高數(shù)同濟(jì)六版課件D8-1向量及運算

數(shù)量關(guān)系

—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)數(shù)量關(guān)系—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何1四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算第八章四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的2表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關(guān)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,記作e

或e.或a.表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢3規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面.記作－a;規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,4二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則5高數(shù)同濟(jì)六版課件D8_1向量及運算62.向量的減法三角不等式2.向量的減法三角不等式7可見3.向量與數(shù)的乘法

是一個數(shù),規(guī)定:總之:運算律:結(jié)合律分配律因此與a

的乘積是一個新向量,記作可見3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),規(guī)定:總之:運算律8定理1.

設(shè)a為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b反向時取負(fù)號,,a,b

同向時取正號則b與

a同向,設(shè)又有b＝

a,定理1.設(shè)a為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:9“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對角線的交點,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對角10ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標(biāo)面

卦限(八個)1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念ⅠzOx面ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)11在直角坐標(biāo)系下向徑坐標(biāo)軸上的點

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點M的坐標(biāo))原點O(0,0,0);在直角坐標(biāo)系下向徑坐標(biāo)軸上的點P,Q,R;坐標(biāo)面上12坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:132.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點M

則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量,的坐標(biāo)為此式稱為向量r的坐標(biāo)分解式,任意向量r

可用向徑OM

表示.記2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點M則沿三個坐14四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:設(shè)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:設(shè)15例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×16例3.已知兩點在AB所在直線上求一點M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實數(shù)得即例3.已知兩點在AB所在直線上求一點M,使解:設(shè)17說明:由得定比分點公式:點

M為AB的中點,于是得中點公式:說明:由得定比分點公式:點M為AB的中點,于是得18五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式19例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點例4.求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.20例5.

在z軸上求與兩點等距解:

設(shè)該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在xOy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?離的點.例5.在z軸上求與兩點等距解:設(shè)該點為解得故所求點為21(1)如何求在xOy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且例6.已知兩點解:求AB的單位向量e.(1)如何求在xOy面上與A,B等距離之點的軌跡222.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤

)為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點O,稱23方向余弦的性質(zhì):方向余弦的性質(zhì):24例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向25例8.設(shè)點A位于第一卦限,解:已知角依次為求點A的坐標(biāo).則因點A在第一卦限,故于是故點A的坐標(biāo)為向徑OA與x軸y軸的夾第二節(jié)例8.設(shè)點A位于第一卦限,解:已知角依次為求點A263.向量在軸上的投影第二節(jié)則

a在軸u上的投影為例如,在坐標(biāo)軸上的投影分別為設(shè)a與u軸正向的夾角為,,即投影的性質(zhì)2)1)(為實數(shù))3.向量在軸上的投影第二節(jié)則a在軸u上的投影為27例9.第二節(jié)設(shè)立方體的一條對角線為OM,一條棱為OA,且求OA在OM方向上的投影.解:如圖所示,記∠MOA=,作業(yè)

P123,5,13,14,15,18,19例9.第二節(jié)設(shè)立方體的一條對角線為OM,一條棱為OA28備用題解:

因1.

設(shè)求向量在x軸上的投影及在y軸上的分向量.在y軸上的分向量為故在x軸上的投影為備用題解:因1.設(shè)求向量在x軸上的投影及在y軸上292.設(shè)求以向量行四邊形的對角線的長度.該平行四邊形的對角線的長度各為對角線的長為解：為邊的平2.設(shè)求以向量行四邊形的對角線的長度.該平行四邊形的對30數(shù)量關(guān)系

—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)數(shù)量關(guān)系—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何31四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算第八章四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的32表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關(guān)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,記作e

或e.或a.表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢33規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面.記作－a;規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,34二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則35高數(shù)同濟(jì)六版課件D8_1向量及運算362.向量的減法三角不等式2.向量的減法三角不等式37可見3.向量與數(shù)的乘法

是一個數(shù),規(guī)定:總之:運算律:結(jié)合律分配律因此與a

的乘積是一個新向量,記作可見3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),規(guī)定:總之:運算律38定理1.

設(shè)a為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b反向時取負(fù)號,,a,b

同向時取正號則b與

a同向,設(shè)又有b＝

a,定理1.設(shè)a為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:39“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對角線的交點,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對角40ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標(biāo)面

卦限(八個)1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念ⅠzOx面ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)41在直角坐標(biāo)系下向徑坐標(biāo)軸上的點

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點M的坐標(biāo))原點O(0,0,0);在直角坐標(biāo)系下向徑坐標(biāo)軸上的點P,Q,R;坐標(biāo)面上42坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:432.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點M

則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量,的坐標(biāo)為此式稱為向量r的坐標(biāo)分解式,任意向量r

可用向徑OM

表示.記2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點M則沿三個坐44四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:設(shè)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:設(shè)45例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×46例3.已知兩點在AB所在直線上求一點M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實數(shù)得即例3.已知兩點在AB所在直線上求一點M,使解:設(shè)47說明:由得定比分點公式:點

M為AB的中點,于是得中點公式:說明:由得定比分點公式:點M為AB的中點,于是得48五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式49例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點例4.求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.50例5.

在z軸上求與兩點等距解:

設(shè)該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在xOy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?離的點.例5.在z軸上求與兩點等距解:設(shè)該點為解得故所求點為51(1)如何求在xOy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且例6.已知兩點解:求AB的單位向量e.(1)如何求在xOy面上與A,B等距離之點的軌跡522.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤

)為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點O,稱53方向余弦的性質(zhì):方向余弦的性質(zhì):54例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例7.已知兩點和的模、方向余