信號與系統(tǒng)教案第1章

消息(message):信息(information):信號(signal):人們常常把來自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為消息。通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。本課程中對“信息”和“消息”兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分。信號是信息的載體。通過信號傳遞信息。一、信號的概念信號實(shí)例

信號我們并不陌生。如剛才鈴聲—聲信號，表示該上課了；十字路口的紅綠燈—光信號，指揮交通；電視機(jī)天線接受的電視信息—電信號；廣告牌上的文字、圖象信號等等。信號的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。如手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。系統(tǒng)的基本作用是對信號進(jìn)行傳輸和處理。系統(tǒng)輸入信號激勵輸出信號響應(yīng)二、系統(tǒng)的概念一個(gè)典型的電系統(tǒng)—通信系統(tǒng)系統(tǒng)實(shí)例通信系統(tǒng)控制系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)自動化防空系統(tǒng)社會系統(tǒng)系統(tǒng)的基本特點(diǎn)作為一個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量函數(shù)的信號都包含了有關(guān)某些現(xiàn)象特性的信息；系統(tǒng)總是對給定的信號做出響應(yīng)而產(chǎn)生出另外的信號系統(tǒng)中的信號信號：(實(shí)例)常常是時(shí)間的函數(shù)f(t)常常是一維信號信號與系統(tǒng)的關(guān)系：互相依存信號是運(yùn)載消息的工具，要很好的利用信號，需經(jīng)過系統(tǒng)的傳輸、處理.系統(tǒng)則是為傳輸信號或?qū)π盘栠M(jìn)行處理而由元器件構(gòu)成的某種組合。離開了信號，系統(tǒng)就失去了意義.§1.2信號一、定義：信號是帶有信息的（如聲音、圖象等）隨時(shí)間（或空間）變化的物理量。數(shù)學(xué)意義上的定義：信號?？杀硎緸闀r(shí)間函數(shù)（或序列），該函數(shù)的圖像稱為信號的波形。

二、信號分類：是否具有確定的表達(dá)確定信號隨機(jī)信號混沌信號

確定信號與隨機(jī)信號有著密切的聯(lián)系從函數(shù)的定義域（時(shí)間）是否連續(xù)：

連續(xù)時(shí)間信號離散時(shí)間信號

？模擬信號與數(shù)字信號兩個(gè)重要信號單位階躍函數(shù)單位階躍序列二、信號分類：從信號的重復(fù)性：

周期信號非周期信號連續(xù)f（t）=f（t+mT）離散f（k）=f（k+mN）N為整數(shù)

正弦系列實(shí)例二、信號分類：實(shí)信號:物理可實(shí)現(xiàn)的復(fù)信號:理論分析重要——復(fù)指數(shù)信號

表達(dá)式：實(shí)信號和復(fù)信號

σ＞0，增幅振蕩σ＜0，衰減振蕩（阻尼振蕩）σ=0，等幅振蕩σ>0σ<0σ=0復(fù)指數(shù)信號實(shí)部的波形當(dāng)ω=0，f（t）=eσt為實(shí)指數(shù)信號當(dāng)σ=ω=0，f（t）=1，為直流信號復(fù)指數(shù)信號可以描述多種基本信號直流信號指數(shù)信號正弦信號正弦指數(shù)衰減(或增長)信號重要特性：對時(shí)間的微分和積分仍然是復(fù)指數(shù)信號。二、信號分類：從能量有限和功率有限的角度：功率信號：也就是功率有限信號，0＜P＜∞（E—＞∞），如周期信號、階躍信號能量信號：也就是能量有限信號，0＜E＜∞（p=0），如矩形脈沖、衰減的指數(shù)§1.3信號的基本運(yùn)算一、加法和乘法信號+干擾圖象+噪聲遙感圖象的目標(biāo)識別調(diào)制、解調(diào)04/2007/xhyxt/wlkc/二、反轉(zhuǎn)和平移

反轉(zhuǎn)：f(t)—＞f(-t)以縱坐標(biāo)為軸反折倒相：f(t)—＞-f(t)以橫坐標(biāo)為軸反折平移：右移f(t)—＞f(t-t0)t0>0左移f(t)—＞f(t+t0)t0>0平移與反轉(zhuǎn)結(jié)合：f(t)—＞f(-t-t0)t0>0注意：先平移后反轉(zhuǎn)f[-（t+t0）]若先反轉(zhuǎn)f（-t）則f（-t-t0）為左移

