值域?yàn)閰^(qū)間[0,1],

它的圖象是以原點(diǎn)為中心的單位球面的上半部分

(圖16–9).

例10是定義在R2上的函數(shù),它的圖象是過原點(diǎn)的雙曲拋物面(圖16–10).面,f的定義域D是該曲面在xOy平面上的投影圖16–9

圖16–10

圖16–11

圖16–9圖16–10圖16–11例11

是定義在R2上的函數(shù),值域是全體非負(fù)整數(shù),它的圖象示于圖16–11.

※若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集,則稱函數(shù)在D上為一有界函數(shù)(如例9中的函數(shù)).否則,

若是無界數(shù)集,則稱函數(shù)在D上為一無界

函數(shù)(如例8、10、11中的函數(shù)).與一元函數(shù)類似地,設(shè)則有例11是例12設(shè)函數(shù)(

此函數(shù)在以后還有特殊用處

)試用等高線法討論曲面

的形狀.解用為一系列常數(shù)

)去截曲面得等高線方程例12設(shè)函數(shù)(此函數(shù)在以后還有特殊用處)試用當(dāng)時(shí),得平面上的四條直線當(dāng)時(shí),由等高線的直角坐標(biāo)方程難以看出它

的形狀.若把它化為極坐標(biāo)方程,即令得到如圖16–12所示,為所對應(yīng)的一

族等高線.

當(dāng)時(shí),得平面上的四條直線圖16–12

圖16–12圖16–13由此便可想象曲面的大致形狀如圖16–13所示,

坐標(biāo)原點(diǎn)是曲面的一個(gè)鞍點(diǎn),四道“山谷”與四道

“山脊”在鞍點(diǎn)處相匯.圖16–13由此便可想象曲面的大致形狀如圖16–四、n元函數(shù)所有n個(gè)有序?qū)崝?shù)組的全體稱為n

維向量空間,簡稱n維空間,記作Rn.其中每個(gè)有

序?qū)崝?shù)組稱為Rn中的一個(gè)點(diǎn);n個(gè)

實(shí)數(shù)是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)E為Rn中的點(diǎn)集,若有某個(gè)對應(yīng)法則f,使E

中每一點(diǎn)都有惟一的一個(gè)實(shí)數(shù)y

與之對應(yīng),則稱f為定義在E上的n元函數(shù),記作

四、n元函數(shù)所有n個(gè)有序?qū)崝?shù)組的全也常寫成或?qū)τ诤笠环N被稱為“點(diǎn)函數(shù)”的寫法,它可使多元

函數(shù)與一元函數(shù)在形式上盡量保持一致,以便仿照

一元函數(shù)的辦法來處理多元函數(shù)中的許多問題;

同時(shí),還可把二元函數(shù)的很多論斷推廣到

元函數(shù)中來.

也常寫成或?qū)τ诤笠环N被稱為“點(diǎn)函數(shù)”的寫法,它可使復(fù)習(xí)思考題1.

試問在R中的開集、閉集、開域、閉域、區(qū)域等集合是數(shù)直線上怎樣一些點(diǎn)集？

2.設(shè)E,F

分別是R2中的開集和閉集．試問在

R3

中E是否仍為開集？F是否仍為閉集？

3.R中的單調(diào)有界性定理和確界原理,為什么在

R2中沒有直接對應(yīng)的命題？4.

為什么說“在一切平面點(diǎn)集中，只有R2與

是既開又閉的點(diǎn)集”？復(fù)習(xí)思考題1.試問在R中的開集、閉集、開5.

前面正文中有如下命題：設(shè)則有試為之寫出證明．圖16–146.5.前面正文中有如下命題：設(shè)則有試為之寫出證明．圖§2

二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限相類似，二元函數(shù)的極限

同樣是二元函數(shù)微積分的基礎(chǔ).但因自變量個(gè)數(shù)

的增多,導(dǎo)致多元函數(shù)的極限有重極限與累次極

限兩種形式,而累次極限是一元函數(shù)情形下所不會出現(xiàn)的.

