教學(xué)第三章-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述1.位置描述在直角坐標(biāo)系A(chǔ)中,空間任意一點(diǎn)p的位置可用3x1列向量(位置矢量)表示:位置矢量ApxAyAzAoApAp矢量和表示矢量的模

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述xAyA1Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述2、點(diǎn)的齊次坐標(biāo)其中：a=ωpx，b=ωpy，c=ωpz。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述其中：a=2Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述3、坐標(biāo)軸的方向描述若用來表示直角坐標(biāo)系中X、Y、Z坐標(biāo)軸的單位向量，用齊次坐標(biāo)來描述X、Y、Z軸的方向，則有Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述3Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述3、坐標(biāo)軸的方向描述規(guī)定:列陣［abc0］T中第四個(gè)元素為零,且a2+b2+c2=1,表示某軸(或某矢量)的方向;列陣［abcω］T中第四個(gè)元素不為零,則表示空間某點(diǎn)的位置。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述4Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3.1用齊次坐標(biāo)寫出圖中矢量uvw的方向列陣。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3.1用齊次坐標(biāo)寫出圖中矢量u5第三章-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件6Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述4、動(dòng)坐標(biāo)系位姿的描述動(dòng)坐標(biāo)系位姿的描述就是用位姿矩陣對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)位置和坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸方向的描述。該位姿矩陣為（

）的方陣。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述7Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述5、剛體位姿的描述機(jī)器人的每一個(gè)連桿均可視為一個(gè)剛體，若給定了剛體上某一點(diǎn)的位置和該剛體在空中的姿態(tài)，則這個(gè)剛體在空間上是唯一確定的，可用唯一一個(gè)位姿矩陣進(jìn)行描述。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述8Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標(biāo)系{B}位于OB點(diǎn)，XB＝10，YB＝5，ZB＝0。ZB與畫面垂直，坐標(biāo)系{B}相對(duì)固定坐標(biāo)系{A}有一個(gè)30°的偏轉(zhuǎn)，試寫出表示剛體位姿的坐標(biāo)系{B}的(4×4)矩陣表達(dá)式。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標(biāo)9Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述6、手部位姿描述Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述10Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手部的位置矢量為固定參考系原點(diǎn)指向手部坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)的矢量p,手部的方向矢量為n、o、a。于是手部的位姿可用（4X4）矩陣表示為Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手部的位置矢量為固定參考系原點(diǎn)指向11Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，物體為邊長(zhǎng)2個(gè)單位的正立方體，寫出表達(dá)該手部位姿的矩陣式。抓握物體Q的手部Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，12Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7、目標(biāo)物位姿的描述

下圖中的物體可以由{(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)}表示。如果該物體在基坐標(biāo)系中先繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，再沿x軸平移4，求物體6個(gè)頂點(diǎn)的位置。xyzoo1xyzoo1x1y1z1xyzoo1z1y1x1xyzoo1x1z1y1Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7、目標(biāo)物位姿的描述xyzoo113Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這個(gè)變換矩陣表示對(duì)原參考坐標(biāo)系重合的坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移操作。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這個(gè)變換矩陣表示對(duì)原參考坐標(biāo)系重合14Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對(duì)變換：如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對(duì)變換。相對(duì)變換：如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對(duì)變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對(duì)變換：如果所有的變換都是相對(duì)于15Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運(yùn)算1、齊次坐標(biāo)性質(zhì)

三維空間中任一點(diǎn)P可以用直角坐標(biāo)表示，也可以用不同時(shí)為零的4個(gè)數(shù)（x1，x2，x3，x4）來表示，稱為齊次方程。齊次坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運(yùn)算16Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次方程有以下性質(zhì)：空間一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是單值的，但對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)是多值的；即齊次坐標(biāo)可以是