三、尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）

f(t)—＞f(at)若a＞1，以原點(diǎn)（t=0）為基準(zhǔn)，壓縮1/a若0＜a＜1，以原點(diǎn)（t=0）為基準(zhǔn)，展寬1/a若a＜0，反轉(zhuǎn)并壓縮或展寬至1/|a|

四、復(fù)合運(yùn)算

f(t)—＞f(-at+b)a<0順序：先平移f(t)—＞f(t+b)；再反轉(zhuǎn)f(-t+b)；最后尺度變換f(-at+b).例1.3-2

另一種方法：f(t)—＞f(-at+b)a<0寫出信號f(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后以變量-at+b代替原函數(shù)f(t)中的變量t，就可以得到f(-at+b)的函數(shù)表達(dá)式。小提示：可以通過分析信號值域的非零區(qū)間來檢驗(yàn)結(jié)果的正確性。課堂練習(xí)：P33

1.2(6)(10),1.3(a)(b)，1.6(1)(2)

§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。普通函數(shù)描述的是自變量與因變量間的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系（如質(zhì)量、電荷的空間分布，電流、電壓隨時(shí)間變化的關(guān)系等）。如果要考察物理量在空間或時(shí)間坐標(biāo)上集中于一點(diǎn)的物理現(xiàn)象（如質(zhì)量集中于一點(diǎn)的密度分布，作用時(shí)間趨于零的沖擊力，寬度趨于零的電脈沖等），普通函數(shù)的概念就不夠用了，而沖激函數(shù)就是描述這類現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。研究奇異函數(shù)要用廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。下面將直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)，然后討論沖激函數(shù)的性質(zhì)。一、階躍函數(shù)和沖激函數(shù)選定一個(gè)函數(shù)序列的導(dǎo)數(shù)是幅度為n/2，寬度為2/n的矩形脈沖。脈沖波形下的面積為1，稱為函數(shù)的強(qiáng)度。當(dāng)n→∞時(shí)，函數(shù)在的鄰域由0立即躍變?yōu)?，其斜率為無限大，而在處的值仍可認(rèn)為是1/2。這個(gè)函數(shù)就定義為單位階躍函數(shù)。當(dāng)n→∞時(shí)，函數(shù)pn(t)的寬度趨于零，而幅度趨于無限大，但其強(qiáng)度仍等于1。這個(gè)函數(shù)就定義為單位沖激函數(shù)，用δ(t)表示。階躍函數(shù)與沖激函數(shù)的關(guān)系是動畫狄拉克（Dirac）給出了沖激函數(shù)的另一種定義式中的含義是該函數(shù)波形下的面積等于1。在t=t1處出現(xiàn)的沖激可寫為

δ(t－t1)。如果a是常數(shù)，則aδ(t)表示出現(xiàn)在t=0處，強(qiáng)度為a的沖激函數(shù)。如a為負(fù)值，則表示強(qiáng)度為|a|的負(fù)沖激。沖激偶的形成門函數(shù)

對于強(qiáng)烈程度和存在時(shí)間的短暫都無法衡量的（儀器分辨率），但其積分值卻是可以預(yù)先決定的物理量，可以用沖激函數(shù)來表示（沖激信號的值可用積分表示）。研究奇異函數(shù)要用廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。二、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義三、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分沖激函數(shù)δ(t)的一階導(dǎo)數(shù)δ(1)(t)又稱作沖激偶。沖激函數(shù)的n階導(dǎo)函數(shù)為

斜升函數(shù)

(普通積分)

1、與普通函數(shù)的乘積當(dāng)在處連續(xù)時(shí)，這也叫做篩選性質(zhì)。特例:即四、沖激函數(shù)的性質(zhì)普通函數(shù)和沖激偶的乘積積分廣義函數(shù)間的乘積沒有定義，如：例：化簡函數(shù)化簡結(jié)果：2、

移位δ(t)表示在t=0處的沖激，在t=t1處的沖激函數(shù)可表示為δ(t－t1)，式中t1為常數(shù)。按廣義函數(shù)的概念，分段連續(xù)函數(shù)在區(qū)間（－∞，∞）的導(dǎo)數(shù)均存在（普通函數(shù)則不然），這給分析運(yùn)算帶來方便。在間斷點(diǎn)t=ti處，其左、右極限分別為f(ti-)和f(ti+),二者之差常稱為跳躍度，用Ji表示，即Ji=f(ti+)-f(ti-)在各間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為于是，分段連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例：求（注意沖激矢量的畫法）

