彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件

第七章平面問(wèn)題的差分解要點(diǎn):將微分方程轉(zhuǎn)變成差分方程?；舅枷?將基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地用改用差分方程（線性代數(shù)方程）表示，把解微分方程的問(wèn)題變成求代數(shù)方程的問(wèn)題。第七章平面問(wèn)題的差分解要點(diǎn):將微分方程轉(zhuǎn)變成差分方程§7-1差分公式的推導(dǎo)主要內(nèi)容

§7-2穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解§7-3不穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解§7-4應(yīng)力函數(shù)的差分解§7-5應(yīng)力函數(shù)的差分解的實(shí)例§7-6溫度應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)差分解§7-7位移差分解§7-8位移差分解實(shí)例§7-9多連體問(wèn)題的位移差分解§7-10溫度應(yīng)力問(wèn)題的位移差分解§7-1差分公式的推導(dǎo)主要內(nèi)容§7§7-0彈性力學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介工程問(wèn)題（力學(xué)、物理等）建立一組基本方程控制微分方程定值條件常微分方程偏微分方程位移邊界條件力的邊界條件初始條件求解精確解近似解（數(shù)值解）（均質(zhì)、邊界條件簡(jiǎn)單）（1）有限差分法（2）等效積分法（包括變分法）（3）有限單元法（4）邊界單元法……（1）有限差分法（FDM）要點(diǎn)：差分微分；代替差分方程代替微分方程。（代數(shù)方程）yx013hh§7-0彈性力學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介工程問(wèn)題建立一組控制微優(yōu)點(diǎn)：yx013hh收斂性好、程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、非線性適應(yīng)好。代表性軟件：FLAC缺點(diǎn)：當(dāng)邊界幾何形狀復(fù)雜時(shí)，解的精度受到限制。（2）等效積分法控制微分方程邊值條件建立等效的積分方程假設(shè)未知函數(shù)整個(gè)區(qū)域內(nèi)近似求解（a）加權(quán)余量法（加權(quán)殘值法）（配點(diǎn)法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等）（b）變分法當(dāng)原問(wèn)題存在某個(gè)泛函時(shí)，則原問(wèn)題等價(jià)于求該泛函的駐值。如：Ritz法等。特點(diǎn)：

在整個(gè)區(qū)域內(nèi)，假設(shè)未知函數(shù)。適用于邊界幾何形狀簡(jiǎn)單的情形。xy優(yōu)點(diǎn)：yx013hh收斂性好、程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、非線性適應(yīng)好。代（3）有限單元法（FEM）——加權(quán)余量法、變分法的推廣。

基本思想：整個(gè)區(qū)域分成若干個(gè)單元區(qū)域離散假設(shè)未知函數(shù)在單元上由變分原理等求出單元結(jié)點(diǎn)上值（近似解）主要有限元軟件：SAP，ADINANASTRAN、ANSYS、ABAQUS、ASKA、SAFE、MARC等——早期的軟件（3）有限單元法（FEM）——加權(quán)余量法、變分法的推廣。1.中心差分公式§7-1差分公式的推導(dǎo)設(shè)函數(shù)：為彈性體內(nèi)的某個(gè)函數(shù)（應(yīng)力分量、位移分量、應(yīng)力函數(shù)、溫度等）。yx在彈性體上用相隔等間距h

且平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線組成網(wǎng)格，稱為差分網(wǎng)格。網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）。013h則函數(shù)f=f(x，y)在平行于x軸的網(wǎng)格線上，如節(jié)點(diǎn)：3-0-1上，它只隨x而變化?？疾旖Y(jié)點(diǎn)0處，函數(shù)f=f(x，y)的變化，可展開成Taylor級(jí)數(shù)：（a）h1.中心差分公式§7-1差分公式的推導(dǎo)設(shè)函數(shù)：為彈性體若略去三次冪以上各項(xiàng)，式（a）變?yōu)椋海╞）節(jié)點(diǎn)3及1的x坐標(biāo)：將其代入式（b），有：（c）（d）聯(lián)立求解，得：（7-1）（7-2）yx013hh若略去三次冪以上各項(xiàng)，式（a）變?yōu)椋海╞）節(jié)點(diǎn)3及1的x24yx013hh（7-1）（7-2）同理，在網(wǎng)格線4-0-2上?。╡）類似于，x方向的討論，有（7-3）（7-4）式（7-1）（7-4）稱為基本差分公式。24yx013hh（7-1）（7-2）同理，在網(wǎng)格線4-0-5678混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-5）進(jìn)一步可導(dǎo)出四階偏導(dǎo)數(shù)的差分公式：yx01324hh5678混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-5）進(jìn)一步可導(dǎo)出四階偏進(jìn)一步可導(dǎo)出四階偏導(dǎo)數(shù)的差分公式：91011126yx01324578h（7-6）以兩側(cè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值表示中間節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值，這種差分公式稱為中心差分公式。說(shuō)明：進(jìn)一步可導(dǎo)出四階偏導(dǎo)數(shù)的差分公式：91011126yx0132.端點(diǎn)差分公式向前差分公式y(tǒng)x0132456789101112h把導(dǎo)數(shù)：用函數(shù)值：f0f1f9表示；把導(dǎo)數(shù)：用函數(shù)值：f0f2f10表示。由：（b）得到：2.端點(diǎn)差分公式向前差分公式y(tǒng)x0132456789101yx0132456789101112h（7-7）（e）同理，對(duì)y方向，有：由此解得：（7-9）式（7-7）、（7-9）稱為前差公式。yx0132456789101112h（7-7）（e）同理，向后差分公式y(tǒng)x0132456789101112h把導(dǎo)數(shù)：用函數(shù)值：f0f3f11表示；用函數(shù)值：f0f4f12表示。由：把導(dǎo)數(shù)：（b）得到：由此解得：（7-8）向后差分公式y(tǒng)x0132456789101112h把導(dǎo)數(shù)：用yx0132456789101112h同理，對(duì)y方向，有：（e）可解得：（7-10）（7-8）式(7-8)、(7-10)稱為后差分公式y(tǒng)x0132456789101112h同理，對(duì)y方向，有與中心差分公式類似，由式（7-7）~（7-10）可推出高階導(dǎo)數(shù)的差分公式。（1）中心差分（導(dǎo)數(shù)）公式與端點(diǎn)差分（導(dǎo)數(shù)）公式比較，前者的精度較高。所以盡可能應(yīng)用中心差分公式。說(shuō)明：（2）在前面差分公式的推導(dǎo)中，應(yīng)用了近似式：（b）略去了三次冪以上的各項(xiàng)，其實(shí)質(zhì)：在（x–x0）的區(qū)間上，將f（x，y）沿x方向用拋物線函數(shù)代替。所以，式（7-7）~（7-10）稱為拋物線差分公式。（3）若在差分公式的推導(dǎo)中，應(yīng)用線性近似關(guān)系：略去了二次冪以上的各項(xiàng)，則：與中心差分公式類似，由式（7-7）~（7-（3）若在差分公式的推導(dǎo)中，應(yīng)用線性近似關(guān)系：略去了二次冪以上的各項(xiàng)，則：yx0132456789101112h或——線性差分公式——前差公式——后差公式線性差分公式的精度較低，很少采用。（4）若在差分公式的推導(dǎo)中，應(yīng)用高階近似關(guān)系，如：由此得到的差分公式精度較高。但由于其涉及節(jié)點(diǎn)較多，實(shí)際應(yīng)用不方便，所以也很少采用。（3）若在差分公式的推導(dǎo)中，應(yīng)用線性近似關(guān)系：略去了二次冪以§7-2穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解1.熱傳導(dǎo)方程一般情形下，熱傳導(dǎo)方程：對(duì)無(wú)熱源、平面、穩(wěn)定的溫度場(chǎng)，有其熱傳導(dǎo)方程變成二維的調(diào)和方程：（a）2.熱傳導(dǎo)方程的差分方程24yx013hh將溫度場(chǎng)的域內(nèi)劃分網(wǎng)格，取任一節(jié)點(diǎn)，如：節(jié)點(diǎn)0，應(yīng)有：（b）§7-2穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解1.熱傳導(dǎo)方程一般情形下，熱24yx013hh由差分公式（7-2）、（7-4），得：2.熱傳導(dǎo)方程的差分方程將溫度場(chǎng)的域內(nèi)劃分網(wǎng)格,取任一節(jié)點(diǎn)，如：節(jié)點(diǎn)0，應(yīng)有：(b)（c）（d）將式（c）、（d），代入式（b）得：（7-11）每一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可建立上述方程。3.邊界條件的引入（1）第一類邊界條件由于邊界點(diǎn)的T值已知，因此，只需建立每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的差分方程即可求解。24yx013hh由差分公式（7-2）、（7-4），得：2.3.邊界條件的引入（1）第一類邊界條件由于邊界點(diǎn)的T值已知，因此，只需建立每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的差分方程即可求解。（2）第二類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy——絕熱條件對(duì)于與x軸垂直的邊界，有故對(duì)于邊界點(diǎn)0，有:在邊界點(diǎn)0右側(cè)設(shè)虛節(jié)點(diǎn)1，由一階差分公式（7-1），有:3.邊界條件的引入（1）第一類邊界條件由于邊界點(diǎn)的T02431邊界外邊界內(nèi)xy在邊界點(diǎn)0右側(cè)設(shè)虛節(jié)點(diǎn)1，由一階差分公式（7-1），有:將其代入差分方程（7-11）：即該邊界為絕熱邊界，有：（7-12）邊界外邊界內(nèi)xy01423對(duì)于與y軸垂直的邊界節(jié)點(diǎn)0，（7-12`）若：整理得：（7-13）（7-11）有：02431邊界外邊界內(nèi)xy在邊界點(diǎn)0右側(cè)設(shè)虛節(jié)點(diǎn)1，由一（3）第三類邊界條件式中，Te