一、二元函數(shù)的極限二、累次極限

§2二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限相類似，二元函數(shù)的極一、二元函數(shù)的極限

定義1

設(shè)二元函數(shù)

定義在上,為

D的

一個(gè)聚點(diǎn),A是一實(shí)數(shù).若

使得當(dāng)

時(shí),都有

在對不致產(chǎn)生誤解時(shí),也可簡單地寫作

則稱在

D上當(dāng)時(shí)以

A為極限,記作

一、二元函數(shù)的極限定義1設(shè)二元函數(shù)定義在上,為當(dāng)P,分別用坐標(biāo)表示時(shí),上式也

常寫作例1

依定義驗(yàn)證證因?yàn)楫?dāng)P,分別用坐標(biāo)表示時(shí),上式也常寫作例1依定不妨先限制在點(diǎn)(2,1)的方鄰域內(nèi)來討論,于是有不妨先限制在點(diǎn)(2,1)的方鄰域內(nèi)來討論,于是有當(dāng)

時(shí),就有

這就證得所以當(dāng)時(shí),就有這就證得所以例2

設(shè)證明證

(證法一)例2設(shè)證明證(證法一)可知故

注意不要把上面的估計(jì)式錯(cuò)寫成：可知故注意不要把上面的估計(jì)式錯(cuò)寫成：因?yàn)?/p>

的過程只要求即

而并不要求(證法二)

作極坐標(biāo)變換這時(shí)

等價(jià)于(對任何).由于

因此，對任何

因?yàn)榈倪^程只要求即而并不要求(證法二)作極都有下述定理及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸結(jié)原則(而且證明方法也相類似).定理16.5

的充要條件是：對于D的

任一子集

E,只要仍是

E的聚點(diǎn),就有都有下述定理及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸結(jié)原則(而且推論1若,P0是E1的聚點(diǎn),使不存在,則

也不存在．

推論2

若

是它們的聚點(diǎn)，使得都存在，但,則不存在．推論1若,P0是E1的聚點(diǎn),使不存在,推論3

極限存在的充要條件是：D中任

一滿足條件

它所

對應(yīng)的函數(shù)列都收斂．

下面三個(gè)例子是它們的應(yīng)用．例3

討論

當(dāng)

時(shí)是否存在極限．(注:本題結(jié)論很重要,以后常會用到.)解當(dāng)動(dòng)點(diǎn)(x,y)沿著直線而趨于定點(diǎn)(0,0)推論3極限存在的充要條件是：D中任一滿足條件它時(shí)，由于

,因此有這說明動(dòng)點(diǎn)沿不同斜率m的直線趨于原點(diǎn)時(shí),對應(yīng)的極限值不相同，因而所討論的極限不存在．時(shí)，由于,因此有這說明動(dòng)點(diǎn)沿不同斜率m的直線趨如圖16-15所示,當(dāng)(x,y)沿任何直線趨于原點(diǎn)時(shí),相應(yīng)的

都趨于0,但這并不表明此函數(shù)在

如圖16-15所示,當(dāng)(x,y)沿任何直線趨于原時(shí)的極限為0.因?yàn)楫?dāng)

(x,y)

沿拋物線

趨于點(diǎn)O時(shí),

將趨于1.所以極限不存在.

例5討論在

時(shí)不

存在極限．解利用定理16.5的推論2,需要找出兩條路徑,沿著此二路徑而使

時(shí),得到兩個(gè)相異

的極限．時(shí)的極限為0.因?yàn)楫?dāng)(x,y)沿拋物線趨于第一條路徑簡單地取

此時(shí)有第二條路徑可考慮能使的分子與

分母化為同階的無窮小,導(dǎo)致極限不為0.按此思路的一種有效選擇,是取此時(shí)得到第一條路徑簡單地取此時(shí)有第二條路徑可考慮能使的分子這就達(dá)到了預(yù)期的目的．(非正常極限)的定義．

定義2

設(shè)D為二元函數(shù)

f

的定義域，

是D

的一個(gè)聚點(diǎn).若使得則稱f

在D上當(dāng)時(shí),有非正常極限,記作下面再給出當(dāng)時(shí),這就達(dá)到了預(yù)期的目的．(非正常極限)的定義．定義2或仿此可類似地定義：例6

設(shè).證明證此函數(shù)的圖象見圖16-16.或仿此可類似地定義：例6設(shè)數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第16章-多元函數(shù)的極限與連續(xù)因,故對只需取這就證得結(jié)果．二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿,特同,這里不再一一敘述.看作點(diǎn)函數(shù)別把時(shí),相應(yīng)的證法也相因,故對只需取這就證得結(jié)果．二元函數(shù)極限的四則法二、累次極限是以任何方式趨于這種極限也稱為重極限.下面要考察x與y依一定的先后順序,相繼趨在上面的極限中,自變量于

與

時(shí)f的極限,這種極限稱為累次極限.定義3

設(shè),x0是Ex的聚點(diǎn),y0是Ey的聚點(diǎn),二元函數(shù)f在集合

上有定義.若二、累次極限是以任何方式趨于這種極限也稱為重極限.下面對每一個(gè),存在極限由于此極限一般與y有關(guān),因此記作而且進(jìn)一步存在極限則稱此L為f先對后對的累次

極限,并記作對每一個(gè),存在極限或簡記作類似地可以定義先對y后對x的累次極限:累次極限與重極限是兩個(gè)不同的概念,兩者之間沒有蘊(yùn)涵關(guān)系.

