彈性力學(xué)預(yù)備知識(shí)12-23課件

第一章數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)§1-1微分方程的一般概念§1-2一階常微分方程的基本解解法§1-3高階線性常微分方程解法§1-4變分法的基本概念§1-5矩陣代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)§1-6函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)第一章數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)§1-1微分方程的一般概念§11

凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）或微分的方程叫微分方程.是聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之微分方程的階,根據(jù)組成方程的未知函數(shù)個(gè)數(shù),微分的性質(zhì),冪次等,可分為常微分方程、偏常微分方程、線性與非線性微分方程以及微分方程組，等等一、微分方程的定義及分類§1－1微分方程的一般概念二階常系數(shù)非其次微分方程.一階非線性常微分方程.n階常微分方程.偏微分方程.一階常微分方程常微分方程組凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）或微分的方程叫微分方程.2代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之微分方程的解.設(shè)在區(qū)間I上有n階導(dǎo)數(shù)，使得二、微分方程的求解則稱為方程的解微分方程的解概念(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解。代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之微分方程的解.設(shè)3過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線。（5）初值問(wèn)題:求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題（4）初始條件:用來(lái)確定任意常數(shù)的條件（3）解的圖象:微分方程的積分曲線(族)過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定4解所求特解為解所求特解為5一、可分離變量的微分方程的方程為可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解。上例方程的解為分離變量法§1－2一階常微分方程的解法形如例如一、可分離變量的微分方程的方程為可分離變量的微分方程.解法為6二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義：二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原71、一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:齊次方程三、一階線性微分方程

非齊次方程齊次方程的通解為1）線性齊次方程2、一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)1、一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:齊次方程三、一階線性微分82）線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.常數(shù)變易法實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.2）線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通9作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解10例:如圖所示，平行與y軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解:解此微分方程所求曲線為例:如圖所示，平行與y軸的動(dòng)直線被曲線11一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式§3－3高階常系數(shù)線性微分方程

(齊次)(非齊次)二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上述齊次方程,得從而得到特征值特征方程一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性方程12

討論:兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解齊次方程的通解為特征根為

(a)有兩個(gè)不相等的實(shí)根

(a)有兩個(gè)相等的實(shí)根特征根為一特解為得齊次方程的通解為另一特解設(shè)為代入原方程可求得討論:兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解齊次方程的通解為特征根為(a)有13二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

特征根的情況

通解的表達(dá)式特征方程齊次方程二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征14三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)結(jié)論:由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法。n

次代數(shù)方程有

n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的15特征根為故所求通解為特征方程為解：特征方程為故所求通解為例2

解得例1

解：特征根為故所求通解為特征方程為解：特征方程為故所求通解為例216四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)非齊次線性方程設(shè)非齊方程特解為代入原方程四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

討論：四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)非齊次17綜上討論可設(shè)注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）特別地綜上討論可設(shè)注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊特別地18彈性力學(xué)預(yù)備知識(shí)12-23課件19§1－4變分原理泛函的定義自變量是具有一定條件的函數(shù)，因變量是普通變量的函數(shù)關(guān)系定義為泛函。即泛函是函數(shù)的函數(shù)。記為:以積分形式構(gòu)筑泛函關(guān)系若I[y]是以定義域的泛函，其中是在區(qū)間[a，b]上的分段連續(xù)的函數(shù)集，則I[y]可表示為

一、泛函的基本知識(shí)例如：A、B間任一曲線長(zhǎng)度為abABcdxyo§1－4變分原理泛函的定義自變量是具有一定條件的函數(shù)20泛函一般形式或二、函數(shù)的變分

定義

函數(shù)y的微小增量被稱為函數(shù)y(x)的變分力學(xué)意義oxyABCD結(jié)構(gòu)構(gòu)件的虛位移其中AB為梁的撓度曲線CD為該梁發(fā)生虛位移后的一段撓度曲線與導(dǎo)數(shù)關(guān)系導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)泛函一般形式或二、函數(shù)的變分定義函數(shù)y的微小增量被稱為函21三、泛函的變分因而有泛函I[y(x)]的變分可由泛函的變分獲得,而的變分可由由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法則推導(dǎo)獲得,即四、泛函的極值問(wèn)題－變分問(wèn)題如同函數(shù)取得極值所要滿足的條件一樣,泛函取到極值的條件為(※)式即為求解極值曲線的微分方程.(※)三、泛函的變分因而有泛函I[y(x)]的變分可由泛函的變分22例abABcdxyo求圖中AB曲線為最短時(shí)的函數(shù)于是并且由極值條件得從而得可見(jiàn)最短為一條直線，其中的C1和C2可由邊界條件求得例abABcdxyo求圖中AB曲線為最短時(shí)的函數(shù)于是并且由極231、二階行列式的概念設(shè)有數(shù)表a11