為周圍介質(zhì)的溫度，02431邊界外邊界內(nèi)xy對(duì)于與x軸垂直的邊界節(jié)點(diǎn)0，有：由一階差分公式（7-1），有:將上式代入差分方程（7-11），并整理得邊界節(jié)點(diǎn)0點(diǎn)的差分方程：（7-14）β為放熱系數(shù)。(7-11)（3）第三類邊界條件式中，Te為周圍介質(zhì)的溫度，024（4）第四類邊界條件已知物體和與之接觸的另一物體以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換的情況。對(duì)于兩物體完全接觸情形，物體表面的溫度

Ts

和接觸物體表面溫度

Te相同，即此時(shí)與第一類邊界條件

相同。邊界外邊界內(nèi)xy01423對(duì)于與y軸垂直的邊界節(jié)點(diǎn)，有：（7-14`）將上式代入差分方程（7-11），并整理得邊界節(jié)點(diǎn)0點(diǎn)的差分方程：(7-11)（4）第四類邊界條件已知物體和與之接觸的另一物體以熱傳導(dǎo)方例：圖示矩形薄板，右邊界為絕熱邊界，其余三邊界上的已知節(jié)點(diǎn)溫度值標(biāo)于圖中各節(jié)點(diǎn)上（單位：℃）。求：板內(nèi)的節(jié)點(diǎn)溫度。6m8mabcdefgi101214161840322435302520解：劃分網(wǎng)格：4×3,編排節(jié)點(diǎn)號(hào)：a~i列節(jié)點(diǎn)差分方程：節(jié)點(diǎn)a：01234節(jié)點(diǎn)b：節(jié)點(diǎn)c：節(jié)點(diǎn)d：節(jié)點(diǎn)e：節(jié)點(diǎn)f：內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)g：絕熱邊界：內(nèi)節(jié)點(diǎn)：0234節(jié)點(diǎn)i：例：圖示矩形薄板，右邊界為絕熱邊界，其余三邊界上的已知節(jié)點(diǎn)溫6m8mabcdefgi101214161840322435302520012340234例：圖示矩形薄板，右邊界為絕熱邊界，其余三邊界上的已知節(jié)點(diǎn)溫度值標(biāo)于圖中各節(jié)點(diǎn)上（單位：℃）。求：板內(nèi)的節(jié)點(diǎn)溫度Ta、Ti。解：劃分網(wǎng)格：4×3,編排節(jié)點(diǎn)號(hào)：a~i列節(jié)點(diǎn)差分方程：節(jié)點(diǎn)a：節(jié)點(diǎn)b：節(jié)點(diǎn)c：節(jié)點(diǎn)d：節(jié)點(diǎn)e：節(jié)點(diǎn)f：內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)g：節(jié)點(diǎn)i：聯(lián)立求解方程組，得：6m8mabcdefgi1012141618403224354.不規(guī)則邊界條件的處理02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA（1）第一類邊界：將溫度T在節(jié)點(diǎn)0鄰近處沿x方向展開為Taylor級(jí)數(shù)，略去(x-x0)的三次方以上項(xiàng)，有由此可解得：4.不規(guī)則邊界條件的處理02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA由此可解得:由：得：（7-15）（7-11）02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA由此可解得:由：得：（7-0431邊界外邊界內(nèi)xyhhhB202431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA（7-15）（7-11）類似地，對(duì)于y方向網(wǎng)格線上的不規(guī)則邊界點(diǎn)B，有：（7-15`）0431邊界外邊界內(nèi)xyhhhB202431邊界外邊界內(nèi)xy02431邊界外邊界內(nèi)xyhhAB對(duì)于圖中不規(guī)則邊界節(jié)點(diǎn)A、B，有：（7-16）（2）第二類邊界：02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA將第一類邊界情形中的TA用表示。在A點(diǎn)鄰域內(nèi)沿x方向展Taylor級(jí)數(shù)，并略去二階以上各項(xiàng)：02431邊界外邊界內(nèi)xyhhAB對(duì)于圖中不規(guī)則邊界節(jié)點(diǎn)A、（2）第二類邊界：02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA將第一類邊界情形中的TA用表示。在A點(diǎn)鄰域內(nèi)沿x方向展Taylor級(jí)數(shù)，并略去二階以上各項(xiàng)：從式中消去：并求出TA（2）第二類邊界：02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA將第一類02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA從式中消去:并求出TA，有（d）由：得：代入上式，有：02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA從式中消去:并求出TA，（7-15）02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA代入式（7-15）右端的TA：并整理、簡(jiǎn)化得：（7-17）（7-15）02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA代入式（7-1A02431邊界外邊界內(nèi)xyhhB對(duì)于圖示不規(guī)則節(jié)點(diǎn)0的差分方程，由類似的推導(dǎo)，有：（7-18）（3）第三類邊界：02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA將其代入式（d）：（d）A02431邊界外邊界內(nèi)xyhhB對(duì)于圖示不02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA（3）第三類邊界:將其代入式（d）：(d)得到：（e）由式（e）求出TA