下面三個(gè)例子將說明這一點(diǎn).或簡記作類似地可以定義先對y后對x的累次極限:例7設(shè).由例3知道當(dāng)時(shí)的重極限不存在.但當(dāng)時(shí),有從而又有同理可得

例7設(shè).由例3知道當(dāng)時(shí)的重極限不存在.但當(dāng)這說明f的兩個(gè)累次極限都存在而且相等.累次極限分別為例8

設(shè),它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)

這說明f的兩個(gè)累次極限都存在而且相等.當(dāng)沿斜率不同的直線時(shí),易

知所得極限也不同.因此該函數(shù)的重極限不存在.(下面的定理16.6將告訴我們,這個(gè)結(jié)果是必然的.)例９

設(shè),它關(guān)于原點(diǎn)的兩

個(gè)累次極限都不存在.這是因?yàn)閷θ魏螘r(shí),f

的第二項(xiàng)不存在極限.同理,f的第一項(xiàng)當(dāng)時(shí)也不存在極限.但是由于

當(dāng)沿斜率不同的直線時(shí),易知所得極限也不同.因此該函數(shù)故按定義1知道f的重極限存在,且下述定理告訴我們:重極限與累次極限在一定條件下也是有聯(lián)系的.定理16.6

若f(x,y)在點(diǎn)存在重極限故按定義1知道f的重極限存在,且與累次極限則他們必定相等.證設(shè)則使得當(dāng)

時(shí),有的x,存在極限另由存在累次極限之假設(shè),對任一滿足不等式與累次極限則他們必定相等.證設(shè)則使得當(dāng)回到不等式(1),讓其中,由(3)可得故由(2),(4)兩式,證得,即由這個(gè)定理立即導(dǎo)出如下兩個(gè)便于應(yīng)用的推論.推論1

若累次極限,回到不等式(1),讓其中,由(3)可得故由(2),和重極限都存在,則三者相等.推論2

若累次極限都存在但不相等,則重極限必不

存在.請注意:(i)定理16.6保證了在重極限與一個(gè)累次和重極限都存在,則三者相等.推論2若累次極限都存在但極限都存在時(shí),它們必相等.但對另一個(gè)累次極限的存在性卻得不出什么結(jié)論,對此只需考察本節(jié)習(xí)題之2(5).(ii)推論1給出了累次極限次序可交換的一個(gè)充分條件；(iii)推論2可被用來否定重極限的存在性(如例8).例10設(shè)極限都存在時(shí),它們必相等.但對另一個(gè)累次極限的存在性卻試證明:證

試證明:證根據(jù)柯西準(zhǔn)則,證得根據(jù)柯西準(zhǔn)則,證得又有利用條件(ii)與結(jié)論,又有利用條件(ii)與結(jié)論,這就證得注本例給出了二累次極限相等的又一充分條件.與定理16.6的推論1相比較,在這里的條件(i)與(ii)成立時(shí),重極限

未必存在.這就證得注本例給出了二累次極限相等的又一充分條件.與定復(fù)習(xí)思考題試問累次極限是否就是動(dòng)點(diǎn)復(fù)習(xí)思考題試問累次極限是否就是動(dòng)點(diǎn)數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第16章-多元函數(shù)的極限與連續(xù)§3

二元函數(shù)的連續(xù)性

無論是單元微積分還是多元微積分,其中所討論的函數(shù),最重要的一類就是連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)連續(xù)性的定義比一元函數(shù)更一般化了些;而它們的局部性質(zhì)與在有界閉域上的整體性質(zhì),二者完全相同.一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)§3二元函數(shù)的連續(xù)性無論是單元微積分還是多元微積分,一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念※

連續(xù)性的定義若只要,就有則稱

f關(guān)于集合

D在點(diǎn)

連續(xù).在不致誤解的情形下,也稱

f在點(diǎn)