稱數(shù)a11a22－a12a21為對(duì)應(yīng)于數(shù)表(1)的二階行列式，記為：(1)副對(duì)角線主對(duì)角線

定義a12a21a22(＋)(－)一、n階行列式的定義§1-5矩陣代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1、二階行列式的概念設(shè)有數(shù)表a11稱數(shù)a11a22－a24引進(jìn)記號(hào)：稱為對(duì)應(yīng)于數(shù)表(3)的三階行列式2、三階行列式定義設(shè)有數(shù)表(3)(+)(+)(+)(－)(－)(－)主對(duì)角線副對(duì)角線例如：引進(jìn)記號(hào)：稱為對(duì)應(yīng)于數(shù)表(3)的三階行列式2、三階行列式定義25n階行列式定義

3、n階行列式的定義D的展開(kāi)式為:或者n階行列式定義3、n階行列式的定義D的展開(kāi)式為:或者26定理

(克萊姆法則)(1)若系數(shù)行列式設(shè)線性方程組二、克萊姆法則定理(克萊姆法則)(1)若系數(shù)行列式設(shè)線性方程組二、克萊27

其中Di(i=1,2,…,n)是用常數(shù)項(xiàng)b1,b2…;bn代替D中第i列各元素而得到的n階行列式，即：(2)則方程組(1)有唯一解，且解可表示為：(i=1,2,…,n)其中Di(i=1,2,…,n)是用常數(shù)項(xiàng)b1,b28例

解線性方程組解：方程組的系數(shù)行列式所以方程組有唯一解。例解線性方程組解：方程組的系數(shù)行列式所以方程組有唯29又：所以：又：所以：30

注：在方程組中，若所有的常數(shù)項(xiàng)b1=b2=…=bn

=0，則方程組稱為n元齊次線性方程組。(3)顯然有零解x1=x2=…=xn

=0

結(jié)論1：若齊次線性方程組(3)的系數(shù)行列式D0，則方程組只有零解。一般解

結(jié)論2：若齊次線性方程組(3)有非零解，則系數(shù)行列式D=0。特解注：在方程組中，若所有的常數(shù)項(xiàng)b1=b2=…=31由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有次序地排成m行(橫排)n列(豎排)的數(shù)表

稱為一個(gè)m行n列的矩陣，簡(jiǎn)記(aij)m×n，通常用大寫字母A，B，C，…表示，m行n列的矩陣A也記為Am×n，構(gòu)成矩陣A的每個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，而aij表示矩陣第i行、第j列的元素。1、矩陣的定義三、矩陣知識(shí)由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,32注意：有時(shí)也可以通過(guò)行矩陣的轉(zhuǎn)置表示列矩陣(2)兩個(gè)矩陣A、B，若行數(shù)、列數(shù)都相等，則稱A、B是同型的。---行矩陣---列矩陣(1)只有一行或一列的矩陣稱為行矩陣或列矩陣,有時(shí)也稱為向量,如:注意：有時(shí)也可以通過(guò)行矩陣的轉(zhuǎn)置表示列矩陣(2)兩個(gè)矩陣A332、矩陣的運(yùn)算(1)定義:

設(shè)矩陣

A=(aij)m×n,B=(bij)m×n則矩陣稱為矩陣A與B的和，記作C=A+B1）矩陣的加法

C=(cij)m×n=(aij+bij)m×n(2)性質(zhì):設(shè)A，B，C，O都是m×n矩陣,則有(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A2、矩陣的運(yùn)算(1)定義:設(shè)矩陣A=(aij342）矩陣的減法(1)負(fù)矩陣設(shè)A=(aij)m×n,則稱(－aij)m×n

為A的負(fù)矩陣，簡(jiǎn)記－A顯然A+(－A)=O,－(－A)=A(2)減法：設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,A－B為A－B=A+(－B)=(aij－bij)m×n定義:設(shè)是常數(shù)，A=(aij)m×n，則矩陣

