考研交流群-2014自控第1-8章zkyl

自動控制原理第八章非線性控制系統(tǒng)分析8-3

相平面法3相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖解法。其實質(zhì)是將系統(tǒng)的運動過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個點的移動，通過研究這個點的移動軌跡，就可獲得系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息。相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。x

f

(x,

x)1.相平面的基本概念二階系統(tǒng)的微分方程可由下列微分方程來描述：4相平面：二階系統(tǒng)的二個變量看作是獨,分別以對應(yīng)于相平面上一個點，稱為相點，代表了系統(tǒng)在該時刻的一個狀態(tài)。立變量，一般是位置量x

和速度量xx、x

為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)構(gòu)成的平面為相平面。而x、x

就叫做運動系統(tǒng)的相變量。在某一時刻t，x、x相軌跡：設(shè)初始時刻t0，初始條件x(0)=x0,相點從(x0,

x0

)開始，隨著時間的增加，系統(tǒng)的狀態(tài)不斷變化，沿著時間增加的方向，將描述這些狀態(tài)的相點連接起來，在相平面上就形成了一條軌跡線，這種反映系統(tǒng)狀態(tài)變化的軌跡線叫相軌跡，如圖：x15tt2t3t4x相圖：對于某一微分方程，當(dāng)初始條件不同時，不同的初始條件對應(yīng)著不同的相軌跡，因此相平面上布滿了一簇相軌跡，由這一簇相軌跡組成的相平面圖，稱作相圖。相平面法：用相平面圖分析系統(tǒng)的方法為相平面法。6的關(guān)系，直接相軌跡的繪制方法解析法解析法是從微分方程中找出x

和x的關(guān)系，從而在相平面上繪制相軌跡，當(dāng)描述系統(tǒng)的微分方程比較簡單時，用解釋法比較方便。消變量法從

x

f

(x,

x)

中解出x，對x求導(dǎo)得到

x

，從x,x

中消去中間量t

，就得到x

x以t

為參量得參量方程即可。(2)直接積分法x

dx

dx

dx

x

dxdt

dx

dt

dxdtx

dx

f

(x,

x)7g(x)dx

h(x)dx0

0x

xxxh(x)dxg(x)dx

就得到x

x的關(guān)系。例：設(shè)系統(tǒng)的微分方程為x

x

0，初始條件為x(0)

x0

,x(0)

0

，試?yán)L制系統(tǒng)的相軌跡。0x2

x2

x2

圓解：第法:從微分方程求得x=x0costx

x0

sin

t8第二種方法：x

dx

x

0dxxdx

xdxxx0

1

x2

1

x2

(0)

1

x22

2

20

x2

x2

x

2

圓2)

等傾等傾 是不解微分方程，直接在相平面上繪制相軌跡的方法。它對非線性系統(tǒng)尤為重要。9的實質(zhì)是用圖解的方法，先繪出相軌跡的切線方向，然后從初始條件開始，沿切線方向繪制相軌跡。等傾等傾dxdx

f

(x,

x)

x

xdxx

dx

f

(x,x)

相軌跡方程它給出了相軌跡在(x,x)處的斜率。令dx

c等傾線方程fx(x,)

dxx10給定一個α，就可以畫出一條直線，在這條線上，當(dāng)相軌跡通過它時其切線斜率為α，因此把這條線稱為等傾線。當(dāng)α取不同值時，等傾線分布在整個相平面上。線性系統(tǒng)的等傾線是以原點為端點的一組射線，非線性系統(tǒng)的等傾線往往是曲線或折線。在每條等傾線上用小的帶箭頭的短線來表示α，即切線斜率，當(dāng)給定初始條件后，可在其所在的等傾線上以切線方向作一線段與第二條等傾線相交，然后再以第二條等傾線的切線方向做線段，與下一條等傾線相交，直到做完。平滑處理后，所得的曲線就是相軌跡。11dx解：

x

dx

x令

dx

dx

x

x例:用等傾繪制x

x

0

的相軌跡。給α=-∞…，-2，-1，-0.5，0，0.5…∞畫等傾線。當(dāng)以（x0,x）為初始條件時，是一個圓。12應(yīng)沿x的增加的方向由。④一般來說等傾線條數(shù)越多，作圖精度越高，但條數(shù)過多，不但增加了計算量，可能還會引起一些人為的誤差積累，故要取得適當(dāng)，采用平均斜率的方法可以提高作圖效率。①x

