教學(xué)第六章排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)課件

§6排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)一、生滅過程二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/20221§6排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)一、生滅過程二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)三、排隊(duì)一、生滅過程1、定義：由定義可知，生滅過程的各個狀態(tài)是相通的.設(shè)X所描述的是某群體含有個體的個數(shù)隨時間變化的過程,在時間間隔為h的一小段時間內(nèi),忽略高階無窮小后,只有三種可能：11/26/20222一、生滅過程1、定義：由定義可知，生滅過程的各2、柯氏方程一、生滅過程11/26/202232、柯氏方程一、生滅過程11/22/20223一、生滅過程11/26/20224一、生滅過程11/22/20224平穩(wěn)分布存在，上述即為所求，否則平穩(wěn)分布不存在。一、生滅過程11/26/20225平穩(wěn)分布存在，上述即為所求，否則平穩(wěn)分布不存在。例1、一個服務(wù)機(jī)構(gòu)，其顧客按比率為一個服務(wù)員,并且服務(wù)時間是一個均值為指數(shù)分布的隨機(jī)變量.如果服務(wù)機(jī)構(gòu)沒有顧客,則顧客一到就服務(wù),否則就排隊(duì).然而,如果機(jī)構(gòu)內(nèi)有兩人在排泊松過程到達(dá),只有的人數(shù)。（1）寫出狀態(tài)空間；（2）求出Q矩陣；（3）求平穩(wěn)分布。隊(duì)就離開而不返回.令X(t)表示服務(wù)機(jī)構(gòu)中一、生滅過程11/26/20226例1、一個服務(wù)機(jī)構(gòu)，其顧客按比率為一個服務(wù)員,并且服務(wù)時間是解:(1）S={0,1,2,3};(2)設(shè)X(t)=0,如果有一個顧客，則轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1，顧客在(t,t+h)內(nèi)到達(dá)的概率為這樣,由于兩個及兩個以上顧客不能同時到達(dá)故于是,Q矩陣的第一行為如果一個顧客在服務(wù)機(jī)構(gòu)中,假定t以前沒有完成,在(t,t+h)對其的服務(wù)將完成的概率為一、生滅過程11/26/20227解:(1）S={0,1,2,3};(2)設(shè)X所以，若X(t)=1,則在(t,t+h)內(nèi)變到0的概率為因此另一種情況為一個顧客到過程轉(zhuǎn)到狀態(tài)2，于是Q矩陣的第二行為一、生滅過程11/26/20228所以，若X(t)=1,則在(t,t+h)內(nèi)變到0當(dāng)X(t)=2時，Q的第三行為當(dāng)X(t)=3時，Q的第四行為所以（3）由生滅過程的結(jié)論知平穩(wěn)分布為一、生滅過程11/26/20229當(dāng)X(t)=2時，Q的第三行為當(dāng)X(t)=3時，Q的第四行為將本例所描述的問題及所解決的方法一般化就是排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)。一、生滅過程11/26/202210將本例所描述的問題及所解決的方法一般化就是排二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)1、排隊(duì)問題與服務(wù)系統(tǒng)的分類（1）消失制系統(tǒng)（2）等待制系統(tǒng)（3）混合制系統(tǒng)等待與混合制系統(tǒng)中，還有服務(wù)原則問題：（1）先到先服務(wù)；（2）隨機(jī)服務(wù)；（3）優(yōu)先服務(wù)。11/26/202211二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)1、排隊(duì)問題與服務(wù)系統(tǒng)的分類2、排隊(duì)模型的表示與研究問題(1)排隊(duì)模型可表示為其中(2)研究以下問題1)系統(tǒng)絕對通過能力A,即單位時間內(nèi)被服務(wù)顧客的人數(shù);2)系統(tǒng)相對通過能力Q,即被服務(wù)顧客數(shù)與請求服務(wù)的顧客數(shù)的比值;3)系統(tǒng)消失概率,服務(wù)系統(tǒng)滿員的概率或服務(wù)員都在忙著,排隊(duì)位置滿座的概率;二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)11/26/2022122、排隊(duì)模型的表示與研究問題(1)排隊(duì)模型可表示為其中(2)4)系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)L;5)系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候顧客;（3）Little公式當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)狀態(tài)后，系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)L和系統(tǒng)內(nèi)顧客所化時間的平均數(shù)W有著重要關(guān)系。6)系統(tǒng)內(nèi)顧客所花時間的平均值W;7)系統(tǒng)內(nèi)顧客花在排隊(duì)等候時間的平均值類似地，系統(tǒng)內(nèi)顧客在排隊(duì)等候時間的平均值排隊(duì)等候顧客的平均數(shù)滿足：與系統(tǒng)內(nèi)二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)11/26/2022134)系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)L;5（3）Little公式當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)狀態(tài)后，系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)L和系統(tǒng)內(nèi)顧客所化時間的平均數(shù)W有著重要關(guān)系。