2020-2021學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價六必要條件與充分條件含解析北師大版必修1

課時素養(yǎng)評價六必要條件與充分條件(15分鐘35分)1.(2020·天津高考)設a∈R,則“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解題指南】首先求解一元二次不等式,然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立.【解析】選A.解一元二次不等式a2>a可得:a>1或a<0,據(jù)此可知:“a>1”是“a2>a”的充分不必要條件.2.有以下說法,其中正確的個數(shù)為()(1)“m是自然數(shù)”是“m是整數(shù)”的充分條件.(2)“兩個三角形對應角相等”是“這兩個三角形全等”的必要條件.(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要條件.A.0個B.1個C.2個D.3個【解析】選D.(1)由于“m是自然數(shù)”?“m是整數(shù)”,因此“m是自然數(shù)”是“m是整數(shù)”的充分條件.(2)由三角形全等可推出這兩個三角形對應角相等,所以“兩個三角形對應角相等”是“這兩個三角形全等”的必要條件.(3)由(a+b)·(a-b)=0,得:|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要條件.3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“A?B”的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件【解析】選A.當a=3時,A={1,3},故A?B,若A?B?a=2或a=3,不一定有a=3,故“a=3”是“A?B”的充分條件.4.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以是以是<1的一個必要條件的所有序號為.<1的一個充分條件的所有序號為,可【解析】由于<1,即-1<x<1,①-1<x<1?x<1;②0<x<1?-1<x<1;③-1<x<0?-1<x<1;④-1<x<1?-1<x<1,所以②③④是<1的一個充分條件,①④是<1的一個必要條件.答案:②③④①④5.從“充分條件”“必要條件”中選出適當?shù)囊环N填空:(1)“ax2+bx+c=0有實根”是“ac<0”的.(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的.【解析】(1)因為ax2+bx+c=0所以Δ=b2-4ac≥0,ac<0不一定成立;但ac<0時,Δ=b2-4ac≥0一定成立,有實根,所以“ax2+bx+c=0有實根”是“ac<0”的必要條件.(2)△ABC≌△A′B′C′?△ABC∽△A′B′C′,△ABC∽△A′B′C′不能推出△ABC≌△A′B′C′,所以“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分條件.答案:(1)必要條件(2)充分條件【補償訓練】用“充分”或“必要”填空:(1)“x≠3”是“|x|≠3”的條件.(2)“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個自然數(shù)能被5整除”的條件.【解析】(1)因為|x|≠3時,x≠±3,所以“x≠3”不能推出“|x|≠3”,“|x|≠3”?“x≠3”,所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要條件.(2)因為個位數(shù)字是5或0的自然數(shù)都能被5整除,所以“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”?“這個自然數(shù)能被5整除”;“這個自然數(shù)能被5整除”不能推出“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”,所以“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個自然數(shù)能被5整除”的充分條件.答案:(1)必要(2)充分6.下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?哪些命題中的p是q的必要條件?(1)p:數(shù)a能被6整除,q:數(shù)a能被3整除.(2)p:x>1,q:x2>1.(3)p:b2=ac,q:=.(4)p:A∩B=A,q:UB?UA.【解析】(1)數(shù)a能被6整除,則一定能被3整除,反之不一定成立.即p?q,q不能推出p,所以p是q的充分條件,但p不是q的必要條件.(2)因為x2>1?x>1或x<-1,所以p?q,且q不能推出p.所以p是q的充分條件,但p不是q的必要條件.(3)b2=ac不能推出=,如b=0,c=0時,b2=ac,而,無意義.但=?b2=ac,所以p是q的必要條件,但p不是q的充分條件.(4)畫出Venn圖(如圖).結(jié)合圖形可知,A∩B=A?A?B?UB?UA,反之也成立,所以p是q的充分條件,且p是q的必要條件.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在如圖電路中,條件p:開關(guān)A閉合,條件q:燈泡B亮,則p是q的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若開關(guān)A閉合,則燈泡B亮,所以p?q;若燈泡B亮,則開關(guān)A閉合或開關(guān)C閉合,所以q不能推出p,所以p是q的充分條件,故選A.2.設U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得A?C,B?UC”是“A∩B=?”的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.依題意,若A?C,則UC?UA,當B?UC,可得A∩B=?;若A∩B=?,不妨令C=A,顯然滿足A?C,B?UC,故滿足條件的集合C是存在的.所以“存在集合C使得A?C,B?UC”是“A∩B=?”的充要條件.3.若“-1<x-m<1”成立的充分不必要條件是“<x<”,則實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選B.-1<x-m<1?m-1<x<m+1,由題意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要條件,所以{x|m-1<x<m+1},所以解得-≤m≤.4.“b=c=0”是“二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過原點”的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件【解析】選A.b=c=0?y=ax2,二次函數(shù)一定經(jīng)過原點;二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過原點?c=0,b不一定等于0.