：02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA（3）第三類邊界:將其代入將上式代入式（7-15）右端TA

，(e)由式（e）求出TA

:（7-15）整理即得節(jié)點(diǎn)0的差分方程。式中

：將上式代入式（7-15）右端TA，(e)由式（e）求彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件§7-4應(yīng)力函數(shù)的差分解yx0132456789101112h1.應(yīng)力函數(shù)的差分方程應(yīng)力分量的差分表示平面問(wèn)題（不計(jì)體力時(shí)），應(yīng)力分量可表示為：任一點(diǎn)0處應(yīng)力分量的差分格式：（7-24）對(duì)常體力情況，將體力轉(zhuǎn)換為面力分析。§7-4應(yīng)力函數(shù)的差分解yx01324567891011應(yīng)力函數(shù)的差分方程yx0132456789101112h平面問(wèn)題（不計(jì)體力時(shí)），應(yīng)力相容方程為：在彈性體內(nèi)每一點(diǎn)均可建立上述方程，即：由四階導(dǎo)數(shù)差分公式，得：將其代入相容方程，有應(yīng)力函數(shù)的差分方程yx0132456789101112h平面（7-25）yx0132456789101112h對(duì)于彈性體邊界內(nèi)的每一節(jié)點(diǎn)，都可建立上述方程。1314但對(duì)緊靠邊界內(nèi)一行節(jié)點(diǎn)，建立其差分方程時(shí)，還包括邊界上各點(diǎn)處的值和邊界外一行的結(jié)點(diǎn)處的值。彈性體邊界外一行的節(jié)點(diǎn)，稱為虛結(jié)點(diǎn)。如：節(jié)點(diǎn)13、14等?！獞?yīng)力函數(shù)差分方程2.邊界節(jié)點(diǎn)值的確定BA邊界節(jié)點(diǎn)的值由邊界條件確定。由邊界條件方程：（b）（7-25）yx0132456789101112h（b）AxyO–dxdydsNBxByByx如圖可見：代入式（b），有：上式進(jìn)一步可寫成：（c）對(duì)上式從

A

到B積分：或?qū)懗桑╞）AxyO–dxdydsNBxByByx如圖可見：代入彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件本章前面內(nèi)容回顧1.有限差分法（FDM）基本思想要點(diǎn)：差分微分：代替差分方程代替微分方程。（代數(shù)方程）2.中心差分公式y(tǒng)x01324hh（7-1）（7-2）（7-3）（7-4）——基本差分公式本章前面內(nèi)容回顧1.有限差分法（FDM）基本思想要點(diǎn)：5678yx01324hh混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-5）四階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-6）91011125678yx01324hh混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-5）3.端點(diǎn)差分公式向前差分公式y(tǒng)x0132456789101112h（7-7）向后差分公式（7-8）3.端點(diǎn)差分公式向前差分公式y(tǒng)x013245678914.穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分公式（a）24yx013hh熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)的差分方程（7-11）各類邊界條件的引入（1）第一類邊界條件由于邊界點(diǎn)的T值已知，因此，只需建立每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的差分方程即可求解。4.穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分公式（a）24yx013hh熱傳導(dǎo)（2）第二類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-12）（3）第三類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-14）（4）第四類邊界條件同第一類邊界條件（2）第二類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-12）（5.應(yīng)力函數(shù)的差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-24）——應(yīng)力分量差分公式（7-25）——應(yīng)力函數(shù)差分方程5.應(yīng)力函數(shù)的差分方程yx013245678910112.邊界節(jié)點(diǎn)值的確定yx0132456789101112h1314BA邊界節(jié)點(diǎn)的值由邊界條件確定。由邊界條件方程：（b）AxyO–dxdydsNBxByByx2.邊界節(jié)點(diǎn)值的確定yx013245678910111（b）AxyO–dxdydsNBxByByx如圖可見：代入式（b），有：上式進(jìn)一步可寫成：（c）對(duì)上式從

A

到B積分：或?qū)懗桑╞）AxyO–dxdydsNBxByByx如圖可見：代入AxyO–dxdydsNBxByByx（d）計(jì)算應(yīng)力函數(shù)

的全微分，有：兩邊積分，有：分步積分：同理，有：AxyO–dxdydsNBxByByx（d）計(jì)算應(yīng)力函數(shù)AxyO–dxdydsNBxByByx由式（c），有：（c）代回前式，有：AxyO–dxdydsNBxByByx由式（c），有：（c再利用：（d）（e）再利用：（d）（e）（d）（e）AxyO–dxdydsNBxByByx由式（d）、（e）可見：當(dāng)已知時(shí)，即可由面力分量X、Y求得：（d）（e）AxyO–dxdydsNBxByByx由式（dAxyO–dxdydsNBxByByx由第三章理論可知，在應(yīng)力函數(shù)上加上線性函數(shù)，不影響應(yīng)力的值。因而，可在應(yīng)力函數(shù)上加上線性函數(shù)：適當(dāng)選取a、b、c的數(shù)值，總可使得：于是式（d）、（e）可變?yōu)椋海?-26）（7-27）（7-28）——確定邊界結(jié)點(diǎn)

及其導(dǎo)數(shù)值的基本公式。AxyO–dxdydsNBxByByx由AxyO–dxdydsNBxByByx說(shuō)明：（1）式（7-26）~（7-28）適用于單連體的情況。對(duì)于多連體，則只能選取某一個(gè)連續(xù)邊界S上一點(diǎn)A為基準(zhǔn)點(diǎn)，并?。憾鴳?yīng)力函數(shù)在其它邊界上不再有任意性。如：在另一連續(xù)邊界S1上任選取一點(diǎn)A1