6)系統(tǒng)內(nèi)顧客所花時間的平均值W;7)系統(tǒng)內(nèi)顧客花在排隊(duì)等候時間的平均值類似地，系統(tǒng)內(nèi)顧客在排隊(duì)等候時間的平均值排隊(duì)等候顧客的平均數(shù)滿足：與系統(tǒng)內(nèi)二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)11/26/202214（3）Little公式當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)狀態(tài)三、排隊(duì)系統(tǒng)1、設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有一個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時服務(wù)員不閑時立即離去，服務(wù)時間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求：（1）系統(tǒng)的絕對通過能力；（2）系統(tǒng)的相對通過能力。泊松過程到達(dá)，11/26/202215三、排隊(duì)系統(tǒng)1、設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有一個服務(wù)員，顧客設(shè)X(t)=0表示系統(tǒng)閑,X(t)=1系統(tǒng)忙,則對于任意時間t,系統(tǒng)狀態(tài)概率滿足由例1可知：解之得三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202216設(shè)X(t)=0表示系統(tǒng)閑,X(t)=1系統(tǒng)忙,系統(tǒng)的相對通過能力當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時系統(tǒng)的絕對通過能力系統(tǒng)的消失概率為三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202217系統(tǒng)的相對通過能力當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時系統(tǒng)的絕對通過能力系統(tǒng)2、系統(tǒng)的狀態(tài)空間為設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有n個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時，服務(wù)員不閑時立即離去，服務(wù)時間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求：（1）系統(tǒng)的絕對通過能力；（2）系統(tǒng)的相對通過能力。泊松過程到達(dá)，三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/2022182、系統(tǒng)的狀態(tài)空間為設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有n個服務(wù)初始條件為解上述方程組，得狀態(tài)概率：三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202219初始條件為解上述方程組，得狀態(tài)概率：三、排隊(duì)系統(tǒng)11/22/由于系統(tǒng)的狀態(tài)互通且狀態(tài)數(shù)有限，所以極限概率存在：由狀態(tài)概率圖可以求得：其中：所以三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202220由于系統(tǒng)的狀態(tài)互通且狀態(tài)數(shù)有限，所以極限概率存3、易知，系統(tǒng)是生滅過程，狀態(tài)空間為利用生滅過程的結(jié)論得設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有1個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時，服務(wù)員不閑，顧客排隊(duì)，等候服務(wù)，服務(wù)時間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。泊松過程到達(dá)，三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/2022213、易知，系統(tǒng)是生滅過程，狀態(tài)空間為利用生滅過程的系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)為排隊(duì)顧客的平均數(shù)為在系統(tǒng)內(nèi)顧客所化時間的平均值為三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202222系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)為排隊(duì)顧客的平均數(shù)為在系統(tǒng)內(nèi)顧客所顧客排隊(duì)時間的平均值為4、三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202223顧客排隊(duì)時間的平均值為4、三、排隊(duì)系統(tǒng)11/22/20222系統(tǒng)的狀態(tài)空間為由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖可以求得設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有一個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時，服務(wù)員不閑時如m個坐位不滿，顧客參加排隊(duì)，等待服務(wù)。否則，立即離去，服務(wù)務(wù)時間T服從參數(shù)為指數(shù)分布。