3、

尺度變換設(shè)有常數(shù)a(a≠0),現(xiàn)在研究廣義函數(shù)δ(at)。

4、奇偶性具有偶函數(shù)的性質(zhì)。沖激偶具有奇函數(shù)性質(zhì)。這與看圖的直觀感覺是一致的。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，δ(n)(t)可看作t的偶函數(shù)，例如：δ(t)，δ(2)(t)，…等是t的偶函數(shù)。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，δ(n)(－t)=-δ(n)(t)可看作t的奇函數(shù)，例如：δ(1)(t),δ(3)(t)，…等是t的奇函數(shù)。課堂練習(xí)：P35

1.8作業(yè)：1.5(2),1.6(6)(8),1.7(5)

1.9，1.10(3)(7)§1.5系統(tǒng)的描述按數(shù)學(xué)模型的不同，系統(tǒng)可分為：即時(shí)系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)；連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)；線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)；時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變（非時(shí)變）系統(tǒng)等等。如果系統(tǒng)在任意時(shí)刻的相應(yīng)（輸出信號）僅決定于該時(shí)刻的激勵（輸入信號），而與它過去的歷史狀況無關(guān)，就稱其為即時(shí)系統(tǒng)（或無記憶系統(tǒng)）。全部由無記憶元件（例如電阻）組成的系統(tǒng)是即時(shí)系統(tǒng)。如果系統(tǒng)在任意時(shí)刻的相應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，就稱之為動態(tài)系統(tǒng)（或記憶系統(tǒng)）。含有記憶元件（如電感、電容、寄存器等）的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。本書主要討論動態(tài)系統(tǒng)。一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型當(dāng)系統(tǒng)的激勵是連續(xù)信號時(shí)，若其響應(yīng)也是連續(xù)信號，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)的激勵是離散信號時(shí)，若其響應(yīng)也是離散信號，則稱其為離散系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用，可稱為混合系統(tǒng)。描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，而描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。例：例：例：設(shè)某地區(qū)在第k年的人口為y(k)，人口的正常出生率分別為a和b，而第k年從外地遷入的人口為f(k)，那么該地區(qū)第k年的人口總數(shù)為y(k)=y(k－1)+ay(k－1)－by(k－1)+f(k)二、系統(tǒng)的框圖表示連續(xù)或離散系統(tǒng)除用數(shù)學(xué)方程描述外，還可用框圖表示系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系。表示系統(tǒng)功能的常用基本單元有：積分器（用于連續(xù)系統(tǒng)）或延遲單元（用于離散系統(tǒng)）以及加法器和數(shù)乘器（標(biāo)量乘法器），對于連續(xù)系統(tǒng)，有時(shí)還需用延遲時(shí)間為T的延時(shí)器。它們的表示符號如前圖所示。圖中表示各單元的激勵f(·)與其響應(yīng)y(·)之間的運(yùn)算關(guān)系（圖中箭頭表示信號傳輸?shù)姆较颍?。?.5-1某連續(xù)系統(tǒng)的框圖如圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。例1.5-2某連續(xù)系統(tǒng)如圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。三式相加，得化簡可得為系統(tǒng)的微分方程。例1.5-3某離散系統(tǒng)如圖所示，寫出該系統(tǒng)的差分方程。三式相加，得考慮遲延項(xiàng)，可得為離散系統(tǒng)的差分方程。由以上數(shù)例可見，如已知描述系統(tǒng)的框圖，列寫其微分方程或差分方程的一般步驟是：（1）

選中間變量x(·)。對于連續(xù)系統(tǒng)，設(shè)其最右端積分器的輸出為x(t)；對于離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端遲延單元的輸入為x(k)；（2）

