數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究與教師專業(yè)發(fā)展鮑建生課件

1數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究與

教師專業(yè)發(fā)展鮑建生華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系jsbao@1數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究與

教師專業(yè)發(fā)展鮑建生jsbao@math一、教師成為研究者20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了一種“反思性轉(zhuǎn)向”。以美國為開端，關(guān)于反思的討論迅速在教師教育界興起。這種討論的結(jié)果就是形成了“教師即研究者”（Elliott，1990）的理念，也就是說，教師不應(yīng)只是他人研究成果的消費者，更應(yīng)成為研究者。技術(shù)型教師（Teacherastechnician）研究型教師（Teacherasresearcher）一、教師成為研究者20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了一種“教與學(xué)在課堂中的統(tǒng)一教學(xué)教材教法教學(xué)內(nèi)容的理解教學(xué)經(jīng)驗焦點：老師如何教？學(xué)習(xí)理論學(xué)習(xí)過程的理解理論模型焦點：學(xué)生如何學(xué)？課堂教與學(xué)在課堂中的統(tǒng)一教學(xué)教材教法學(xué)習(xí)理論課堂學(xué)習(xí)理論的建構(gòu)理論建構(gòu)的第一條途徑：理論建構(gòu)的第二條途徑：一般學(xué)習(xí)理論數(shù)學(xué)教學(xué)情境數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題解決問題的模型教學(xué)經(jīng)驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論特殊化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論一般化反思學(xué)習(xí)理論的建構(gòu)理論建構(gòu)的第一條途徑：理論建構(gòu)的第二條途徑：理論與經(jīng)驗的互動經(jīng)驗理論支持預(yù)測；為研究提供分析框架；具有解釋的能力；能應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象；有助于對復(fù)雜現(xiàn)象的思考；作為資料分析的工具；提供一種深層次交流的語言。源于實踐；實用；個人化；嵌于特定的情境之中；比較模糊，不易表征、把握和傳授；難以跨領(lǐng)域的交流。解釋建構(gòu)理論與經(jīng)驗的互動經(jīng)驗理論支持預(yù)測；源于實踐；解釋建構(gòu)研究風(fēng)格的轉(zhuǎn)變自上而下（演繹法）→自下而上（歸納法）定性研究→定量研究→混合研究教育學(xué)方法（望遠(yuǎn)鏡）→心理學(xué)方法（顯微鏡）→數(shù)學(xué)教育研究方法（？）理論研究（改變理論）→實證研究（檢驗假設(shè)）→行動研究/教學(xué)實驗（解決問題，改變行為）走進(jìn)課堂，解決教與學(xué)中的實際問題！研究風(fēng)格的轉(zhuǎn)變自上而下（演繹法）→自下而上（歸納法）走進(jìn)課堂教師專業(yè)成長與知識結(jié)構(gòu)變化

專家型教師

經(jīng)驗型教師

新手型教師

原理知識（學(xué)科的原理、規(guī)則，一般教學(xué)法知識）

案例知識（學(xué)科教學(xué)的特殊案例、個別經(jīng)驗）

策略知識（運用原理于案例的策略，核心是反思）教師專業(yè)成長與知識結(jié)構(gòu)變化專家型教師8教師專業(yè)發(fā)展的焦點:(1)PCK學(xué)科教學(xué)知識內(nèi)容知識學(xué)習(xí)者知識背景知識一般教學(xué)法課程知識教育目標(biāo)教學(xué)推理理解轉(zhuǎn)化教學(xué)評價反思新理解8教師專業(yè)發(fā)展的焦點:(1)PCK學(xué)科教學(xué)知識內(nèi)容知識學(xué)PCK的核心成分如何做學(xué)情調(diào)查，了解不同學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)識方式與差異呈現(xiàn)方式多樣化策略的選擇與應(yīng)用對呈現(xiàn)效果的檢測與反饋如何將特定的知識呈現(xiàn)給不同學(xué)生的策略哪些知識學(xué)生易解，教師可以少講、不講或讓學(xué)生自學(xué)？哪些問題是學(xué)生容易混淆或難以理解的？學(xué)生常見的錯誤是什么？如何辨析和糾