泊松過程到達(dá)，4、三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202224系統(tǒng)的狀態(tài)空間為由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖可以求得設(shè)系系統(tǒng)的消失概率為系統(tǒng)相對通過能力系統(tǒng)的絕對通過能力系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202225系統(tǒng)的消失概率為系統(tǒng)相對通過能力系統(tǒng)的絕對通過能力系統(tǒng)內(nèi)顧客排隊(duì)等候的顧客平均數(shù)三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202226排隊(duì)等候的顧客平均數(shù)三、排隊(duì)系統(tǒng)11/22/2022系統(tǒng)內(nèi)所化時間的平均值為系統(tǒng)內(nèi)顧客排隊(duì)所化時間的平均值為三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202227系統(tǒng)內(nèi)所化時間的平均值為系統(tǒng)內(nèi)顧客排隊(duì)所化時間的平均值為三、5、顯然系統(tǒng)的狀態(tài)空間為由系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖可知，本系統(tǒng)為生滅過程，于是設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有n個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時所有服務(wù)員不閑時，顧客參加排隊(duì)，直到服務(wù)員為其服務(wù)為止。所有服務(wù)員服務(wù)務(wù)時間T服從參數(shù)為指數(shù)分布。泊松過程到達(dá)，三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/2022285、顯然系統(tǒng)的狀態(tài)空間為由系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202229系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)三、排隊(duì)系統(tǒng)11/22/202229系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候顧客的平均數(shù)系統(tǒng)內(nèi)顧客所化時間的平均值三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202230系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候顧客的平均數(shù)系統(tǒng)內(nèi)顧客所化時間的平均值三、排隊(duì)系統(tǒng)內(nèi)顧客排隊(duì)等候所化時間的平均值6、7、8、服務(wù)時間服從Gamma分布系統(tǒng)作業(yè):P224習(xí)題六2、4、6、8、11三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202231系統(tǒng)內(nèi)顧客排隊(duì)等候所化時間的平均值6、7、8、§6排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)一、生滅過程二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202232§6排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)一、生滅過程二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)三、排隊(duì)一、生滅過程1、定義：由定義可知，生滅過程的各個狀態(tài)是相通的.設(shè)X所描述的是某群體含有個體的個數(shù)隨時間變化的過程,在時間間隔為h的一小段時間內(nèi),忽略高階無窮小后,只有三種可能：11/26/202233一、生滅過程1、定義：由定義可知，生滅過程的各2、柯氏方程一、生滅過程11/26/2022342、柯氏方程一、生滅過程11/22/20223一、生滅過程11/26/202235一、生滅過程11/22/20224平穩(wěn)分布存在，上述即為所求，否則平穩(wěn)分布不存在。一、生滅過程11/26/202236平穩(wěn)分布存在，上述即為所求，否則平穩(wěn)分布不存在。例1、一個服務(wù)機(jī)構(gòu)，其顧客按比率為一個服務(wù)員,并且服務(wù)時間是一個均值為指數(shù)分布的隨機(jī)變量.如果服務(wù)機(jī)構(gòu)沒有顧客,則顧客一到就服務(wù),否則就排隊(duì).然而,如果機(jī)構(gòu)內(nèi)有兩人在排泊松過程到達(dá),只有的人數(shù)。（1）寫出狀態(tài)空間；（2）求出Q矩陣；（3）求平穩(wěn)分布。隊(duì)就離開而不返回.令X(t)表示服務(wù)機(jī)構(gòu)中一、生滅過程11/26/202237例1、一個服務(wù)機(jī)構(gòu)，其顧客按比率為一個服務(wù)員,并且服務(wù)時間是解:(1）S={0,1,2,3};(2)設(shè)X(t)=0,如果有一個顧客，則轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1，顧客在(t,t+h)內(nèi)到達(dá)的概率為這樣,由于兩個及兩個以上顧客不能同時到達(dá)故于是,Q矩陣的第一行為如果一個顧客在服務(wù)機(jī)構(gòu)中,假定t以前沒有完成,在(t,t+h)對其的服務(wù)將完成的概率為一、生滅過程11/26/202238解:(1）S={0,1,2,3};(2)設(shè)X所以，若X(t)=1,則在(t,t+h)內(nèi)變到0的概率為因此另一種情況為一個顧客到過程轉(zhuǎn)到狀態(tài)2，于是Q矩陣的第二行為一、生滅過程11/26/202239所以，若X(t)=1,則在(t,t+h)內(nèi)變到0當(dāng)X(t)=2時，Q的第三行為當(dāng)X(t)=3時，Q的第四行為所以（3）由生滅過程的結(jié)論知平穩(wěn)分布為一、生滅過程11/26/202240當(dāng)X(t)=2時，Q的第三行為當(dāng)X(t)=3時，Q的第四行為將本例所描述的問題及所解決的方法一般化就是排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)。一、生滅過程11/26/202241將本例所描述的問題及所解決的方法一般化就是排二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)1、排隊(duì)問題與服務(wù)系統(tǒng)的分類（1）消失制系統(tǒng)（2）等待制系統(tǒng)（3）混合制系統(tǒng)等待與混合制系統(tǒng)中，還有服務(wù)原則問題：（1）先到先服務(wù)；（2）隨機(jī)服務(wù)；（3）優(yōu)先服務(wù)。