連續(xù).若

f在

D上任何點(diǎn)都關(guān)于集合

D連續(xù),則稱

f為

D

上的連續(xù)函數(shù).定義1

設(shè)

f

為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù),

一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念※連續(xù)性的定義若只要,就有則稱由上述定義知道:若

是

D的孤立點(diǎn),則

必定是f的連續(xù)點(diǎn).若

是D的聚點(diǎn),則f關(guān)于集合D在點(diǎn)

連續(xù)等價(jià)于如果

是D的聚點(diǎn),而(2)式不成立(其含義與一元函數(shù)的對應(yīng)情形相同),則稱

是f的不連續(xù)點(diǎn)(或稱間斷點(diǎn)).特別當(dāng)(2)式左邊極限存在,但不等于如上節(jié)例1、2給出的函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù);例3、4、5是f的可去間斷點(diǎn).

時(shí),由上述定義知道:若是D的孤立點(diǎn),則必定是f給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù).又若把上述例3的函數(shù)改為上，這時(shí)由于其中m為固定實(shí)數(shù),亦即函數(shù)f只定義在

給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù).又若把上述例3的函數(shù)改為上，這時(shí)由在坐標(biāo)原點(diǎn)的連續(xù)性．因此此時(shí)f

在原點(diǎn)連因此f在原點(diǎn)沿著直線是連續(xù)的．例1

討論函數(shù)解由于當(dāng)在坐標(biāo)原點(diǎn)的連續(xù)性．因此此時(shí)f在原點(diǎn)連因此f在原續(xù);而當(dāng)不存在，

此時(shí)

在原點(diǎn)間斷．

※

全增量與偏增量設(shè)量形式來描述連續(xù)性,即當(dāng)為函數(shù)f在點(diǎn)

的全增量.和一元函數(shù)一樣,可用增續(xù);而當(dāng)不存在，此時(shí)在原點(diǎn)間斷．※全增量與時(shí),f在點(diǎn)

連續(xù).如果在全增量中取

則相應(yīng)得到的

增量稱為偏增量,分別記作一般說來,函數(shù)的全增量并不等于相應(yīng)的兩個(gè)偏增

量之和.時(shí),f在點(diǎn)連續(xù).如果在全增量中取則相應(yīng)若一個(gè)偏增量的極限為零,

如則表示當(dāng)固定

時(shí),

作為x的函數(shù),它

在

x0

連續(xù).同理,

則表示當(dāng)

容易證明:當(dāng)f在其定義域的內(nèi)點(diǎn)連續(xù)時(shí),在x0與

在y0都連續(xù).但是反過來,由二元函數(shù)對單個(gè)自變量都連續(xù)，一般不能保證該函數(shù)的連續(xù)性(除非另外增加條件).例如二元函數(shù)固定時(shí)，在y0連續(xù).若一個(gè)偏增量的極限為零,如則表示當(dāng)固定時(shí),作在原點(diǎn)處顯然不連續(xù),但由于f(0,y)=f(x,0)=0,因此它在原點(diǎn)處對x和對y分別都連續(xù).例2設(shè)在區(qū)域連續(xù)．試證在下列條件之一滿足時(shí)，處處連續(xù)：

(i)對其中一個(gè)變量(例如y)滿足李普希茨條件,即

使得對任何在原點(diǎn)處顯然不連續(xù),但由于f(0,y)=f((ii)對其中一個(gè)變量(x)的連續(xù)關(guān)于另一個(gè)變量(y)是一致的,即(iii)參見本節(jié)習(xí)題第9題(這里不作證明).證(i)(ii)對其中一個(gè)變量(x)的連續(xù)關(guān)于另一個(gè)變量(y又當(dāng)又當(dāng)(ii)又由f對x的連續(xù)關(guān)于y

是一致的,故(ii)又由f對x的連續(xù)關(guān)于y是一致的,故這就證得※

連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各個(gè)法則.下面只證明二元若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù),則與一元函數(shù)一樣,可以證明它在這一點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號性這就證得※連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理,其余留給讀者自己去練習(xí).定理16.7(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)

設(shè)函數(shù)和

義,并在點(diǎn)Q0連續(xù),其中則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)P0也連續(xù).證

由f在點(diǎn)Q0連續(xù)可知：

使得當(dāng)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義,并在點(diǎn)連續(xù);f(u,v)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理,其余留給讀者自己去練習(xí).定理16時(shí),有又由、在點(diǎn)P0連續(xù)可知:對上述

使得當(dāng)時(shí),有綜合起來,當(dāng)

時(shí),便有所以在點(diǎn)連續(xù).時(shí),有又由、在點(diǎn)P0連續(xù)可知:對上述二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì).這可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣.定理16.8(有界性定理與最大、小值定理)

若二元函數(shù)f在有界閉域上連續(xù),則f在D上有界,且能取得最大值與最小值.證

先證明

f

在D上有界.