，一般有：而需有位移單值條件確定。（2）（7-26）（7-27）物理意義：邊界上A、B

兩點(diǎn)間x

方向面力之和。物理意義：邊界上A、B

兩點(diǎn)間y方向面力之和。因而，差分解應(yīng)用于多連體問(wèn)題不方便。AxyO–dxdydsNBxByByx說(shuō)明：（1）式（7-AxyO–dxdydsNBxByByx（7-28）物理意義：邊界上A、B

兩點(diǎn)間面力對(duì)B點(diǎn)的矩。力矩的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)系確定，圖中以順時(shí)針為正。3.虛節(jié)點(diǎn)值的確定yx0132456789101112h1314BAhh可用應(yīng)力函數(shù)在邊界上的導(dǎo)數(shù)和邊界內(nèi)一行各結(jié)點(diǎn)的值表示。如：由此可求得：AxyO–dxdydsNBxByByx（7-28）物理意義yx0132456789101112h1314BAhh由此可求得：（7-29）4.不規(guī)則邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)、虛節(jié)點(diǎn)的值hhh10956Bh邊界外基本思路：將緊靠邊界的節(jié)點(diǎn)1不作為獨(dú)立的內(nèi)節(jié)點(diǎn)，即并不將其1

值作為獨(dú)立的未知量，而把它用0

來(lái)表示。具體方法：在B點(diǎn)附近，將應(yīng)力函數(shù)

沿x方向展為Taylor級(jí)數(shù)，并略去（x–xB）的三次以上冪，有yx0132456789101112h1314BAhh由此可hhh10956Bh邊界外有：代入上式，有：（f）（g）（h）從中可求得：hhh10956Bh邊界外有：代入上式，有：（f）（g）hhh10956Bh邊界外（i）（j）顯然，當(dāng)=0時(shí)，有：其中，第二式與前面虛節(jié)點(diǎn)值的計(jì)算公式相同。hhh10956Bh邊界外（i）（j）顯然，當(dāng)=05.差分法的求解步驟（1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作用基點(diǎn)A，?。喝缓螅晒剑海?-26）（7-27）（7-28）計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值；（2）應(yīng)用公式（7-29），將邊界外一行各虛節(jié)點(diǎn)的值用邊界內(nèi)相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的值表示；yx0132456789101112h1314BAhh5.差分法的求解步驟（1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作用基點(diǎn)（2）應(yīng)用公式（7-29），將邊界外一行各虛節(jié)點(diǎn)的值用邊界內(nèi)相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的值表示；yx0132456789101112h1314BAhh（7-29）C16D17注意：對(duì)虛節(jié)點(diǎn)16：15對(duì)虛節(jié)點(diǎn)17：（2）應(yīng)用公式（7-29），將邊界外一行各虛節(jié)點(diǎn)的值用（7-24）（4）由應(yīng)力分量的差分表達(dá)式（7-24），求出各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力等。（3）對(duì)邊界內(nèi)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)建立差分方程（7-25）：（7-25）并聯(lián)立解出各結(jié)點(diǎn)的值；（7-24）（4）由應(yīng)力分量的差分表達(dá)式（7-24），求出各彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件應(yīng)力函數(shù)差分法小結(jié)：（7-25）（1）

應(yīng)力函數(shù)差分方程——每一個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)均可建立一方程。yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）確定邊界結(jié)點(diǎn)及其導(dǎo)數(shù)值的基本公式（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式應(yīng)力函數(shù)差分法小結(jié)：（7-25）（1）應(yīng)力函數(shù)差分方程—（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式（7-29）（4）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力分量的差分公式（7-24）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式（7-29）（4）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力分（5）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)值的物理意義（7-26）（7-27）物理意義：邊界上A、B

兩點(diǎn)間x

方向面力之和。物理意義：邊界上A、B

兩點(diǎn)間y方向面力之和。（7-28）物理意義：邊界上A、B

兩點(diǎn)間面力對(duì)B點(diǎn)的矩。AxyO–dxdydsNBxByByx（5）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)值的物理意義（7-26）（7-（6）不規(guī)則邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)、虛節(jié)點(diǎn)

值hhh10956Bh邊界外（6）不規(guī)則邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)、虛節(jié)點(diǎn)值hhh10956Bhyxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM§7-5應(yīng)力函數(shù)的差分解的實(shí)例1.問(wèn)題設(shè)一正方形的混凝土深梁（邊長(zhǎng)6h），上邊界受有均布?jí)毫

，并下角點(diǎn)處的兩反力維持平衡。試由應(yīng)力函數(shù)的差分解法，求各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。2.求解由于對(duì)稱性，如圖建立坐標(biāo)系，并取其一半分析。求解過(guò)程：（1）

適當(dāng)劃分差分網(wǎng)格、編節(jié)點(diǎn)號(hào)；（2）選取基點(diǎn)A，并計(jì)算邊界節(jié)點(diǎn)的及其導(dǎo)數(shù)值；計(jì)算公式：yxq3qh3qh192120161718222324252yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM4.5qh24.0qh22.5qh200000000–––00––––3qh––0MLKJE、F、G、H、IDB、CA結(jié)點(diǎn)（3）計(jì)算邊界外一行虛節(jié)點(diǎn)的值；yxq3qh3qh192120161718222324252yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM同理，得：（4）對(duì)邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)建立差分方程；公式：（7-25）對(duì)節(jié)點(diǎn)1：0132456789101112式中：為已知；代入上式，整理得：對(duì)節(jié)點(diǎn)15：（d）yxq3qh3qh192120161718222324252yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM0132456789101112（e）類似于式（d）、（e）可得到15個(gè)方程，其中含15個(gè)未知量，可求解得到（以

qh2單位）：（5）計(jì)算邊界外一行虛節(jié)點(diǎn)的值（以

qh2單位）；上下虛節(jié)點(diǎn)：左側(cè)虛節(jié)點(diǎn)：yxq3qh3qh192120161718222324252（6）計(jì)算應(yīng)力值（中截面）；yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM0132456789101112同理，可求得：應(yīng)力分布如圖。與材料力學(xué)結(jié)果比較：兩者相差較大。（6）計(jì)算應(yīng)力值（中截面）；yxq3qh3qh1921201求解步驟:（1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作用基點(diǎn)A，?。喝缓?，由公式：（7-26）（7-27）（7-28）yx0132456789101112h1314BAhh計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值；求解步驟:（1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作用基點(diǎn)A，?。喝缓螅?）應(yīng)用公式（7-29），將邊界外一行各虛節(jié)點(diǎn)的值用邊界內(nèi)相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的值表示；yx0132456789101112h1314BAhh（7-29）（3）對(duì)邊界內(nèi)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)建立差分方程（7-25）：（7-25）并聯(lián)立解出各結(jié)點(diǎn)的值；（2）應(yīng)用公式（7-29），將邊界外一行各虛節(jié)點(diǎn)的值用（7-24）（4）由應(yīng)力分量的差分表達(dá)式（7-24），求出各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力等。yx0132456789101112h1314BAhh（7-24）（4）由應(yīng)力分量的差分表達(dá)式（7-24），求出各課堂練習(xí)題：用差分法計(jì)算圖示基礎(chǔ)梁的最大拉應(yīng)力，并與材料力學(xué)公式給出的結(jié)果比較。xyq4qhhhhhh解：（1）

