物理i-1復(fù)習(xí)課件振動

振動與波動Oscillations

and

Waves振動——物理量隨時間的周期性變化位移、電流強度、電場強度……波動——振動的第一章 振動Oscillations本章內(nèi)容：

簡諧振動運動學(xué)

簡諧振動動力學(xué)

簡諧振動的要點與難點：旋轉(zhuǎn)矢量圖：建立簡諧振動方程——彈簧振子的振動x

A

F

Fmaxa

amaxx

0

F

0v

vmaxa

0v

0

觀察F

kx

madt

2d2

x

2x

0m令

2

ka

2

x0dtv

dx

A

sin(t

)20d2

xa

A

cos(dt2t

)xFmo

x

x

Acosx

t

圖v

t

圖a

t圖

AA

2

A

2A

vatttA

x

Aooox

AcosT

2π

A

cost

π

0

2

v

A

s

A2

cost

π020)a

A

cos(t

0

0oA-AtxT§1.1

簡諧振動運動學(xué)Kinematics

of

Simple

HarmonicMotion——振動的描述⒈定義x

Acos(ωt

0

)——簡諧振動表達式或振動方程x

——位移（或其它物理量）t

——時間e.g.⒉參量⑴

——角頻率angular

frequency

2

f

2TSI單位：rad/s

or

s-1Notes:①

僅依賴于系統(tǒng)本身的性質(zhì)，與初始條件無關(guān)e.g.m彈簧振子：

2

kl單 擺：

2

gnl0

長：k

nk0⑵

A——振幅

amplitudeSI單位：mNotes:

②關(guān)于彈簧的彈性勁度系數(shù)并聯(lián)：k

k1

k2串聯(lián)：1

1

1k

k1

k2請同學(xué)自行推導(dǎo)Notes:①A依賴于振動的初始條件x

Acos(t

0

)v

dx/dt

Asin(t

0

)2E

Ep②A與振動的能量有關(guān)e.g.

彈簧振子：

1

kA222

2

2002

A

x

x

v2

v2⑶0——初相(initialphase)單位：radNotes:①0依賴于振動的初始條件。x0

Av0

00

x

v

φ

arctg

②通常取

0

0⑷

=t

+0

——相(phase)單位：radNotes:①

對應(yīng)于t時刻振動的狀態(tài)x

Av

對于給定的簡諧振動，由

x,vNotes:

②

可用來比較兩個同頻率簡諧振動的步調(diào)x1

A1cos(t

01

)02

01

2k(k為整數(shù))x2

A2co02

01

(2k

1)(k為整數(shù))xto同相反相txo若0201=其它值，則當(dāng)0

02

01

時,稱振動2超前當(dāng)

02

01

0

時,稱振動2滯后Notes:tox

2

1to2x

101

02取x

Acos(ωt

0

)旋轉(zhuǎn)矢量A的端點在軸上的投影點的運動為簡諧運動可否用一種更直觀的圖像的處理方法來處理振動問題？⒊旋轉(zhuǎn)矢量圖

phasor

diagram旋轉(zhuǎn)矢量A0Xt

=tt+0Ot

=0x

=

A

cos(

t+0)AA長度＝振幅A角速度＝角頻率初始角＝初相0x

x0旋轉(zhuǎn)矢量圖與振動曲線(x-t)如何對應(yīng)呢？17xtooxT0x

Acos

t

:

0

:

0

18OxA-AtOx-AOO這兩個振動哪個初相位超前？x

xAt應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量圖求解初相位[例1-1]

某簡諧振動的振動曲線如圖，則振動方程為

。x

(cm)t(s)1-2解：設(shè)振動方程為

x

Acos則由振動曲線：A=2

cmO-1t=0：cos0=

–1/20=

2/3t(s)1

O?1?2t=0

時旋矢圖：t>0，負(fù)向位移應(yīng)增大

0

2

/

3x(cm)X2/32/312另種畫法又，t=1s時,

=2

2

2

/

3

4

/

3

(rad/s)t

1于是x

2cos(4

t

/[例1-2]質(zhì)點的振動規(guī)律用余弦函數(shù)描述，其速度－時間曲線如圖，則其初相應(yīng)為

.v(m/s)t(s)vmvm/2O解：設(shè)

x

Acos則

v

dx

/

dt

Asin(t

0

)

vm

sin(t

0

)mmt=0時,

有

vm

/

2

旋矢圖：t>0，正向速度應(yīng)增大

0

5

/

6[思考]