正？學(xué)生在學(xué)習(xí)某一知識過程中容易誤解和混淆的問題某一知識在整個學(xué)科體系中的地位和作用上位知識與下位知識的聯(lián)系新舊知識間的聯(lián)系所學(xué)知識與兒童生活、經(jīng)驗的聯(lián)系知識間的聯(lián)系學(xué)科本身最核心、最基本的知識學(xué)科的思想、方法、精神和態(tài)度對學(xué)生今后學(xué)習(xí)和發(fā)展最有價值的知識學(xué)科最核心、最有價值的知識指標(biāo)PCK的成分PCK的核心成分如何做學(xué)情調(diào)查，了解不同學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)識學(xué)科知識教學(xué)內(nèi)容知識一般的內(nèi)容知識CCK專門的內(nèi)容知識SCK橫向的內(nèi)容知識HCK內(nèi)容與學(xué)生的知識KCS內(nèi)容與教學(xué)的知識KCT內(nèi)容與課程的知識KCC用于教學(xué)的數(shù)學(xué)知識分布圖（Ball等，2008）(2)MKT學(xué)科知識教學(xué)內(nèi)容知識一般的專門的橫向的內(nèi)容知識HCK內(nèi)容與11二、課堂教學(xué)研究的視角11二、課堂教學(xué)研究的視角(一)分析學(xué)生的認(rèn)知過程基本問題:認(rèn)知水平可以分幾個水平；學(xué)生目前處于什么水平；如何從低水平過渡到高水平。困難與錯誤類型；成因。教學(xué)對策(一)分析學(xué)生的認(rèn)知過程基本問題:例1：范希爾的幾何思維水平在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希爾夫婦（PierreVanHiele&DinaVanHiele）作為荷蘭一所中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，每天都親身經(jīng)歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識常常超出了學(xué)生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮亞杰的工作。經(jīng)過一段時間的研究，他們提出了幾何思維的五個水平。這一成果最初發(fā)表在他們夫婦于1957年在烏特勒克大學(xué)共同完成的博士論文上。例1：范希爾的幾何思維水平在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的幾何思維水平的劃分水平描述直觀兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對圖形做概括的論述。分析兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性；利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組成要素比較兩個形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無法導(dǎo)出公式和使用正式的定義。幾何思維水平的劃分水平描述兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并幾何思維水平的劃分（續(xù)）水平描述非形式的演繹學(xué)生能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結(jié)果的成立，也未能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系。形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，能比較一個定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件；能寫出一定理的逆定理。嚴(yán)密能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。幾何思維水平的劃分（續(xù)）水平描述非形式的演繹學(xué)生能建立圖形及范希爾理論的特點次序性：幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，要在特定的水平順利發(fā)展，必須具有前一水平的各個概念和策略。也就是說，學(xué)生在沒通過第n-1層次之前，無法到達(dá)第n層次。進(jìn)階性：學(xué)生幾何思維水平的提升是經(jīng)由教學(xué)，而不是隨年齡成長或心理成熟自然而然的。沒有一種教學(xué)方法能讓學(xué)生跳過某一水平而進(jìn)入下一水平。內(nèi)隱性及外顯性：某一水平的內(nèi)隱性質(zhì)成為下一水平的外顯性質(zhì)，如某一個水平上的個人化的模糊概念在下一水平上通過外顯的表征工具(如符號)而得到澄清。語言性：每一層次都有其專屬的階段性語言符號。不適配性：如果學(xué)生的思維處于一個水平,而教師的教學(xué)處于另一個水平,那么就不可能取得預(yù)期的教學(xué)效果.尤其是當(dāng)教師的教材內(nèi)容、教具選擇及語匯使用均屬于較高層次時，學(xué)生將無法理解、思考其過程與結(jié)果。范希爾理論的特點次序性：幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，要范希爾理論的應(yīng)用評價方面：編制范希爾幾何思維水平測試卷，測量我國學(xué)生的幾何思維水平并進(jìn)行差異性分析；課程方面：按照學(xué)生實際的幾何思維水平，確定教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和順序；教學(xué)方面：根據(jù)學(xué)生所在的幾何思維水平的特征進(jìn)行針對性的教學(xué)，幫助學(xué)生從較低層次過渡到較高層次；研究方面：確定其他數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的思維層次，如代數(shù)，概率、統(tǒng)計等。范希爾理論的應(yīng)用評價方面：編制范希爾幾何思維水平測試卷，測例2：認(rèn)知(能力)水平的檢測項目反映理論(IRT)例2：認(rèn)知(能力)水平的檢測項目反映理論(IRT)(二)分析課堂教學(xué)過程基本問題:

教學(xué)模式與形式課堂結(jié)構(gòu)與特征教學(xué)機智與方法典型問題與事件傳統(tǒng)經(jīng)驗與創(chuàng)新(二)分析課堂教學(xué)過程基本問題:研究方法與工具研究視角分析框架指標(biāo)體系編碼方案分析工具實際問題效度與信度的認(rèn)證與檢驗研究方法與工具研究視角分析框架指標(biāo)體系編碼方案分析工具實際問例2：APOS理論操作（Action）過程（Process）圖式（Schema）對象（Object）內(nèi)化壓縮同化與順應(yīng)例2：APOS理論操作過程圖式對象內(nèi)化壓縮同化與順應(yīng)APOS研究的三個基本環(huán)節(jié)對某個特定數(shù)學(xué)概念運用APOS理論進(jìn)行任務(wù)分析；在理論分析的基礎(chǔ)上發(fā)展和應(yīng)用一系列的教學(xué)設(shè)計（其中包括一些非標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)策略，如合作學(xué)習(xí)、計算機輔助教學(xué)等）；收集和分析測試的數(shù)據(jù)以便修改原先的理論分析和教學(xué)設(shè)計。APOS研究的三個基本環(huán)節(jié)對某個特定數(shù)學(xué)概念運用APOS理論APOS理論的應(yīng)用APOS理論有兩個方面的作用：提供有效的教學(xué)設(shè)計。例如，Asialaetal.(1997)和Repo(1996)都發(fā)現(xiàn)，利用APOS理論設(shè)計的微積分課程顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的課程。用于分析學(xué)生的理解。例如，Santos與Thomas(2003)構(gòu)建了一個微積分知識的表征框架，在這個框架中，他們把符號表征、圖像表征和數(shù)表征進(jìn)一步劃分為以下幾個類型：程序定向型（procedure-oriented）、過程定向型（process-oriented）、對象定向型（object-oriented）和概念定向型（concept-oriented）。APOS理論的應(yīng)用APOS理論有兩個方面的作用：例3：中國特色數(shù)學(xué)教育的六個特征

重視新課“導(dǎo)入”設(shè)計實行有效的“嘗試教學(xué)”大班級上進(jìn)行師生互動開創(chuàng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)變式方法引領(lǐng)練習(xí)熟能生巧推動創(chuàng)新——張奠宙（2009）例3：中國特色數(shù)學(xué)教育的六個特征重視新課“導(dǎo)入”設(shè)計例4：熟能生巧的理論思考熟能生巧，是中國文化傳統(tǒng)的組成部分，也是中國數(shù)學(xué)教育重要理念之一。記憶通向理解速度贏得效率嚴(yán)謹(jǐn)形成理性重復(fù)依靠變式——張奠宙：《中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》例4：熟能生巧的理論思考熟能生巧，是中國文化傳統(tǒng)的組成部分例5：對傳統(tǒng)教學(xué)經(jīng)驗的梳理青浦實驗（如變式教學(xué)）GX實驗基本圖形分析法上海育才的“讀讀、議議、練練、講講”（段力佩）李庾南的“自學(xué)、議論、引導(dǎo)”教學(xué)法孫維剛的

“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”邱學(xué)華的“嘗試教學(xué)法”馬明、陳振宣、趙憲初、吳正憲、楊象富等大批的名師和不知名的優(yōu)秀教師挖掘和提煉優(yōu)秀的教學(xué)經(jīng)驗梳理國內(nèi)外的學(xué)習(xí)理論研究成果解釋理論模型研究課題研究方法新的模型建構(gòu)例5：對傳統(tǒng)教學(xué)經(jīng)驗的梳理青浦實驗（如變式教學(xué)）挖掘和提煉優(yōu)例6：存在的問題小步子：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的機會趕進(jìn)度：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的空間套題型：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的意識重技巧：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的策略看分?jǐn)?shù)：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的動力牽著走：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的氛圍例6：存在的問題小步子：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的機會謝謝！謝謝！29數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究與

教師專業(yè)發(fā)展鮑建生華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系jsbao@1數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究與