劃分差分網(wǎng)格、編節(jié)點(diǎn)號(hào)；12ADCBGFE56437（2）選取基點(diǎn)A，并計(jì)算邊界節(jié)點(diǎn)的及其導(dǎo)數(shù)值；0–2qh2–2qh2–2qh2000–––00–––2qh––0GFEDCBA結(jié)點(diǎn)課堂練習(xí)題：用差分法計(jì)算圖示基礎(chǔ)梁的最大拉應(yīng)（3）計(jì)算邊界外一行虛節(jié)點(diǎn)的值；xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（4）對(duì)邊界內(nèi)結(jié)點(diǎn)建立差分方程；結(jié)點(diǎn)1：（7-25）其中：（3）計(jì)算邊界外一行虛節(jié)點(diǎn)的值；xyq4qhhhhhxyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（a）結(jié)點(diǎn)2：（7-25）其中：代入得：（b）聯(lián)立求解式（a）、（b）：xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（a）結(jié)點(diǎn)（5）計(jì)算邊界外一行虛節(jié)點(diǎn)的值；xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（6）計(jì)算各點(diǎn)的應(yīng)力值；（5）計(jì)算邊界外一行虛節(jié)點(diǎn)的值；xyq4qhhhhhhxyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567xyq4qAG材料力學(xué)結(jié)果：xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567xyq4q彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件本章前面內(nèi)容回顧1.有限差分法（FDM）基本思想要點(diǎn)：差分微分：代替差分方程代替微分方程。（1）中心差分公式（7-1）（7-2）（7-3）（7-4）2.基本差分公式5678yx01324hh9101112一、差分法的基本理論本章前面內(nèi)容回顧1.有限差分法（FDM）基本思想要點(diǎn)：混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-5）四階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-6）5678yx01324hh9101112混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-5）四階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-（2）端點(diǎn)差分公式——向前差分公式y(tǒng)x0132456789101112h（7-7）——向后差分公式（7-8）注：用于邊界條件情形。（2）端點(diǎn)差分公式——向前差分公式y(tǒng)x0132456二、無(wú)源、穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分法（a）24yx013hh1.穩(wěn)定溫度場(chǎng)的熱傳導(dǎo)方程2.穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分方程（7-11）（1）第一類邊界條件由于邊界點(diǎn)的T值已知，因此，只需建立每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的差分方程即可求解。3.溫度場(chǎng)邊界條件的引入二、無(wú)源、穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分法（a）24yx013hh1（2）第二類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-17）（3）第三類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-14）（7-12）（4）不規(guī)則邊界節(jié)點(diǎn)的處理02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA（2）第二類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-17）（三、應(yīng)力函數(shù)的差分法（7-25）（1）應(yīng)力函數(shù)差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）確定邊界結(jié)點(diǎn)及其導(dǎo)數(shù)值的基本公式（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式三、應(yīng)力函數(shù)的差分法（7-25）（1）應(yīng)力函數(shù)差分（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式（7-29）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（4）不規(guī)則邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)、虛節(jié)點(diǎn)

值hhh10956Bh邊界外（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式（7-29）yx013245（5）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力分量的差分公式（7-24）四、溫度應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)的差分法（1）溫度應(yīng)力問(wèn)題應(yīng)力函數(shù)法的基本方程：（e）（f）（d）——溫度應(yīng)力問(wèn)題的邊界條件（5）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力分量的差分公式（7-24）四、溫度應(yīng)力問(wèn)彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件§7-7位移的差分解引言yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715應(yīng)力差分方程：邊界節(jié)點(diǎn)及其導(dǎo)數(shù)值計(jì)算公式：（7-26）（7-27）虛節(jié)點(diǎn)的

值計(jì)算公式：（7-29）一、應(yīng)力差分法及其局限性§7-7位移的差分解引言yx01324567891011yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（7-24）應(yīng)力分量的差分公式：應(yīng)力差分法的局限性：（1）不適用于具有位移邊界條件的問(wèn)題；（2）不適用于多連體的問(wèn)題；（3）不適用于體力不為常量的問(wèn)題。這些局限性可由位移差分法解決。yx0132456789101112h1314BAhhC162.平面問(wèn)題按位移求解的基本方程（2-20）（2-21）位移平衡微分方程：應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：2.平面問(wèn)題按位移求解的基本方程（2-20）（2-21）位移位移差分法的優(yōu)點(diǎn)：（1）適用于具有應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題，（2）適用于多連體的問(wèn)題（3）適用于體力不為常量的問(wèn)題；（∵可用位移表示應(yīng)力邊界條件）；（∵位移單值條件可直接由位移量給出）；（4）可無(wú)需設(shè)置虛節(jié)點(diǎn)（∵微分方程中最高價(jià)導(dǎo)數(shù)僅為2階）。xy137265480hhhh函數(shù)f——位移u、v。對(duì)節(jié)點(diǎn)

0

:（7-2）（7-4）（7-5）3.內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位移差分方程位移差分法的優(yōu)點(diǎn)：（1）適用于具有應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題，（2）xy137265480hhhh對(duì)節(jié)點(diǎn)

0

:將式（7-2）,（7-4）,（7-5）代入第一式，整理有兩邊同乘以h2

，并令(Px)0=X0h2

，有（7-40）（位移形式的平衡微分方程）xy137265480hhhh對(duì)節(jié)點(diǎn)0:將式（7-2）,xy137265480hhhh（7-40）（7-41）將式（7-2）,（7-4）,（7-5）代入第二式，整理有其中：(Px)0=X0h2，(Py)0=Y0h2