與x

比例尺一致；②

上半平面

x

0

故x的左向右，下半平面反之。③x軸上，因x

0

繪制等傾線時需注意的問題13相軌跡的運動特性相軌跡在相平面上的運動具有一定的規(guī)律，了解其運動特性可以使相平面作圖簡化。⑴運動方向：上半平面右行，下半平面左行，穿過實軸的相軌跡斜率為

⑵

對稱：x軸：

f

(x,

x)

f

(x,x)x

軸：f(x,x)

f

(x,x)原點：f

(x,x)

f

(x,x)143.線性系統(tǒng)的相軌跡dcc線性二階系統(tǒng)的相平面分析標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的微分方程可表示為：c

2nc

n

c

02dc

2

c

2

c

n

n

2等傾線方程

c

n

c2n

可見等傾線是通過坐標(biāo)原點的直線。15對于線性二階系統(tǒng)，ζ

取值不同，其特征根在s平面上的分布不同，系統(tǒng)的運動規(guī)律也不一樣。⑴0<ζ<1(欠阻尼）相軌跡為向心螺旋線，最終趨于原點。

0.5

,

n

116⑵

-1<

ζ

<0相軌跡為離心螺旋線，最

終發(fā)散到無窮。n17

0.5⑶ζ>1(過阻尼）相軌跡為非周期衰減曲線，最終趨于原點。

1.25

,

n

118⑷

ζ<

-1相軌跡為非周期發(fā)散。19⑸

ζ

=0相軌跡為圍繞坐標(biāo)原點的一簇橢圓，橢圓的參數(shù)由初始條件及ωn確定。20⑹正反饋系統(tǒng)描述正反饋系統(tǒng)的運動方程c

2

nc

n

c

02s

2

112

n

n是符號相異的兩實根，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，其過渡過程非周期發(fā)散，相軌跡趨于無窮。21xx

x

dx

f

(x,

x)

dx

f

(x,

x)(1)奇點若在某點（某些點）上有線性二階微分系統(tǒng)dxx

0,

f

(x,

x)

0dx則

dx

0dx

022且不定值，這樣的點定義為相軌跡的奇點，或稱系統(tǒng)的平衡點。4.奇點和奇線線性二階系統(tǒng)依據(jù)其特征根在s平面上分布的不同，可把奇點分為以下六種類型：⑴0<ζ<1,系統(tǒng)有二個具有負(fù)實部的共軛復(fù)根，奇點為穩(wěn)定焦點。⑵ζ>1,系統(tǒng)有二個不等的負(fù)實根，奇點為穩(wěn)定節(jié)點。⑶-1<ζ<0,系統(tǒng)有一對具有正實部的共軛復(fù)根，奇點為不穩(wěn)定焦點。⑷ζ<-1,系統(tǒng)有二個不等的正實根，奇點為不穩(wěn)定節(jié)點。⑸ζ=0,系統(tǒng)有一對純虛根，奇點為穩(wěn)定中點。⑹正反饋系統(tǒng)：系統(tǒng)的特征根為一正一負(fù)的實根，奇點稱為鞍點。23270xx

x0x

x0x

f

(x的線性二階微分方程。非線性系統(tǒng)的平衡點類型分析將

f

(x,

x)

在奇點

(x0

,

x0

)

處展開成級數(shù)，略去高次項。奇點附近關(guān)于x(1)

奇線非線性系統(tǒng)的平衡點可能不止一個，有時可能有無窮多個，這些奇點就會構(gòu)成奇線。奇線是一種特殊的相軌跡，它將相平面分為具有不同運動特點的區(qū)域，最常見的就是極限環(huán)。由于非線性系統(tǒng)會出現(xiàn)自激振蕩，相應(yīng)的相平面就會出現(xiàn)一條孤立的封閉曲線，曲線附近的相軌跡漸進趨向于這條封閉曲線，或從曲線附近離開，這些特殊的相軌跡就是極限環(huán)。極限環(huán)將相平面分為內(nèi)、外二部分，相軌跡不能穿越極限環(huán)。極限環(huán)是非線性系統(tǒng)特有現(xiàn)象，它們是相互孤立的，在任何極限環(huán)附近都不可能有其它的極限環(huán)。極限環(huán)上系統(tǒng)的時間響應(yīng)表現(xiàn)為非線性系統(tǒng)的自激振蕩。28根據(jù)極限環(huán)鄰近相軌跡的特點，可將極限環(huán)分成以下三種：⑴穩(wěn)定的極限環(huán)29當(dāng)