倘若不然,則

存

使得在二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的于是得到一個(gè)有界點(diǎn)列

,且能使中有無

窮多個(gè)不同的點(diǎn).由聚點(diǎn)定理的推論,存在收斂

子列,設(shè).因D是閉域,從而.又因f在D上連續(xù),當(dāng)然在點(diǎn)

也連續(xù),于是有這與不等式(3)矛盾，所以f

是D上的有界函數(shù).下面證明f

在D上能取到最大、小值.

為此設(shè)可證必有一點(diǎn),使(同理可證存在

于是得到一個(gè)有界點(diǎn)列,且能使中有無窮多個(gè)不同的點(diǎn).由,使).如若不然,對任意,都

有.考察D上的正值連續(xù)函數(shù)由前面的證明知道,F在D上有界.又因f

不能在D上達(dá)到上確界M,所以存在收斂點(diǎn)列

,使

.于是有,這導(dǎo)致與F

在D上有界的結(jié)論相矛盾,從而證得f

在D上能取到最大值.,使).如若不然,對任意,都有.考察D上的正定理16.9(一致連續(xù)性定理)

若函數(shù)f在有界閉域上連續(xù),則

f在D上一致連續(xù).即存在只依懶于的

使得對一切滿足證本定理可參照第七章中證明一致連續(xù)性定理的理來證明.這里我們采用后一種證法.方法,運(yùn)用有限覆蓋定理來證明,也可以運(yùn)用聚點(diǎn)定

倘若f在D上連續(xù)而不一致連續(xù),則存在某對于任意小的例如,總有

必有

的點(diǎn)定理16.9(一致連續(xù)性定理)若函數(shù)f在有界閉相應(yīng)的,雖然,但是

由于D為有界閉域,因此存在收斂子列并設(shè).再在中取出與下

標(biāo)相同的子列

則因有.最后,由

f

在P0連續(xù),得相應(yīng)的,雖然,但是由于D為有界閉域,因此存在收這與相矛盾,所以f在D

上一致連續(xù).定理16.10

(

介值性定理

)

設(shè)函數(shù)

f

在區(qū)域

上連續(xù),若P1,P2為D中任意兩點(diǎn),且則對任何滿足不等式證作輔助函數(shù)的實(shí)數(shù),必存在點(diǎn),使得這與相矛盾,所以f在D上一致連續(xù).定理16.易見F仍在D上連續(xù),且由

(4)

式知道下面證明必存在,使圖16-18

易見F仍在D上連續(xù),且由(4)式知道下面證明必由于D為區(qū)域,我們可以用有限段都在D中的折線連結(jié)P1和P2(如圖16-18).若有某一個(gè)連接點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值為0,則定理得證.否則從一端開始逐段檢查,必定存在某直線段,使得F在它兩端的函數(shù)值異號.不失一般性,設(shè)連結(jié)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線段含于D,其方程為由于D為區(qū)域,我們可以用有限段都在D中的折線連在此直線段上,F變?yōu)殛P(guān)于t的復(fù)合函數(shù)：由于G為[0,1]上的一元連續(xù)函數(shù).且因此由一元函數(shù)根的存在定理,在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn)

使得

.記則有,使得在此直線段上,F變?yōu)殛P(guān)于t的復(fù)合函數(shù)：由于G為有連通性的.界閉集(證明過程無原則性變化).但是介值性定理中所考察的點(diǎn)集D只能假設(shè)是一區(qū)域,這是為了保證它具有連通性,而一般的開集或閉集是不一定具續(xù)函數(shù),則f(D)必定是一個(gè)區(qū)間(有限或無限).注2

由定理16.10又可知道,若f為區(qū)域D上的連例3注1

定理16.8與16.9中的有界閉域D可以改為有有連通性的.界閉證由定理16.9知道證由定理16.9知道這就證得復(fù)習(xí)思考題1.在一元函數(shù)連續(xù)性定義中,如何引入“孤立點(diǎn)必為這兩種說法有何不同？你喜歡哪一種說法?等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)”.當(dāng)引入了“孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn)”后，上述結(jié)論便可簡單地說成是:“任何初等函數(shù)在其定義域上處處連續(xù).”試討論連續(xù)點(diǎn)”這個(gè)概念？2.