。用差分圖式表示：xy——式（7-40）的差分圖式156248370xy137265480hhhh（7-40）（7-41）將式（xy——式（7-40）的差分圖式156248370xy137265480hhhh——式（7-41）的差分圖式xy156248370其中：注：對(duì)于只有位移邊界條件的問(wèn)題已可求解。xy——式（7-40）的差分圖式156248370xyxy例：四邊固定的矩形薄板，其長(zhǎng)度與寬度之比為1：2，密度為，為簡(jiǎn)單起見取泊松比=0。試用4×2的網(wǎng)格計(jì)算自重引起的位移與應(yīng)力。解：hhhhhh由于對(duì)稱性，有只需求：156248370xy對(duì)a點(diǎn)abcidefghj00000000（x方向差分方程）：xy例：四邊固定的矩形薄板，其長(zhǎng)度與寬度之比為1：2，密度xyabcidefghhhhhhhj對(duì)a點(diǎn)（y方向的差分方程）：xy1562483700000000對(duì)b點(diǎn)（y方向的差分方程）：000000（a）（b）解方程（a）、（b）得：xyabcidefghhhhhhhj對(duì)a點(diǎn)（y方向的差分方計(jì)算應(yīng)力：xyabcidefghhhhhhhj由幾何方程和物理方程，得到0對(duì)邊界結(jié)點(diǎn)：（需用端點(diǎn)差分公式）00計(jì)算應(yīng)力：xyabcidefghhhhhhhj由幾何方程和物對(duì)邊界結(jié)點(diǎn)：（需用端點(diǎn)差分公式）00xyabcidefghhhhhhhj對(duì)邊界結(jié)點(diǎn)：（需用端點(diǎn)差分公式）00xyabcidefghh4.邊界未知位移節(jié)點(diǎn)的差分方程（1）某節(jié)點(diǎn)“鄰域”的概念：bca指環(huán)繞該節(jié)點(diǎn)的那兩段、三段、四段網(wǎng)格的垂直平分線所圍的區(qū)域，如：h/2h/2h/2h/2h/2h/2h/2h/2角隅點(diǎn)1的鄰域：5xyhhhh32141abc所圍區(qū)域；邊界點(diǎn)2的鄰域：deabde所圍區(qū)域；內(nèi)點(diǎn)4的鄰域：fgbdfg所圍區(qū)域；（2）差分計(jì)算的三點(diǎn)約定：函數(shù)f——位移u、v。xy137265480hhhha（a）函數(shù)

f沿網(wǎng)格線方向的導(dǎo)數(shù)，它在該網(wǎng)格線上各點(diǎn)（不包括節(jié)點(diǎn)）處的值取為常量，如：（7-32）4.邊界未知位移節(jié)點(diǎn)的差分方程（1）某節(jié)點(diǎn)“鄰域”的概念（2）差分計(jì)算的三點(diǎn)約定：函數(shù)f——位移u、v。xy137265480hhhha（a）函數(shù)

f沿網(wǎng)格線方向的導(dǎo)數(shù)，它在該網(wǎng)格線上各點(diǎn)（不包括節(jié)點(diǎn)）處的值取為常量，如：（7-32）（b）函數(shù)

f在垂直于網(wǎng)格線方向的導(dǎo)數(shù)，它在該網(wǎng)格線上各點(diǎn)（不包括節(jié)點(diǎn)）處的值取為按線性變化，如：（7-33）0–1線上a

點(diǎn)y方向?qū)?shù)：函數(shù)f在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，仍由第1節(jié)中的差分公式給出，即；（2）差分計(jì)算的三點(diǎn)約定：函數(shù)f——位移u、v對(duì)于0–2線上b

點(diǎn)，有

：bcxy137265480hhhha（7-34）（7-35）（c）對(duì)不在網(wǎng)格線上的任一點(diǎn)c，沿x、y方向的導(dǎo)數(shù)值為：de（7-36）將：代入對(duì)于0–2線上b點(diǎn)，有：bcxy13726548（7-37）將f在c點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，用f在網(wǎng)格線上4個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值表示，和f在4節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值表示。bcxy137265480hhhhade（3）邊界節(jié)點(diǎn)的差分方程（7-37）將f在c點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，用f（3）邊界節(jié)點(diǎn)的差分方程xy8hhh37240邊界h/2abckfjideh/4其中：為0點(diǎn)鄰域上所有外力的合力，即由0點(diǎn)鄰域微元體的平衡，有：x方向：將物理方程和幾何方程代入，有：當(dāng)邊界的法線沿x正方向時(shí)：（3）邊界節(jié)點(diǎn)的差分方程xy8hhh37240邊界h/2abxy8hhh37240邊界h/2abckfjideh/4（7-42）應(yīng)用前面的差分公式，有：xy8hhh37240邊界h/2abckfjideh/4（7xy8hhh37240邊界h/2abckfjideh/4g將式（7-43）代入式（7-42），并整理得相應(yīng)于u0的差分方程：（7-43）xy8hhh37240邊界h/2abckfjideh/4g將xy8hh37240邊界h8——相應(yīng)于u0的差分方程其差分計(jì)算圖式：xy248370u0的差分計(jì)算圖式xy8hh37240邊界h8——相應(yīng)于u0的差分方程y方向：xy8hhh37240邊界h/2abckfjideh/4g將物理方程和幾何方程代入，有：（7-44）其中：y方向：xy8hhh37240邊界h/2abckfjidehxy8hhh37240邊界h/2abckfjideh/4g將上式代入式（7-44），并整理得相應(yīng)于v0的差分方程：xy8hhh37240邊界h/2abckfjideh/4g將xy248370差分計(jì)算圖式：v0的差分方程的計(jì)算圖式xy8hh37240邊界h8——相應(yīng)于v0的差分方程xy248370差分計(jì)算圖式：v0的差分方程的計(jì)算圖式x邊界1xy4hhh2650h/2abckfjidegh/4當(dāng)邊界的法線沿x負(fù)方向時(shí)：xy654021u0的差分方程的計(jì)算圖式：邊界1xy4hhh2650h/2abckfjidegh/4當(dāng)xy4hhh12650邊界h/2abckfjidegh/4xy654021v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy4hhh12650邊界h/2abckfjidegh/4xxyhhh413850邊界當(dāng)邊界的法線沿y正方向時(shí)：u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy548021v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy548021xyhhh413850邊界當(dāng)邊界的法線沿y正方向時(shí)：u0xy邊界當(dāng)邊界的法線沿y負(fù)方向時(shí)：u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy103276v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy103276hhh0673120xy邊界當(dāng)邊界的法線沿y負(fù)方向時(shí)：u0的差分方程的計(jì)兩邊界的交點(diǎn)：hh0843xy邊界邊界bcadefkgij結(jié)點(diǎn)0的鄰域：h/2×h/2h/2h/4h/2由結(jié)點(diǎn)0的鄰域微元的平衡x方向：利用物理方程及幾何方程，有將式中導(dǎo)數(shù)用差分表示，兩邊界的交點(diǎn)：hh0843xy邊界邊界bcadefkgij結(jié)hh0843xy邊界邊界cadefbkgijh/2h/4h/2將以上各式代入平衡方程：hh0843xy邊界邊界cadefbkgijh/2h/4h/hh0843xy邊界邊界cadefbkgijh/2h/4h/2得到結(jié)點(diǎn)0的u0的差分方程：xy0843用的u0的差分圖式表示：類似地，可得結(jié)點(diǎn)0的v0的差分圖式：hh0843xy邊界邊界cadefbkgijh/2h/4h/hh0843xy邊界邊界cadefbkgijh/2h/4h/2類似地，可得結(jié)點(diǎn)0的v0的差分圖式：xy0843xy0843用的u0的差分圖式表示：hh0843xy邊界邊界cadefbkgijh/2h/4h/彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件§7-8位移差分解的實(shí)例一、內(nèi)結(jié)點(diǎn)的差分圖式：u0的差分圖式(Px)0=X0h2，(Py)0=Y0h2v0的差分圖式156248370xyxy137265480hhhh04xy156248370§7-8位移差分解的實(shí)例一、內(nèi)結(jié)點(diǎn)的差分圖式：u0的二、邊界非零未知位移結(jié)點(diǎn)的差分圖式：xy8hh37240邊界h8248370u0v0248370二、邊界非零未知位移結(jié)點(diǎn)的差分圖式：xy8hh37240邊界xy654021u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy8hh02651邊界h4v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy654021xy654021u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy8hh02xyhhh413850邊界u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy548021v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy548021xyhhh413850邊界u0的差分方程的計(jì)算圖式：xyxy邊界hhh067312u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy103276v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy103276xy邊界hhh067312u0的差分方程的計(jì)算圖式：xyxy0843u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy0843hh0843xy邊界邊界cadefbkgijh/2h/4h/2xy0843u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy08hhxy邊界邊界1450xy1450u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy1450hhxy邊界邊界1450xy1450u0的差分圖式：v0hhxy邊界邊界2307xy2307u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy2307hhxy邊界邊界2307xy2307u0的差分圖式：v0hhxy邊界邊界6012xy6012u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy6012hhxy邊界邊界6012xy6012u0的差分圖式：v0xy例:四邊固定的矩形薄板，其長(zhǎng)度與寬度之比為1：2，密度為，為簡(jiǎn)單起見取泊松比=0。試用4×2的網(wǎng)格計(jì)算自重引起的位移與應(yīng)力。解:hhabcidefgkjhhhh劃分網(wǎng)格，編寫結(jié)點(diǎn)號(hào)；由對(duì)稱性，獨(dú)立的位移分量?jī)H為：ua、va、vb、uf（ub=vf=vg=ug=0）內(nèi)結(jié)點(diǎn)a0000000——ua