t

,如果起始于極限環(huán) 和外部的相軌跡均卷向極限環(huán)，則該極限環(huán)叫做穩(wěn)定的極限環(huán)。極限環(huán)發(fā)散至極限環(huán)，是穩(wěn)定區(qū)域，極限環(huán)外部收斂于極限環(huán)，是穩(wěn)定區(qū)域，不論起始點在哪，系統(tǒng)運動最終會回到極限環(huán)表現(xiàn)為自振蕩，而且這種振蕩只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與初始條件無關(guān)。30和外部的相軌跡均卷離極限環(huán)，則該極限環(huán)為不穩(wěn)定極限環(huán)，環(huán)內(nèi)相軌跡收斂于環(huán)內(nèi)的奇點，說明是不穩(wěn)定區(qū)域，環(huán)外相軌跡發(fā)散至無窮遠處，說明是不穩(wěn)定區(qū)域。⑵不穩(wěn)定的極限環(huán)當(dāng)t

時，起始于極限環(huán)31⑶半穩(wěn)定極限環(huán)當(dāng)t

時，起始于環(huán)內(nèi)（外）的相軌跡卷向極限環(huán)，起始于環(huán)外（內(nèi)）的相軌跡卷離極限環(huán)，這種極限環(huán)叫半穩(wěn)定的極限環(huán)。32例：求奇點和極限環(huán)的實例已知非線性系統(tǒng)的微分方程為：x

0.5x

2x

x2

0試求系統(tǒng)的奇點并判斷其類型。解：相軌跡方程為：dxxdx

0.5x

2x

x2

令

dx

0dx

0332

0.5x

2x

x

0x

0有

x1

0,

x2

2,

x1

0

x2

2x1

0

x2

0有二個奇點：為判斷奇點類型，需要對非線性系統(tǒng)在奇點附近進行微分線性化，即計算各奇點處的一階偏導(dǎo)數(shù)求得它在奇點附近的線性增量方程。(0,0)

(2

2x)

|(0,0)

2x在奇點(0,0)處，f

(x,x)|(0,0)

0.5xf

(

x,

x)

|

x

f

x

f

x

2x

0.5xx

x34x

0.5x

2x

0解得：x1,2

0.25

1.39j系統(tǒng)在奇點(0,0)處有一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根，故奇點(0,0)為穩(wěn)定的焦點。在奇點(-2,0)處，(-2,0)(-2,0)

(2

2x)

|

2xf(

x,

x)

|(-2,0)

0.5xf(

x,

x)

|

x

f

x

f

x

2x

0.5xx

xx

0.5x

-

2x

0解得：x1

1.69,

x2

1.19系統(tǒng)在奇點(-2,0)處有一正一負(fù)二個實根，故奇點(-2,0)為鞍點。356.非線性系統(tǒng)的相平面分析常見的非線性特性多數(shù)可以用分段線性來近似，對這類系統(tǒng)進行相平面分析的一般方法如下：首先用幾條分界線將向平面環(huán)分為幾個線性區(qū)域，然后按各段的微分方程畫出各區(qū)域的相軌跡，最后將各區(qū)域的相軌跡連成實的連續(xù)曲線，這就是完整的相軌跡曲線。通常把各線性區(qū)域的分界線稱為開關(guān)線或轉(zhuǎn)換線，在開關(guān)線上相軌跡發(fā)生改變的點為轉(zhuǎn)換點。在分區(qū)繪制相軌跡時，首先要確定奇點的位置和類型，每個區(qū)域都有一個奇點，如果奇點位于區(qū)域內(nèi)，稱這種奇點為實奇點，否則，為虛奇點。在二階非線性控制系統(tǒng)中，只能有一個實奇點，其余的都為虛奇點。36Ks(Ts

1)remcko系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸入為r(t)

R

*1(t)試?yán)L制偏差e

的相平面圖。371、具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)如圖：Ks(Ts

1)remckoe(t)

系統(tǒng)微分方程：Tc(t)

c(t)

Km(t)k

(e(t)

)

,m(t)

0

,e(t)

k

(e(t)

)

,e(t)

e(t)

r(t)

c(t)38(I

)