在討論一元初等函數(shù)時(shí)有一個(gè)重要結(jié)論:“任何初這就證得復(fù)習(xí)思考題1.在一元函數(shù)連續(xù)性定義中,如何引入“§1

平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì),同時(shí)又因自變量的增多而產(chǎn)生了許多新的性質(zhì),讀者對這些新性質(zhì)尤其要加以注意.下面著重討論二元函數(shù),由二元函數(shù)可以方便地推廣到一般的多元函數(shù)中去.

一、平面點(diǎn)集二、R2

上的完備性定理三、二元函數(shù)四、n

元函數(shù)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,一、平面點(diǎn)集※平面點(diǎn)集的一些基本概念由于二元函數(shù)的定坐標(biāo)平面上滿足某種條件P

的點(diǎn)的集合,稱為平對與平面上所有點(diǎn)之間建立起了一一對應(yīng).在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后,所有有序?qū)崝?shù)義域是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集,因此在討論二元函數(shù)之前，有必要先了解平面點(diǎn)集的一些基本概念.

面點(diǎn)集,記作一、平面點(diǎn)集※平面點(diǎn)集的一些基本概念由于二元函數(shù)例如：

(2)(3)例如：(2)(3)圖16–1

(a)

圓C

(b)矩形S

圖16–2

(a)

圓鄰域

(b)

方鄰域

圖16–1(a)圓C(b)矩形S由于點(diǎn)

A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)

A的某一方鄰域之內(nèi)(反之亦然),因此通常用“點(diǎn)A的鄰用記號或來表示.

點(diǎn)

A的空心鄰域是指:或并用記號

來表示.域”或“點(diǎn)A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域,并由于點(diǎn)A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)A的某一方鄰域之內(nèi)(注意:不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫成

:(請指出※

點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系以下三種關(guān)系之一

:任意一點(diǎn)

與任意一個(gè)點(diǎn)集

之間必有E的內(nèi)點(diǎn);由E的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E(i)內(nèi)點(diǎn)—若則稱點(diǎn)

A是的內(nèi)部,記作intE.

錯(cuò)在何處?)注意:不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫成:(請指出※點(diǎn)和(ii)外點(diǎn)—若則稱點(diǎn)A是

E的外點(diǎn);由

E的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱(iii)

界點(diǎn)—若

恒有(

其中

),則稱點(diǎn)A是E的界點(diǎn)．由E的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E的邊界,記作注

E的內(nèi)點(diǎn)必定屬于E;E的外點(diǎn)必定不屬于E;

E的界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.并請注意:為E的外部.

(ii)外點(diǎn)—若則稱點(diǎn)A是E的外點(diǎn);由E只有當(dāng)時(shí),E的外部與

才是兩個(gè)相同的集合.圖16–3例1

設(shè)平面點(diǎn)集（見圖16–3）于D;滿足的一切點(diǎn)也是D的內(nèi)點(diǎn);滿足的一切點(diǎn)是D的界點(diǎn),它們都屬滿足的一切點(diǎn)都是D的界點(diǎn),但它們都不屬于D.只有當(dāng)時(shí),E的外部與才是兩個(gè)相同的集合.圖點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來區(qū)分的.此外，還可按“疏-密”來區(qū)分，即在點(diǎn)A的近旁是否密集著E中無窮多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系:(i)

聚點(diǎn)—若在點(diǎn)A的任何空心鄰域內(nèi)都含有E中的點(diǎn)，則稱點(diǎn)A是點(diǎn)集E的聚點(diǎn)．注1聚點(diǎn)本身可能屬于E，也可能不屬于E.注2聚點(diǎn)的上述定義等同于:“在點(diǎn)A的任何鄰域內(nèi)都含有E中的無窮多個(gè)點(diǎn)”.注3

E的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E的導(dǎo)集,記點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來區(qū)分的.作

又稱為E

的閉包,記作例如,對于例1中的點(diǎn)集D,它的導(dǎo)集與閉包同為其中滿足

的那些聚點(diǎn)不屬于D,而其余

所有聚點(diǎn)都屬于D.(ii)

孤立點(diǎn)—若點(diǎn)

,但不是E的聚點(diǎn)（即存

在某δ

>

0,使得

則稱點(diǎn)A是

E的孤立點(diǎn).注孤立點(diǎn)必為界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必作又稱為E的閉包,記作例如,對于例1中為聚點(diǎn);既非聚點(diǎn),又非孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).例2