：xy156248370xy例:四邊固定的矩形薄板，其長(zhǎng)度與寬度之比為1：2，密度0000000內(nèi)結(jié)點(diǎn)a：xyhhabcidefgkjhhhh156248370xy內(nèi)結(jié)點(diǎn)a：——ua

：——va

：0000000內(nèi)結(jié)點(diǎn)a：xyhhabcidefgkjhhhhxyhhabcidefgkjhhhh內(nèi)結(jié)點(diǎn)b：0000156248370xy內(nèi)結(jié)點(diǎn)a：——ua

：——va

：——va

：xyhhabcidefgkjhhhh內(nèi)結(jié)點(diǎn)b：0000156xyhhabcidefgkjhhhh邊界結(jié)點(diǎn)fu0的差分方程的計(jì)算圖式：xy5480210000000——va

：xyhhabcidefgkjhhhh邊界結(jié)點(diǎn)fu0的差xyhhabcidefgkjhhhh聯(lián)立求解，得：求結(jié)點(diǎn)應(yīng)力：xyhhabcidefgkjhhhh聯(lián)立求解，得：求結(jié)點(diǎn)應(yīng)力xyhhabcidefgkjhhhh求結(jié)點(diǎn)應(yīng)力：類似地，可求結(jié)點(diǎn)y方向的應(yīng)力。xyhhabcidefgkjhhhh求結(jié)點(diǎn)應(yīng)力：類似地，可求例:圖示矩形深梁，左右兩邊固定，上邊受均布載荷q作用，試求其位移和應(yīng)力。取泊松比=0.2;彈性模量為E。解:qabcdefjgi劃分網(wǎng)格，編寫結(jié)點(diǎn)號(hào)；由對(duì)稱性，獨(dú)立的位移分量?jī)H為：ua、va、ud=－ua，（ug=vg=ui=vi=uj=vj=0）ub、vb、uc、vc、ue=－ub，uf=－uc，vd=va，ve=vb，vf=vc結(jié)點(diǎn)a：——ua5480210000xy例:圖示矩形深梁，左右兩邊固定，上邊受均布載荷q作用，結(jié)點(diǎn)a：vaqxyabcdefjgiv0的差分方程的計(jì)算圖式：xy5480210000結(jié)點(diǎn)a：vaqxyabcdefjgiv0的差分方程的計(jì)算結(jié)點(diǎn)b：ubqxyabcdefjgi000xy156248370結(jié)點(diǎn)b：ubqxyabcdefjgi000xy1562483結(jié)點(diǎn)b：vbqxyabcdefjgi156248370xy000結(jié)點(diǎn)b：vbqxyabcdefjgi156248370xy0結(jié)點(diǎn)c：ucqxyabcdefjgiu0的差分方程的計(jì)算圖式：xy1032760000結(jié)點(diǎn)c：ucqxyabcdefjgiu0的差分方程的計(jì)算v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy103276結(jié)點(diǎn)c：vcqxyabcdefjgi0000v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy103276結(jié)點(diǎn)c：vcq整理得：qxyabcdefjgi聯(lián)立求解，得：整理得：qxyabcdefjgi聯(lián)立求解，得：qxyabcdefjgi聯(lián)立求解，得：求解應(yīng)力：00000000qxyabcdefjgi聯(lián)立求解，得：求解應(yīng)力：000000qxyabcdefjgi00000000qxyabcdefjgi00000000qxyabcdefjgi0qxyabcdefjgi0彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件本章小結(jié)1.有限差分法（FDM）基本思想要點(diǎn)：差分微分：代替差分方程代替微分方程。（1）中心差分公式（7-1）（7-2）（7-3）（7-4）2.基本差分公式5678yx01324hh9101112一、差分法的基本思想及基本差分公式本章小結(jié)1.有限差分法（FDM）基本思想要點(diǎn)：差混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-5）四階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-6）5678yx01324hh9101112混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-5）四階導(dǎo)數(shù)的差分公式：（7-（2）端點(diǎn)差分公式——向前差分公式y(tǒng)x0132456789101112h（7-7）——向后差分公式（7-8）注：用于邊界條件情形。（2）端點(diǎn)差分公式——向前差分公式y(tǒng)x0132456二、無(wú)源、穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分法（a）24yx013hh1.穩(wěn)定溫度場(chǎng)的熱傳導(dǎo)方程2.穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分方程（7-11）（1）第一類邊界條件由于邊界點(diǎn)的T值已知，因此，只需建立每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的差分方程即可求解。3.溫度場(chǎng)邊界條件的引入二、無(wú)源、穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分法（a）24yx013hh1（2）第二類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-17）（3）第三類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-14）（7-12）（4）不規(guī)則邊界節(jié)點(diǎn)的處理02431邊界外邊界內(nèi)xyhhhA（2）第二類邊界條件02431邊界外邊界內(nèi)xy（7-17）（三、應(yīng)力函數(shù)的差分法（7-25）（1）應(yīng)力函數(shù)差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）確定邊界結(jié)點(diǎn)及其導(dǎo)數(shù)值的基本公式（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式三、應(yīng)力函數(shù)的差分法（7-25）（1）應(yīng)力函數(shù)差分（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式（7-29）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（4）不規(guī)則邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)、虛節(jié)點(diǎn)