教師專業(yè)發(fā)展鮑建生jsbao@math一、教師成為研究者20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了一種“反思性轉(zhuǎn)向”。以美國為開端，關(guān)于反思的討論迅速在教師教育界興起。這種討論的結(jié)果就是形成了“教師即研究者”（Elliott，1990）的理念，也就是說，教師不應(yīng)只是他人研究成果的消費者，更應(yīng)成為研究者。技術(shù)型教師（Teacherastechnician）研究型教師（Teacherasresearcher）一、教師成為研究者20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了一種“教與學(xué)在課堂中的統(tǒng)一教學(xué)教材教法教學(xué)內(nèi)容的理解教學(xué)經(jīng)驗焦點：老師如何教？學(xué)習(xí)理論學(xué)習(xí)過程的理解理論模型焦點：學(xué)生如何學(xué)？課堂教與學(xué)在課堂中的統(tǒng)一教學(xué)教材教法學(xué)習(xí)理論課堂學(xué)習(xí)理論的建構(gòu)理論建構(gòu)的第一條途徑：理論建構(gòu)的第二條途徑：一般學(xué)習(xí)理論數(shù)學(xué)教學(xué)情境數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題解決問題的模型教學(xué)經(jīng)驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論特殊化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論一般化反思學(xué)習(xí)理論的建構(gòu)理論建構(gòu)的第一條途徑：理論建構(gòu)的第二條途徑：理論與經(jīng)驗的互動經(jīng)驗理論支持預(yù)測；為研究提供分析框架；具有解釋的能力；能應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象；有助于對復(fù)雜現(xiàn)象的思考；作為資料分析的工具；提供一種深層次交流的語言。源于實踐；實用；個人化；嵌于特定的情境之中；比較模糊，不易表征、把握和傳授；難以跨領(lǐng)域的交流。解釋建構(gòu)理論與經(jīng)驗的互動經(jīng)驗理論支持預(yù)測；源于實踐；解釋建構(gòu)研究風(fēng)格的轉(zhuǎn)變自上而下（演繹法）→自下而上（歸納法）定性研究→定量研究→混合研究教育學(xué)方法（望遠(yuǎn)鏡）→心理學(xué)方法（顯微鏡）→數(shù)學(xué)教育研究方法（？）理論研究（改變理論）→實證研究（檢驗假設(shè)）→行動研究/教學(xué)實驗（解決問題，改變行為）走進(jìn)課堂，解決教與學(xué)中的實際問題！研究風(fēng)格的轉(zhuǎn)變自上而下（演繹法）→自下而上（歸納法）走進(jìn)課堂教師專業(yè)成長與知識結(jié)構(gòu)變化

專家型教師

經(jīng)驗型教師

新手型教師

原理知識（學(xué)科的原理、規(guī)則，一般教學(xué)法知識）

案例知識（學(xué)科教學(xué)的特殊案例、個別經(jīng)驗）

策略知識（運用原理于案例的策略，核心是反思）教師專業(yè)成長與知識結(jié)構(gòu)變化專家型教師36教師專業(yè)發(fā)展的焦點:(1)PCK學(xué)科教學(xué)知識內(nèi)容知識學(xué)習(xí)者知識背景知識一般教學(xué)法課程知識教育目標(biāo)教學(xué)推理理解轉(zhuǎn)化教學(xué)評價反思新理解8教師專業(yè)發(fā)展的焦點:(1)PCK學(xué)科教學(xué)知識內(nèi)容知識學(xué)PCK的核心成分如何做學(xué)情調(diào)查，了解不同學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)識方式與差異呈現(xiàn)方式多樣化策略的選擇與應(yīng)用對呈現(xiàn)效果的檢測與反饋如何將特定的知識呈現(xiàn)給不同學(xué)生的策略哪些知識學(xué)生易解，教師可以少講、不講或讓學(xué)生自學(xué)？哪些問題是學(xué)生容易混淆或難以理解的？學(xué)生常見的錯誤是什么？如何辨析和糾