，其中a為非零值。x4為比例坐標(biāo)，表示點(diǎn)P的各直角坐標(biāo)值與對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)之間的比例關(guān)系，x4不為零時(shí)，齊次坐標(biāo)才能確定三維空間中唯一的點(diǎn)。直角坐標(biāo)原點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為（0，0，0，x4），x4=0時(shí)，是無意義的。齊次坐標(biāo)（1，0，0，0）表示指向無窮遠(yuǎn)的ox軸方向，同理（0，1，0，0）和（0，0，1，0）則表示指向無窮遠(yuǎn)的oy，oz軸方向。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次方程有以下性質(zhì)：17Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、齊次坐標(biāo)的矢量計(jì)算三維空間矢量為

,其中

－ox,oy,oz軸上的單位矢量矢量的齊次坐標(biāo)為[x,y,z,w]T,一般常取w=1。矢量的計(jì)算方法：(1)sa=s[a1,a2,a3,a4]T=[sa1,sa2,sa3,sa4]T,其中s為標(biāo)量。(2)(3)(4)

其中（5）TRobotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、齊次坐標(biāo)的矢量計(jì)算T18Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運(yùn)算3、平移的齊次變換點(diǎn)的平移變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運(yùn)算點(diǎn)的平移變換19Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注:①算子左乘:表示點(diǎn)的平移是相對(duì)固定坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。②算子右乘:表示點(diǎn)的平移是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。③

該公式亦適用于坐標(biāo)系的平移變換、

物體的平移變換,如機(jī)器人手部的平移變換。

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注:20Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-4：有下面三種情況：動(dòng)坐標(biāo)系{A}相對(duì)于固定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作(-1，2，2)平移后到{A’}；動(dòng)坐標(biāo)系{A}相對(duì)于自身坐標(biāo)系的X、Y、Z軸分別作(-1，2，2)平移后到{A”};物體Q相對(duì)于固定坐標(biāo)系（2，6，0）平移后Q’。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-4：有下面三種情況：動(dòng)坐標(biāo)系21Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已知：寫出坐標(biāo)系{A’}、{A’’}以及物體Q’的矩陣表達(dá)式。

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已知：22Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、

旋轉(zhuǎn)的齊次變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、旋轉(zhuǎn)的齊次變換23Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)繞Z軸、X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的算子Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)繞Z軸、X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的算子24Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖所示為點(diǎn)A繞任意過原點(diǎn)的單位矢量k旋轉(zhuǎn)

角的情況。

分別是k矢量在固定參考坐標(biāo)軸X，Y，Z上三個(gè)分量，且

?？梢宰C明，其旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣為：注：①該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式，概括了繞X，Y，Z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的情況。反之，當(dāng)給出某個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣，則可求得k及轉(zhuǎn)角。②變換算子公式不僅適用于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，也適用于矢量、坐標(biāo)系、物體的旋轉(zhuǎn)。③左乘是相對(duì)固定坐標(biāo)系的變換，右乘是相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)的變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖所示為點(diǎn)A繞任意過原點(diǎn)的單位矢25Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

例3-5已知坐標(biāo)系中U的位置矢量U＝[7321]T,將此點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點(diǎn)W。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5已知坐標(biāo)系中U的位置26Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5：?jiǎn)伪鄄僮魇值氖滞缶哂幸粋€(gè)自由度。已知手部起始位姿矩陣為

若手臂繞Z0軸旋轉(zhuǎn)+90°，則手部到達(dá)G2；若手臂不動(dòng)，僅手部繞手腕Z1

軸旋轉(zhuǎn)+90°，則手部到達(dá)G3，寫出手部坐標(biāo)軸{G2}及{G3}的矩陣表達(dá)式。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5：?jiǎn)伪鄄僮魇值氖滞缶哂幸粋€(gè)27Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-6：已知坐標(biāo)系中U的位置矢量U＝[7321]T,將此點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，W在作