(aij)m×n

稱為數(shù)與矩陣A的乘積，計(jì)為A,即3）數(shù)與矩陣的乘法2）矩陣的減法(1)負(fù)矩陣設(shè)A=(aij)35設(shè)A、B為m×n矩陣，、u為常數(shù)(1)(u)A=(uA)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+uA(4)1·A=A，(－1)·A=－A(2)性質(zhì)（1）定義：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,

則A與B的乘積C其中Cij等于A的第i行與B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)C＝AB是m×n矩陣，C=(cij)m×n

4）矩陣的乘法設(shè)A、B為m×n矩陣，、u為常數(shù)(1)(36例設(shè)試證：(1)AB=0；(2)AC=AD證：(1)(2)故有AC＝AD(1)(AB)C=A(BC)(2)A(B+C)=AB+AC(3)(B+C)A=BA+CA(4)(AB)=(A)B=A(B)(其中為常數(shù))(2)性質(zhì)例設(shè)試證：(1)AB=0；(2)375）線性方程組的矩陣表示設(shè)方程組為可表示為簡(jiǎn)記為AX＝B。A稱為由線性方程組的系數(shù)矩陣。5）線性方程組的矩陣表示設(shè)方程組為可表示為簡(jiǎn)記為AX＝B。38(1)定義:將矩陣Am×n的行換成同序數(shù)的列，列換成同序數(shù)的行所得的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

或A'。例如：則6）矩陣的轉(zhuǎn)置(1)

(AT)T=A(2)(A+B)

T=AT+

BT

(3)(A

)T＝A

T(4)(AB)T=BT

AT(2)性質(zhì)(1)定義:將矩陣Am×n的行換成同序數(shù)的列，列換393、方陣1）定義(其中：k,l均為正整數(shù))k個(gè)行數(shù)與列數(shù)相同的n×n

矩陣A稱為方陣，n稱為它的階數(shù)，簡(jiǎn)記An

。則：記A·A…A=Akk個(gè),稱為n階單位矩陣，簡(jiǎn)記E顯然1.單位矩陣002）幾類特殊方陣3、方陣1）定義(其中：k,l均為正整數(shù))k個(gè)行數(shù)與列數(shù)相402.對(duì)角矩陣其中aij=0,ij00特別：稱為數(shù)量矩陣004、分塊矩陣定義:如果用若干條貫穿矩陣的橫線和縱線將矩陣A分成若干小塊，這樣的小塊稱為矩陣A的子塊或子矩陣，而A可以看成是以子塊為元素的矩陣，稱A為分塊矩陣。例如：2.對(duì)角矩陣其中aij=0,ij00特別：稱41一、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)形式其中若函數(shù)在y0開(kāi)區(qū)間內(nèi)有（n＋1）階導(dǎo)，則可以展開(kāi)為為在級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)的誤差§1－6函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)于多元函數(shù)，若A(x,y)點(diǎn)的函數(shù)值為f（x，y）則B(x+dx,y)點(diǎn)的函數(shù)值為一、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)形式其中若函數(shù)在y0開(kāi)區(qū)間內(nèi)有（n＋1421、以2L為周期的傅里葉級(jí)數(shù)代入傅里葉級(jí)數(shù)中二、周期為2L的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)若周期為2L的周期函數(shù)f(x)滿足收斂條件,則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為其中1、以2L為周期的傅里葉級(jí)數(shù)代入傅里葉級(jí)數(shù)中二、周期為2L的43則有則有則有則有44二元函數(shù)f（x，y）在區(qū)間（0≤x≤a，0≤y≤b）可以展開(kāi)為三、雙三角級(jí)數(shù)注意：矩形薄板的三角級(jí)數(shù)解就是利用荷載函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)的其中二元函數(shù)f（x，y）在區(qū)間（0≤x≤a，0≤y≤b）三、雙45解解46彈性力學(xué)預(yù)備知識(shí)12-23課件47

第一章數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)§1-1微分方程的一般概念§1-2一階常微分方程的基本解解法§1-3高階線性常微分方程解法§1-4變分法的基本概念§1-5矩陣代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)§1-6函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)第一章數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)§1-1微分方程的一般概念§148

凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）或微分的方程叫微分方程.是聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之微分方程的階,根據(jù)組成方程的未知函數(shù)個(gè)數(shù),微分的性質(zhì),冪次等,可分為常微分方程、偏常微分方程、線性與非線性微分方程以及微分方程組，等等一、微分方程的定義及分類§1－1微分方程的一般概念二階常系數(shù)非其次微分方程.一階非線性常微分方程.n階常微分方程.偏微分方程.一階常微分方程常微分方程組凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）或微分的方程叫微分方程.49代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之微分方程的解.設(shè)在區(qū)間I上有n階導(dǎo)數(shù)，使得二、微分方程的求解則稱為方程的解微分方程的解概念(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解。代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之微分方程的解.設(shè)50過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線。（5）初值問(wèn)題:求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題（4）初始條件:用來(lái)確定任意常數(shù)的條件（3）解的圖象:微分方程的積分曲線(族)過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定51解所求特解為解所求特解為52一、可分離變量的微分方程的方程為可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解。上例方程的解為分離變量法§1－2一階常微分方程的解法形如例如一、可分離變量的微分方程的方程為可分離變量的微分方程.解法為53二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義：二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原541、一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:齊次方程三、一階線性微分方程

非齊次方程齊次方程的通解為1）線性齊次方程2、一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)1、一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:齊次方程三、一階線性微分552）線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.常數(shù)變易法實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.2）線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通56作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解57例:如圖所示，平行與y軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解:解此微分方程所求曲線為例:如圖所示，平行與y軸的動(dòng)直線被曲線58一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式§3－3高階常系數(shù)線性微分方程

(齊次)(非齊次)二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上述齊次方程,得從而得到特征值特征方程一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性方程59

討論:兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解齊次方程的通解為特征根為

(a)有兩個(gè)不相等的實(shí)根

(a)有兩個(gè)相等的實(shí)根特征根為一特解為得齊次方程的通解為另一特解設(shè)為代入原方程可求得討論:兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解齊次方程的通解為特征根為(a)有60二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

特征根的情況

通解的表達(dá)式特征方程齊次方程二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征61三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)結(jié)論:由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法。n

次代數(shù)方程有

n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的62特征根為故所求通解為特征方程為解：特征方程為故所求通解為例2

解得例1

解：特征根為故所求通解為特征方程為解：特征方程為故所求通解為例263四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)非齊次線性方程設(shè)非齊方程特解為代入原方程四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

討論：四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)非齊次64綜上討論可設(shè)注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）特別地綜上討論可設(shè)注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊特別地65彈性力學(xué)預(yù)備知識(shí)12-23課件66§1－4變分原理泛函的定義自變量是具有一定條件的函數(shù)，因變量是普通變量的函數(shù)關(guān)系定義為泛函。即泛函是函數(shù)的函數(shù)。記為:以積分形式構(gòu)筑泛函關(guān)系若I[y]是以定義域的泛函，其中是在區(qū)間[a，b]上的分段連續(xù)的函數(shù)集，則I[y]可表示為

一、泛函的基本知識(shí)例如：A、B間任一曲線長(zhǎng)度為abABcdxyo§1－4變分原理泛函的定義自變量是具有一定條件的函數(shù)67泛函一般形式或二、函數(shù)的變分

定義

函數(shù)y的微小增量被稱為函數(shù)y(x)的變分力學(xué)意義oxyABCD結(jié)構(gòu)構(gòu)件的虛位移其中AB為梁的撓度曲線CD為該梁發(fā)生虛位移后的一段撓度曲線與導(dǎo)數(shù)關(guān)系導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)泛函一般形式或二、函數(shù)的變分定義函數(shù)y的微小增量被稱為函68三、泛函的變分因而有泛函I[y(x)]的變分可由泛函的變分獲得,而的變分可由由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法則推導(dǎo)獲得,即四、泛函的極值問(wèn)題－變分問(wèn)題如同函數(shù)取得極值所要滿足的條件一樣,泛函取到極值的條件為(※)式即為求解極值曲線的微分方程.(※)三、泛函的變分因而有泛函I[y(x)]的變分可由泛函的變分69例abABcdxyo求圖中AB曲線為最短時(shí)的函數(shù)于是并且由極值條件得從而得可見(jiàn)最短為一條直線，其中的C1和C2可由邊界條件求得例abABcdxyo求圖中AB曲線為最短時(shí)的函數(shù)于是并且由極701、二階行列式的概念設(shè)有數(shù)表a11

