數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第四章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理及適用范圍；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題；3.明確數(shù)列問(wèn)題解決的重要方法——“歸納——猜想——證明”.二、基礎(chǔ)梳理1.數(shù)學(xué)歸納法：一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法.三、鞏固練習(xí)1.在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的第2步中，假設(shè)時(shí)原等式成立，則當(dāng)時(shí)需要證明的等式為()A.B.C.D.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，應(yīng)先證明()A. B. C. D.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”時(shí)，從到，等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是()A. B. C. D.4.若命題在時(shí)成立，則有時(shí)命題成立，現(xiàn)知在時(shí)命題成立，則有()A.命題對(duì)所有正整數(shù)都成立B.命題對(duì)小于的正整數(shù)不成立，對(duì)大于或等于的正整數(shù)都成立C.命題對(duì)小于的正整數(shù)成立與否不能確定，對(duì)大于或等于的正整數(shù)都成立D.以上說(shuō)法都不正確5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，由到左邊需要添加的項(xiàng)是()

A. B. C. D.6.已知命題及其證明：

（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，所以等式成立.

（2）假設(shè)時(shí)等式成立，即成立，則當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)等式也成立.

由（1）（2）知，對(duì)任意的正整數(shù)n命題都成立.

判斷以上評(píng)述()

A.命題、證明都正確

B.命題正確、證明不正確

C.命題不正確、證明正確

D.命題、證明都不正確7.（多選）已知數(shù)列，均為遞增數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，則下列結(jié)論中正確的是()A. B. C. D.8.（多選）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意都成立，則以下滿(mǎn)足條件的k的值為()A.1 B.2 C.3 D.4

答案以及解析1.答案：D解析：因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，左邊，所以左邊需增添的項(xiàng)是，所以.2.答案：D解析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)該先證明當(dāng)時(shí)命題成立，即.3.答案：D解析：當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由到時(shí)，等式左邊應(yīng)該增乘的代數(shù)式是.4.答案：C解析：由已知可得時(shí)命題成立，則有時(shí)命題成立，在時(shí)命題成立的前提下，可推得時(shí)命題也成立，以此類(lèi)推，可知命題對(duì)大于或等于的正整數(shù)都成立，但命題對(duì)小于的正整數(shù)成立與否不能確定.故選C.5.答案：D解析：當(dāng)時(shí)，假設(shè)成立的等式為，當(dāng)時(shí)，要證明的等式為左邊需要添加的項(xiàng)為.故選D.6.答案：B解析：證明不正確，錯(cuò)在證明時(shí)，沒(méi)有用到假設(shè)的結(jié)論由等比數(shù)列求和公式知命題正確.故選B.7.答案：ABC解析：因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以，即.又，即，所以，即，故A正確；因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，所以，即.又，即，所以，即，故B正確；由題意，得的前2n項(xiàng)和為.因?yàn)?，則，所以，則的前2n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，所以，故D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，即，則當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)于任意，都有，即，故C正確.故選ABC.8.答案：CD解析：取，則，，不成立；取，則，，不成立；取，則，，成立；取，則，，成立；下面證：當(dāng)時(shí)，成立.當(dāng)，