的平移至點(diǎn)E，求變換后所得的點(diǎn)E。

平移加旋轉(zhuǎn)變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-6：已知坐標(biāo)系中U的位置矢量28Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對(duì)變換：如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對(duì)變換。相對(duì)變換：如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對(duì)變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對(duì)變換：如果所有的變換都是相對(duì)于29Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-8:下圖(a)示出擺放在坐標(biāo)系中的兩個(gè)相同的楔形物體。要求把它們重新擺放在圖(b)所示位置。用數(shù)字值給出兩個(gè)描述重新擺置的變換序列，每個(gè)變換表示沿某個(gè)軸平移或繞該軸旋轉(zhuǎn)。在重置過程中，必須避免兩楔形物體的碰撞。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-8:下圖(a)示出擺放在坐標(biāo)30Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一31Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一32Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一33Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一34Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一35Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一36Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述1.位置描述在直角坐標(biāo)系A(chǔ)中,空間任意一點(diǎn)p的位置可用3x1列向量(位置矢量)表示:位置矢量ApxAyAzAoApAp矢量和表示矢量的模

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述xAyA37Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述2、點(diǎn)的齊次坐標(biāo)其中：a=ωpx，b=ωpy，c=ωpz。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述其中：a=38Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述3、坐標(biāo)軸的方向描述若用來表示直角坐標(biāo)系中X、Y、Z坐標(biāo)軸的單位向量，用齊次坐標(biāo)來描述X、Y、Z軸的方向，則有Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述39Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述3、坐標(biāo)軸的方向描述規(guī)定:列陣［abc0］T中第四個(gè)元素為零,且a2+b2+c2=1,表示某軸(或某矢量)的方向;列陣［abcω］T中第四個(gè)元素不為零,則表示空間某點(diǎn)的位置。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述40Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3.1用齊次坐標(biāo)寫出圖中矢量uvw的方向列陣。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3.1用齊次坐標(biāo)寫出圖中矢量u41第三章-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件42Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述4、動(dòng)坐標(biāo)系位姿的描述動(dòng)坐標(biāo)系位姿的描述就是用位姿矩陣對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)位置和坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸方向的描述。該位姿矩陣為（

）的方陣。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述43Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述5、剛體位姿的描述機(jī)器人的每一個(gè)連桿均可視為一個(gè)剛體，若給定了剛體上某一點(diǎn)的位置和該剛體在空中的姿態(tài)，則這個(gè)剛體在空間上是唯一確定的，可用唯一一個(gè)位姿矩陣進(jìn)行描述。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述44Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標(biāo)系{B}位于OB點(diǎn)，XB＝10，YB＝5，ZB＝0。ZB與畫面垂直，坐標(biāo)系{B}相對(duì)固定坐標(biāo)系{A}有一個(gè)30°的偏轉(zhuǎn)，試寫出表示剛體位姿的坐標(biāo)系{B}的(4×4)矩陣表達(dá)式。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標(biāo)45Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述6、手部位姿描述Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述46Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手部的位置矢量為固定參考系原點(diǎn)指向手部坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)的矢量p,手部的方向矢量為n、o、a。于是手部的位姿可用（4X4）矩陣表示為Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手部的位置矢量為固定參考系原點(diǎn)指向47Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，物體為邊長(zhǎng)2個(gè)單位的正立方體，寫出表達(dá)該手部位姿的矩陣式。抓握物體Q的手部Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，48Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7、目標(biāo)物位姿的描述

下圖中的物體可以由{(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)}表示。如果該物體在基坐標(biāo)系中先繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，再沿x軸平移4，求物體6個(gè)頂點(diǎn)的位置。xyzoo1xyzoo1x1y1z1xyzoo1z1y1x1xyzoo1x1z1y1Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7、目標(biāo)物位姿的描述xyzoo149Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這個(gè)變換矩陣表示對(duì)原參考坐標(biāo)系重合的坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移操作。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這個(gè)變換矩陣表示對(duì)原參考坐標(biāo)系重合50Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對(duì)變換：如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對(duì)變換。相對(duì)變換：如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對(duì)變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對(duì)變換：如果所有的變換都是相對(duì)于51Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運(yùn)算1、齊次坐標(biāo)性質(zhì)