:e

e(t)

(II

)

:(III

)

:Te

e

Kke

Tr

r

Kk

,Te

e

Tr

r,Te

e

Kke

Tr

r

Kk

,

e

(I

)

:(II

)

:(III

)

:e

e(t)

T

(e

)

(e

)

Kk(e

)

0

,Te

e

0

,T

(e

)

(e

)

Kk(e

)

0

,

e

r(t)

r(t)

0由39，得給定參數(shù)T

1,K則：區(qū)域I：(I

)

:(II

)

:(III

)

:e

e(t)

(e

)

(e

)

(e

)

0

,e

e

0

,(e

)

(e

)

(e

)

0

,

e

奇點(,

0)

為穩(wěn)定焦點，

0.540區(qū)域II：

奇點為(x,

0),

x

(,

)

，相軌跡沿直線收斂；區(qū)域III

：奇點

(,

0)

為穩(wěn)定焦點，

0.5eT

1

,

K

1

,

k

1

,

0.4e41T

1

,

K

3

,

k

1

,

0.4ee42T

1

,

K

3

,

k

1

,

0.2ee43eT

1,

K

10

,

k

1

,

0.2e44T=1,K=4,e0=M0=0.2

，若系統(tǒng)開始處于零初始狀態(tài)，試做出r(t)=R*1(t)時系統(tǒng)的相平面圖。Ks(Ts

1)remcM045e0o2、具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)如圖：

0

00M e

e解：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，有：Tc(t)

c(t)

Km(t)

M0

e

e0且m(t)

ke e

e00

0

e(t)

r(t)

c(t)因此，以e

為輸出列寫系統(tǒng)的運動方程：Te

e

KM0

Tr

r e

e0

Te

e

Ke

Tr

r

e

e

Te

e

KM

Tr

r e

e046

1eMk

0開關(guān)線為e

成三個區(qū)域。當(dāng)和e

e0

兩條直線，將e

e

平面分00

0r(t)

R

*1(t)時，r

r

0，所以Te

e

KM0

0

e

e0

Te

e

Ke

0

e

e

Te

e

KM

0

e

e

e

KMde

Tede0

T

1所以等傾線方程：e

KM

0047T

1

e

KMdede

e

KM

0Te

0

區(qū)，有：①在e

e0

區(qū)，有：②同理e

e0

KeT

1de

e

e在

e

e

區(qū)，有：de

e

Ke

則漸近于在e<-e0區(qū)，相軌跡漸近于e

KM0

直線，在e>e0區(qū)，e

KM0零初始條件下：c(0)

c(0)

0,r(0)

R,r(0)

0,e(0)

Re(0)

0，R取2。相軌跡最后進入

e

e0區(qū)后，不再進入其他區(qū)，經(jīng)過有限次震蕩后，收斂于原點，穩(wěn)態(tài)誤差為零。49從飽和特性可以看出：如果系統(tǒng)固有部分具有良好的阻尼特性，系統(tǒng)進入中間區(qū)域后，呈現(xiàn)出超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間、振蕩次數(shù)等方面都比較好的特性，而且沒有極限環(huán)，不產(chǎn)生自激振蕩。飽和點的大小決定分區(qū)切換次數(shù)的多少，飽和點值大，線性工作區(qū)就大，分區(qū)切換次數(shù)就少，非線性振蕩次數(shù)就少，飽和非線性對系統(tǒng)的影響就少。50，3、繼電器非線性特性控制系統(tǒng)(1)具有死區(qū)特性的繼電器設(shè)具有死區(qū)繼電器特性的控制系統(tǒng)，當(dāng)r(t)=1(t)，分析系統(tǒng)的性能。

M e

hM e

hTc

c

m

且

m

0

e

hKs(Ts

1)remcoMh51Te

e

KM

e

hTe

e

KM

e

he

h

Te

e

0又e(t)

r(t)

c(t)e>h區(qū)：deT

1e

KMTede

e

KM

KMT

1de

Tee

de

e

KM

e<-h區(qū)：無奇點，等傾線為一簇平行于e軸的直線，相軌跡趨近于α=0,e

KM直線無奇點，α為一簇平行于e軸的直線，相軌跡漸近于α=0，e

KM

的直線。52de

e

1|e|<h區(qū)：de

Te

T

相軌跡是一簇斜率為-1/T的互相平行直線，無