完全用旋矢法?xF

mo

x

sin0

1/

2

0

或5

/6t

>0,v

v

,x

平?衡位置O

X24x

AcostxAtxA00.5A-A0.5A0-A-AtxA00.5A0-AtxA0.5A練習(xí)：方程曲線；曲線方程（研究例題及作業(yè)）§1.2

簡諧振動動力學(xué)Dynamics

of

Simple

Harmonic

Motion——作用力、能量、動力學(xué)方程⒈作用力(沿振動方向的合力)由

x

Acos

a

2

Acos(t

)

2

x0

F

ma

m

2

x特點：①

F

方向：與位移方向相反大?。号c位移大小成正比2對任意閉合路徑L:

x1x2x1xLx1Fdx

m2xdx

有

012xx2m

xdx證：

Xx1

x2O特點：

②

F

是保守力。px2

2

20m

A

cos

(t

)2

212m

A

Ep

Ek

——守恒⒉能量設(shè)x

=0處,Ep=0,

則有21212kE

mv又2

212m

x2x0

0E

Fdx

m

xdx

2

22012m

A

sin

(t

)簡諧運動的動能、勢能、勢能曲線、能量守恒之間的關(guān)系pxB

AC

AxO2E

1

kx2212EpE

kAEkNotes①若系統(tǒng)中有多個保守力作用，則Ep是這些力的勢能之和e.g.

豎直彈簧振子：原長位置p平衡位置(E

=0)OxX-l0

2Ep=Ep(彈)+Ep(重)1=

2

kx②平均動能與平均勢能：4k

pE

E

1

m

2

A20p

l

0

1

k

(x

l

)2

1

kl

2

mgx

1

kx2

kxl

mgx

1

kx22

0

2

0

2

0

2

mg

kl002p

1

kx2

E

A

xl0

kxdx

x

mgdx

F(x)

mg

k(x

l

)

kx

ENotes解：E

1

m

2

A22[例1-3]彈簧振子總能量為E1，若其振幅增為原來的兩倍，重物質(zhì)量增為原來的四倍，則振子總能量變?yōu)?/p>

。

1

kA22

E

4E1[思考]

T

?

vmax

?

amax

?[例1-4]系統(tǒng)作諧振動，周期為T，以余弦函數(shù)表達振動時，初相為零，則在

0

t

T/2范圍內(nèi)，系統(tǒng)在

t

=

時刻動能和勢能相等。解：按題意x

Acost2p2A

x

E

1

m2

x2

1

m

2

A22242

cost

因此1[思考]其它解法？2t

3

/

4

3

T

4

2

8Xt

/

4

T

T

4

2

8

3T

t

/

4

or

3

/

4旋矢圖：3/4

/42

d

x

2

x

0dt2——簡諧振動的動力學(xué)方程⒊動力學(xué)方程簡諧振動：x

Acosdt22

d

x

2

xNotes:其中A

C

2

C

21

22tan0

①零階導(dǎo)數(shù)項系數(shù)決定②初始條件決定A、0方程的通解：x

C1

cost

C2

sin

t

Acos([例1-5]彈簧振子置于光滑斜面上（如圖），求其動力學(xué)方程。解：平衡條件：mg

sin

kx0

0任意位置x處受力：F

mg

sin

k(x

x0)