三維空間中任一點(diǎn)P可以用直角坐標(biāo)表示，也可以用不同時(shí)為零的4個(gè)數(shù)（x1，x2，x3，x4）來表示，稱為齊次方程。齊次坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運(yùn)算52Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次方程有以下性質(zhì)：空間一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是單值的，但對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)是多值的；即齊次坐標(biāo)可以是

，其中a為非零值。x4為比例坐標(biāo)，表示點(diǎn)P的各直角坐標(biāo)值與對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)之間的比例關(guān)系，x4不為零時(shí)，齊次坐標(biāo)才能確定三維空間中唯一的點(diǎn)。直角坐標(biāo)原點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為（0，0，0，x4），x4=0時(shí)，是無意義的。齊次坐標(biāo)（1，0，0，0）表示指向無窮遠(yuǎn)的ox軸方向，同理（0，1，0，0）和（0，0，1，0）則表示指向無窮遠(yuǎn)的oy，oz軸方向。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次方程有以下性質(zhì)：53Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、齊次坐標(biāo)的矢量計(jì)算三維空間矢量為

,其中

－ox,oy,oz軸上的單位矢量矢量的齊次坐標(biāo)為[x,y,z,w]T,一般常取w=1。矢量的計(jì)算方法：(1)sa=s[a1,a2,a3,a4]T=[sa1,sa2,sa3,sa4]T,其中s為標(biāo)量。(2)(3)(4)

其中（5）TRobotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、齊次坐標(biāo)的矢量計(jì)算T54Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運(yùn)算3、平移的齊次變換點(diǎn)的平移變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運(yùn)算點(diǎn)的平移變換55Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注:①算子左乘:表示點(diǎn)的平移是相對(duì)固定坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。②算子右乘:表示點(diǎn)的平移是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。③

該公式亦適用于坐標(biāo)系的平移變換、

物體的平移變換,如機(jī)器人手部的平移變換。

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注:56Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-4：有下面三種情況：動(dòng)坐標(biāo)系{A}相對(duì)于固定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作(-1，2，2)平移后到{A’}；動(dòng)坐標(biāo)系{A}相對(duì)于自身坐標(biāo)系的X、Y、Z軸分別作(-1，2，2)平移后到{A”};物體Q相對(duì)于固定坐標(biāo)系（2，6，0）平移后Q’。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-4：有下面三種情況：動(dòng)坐標(biāo)系57Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已知：寫出坐標(biāo)系{A’}、{A’’}以及物體Q’的矩陣表達(dá)式。

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已知：58Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、

旋轉(zhuǎn)的齊次變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、旋轉(zhuǎn)的齊次變換59Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)繞Z軸、X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的算子Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)繞Z軸、X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的算子60Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖所示為點(diǎn)A繞任意過原點(diǎn)的單位矢量k旋轉(zhuǎn)

角的情況。

分別是k矢量在固定參考坐標(biāo)軸X，Y，Z上三個(gè)分量，且

?？梢宰C明，其旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣為：注：①該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式，概括了繞X，Y，Z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的情況。反之，當(dāng)給出某個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣，則可求得k及轉(zhuǎn)角。②變換算子公式不僅適用于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，也適用于矢量、坐標(biāo)系、物體的旋轉(zhuǎn)。③左乘是相對(duì)固定坐標(biāo)系的變換，右乘是相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)的變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖所示為點(diǎn)A繞任意過原點(diǎn)的單位矢61Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

例3-5已知坐標(biāo)系中U的位置矢量U＝[7321]T,將此點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點(diǎn)W。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5已知坐標(biāo)系中U的位置62Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5：?jiǎn)伪鄄僮魇值氖滞缶哂幸粋€(gè)自由度。已知