設(shè)點(diǎn)集

顯然,E中所有點(diǎn)(p,q)全為E的孤立點(diǎn);并有※

一些重要的平面點(diǎn)集根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì),可來定義一些重要的點(diǎn)集.開集—若點(diǎn)集E所屬的每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)(即E=intE),則稱E為開集.為聚點(diǎn);既非聚點(diǎn),又非孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).例2閉集—若點(diǎn)集E的所有聚點(diǎn)都屬于E

則稱E為閉集.若點(diǎn)集E沒有聚點(diǎn)這時(shí)也稱E為閉集.例如前面列舉的點(diǎn)集中,(2)式所示的C是開集;(3)式所示的S是閉集;(4)式所示的D既非開集,又

非閉集;而(1)式所示的R2

既是開集又是閉集.在平面點(diǎn)集中,只有R2

與

是既開又閉的.開域—若非空開集E具有連通性,即E中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于E的有限折線相連接,閉集—若點(diǎn)集E的所有聚點(diǎn)都屬于E則稱E為閉集.則稱E為開域.簡單地說,開域就是非空連通開集.

閉域—開域連同其邊界所成的集合稱為閉域.區(qū)域—開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所成的集合,統(tǒng)稱為區(qū)域.不難證明:閉域必為閉集;而閉集不一定為閉域.在前述諸例中,(2)式的C是開域,(3)式的S

是閉域,(1)式的R2既是開域又是閉域,(4)式的D是區(qū)域(但既不是開域又不是閉域).又如則稱E為開域.簡單地說,開域就是非空連通開集.它是I、III兩象限之并集.雖然它是開集,但因不具有連通性,所以它既不是開域,也不是區(qū)域.有界點(diǎn)集—對于平面點(diǎn)集E,若使其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)(也可以是其他固定點(diǎn)),則稱E

是有界點(diǎn)集.否則就是無界點(diǎn)集(請具體寫出定義).

前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)與(5)是無界集.E為有界點(diǎn)集的另一等價(jià)說法是:存在矩形區(qū)域它是I、III兩象限之并集.雖然它是開集,但因此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來反映,

所謂點(diǎn)集E的直徑,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)

與P2(x2,y2)之間的距

離,即

于是,當(dāng)且僅當(dāng)d(E)為有限值時(shí),E為有界點(diǎn)集.根據(jù)距離的定義,不難證明如下三角形不等式:

此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來反映,所謂點(diǎn)集※

舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例3

證明:對任何恒為閉集.證如圖16–4所示,設(shè)的任一聚點(diǎn)，欲證（即亦為的界點(diǎn)）.為此由聚點(diǎn)定義，存在圖

16–４

再由為界點(diǎn)的定義,

在

※舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例3證明:對任何恒為閉集.的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,

為的界點(diǎn),即,這就證得為閉集．注類似地可以證明:對任何點(diǎn)集

亦恒為閉集.(

留作習(xí)題

)例4設(shè)

試證

E

為閉集的充要條件是：

內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的點(diǎn).所以,由的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,為的界③①

②

圖16–5

證下面按循環(huán)流程圖16–5來分別作出證明.

已知為閉集(

即),欲證

反之顯然有

③①②圖16–5證下面按循環(huán)流程圖16–綜合起來,便證得②已知欲證為此

外點(diǎn),反之顯然

③綜合起來,便證得②已知欲證為此外點(diǎn),反注此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論:

(i)閉集也可用“”來定義

(只是使用

起來一般不如“”方便,因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn)

有許多便于應(yīng)用的性質(zhì))．(ii)閉集與開集具有對偶性質(zhì)—閉集的余集為開

集;開集的余集為閉集.利用此性質(zhì),有時(shí)可以通

過討論

來認(rèn)識E.注此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論:例5

以下兩種說法在一般情形下為什么是錯(cuò)的?(i)

既然說開域是“非空連通開集”，那么閉域就是

“非空連通閉集”；(ii)

要判別一個(gè)點(diǎn)集是否是閉域,只要看其去除邊界后所得的是否為一開域,即答(i)例如取

這是一個(gè)非空連

通閉集.但因它是前面(5)式所示的集合G與其邊界(二坐標(biāo)軸)的并集(即),而G不是例5以下兩種說法在一般情形下為什么是錯(cuò)的?(i)開域,故S

不是閉域(不符合閉域的定義).(a)(b)(c)

圖16–6

(ii)如圖16–6所示,(a)中的點(diǎn)集為D;(b)中的點(diǎn)集為

(c)

中的點(diǎn)集為易見E為一開域,據(jù)定義F則為閉域；然而

開域,故S不是閉域(不符合閉域的定義).顯然不符合它為閉域的定義.由此又可見到:二、R2上的完備性定理

※

平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則反映實(shí)數(shù)系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理,構(gòu)成了一元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).現(xiàn)在把這些定理推廣到R2,它們同樣是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).