寫出各加法器輸出信號的方程；（3）

消去中間變量x(·)。如果已知系統(tǒng)的微分、差分方程，也可畫出相應(yīng)的框圖。

§1.6系統(tǒng)的性質(zhì)連續(xù)的或離散的動態(tài)系統(tǒng)，按其基本特性可分為線性的與非線性的；時(shí)變的與時(shí)不變（非時(shí)變）的；因果的與非因果的；穩(wěn)定的與不穩(wěn)定的等等。本書主要討論線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡稱LTI(LinearTimeInvariant)系統(tǒng)。一、線性系統(tǒng)的激勵f(·)與響應(yīng)y(·)的關(guān)系可簡記為y(·)=T[f(·)]線性性質(zhì)包含兩個(gè)內(nèi)容：齊次性和可加性。該系統(tǒng)是齊次的或均勻的。該系統(tǒng)是可加的。如果系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)為線性的。動態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)不僅決定于系統(tǒng)的激勵{f(·)}，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。初始狀態(tài)可以看作系統(tǒng)的另一種激勵，這樣，系統(tǒng)的響應(yīng)將取決于兩種不同的激勵，輸入信號{f(·)}和初始狀態(tài){x(0)}。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，用yzi(·)表示，即系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yzs(·)表示，即則線性系統(tǒng)的完全響應(yīng)線性系統(tǒng)的這一性質(zhì)，可稱為分解特性。綜上所述，一個(gè)既具有分解特性、又具有零狀態(tài)線性和零輸入線性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則稱為非線性系統(tǒng)。描述線性系統(tǒng)（離散）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分（差分）方程，而描述非線性連續(xù)（離散）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分（差分）方程。線性性質(zhì)是線性系統(tǒng)所具有的本質(zhì)特性，它是分析和研究線性系統(tǒng)的重要基礎(chǔ)，以后各章所討論的內(nèi)容就建立在線性性質(zhì)的基礎(chǔ)上。二、時(shí)不變性如果系統(tǒng)的參數(shù)都是常數(shù)，它們不隨時(shí)間變化，則稱該系統(tǒng)為時(shí)不變（或非時(shí)變）系統(tǒng)或常參量系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)可以是時(shí)不變的，也可以是時(shí)變的。描述LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分（差分）方程，而描述線性時(shí)變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)變系數(shù)線性微分（差分）方程。由于時(shí)不變系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(·)的形式就與輸入信號接入的時(shí)間無關(guān)，也就是說，如果激勵f(·)作用于系統(tǒng)所引起的響應(yīng)為yzi(·)，那么，當(dāng)激勵延遲一定時(shí)間td（或kd）接入時(shí)，它所引起的零狀態(tài)響應(yīng)也延遲相同的時(shí)間，即若則有例如是變系數(shù)線性微分方程。若R(t)=R，為常數(shù)，則系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)。上圖畫出了線性時(shí)不變系統(tǒng)（連續(xù)系統(tǒng)）的示意圖。線性時(shí)不變系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性（或移位不變性），對離散系統(tǒng)也相類似。非線性系統(tǒng)也有時(shí)變的和時(shí)不變的兩類，本書只討論線性時(shí)不變系統(tǒng)。LTI連續(xù)系統(tǒng)還具有微分特性。如果LTI系統(tǒng)在激勵f(t)作用下，其零狀態(tài)響應(yīng)為yzs(t),那么，當(dāng)激勵為f(t)的導(dǎo)數(shù)df(t)/dt時(shí)，該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為dyzs(t)/dt，即若相應(yīng)的，LTI連續(xù)系統(tǒng)也具有積分特性即若若則利用微分、積分特性可以簡化LTI連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算。三、因果性人們常將激勵與零狀態(tài)響應(yīng)的關(guān)系看成是產(chǎn)生因果關(guān)系，即把激勵看作產(chǎn)生響應(yīng)的原因，而零狀態(tài)響應(yīng)是激勵引起的結(jié)果。稱響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）不出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。對任意時(shí)刻或（可選或）和任意輸入，如果或若其零狀態(tài)響應(yīng)或則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則稱為非因果系統(tǒng)。例如下列的是因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)解釋：若有但在區(qū)間零狀態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)在激勵之前。

借用“因果”一詞，常把t=0時(shí)接入的信號（即在t<0,f(t)=0的信號）稱為因果信號或有始信號。四、穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指，對有界的激勵f(·)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(·)也是有界的，這常稱為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱為穩(wěn)定。否則，小的激勵（如干擾電壓）就會使系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)散（如某支路電流趨于無限）。若系統(tǒng)的激勵時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則稱為不穩(wěn)定的。例如是穩(wěn)定的系統(tǒng)。而某連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)顯然，激勵是有界的，但系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間t的增長而無限增長，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?！?.7LTI系統(tǒng)分析方法概述

一定條件一定條件時(shí)變線性系統(tǒng)LTI非線性系統(tǒng)

研究基礎(chǔ)研究基礎(chǔ)建立方程，求解