正？學(xué)生在學(xué)習(xí)某一知識過程中容易誤解和混淆的問題某一知識在整個學(xué)科體系中的地位和作用上位知識與下位知識的聯(lián)系新舊知識間的聯(lián)系所學(xué)知識與兒童生活、經(jīng)驗的聯(lián)系知識間的聯(lián)系學(xué)科本身最核心、最基本的知識學(xué)科的思想、方法、精神和態(tài)度對學(xué)生今后學(xué)習(xí)和發(fā)展最有價值的知識學(xué)科最核心、最有價值的知識指標(biāo)PCK的成分PCK的核心成分如何做學(xué)情調(diào)查，了解不同學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)識學(xué)科知識教學(xué)內(nèi)容知識一般的內(nèi)容知識CCK專門的內(nèi)容知識SCK橫向的內(nèi)容知識HCK內(nèi)容與學(xué)生的知識KCS內(nèi)容與教學(xué)的知識KCT內(nèi)容與課程的知識KCC用于教學(xué)的數(shù)學(xué)知識分布圖（Ball等，2008）(2)MKT學(xué)科知識教學(xué)內(nèi)容知識一般的專門的橫向的內(nèi)容知識HCK內(nèi)容與39二、課堂教學(xué)研究的視角11二、課堂教學(xué)研究的視角(一)分析學(xué)生的認(rèn)知過程基本問題:認(rèn)知水平可以分幾個水平；學(xué)生目前處于什么水平；如何從低水平過渡到高水平。困難與錯誤類型；成因。教學(xué)對策(一)分析學(xué)生的認(rèn)知過程基本問題:例1：范希爾的幾何思維水平在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希爾夫婦（PierreVanHiele&DinaVanHiele）作為荷蘭一所中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，每天都親身經(jīng)歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識常常超出了學(xué)生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮亞杰的工作。經(jīng)過一段時間的研究，他們提出了幾何思維的五個水平。這一成果最初發(fā)表在他們夫婦于1957年在烏特勒克大學(xué)共同完成的博士論文上。例1：范希爾的幾何思維水平在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的幾何思維水平的劃分水平描述直觀兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對圖形做概括的論述。分析兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性；利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組成要素比較兩個形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無法導(dǎo)出公式和使用正式的定義。幾何思維水平的劃分水平描述兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并幾何思維水平的劃分（續(xù)）水平描述非形式的演繹學(xué)生能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結(jié)果的成立，也未能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系。形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，能比較一個定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件；能寫出一定理的逆定理。嚴(yán)密能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。幾何思維水平的劃分（續(xù)）水平描述非形式的演繹學(xué)生能建立圖形及范希爾理論的特點次序性：幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，要在特定的水平順利發(fā)展，必須具有前一水平的各個概念和策略。也就是說，學(xué)生在沒通過第n-1層次之前，無法到達(dá)第n層次。進(jìn)階性：學(xué)生幾何思維水平的提升是經(jīng)由教學(xué)，而不是隨年齡成長或心理成熟自然而然的。沒有一種教學(xué)方法能讓學(xué)生跳過某一水平而進(jìn)入下一水平。內(nèi)隱性及外顯性：某一水平的內(nèi)隱性質(zhì)成為下一水平的外顯性質(zhì)，如某一個水平上的個人化的模糊概念在下一水平上通過外顯的表征工具(如符號)而得到澄清。語言性：每一層次都有其專屬的階段性語言符號。不適配性：如果學(xué)生的思維處于一個水平,而教師的教學(xué)處于另一個水平,那么就不可能取得預(yù)期的教學(xué)效果.尤其是當(dāng)教師的教材內(nèi)容、教具選擇及語匯使用均屬于較高層次時，學(xué)生將無法理解、思考其過程與結(jié)果。范希爾理論的特點次序性：幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，要范希爾理論的應(yīng)用評價方面：編制范希爾幾何思維水平測試卷，測量我國學(xué)生的幾何思維水平并進(jìn)行差異性分析；課程方面：按照學(xué)生實際的幾何思維水平，確定教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和順序；教學(xué)方面：根據(jù)學(xué)生所在的幾何思維水平的特征進(jìn)行針對性的教學(xué)，幫助學(xué)生從較低層次過渡到較高層次；研究方面：確定其他數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的思維層次，如代數(shù)，概率、統(tǒng)計等。范希爾理論的應(yīng)用評價方面：編制范希爾幾何思維水平測試卷，測例2：認(rèn)知(能力)水平的檢測項目反映理論(IRT)例2：認(rèn)知(能力)水平的檢測項目反映理論(IRT)(二)分析課堂教學(xué)過程基本問題:

教學(xué)模式與形式課堂結(jié)構(gòu)與特征教學(xué)機智與方法典型問題與事件傳統(tǒng)經(jīng)驗與創(chuàng)新(二)分析課堂教學(xué)過程基本問題:研究方法與工具研究視角分析框架指標(biāo)體系編碼方案分析工具實際問題效度與信度的認(rèn)證與檢驗研究方法與工具研究視角分析框架指標(biāo)體系編碼方案分析工具實際問例2：APOS理論操作（Action）過程（Process）圖式（Schema）對象（Object）內(nèi)化壓縮同化與順應(yīng)例2：APOS理論操作過程圖式對象內(nèi)化壓縮同化與順應(yīng)APOS研究的三個基本環(huán)節(jié)對某個特定數(shù)學(xué)概念運用APOS理論進(jìn)行任務(wù)分析；在理論分析的基礎(chǔ)上發(fā)展和應(yīng)用一系列的教學(xué)設(shè)計（其中包括一些非標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)策略，如合作學(xué)習(xí)、計算機輔助教學(xué)等）；收集和分析測試的數(shù)據(jù)以便修改原先的理論分析和教學(xué)設(shè)計。APOS研究的三個基本環(huán)節(jié)對某個特定數(shù)學(xué)概念運用APO