k

xkm2

d

x

kdt2

m

x

02k(

)md2

xF

mdt2第二定律：特殊情形：

=

0——水平

=90

——豎直動力學(xué)方程不變角頻率不變[例1-6]豎直懸掛的彈簧振子，平衡時彈簧的伸長量為x0，則此振子

振動的周期T

=

。m

x平衡條件：

mg

kx0

0

0k

gx0g

T

2[思考]若置于傾角為

的斜面上，平衡時伸長量為x0，則T=?km解：T

2

2§1.3

簡諧振動的Addition

of

SimpleHarmonic

Motions⒈同一直線上同頻率振動的⑴兩個振動的x1

A1

cox2

A2

cos(t

20

)AOXA1

x

x1

x2

Acos(t

0

)旋矢圖：t=0

時刻A202212

1

220

10

A

A

A

2A

A

cos(

)11022001

102

20A

sin

A

sin

tan

A

cos

A

cosNotes:

①若20?10=2k(k=0,1,2,

)則A=A1

+A2

——max.②若20?10=(2k+1)

(k=0,

1,2,

)則A=A1?A2

——min.A1

A2At[例1-9]兩個簡諧振動的振動曲線如圖，則它們 的余弦振動的初相為。X42x1x2OA/2解：旋矢圖：1AoA2X合振動初相：0

=–/

2[例1-10]兩振動,合振動振幅為20cm,

它與振動1的相位差為

-1=

/6

,振動1振幅為10

3

cm,

則振動2振幅為

cm,振動1與2的相位差為1-2=

。解：旋矢圖：2221

11A

A

A

2AA

cos(

)

10

(cm)AA2OX1

1A

A2

A2A2cos

1

2

02A1

A20

/2

1

2

(

)

/

2AA1A2OX1旋矢圖：*⒉同一直線上不同頻率簡諧振動的后不是簡諧振動！e.g.

兩個等幅振動：x1

Acos(1t

0

)x2

Acos(2t

0

)A1A2OXA122122t

cos2

1

x1

x2

2Acost

0

若

2

1

2

1近似：振幅為2Acos

2

1

t

的簡諧振動2現(xiàn)象：振動時強時弱——拍(beats)合振動振幅變化的頻率——拍頻fb=f2–f1兩個同方向不同頻率簡諧運動的頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的

，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍*⒊相互垂直的簡諧振動的⑴同頻率情形——質(zhì)點合振動軌跡是橢圓或直線e.g.

=0

=

=/4

=/2

=3/448用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動合成圖49兩相互簡垂諧直運同動頻的率合不成同圖相位差⑵不同頻率情形若頻率為整數(shù)比——(Lissajous)圖形e.g.f2:f1=2:3y

A2A

x1o-A1-

A2應(yīng)用：頻率測量51x

A1

cos(1t

1

)2

2y

A

cos(

t

)2

n

m1,

,π

π

3π

,π8

4

8

22

0,2

01測量振動頻率和相位的方法圖兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的分解，可將任意振動分解成若干SHM諧振分析利用的疊加。對周期性振動：2ax(t

)

0

[Ak

cos(kt

k

)]k

1TT

：周期，

=2k

=1

基頻（）k

=

2k

=

3二次諧頻（2）

高次三次諧頻（3）

諧頻決定音調(diào)決定音色x2n

=

0

, n

=1

,

2

,

3

,

…Ak23

4560

1k(ω)分立譜：x1tttt例如對方波：a0Tt0x30x50x0

+x1+x3+x50Tt00x0a0

/

2小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎隨后在大風(fēng)中因產(chǎn)生而斷塌1940年 的塔大橋在大風(fēng)中產(chǎn)生振動發(fā)生 時由于振幅過大可能損壞機器、設(shè)備或建筑。EXERCISES1.

質(zhì)點沿X軸以x

=0

為平衡位置作諧振動，頻率為0.25Hz，t

=0

時，x

=–0.37cm，v

=0，則振幅為，振動的數(shù)值表達式為。解：旋矢圖：0XAO

A

3.7

103

m

,又

2

f

0.5

(s1

)故x

3.7103

cos(0.5t

)

(SI)[思考]①若題中x=0.37cm，v

=0

，結(jié)果？②若題中x=0，v

=1.57cm/s，結(jié)果？，則x1的⒉兩個諧振動的振動曲線相位比x2的相位超前。解：由圖，