【誤區(qū)警示】解答本題容易忽視對二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過原點的含義(即c=0)理解錯誤.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列條件中是“a+b>0”的充分條件的是()A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a=3,b=-2D.a>0,b<0且|a|>|b|【解析】選ACD.問題是“誰”是“a+b>0”的充分條件;因為“a>0,b>0”?“a+b>0”,“a<0,b<0”不能推出“a+b>0”,“a=3,b=-2”?“a+b>0”.“a>0,b<0且|a|>|b|”?“a+b>0”,所以A,C,D中的條件均是“a+b>0”的充分條件,B中的條件不是“a+b>0”的充分條件.6.對任意實數(shù)a,b給出下列命題,其中真命題是()A.“|a|=|b|”是“a=b”的充要條件B.“a>b”是“a2>b2”的充分條件C.“a<5”是“a<3”的必要條件D.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件【解析】選CD.若a=1,b=-1,則|a|=|b|,但a≠b,所以“|a|=|b|”推不出“a=b”,A錯誤;若a=1,b=-1,則a>b,但a2=b2;所以“a>b”推不出“a2>b2”,所以B錯誤;“a<3”可推出“a<5”,所以C正確;“a+5是無理數(shù)”?“a是無理數(shù)”所以D正確.【補償訓練】(多選題)已知實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列結(jié)論正確的是()A.Δ=b2-4ac≥0是這個方程有實根的充要條件B.Δ=b2-4ac=0是這個方程有實根的充分條件C.Δ=b2-4ac>0是這個方程有實根的必要條件D.Δ=b2-4ac<0是這個方程沒有實根的充要條件【解析】選A、B、D.A正確,Δ=b2-4ac≥0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根;B正確,Δ=b2-4ac=0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根;C錯誤,Δ=b2-4ac>0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根;D正確,Δ=b2-4ac<0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實根.三、填空題(每小題5分,共10分)7.用“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”填空:(1)“x=1”是“(2)“x≠1”是“x2+2x-3≠0”的條件.【解析】(1)設A={1},B={x|則B={-1,1},因為AB,所以“x=1”是“=1”的條件.=1},=1”的充分條件.(2)設A={x|x≠1},B={x|x2+2x-3≠0},則B={x|x≠1且x≠-3},因為BA,所以“x≠1”是“x2+2x-3≠0”的必要條件.答案:(1)充分(2)必要8.“k>4,b<5”是“一次函數(shù)y=(k-4)x+b-5的圖象交y軸于負半軸,交x軸于正半軸”的條件.(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分也不必要”)【解析】當k>4,b<5時,函數(shù)y=(k-4)x+b-5的圖象如圖所示.顯然圖象交y軸于負半軸,交x軸于正半軸.由一次函數(shù)y=(k-4)x+b-5的圖象交y軸于負半軸,交x軸于正半軸,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.當y=0時,x=>0,因為b<5,所以k>4.故填“充要”.答案:充要四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知p,q都是r的必要條件,s是r的充分條件,q是s的充分條件,那么:(1)s是q的什么條件?(2)r是q的什么條件?(3)p是q的什么條件?【解題指南】可將r,p,q,s的關(guān)系用圖表示,然后利用關(guān)系圖解答.【解析】r,p,q,s的關(guān)系如圖,(1)因為q?s,s?r?q,所以s是q的充分條件,同時s是q的必要條件.(2)因為r?q,q?s?r,所以r是q的充分條件,同時r是q的必要條件.(3)因為q?s?r?p,pq,所以p是q的必要條件,p不是q的充分條件.10.(2020·青島高一檢測)已知P={x|-2≤x≤10},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.(1)若x∈P是x∈S的必要條件,求出m的取值范圍.(2)是否存在實數(shù)m,使x∈P是x∈S的充要條件.【解析】(1)因為x∈P是x∈S的必要條件,所以S?P,所以解得0≤m≤3,所以m的取值范圍是{m|0≤m≤3}.(2)x∈P是x∈S的充分條件時,P?S,所以解得m≥9,由(1)知,x∈P是x∈S的必要條件是0≤m≤3,由此知x∈P是x∈S的充要條件時,m的值不存在.1.函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對稱的充要條件是()A.m=-2C.m=-1B.m=1D.m=0【解析】選A.當m=-2時,f(x)=x2-2x+1,其圖象關(guān)于直線x=1對稱,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對稱的充要條件是m=-2.2.已知ab≠0,求證:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要條件.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【證明】設p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1.(1)充分性(p?q):因為a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,因為ab≠0,a2-ab+b2=所以a+b-1=0,即a+b=1.(2)必要性(q?p):+b2>0,因為a+b=1,所以b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,綜上所述,a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【補償訓練】設x,y∈R,求證|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.【證明】設p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|.(1)充分性(p?q):如果xy≥0,則有xy=0和xy>0兩種情況,當xy=0時,不妨設x=0,則|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.當