顯然不符合它為閉域的定義.定義1

設(shè)

為一列點(diǎn),為一固定點(diǎn).則稱點(diǎn)列{Pn}收斂于點(diǎn)P0,

記作同樣地有定義1設(shè)為一列點(diǎn),為一固定點(diǎn).則稱點(diǎn)列{Pn由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限,因

此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.

定理16.1(柯西準(zhǔn)則)收斂的充要條件是:證（必要性）由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限,因此立即得應(yīng)用三角形不等式,立刻得到(充分性)

當(dāng)(6)式成立時(shí),同時(shí)有這說明{xn}和{yn}都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則,

所以它們都收斂.

由點(diǎn)列收斂概念,推知

{

Pn

}

收斂于點(diǎn)P0(x0,y0).

應(yīng)用三角形不等式,立刻得到(充分性)當(dāng)(6)式成

(這是一個(gè)重要命題,證明留作習(xí)題.)※

下述區(qū)域套定理,是區(qū)間套定理在R2

上的推廣.定理16.2(閉域套定理)

設(shè){Dn

}是R2中的一列閉

域,它滿足：(這是一個(gè)重要命題,證明留作習(xí)題.)※下述區(qū)域套圖16–7

則存在唯一的點(diǎn)證任取點(diǎn)列從而有(參見圖16–7)

由柯西準(zhǔn)則知道存在圖16–7則存在唯一的點(diǎn)證任取點(diǎn)列從而有任意取定n,對任何正整數(shù)p,有再令由于Dn是閉域,故必定是閉集,

因此

作為Dn的聚點(diǎn)必定屬于Dn

,即最后證明

的唯一性.若還有則由任意取定n,對任何正整數(shù)p,有再令由于Dn推論注把上面的{Dn

}改為一列閉集,命題同樣成立.※

下面討論中的聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理.定理16.3(聚點(diǎn)定理)

若為有界無限點(diǎn)集,則

E在R2中至少有一個(gè)聚點(diǎn).

證現(xiàn)用閉域套定理來證明.由于E有界,因此存在一個(gè)閉正方形.如圖16–8所示,把D1分成四個(gè)相同的小正方形,則在其中至少有一小閉

正方形含有E中無限多個(gè)點(diǎn),把它記為D2.再對

推論注把上面的{Dn}改為一列閉集,命題同樣圖16–8

D2如上法分成四個(gè)更小

的正方形,其中又至少有一個(gè)小閉正方形含有E

的無限多個(gè)點(diǎn).如此下去,

得到一個(gè)閉正方形序列：很顯然,

{

Dn

}

的邊長隨著而趨于零.

于是由閉域套定理,存在一點(diǎn)圖16–8D2如上法分成四個(gè)更小的最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含有E的無限多個(gè)點(diǎn),這就證得了M0是E的聚點(diǎn).推論

有界無限點(diǎn)列

必存在收斂子列

(

證明可仿照R中的相應(yīng)命題去進(jìn)行.

)

定理16.4(有限覆蓋定理)

設(shè)為一有界閉域

,為一族開域

,它覆蓋了D

中必存在有限個(gè)開域

它們

同樣覆蓋了D,

即最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)相仿,在此從略.

注

將本定理中的D改設(shè)為有界閉集,而將改設(shè)為一族開集,此時(shí)定理結(jié)論依然成立.

例7

設(shè)試證E為有界閉集的充要條件

是:E的任一無窮子集Eq必有聚點(diǎn),且聚點(diǎn)屬于本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)證(必要性)E有界

有界,由聚點(diǎn)定理

,必有聚點(diǎn).又因的聚點(diǎn)亦為E的聚點(diǎn),而E為閉集,所以該聚點(diǎn)必屬于

E．(充分性)

先證E為有界集.倘若E為無界集,則

存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列易見這個(gè)子集無聚點(diǎn),

這與已知條件相矛盾.再證

E為