稱數(shù)a11a22－a12a21為對(duì)應(yīng)于數(shù)表(1)的二階行列式，記為：(1)副對(duì)角線主對(duì)角線

定義a12a21a22(＋)(－)一、n階行列式的定義§1-5矩陣代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1、二階行列式的概念設(shè)有數(shù)表a11稱數(shù)a11a22－a71引進(jìn)記號(hào)：稱為對(duì)應(yīng)于數(shù)表(3)的三階行列式2、三階行列式定義設(shè)有數(shù)表(3)(+)(+)(+)(－)(－)(－)主對(duì)角線副對(duì)角線例如：引進(jìn)記號(hào)：稱為對(duì)應(yīng)于數(shù)表(3)的三階行列式2、三階行列式定義72n階行列式定義

3、n階行列式的定義D的展開(kāi)式為:或者n階行列式定義3、n階行列式的定義D的展開(kāi)式為:或者73定理

(克萊姆法則)(1)若系數(shù)行列式設(shè)線性方程組二、克萊姆法則定理(克萊姆法則)(1)若系數(shù)行列式設(shè)線性方程組二、克萊74

其中Di(i=1,2,…,n)是用常數(shù)項(xiàng)b1,b2…;bn代替D中第i列各元素而得到的n階行列式，即：(2)則方程組(1)有唯一解，且解可表示為：(i=1,2,…,n)其中Di(i=1,2,…,n)是用常數(shù)項(xiàng)b1,b75例

解線性方程組解：方程組的系數(shù)行列式所以方程組有唯一解。例解線性方程組解：方程組的系數(shù)行列式所以方程組有唯76又：所以：又：所以：77

注：在方程組中，若所有的常數(shù)項(xiàng)b1=b2=…=bn

=0，則方程組稱為n元齊次線性方程組。(3)顯然有零解x1=x2=…=xn

=0

結(jié)論1：若齊次線性方程組(3)的系數(shù)行列式D0，則方程組只有零解。一般解

結(jié)論2：若齊次線性方程組(3)有非零解，則系數(shù)行列式D=0。特解注：在方程組中，若所有的常數(shù)項(xiàng)b1=b2=…=78由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有次序地排成m行(橫排)n列(豎排)的數(shù)表

稱為一個(gè)m行n列的矩陣，簡(jiǎn)記(aij)m×n，通常用大寫字母A，B，C，…表示，m行n列的矩陣A也記為Am×n，構(gòu)成矩陣A的每個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，而aij表示矩陣第i行、第j列的元素。1、矩陣的定義三、矩陣知識(shí)由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,79注意：有時(shí)也可以通過(guò)行矩陣的轉(zhuǎn)置表示列矩陣(2)兩個(gè)矩陣A、B，若行數(shù)、列數(shù)都相等，則稱A、B是同型的。---行矩陣---列矩陣(1)只有一行或一列的矩陣稱為行矩陣或列矩陣,有時(shí)也稱為向量,如:注意：有時(shí)也可以通過(guò)行矩陣的轉(zhuǎn)置表示列矩陣(2)兩個(gè)矩陣A802、矩陣的運(yùn)算(1)定義:

設(shè)矩陣

A=(aij)m×n,B=(bij)m×n則矩陣稱為矩陣A與B的和，記作C=A+B1）矩陣的加法

C=(cij)m×n=(aij+bij)m×n(2)性質(zhì):設(shè)A，B，C，O都是m×n矩陣,則有(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A2、矩陣的運(yùn)算(1)定義:設(shè)矩陣A=(aij812）矩陣的減法(1)負(fù)矩陣設(shè)A=(aij)m×n,則稱(－aij)m×n

為A的負(fù)矩陣，簡(jiǎn)記－A顯然A+(－A)=O,－(－A)=A(2)減法：設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,A－B為A－B=A+(－B)=(aij－bij)m×n定義:設(shè)是常數(shù)，A=(aij)m×n，則矩陣

(aij)m×n

稱為數(shù)與矩陣A的乘積，計(jì)為A,即3）數(shù)與矩陣的乘法2）矩陣的減法(1)負(fù)矩陣設(shè)A=(aij)82設(shè)A、B為m×n矩陣，、u為常數(shù)(1)(u)A=(uA)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+uA(4)1·A=A，(－1)·A=－A(2)性質(zhì)（1）定義：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,

則A與B的乘積C其中Cij等于A的第i行與B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)C＝AB是m×n矩陣，C=(cij)m×n

4）矩陣的乘法設(shè)A、B為m×n矩陣，、u為常數(shù)(1)(83例設(shè)試證：(1)AB=0；(2)AC=AD證：(1)