值hhh10956Bh邊界外（3）確定虛結(jié)點(diǎn)值的基本公式（7-29）yx013245（5）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力分量的差分公式（7-24）四、溫度應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)的差分法（1）溫度應(yīng)力問(wèn)題應(yīng)力函數(shù)法的基本方程：（e）（f）（d）——溫度應(yīng)力問(wèn)題的邊界條件（5）結(jié)點(diǎn)應(yīng)力分量的差分公式（7-24）四、溫度應(yīng)力問(wèn)（2）溫度應(yīng)力問(wèn)題差分方程（7-30）——溫度應(yīng)力問(wèn)題的差分方程（7-31）——溫度應(yīng)力邊界的差分形式y(tǒng)x0132456789101112h1314BAhh（2）溫度應(yīng)力問(wèn)題差分方程（7-30）——溫度應(yīng)力問(wèn)題的差一、內(nèi)結(jié)點(diǎn)的差分圖式：u0的差分圖式(Px)0=X0h2，(Py)0=Y0h2v0的差分圖式156248370xyxy137265480hhhh04xy156248370五、位移差分法一、內(nèi)結(jié)點(diǎn)的差分圖式：u0的差分圖式(Px)0=X0二、邊界非零未知位移結(jié)點(diǎn)的差分圖式：xy8hh37240邊界h8248370u0v0248370二、邊界非零未知位移結(jié)點(diǎn)的差分圖式：xy8hh37240邊界xy654021u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy8hh02651邊界h4v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy654021xy654021u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy8hh02xyhhh413850邊界u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy548021v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy548021xyhhh413850邊界u0的差分方程的計(jì)算圖式：xyxy邊界hhh067312u0的差分方程的計(jì)算圖式：xy103276v0的差分方程的計(jì)算圖式：xy103276xy邊界hhh067312u0的差分方程的計(jì)算圖式：xyxy0843u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy0843hh0843xy邊界邊界cadefbkgijh/2h/4h/2xy0843u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy08hhxy邊界邊界1450xy1450u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy1450hhxy邊界邊界1450xy1450u0的差分圖式：v0hhxy邊界邊界2307xy2307u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy2307hhxy邊界邊界2307xy2307u0的差分圖式：v0hhxy邊界邊界6012xy6012u0的差分圖式：v0的差分圖式：xy6012hhxy邊界邊界6012xy6012u0的差分圖式：v0彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件彈性力學(xué)-07(簡(jiǎn)化)第七章-平面問(wèn)題的差分解課件作業(yè)02431邊界外邊界內(nèi)xyhhAB（7-16）試推導(dǎo)具有圖示不規(guī)則邊界節(jié)點(diǎn)A、B時(shí)，節(jié)點(diǎn)0的差分方程（7-16）。補(bǔ)充題：7-27-3選做題：作業(yè)02431邊界外邊界內(nèi)xyhhAB（7-16）試作業(yè)：10-5作業(yè)：10-5作業(yè)：7-5作業(yè)：7-5第七章平面問(wèn)題的差分解要點(diǎn):將微分方程轉(zhuǎn)變成差分方程?；舅枷?將基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地用改用差分方程（線性代數(shù)方程）表示，把解微分方程的問(wèn)題變成求代數(shù)方程的問(wèn)題。第七章平面問(wèn)題的差分解要點(diǎn):將微分方程轉(zhuǎn)變成差分方程§7-1差分公式的推導(dǎo)主要內(nèi)容

§7-2穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解§7-3不穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解§7-4應(yīng)力函數(shù)的差分解§7-5應(yīng)力函數(shù)的差分解的實(shí)例§7-6溫度應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)差分解§7-7位移差分解§7-8位移差分解實(shí)例§7-9多連體問(wèn)題的位移差分解§7-10溫度應(yīng)力問(wèn)題的位移差分解§7-1差分公式的推導(dǎo)主要內(nèi)容§7§7-0彈性力學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介工程問(wèn)題（力學(xué)、物理等）建立一組基本方程控制微分方程定值條件常微分方程偏微分方程位移邊界條件力的邊界條件初始條件求解精確解近似解（數(shù)值解）（均質(zhì)、邊界條件簡(jiǎn)單）（1）有限差分法（2）等效積分法（包括變分法）（3）有限單元法（4）邊界單元法……（1）有限差分法（FDM）要點(diǎn)：差分微分；代替差分方程代替微分方程。（代數(shù)方程）yx013hh§7-0彈性力學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介工程問(wèn)題建立一組控制微優(yōu)點(diǎn)：yx013hh收斂性好、程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、非線性適應(yīng)好。代表性軟件：FLAC缺點(diǎn)：當(dāng)邊界幾何形狀復(fù)雜時(shí)，解的精度受到限制。（2）等效積分法控制微分方程邊值條件建立等效的積分方程假設(shè)未知函數(shù)整個(gè)區(qū)域內(nèi)近似求解（a）加權(quán)余量法（加權(quán)殘值法）（配點(diǎn)法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等）（b）變分法當(dāng)原問(wèn)題存在某個(gè)泛函時(shí)，則原問(wèn)題等價(jià)于求該泛函的駐值。如：Ritz法等。特點(diǎn)：

在整個(gè)區(qū)域內(nèi)，假設(shè)未知函數(shù)。適用于邊界幾何形狀簡(jiǎn)單的情形。xy優(yōu)點(diǎn)：yx013hh收斂性好、程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、非線性適應(yīng)好。代（3）有限單元法（FEM）——加權(quán)余量法、變分法的推廣。

基本思想：整個(gè)區(qū)域分成若干個(gè)單元區(qū)域離散假設(shè)未知函數(shù)在單元上由變分原理等求出單元結(jié)點(diǎn)上值（近似解）主要有限元軟件：SAP，ADINANASTRAN、ANSYS、ABAQUS、ASKA、SAFE、MARC等——早期的軟件（3）有限單元法（FEM）——加權(quán)余量法、變分法的推廣。1.中心差分公式§7-1差分公式的推導(dǎo)設(shè)函數(shù)：為彈性體內(nèi)的某個(gè)函數(shù)（應(yīng)力分量、位移分量、應(yīng)力函數(shù)、溫度等）。yx在彈性體上用相隔等間距h

且平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線組