11/26/202242二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)1、排隊(duì)問題與服務(wù)系統(tǒng)的分類2、排隊(duì)模型的表示與研究問題(1)排隊(duì)模型可表示為其中(2)研究以下問題1)系統(tǒng)絕對通過能力A,即單位時間內(nèi)被服務(wù)顧客的人數(shù);2)系統(tǒng)相對通過能力Q,即被服務(wù)顧客數(shù)與請求服務(wù)的顧客數(shù)的比值;3)系統(tǒng)消失概率,服務(wù)系統(tǒng)滿員的概率或服務(wù)員都在忙著,排隊(duì)位置滿座的概率;二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)11/26/2022432、排隊(duì)模型的表示與研究問題(1)排隊(duì)模型可表示為其中(2)4)系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)L;5)系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候顧客;（3）Little公式當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)狀態(tài)后，系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)L和系統(tǒng)內(nèi)顧客所化時間的平均數(shù)W有著重要關(guān)系。6)系統(tǒng)內(nèi)顧客所花時間的平均值W;7)系統(tǒng)內(nèi)顧客花在排隊(duì)等候時間的平均值類似地，系統(tǒng)內(nèi)顧客在排隊(duì)等候時間的平均值排隊(duì)等候顧客的平均數(shù)滿足：與系統(tǒng)內(nèi)二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)11/26/2022444)系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)L;5（3）Little公式當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)狀態(tài)后，系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)L和系統(tǒng)內(nèi)顧客所化時間的平均數(shù)W有著重要關(guān)系。6)系統(tǒng)內(nèi)顧客所花時間的平均值W;7)系統(tǒng)內(nèi)顧客花在排隊(duì)等候時間的平均值類似地，系統(tǒng)內(nèi)顧客在排隊(duì)等候時間的平均值排隊(duì)等候顧客的平均數(shù)滿足：與系統(tǒng)內(nèi)二、排隊(duì)與服務(wù)系統(tǒng)11/26/202245（3）Little公式當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)狀態(tài)三、排隊(duì)系統(tǒng)1、設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有一個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時服務(wù)員不閑時立即離去，服務(wù)時間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求：（1）系統(tǒng)的絕對通過能力；（2）系統(tǒng)的相對通過能力。泊松過程到達(dá)，11/26/202246三、排隊(duì)系統(tǒng)1、設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有一個服務(wù)員，顧客設(shè)X(t)=0表示系統(tǒng)閑,X(t)=1系統(tǒng)忙,則對于任意時間t,系統(tǒng)狀態(tài)概率滿足由例1可知：解之得三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202247設(shè)X(t)=0表示系統(tǒng)閑,X(t)=1系統(tǒng)忙,系統(tǒng)的相對通過能力當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時系統(tǒng)的絕對通過能力系統(tǒng)的消失概率為三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202248系統(tǒng)的相對通過能力當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時系統(tǒng)的絕對通過能力系統(tǒng)2、系統(tǒng)的狀態(tài)空間為設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有n個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時，服務(wù)員不閑時立即離去，服務(wù)時間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求：（1）系統(tǒng)的絕對通過能力；（2）系統(tǒng)的相對通過能力。泊松過程到達(dá)，三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/2022492、系統(tǒng)的狀態(tài)空間為設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有n個服務(wù)初始條件為解上述方程組，得狀態(tài)概率：三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202250初始條件為解上述方程組，得狀態(tài)概率：三、排隊(duì)系統(tǒng)11/22/由于系統(tǒng)的狀態(tài)互通且狀態(tài)數(shù)有限，所以極限概率存在：由狀態(tài)概率圖可以求得：其中：所以三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202251由于系統(tǒng)的狀態(tài)互通且狀態(tài)數(shù)有限，所以極限概率存3、易知，系統(tǒng)是生滅過程，狀態(tài)空間為利用生滅過程的結(jié)論得設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有1個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時，服務(wù)員不閑，顧客排隊(duì)，等候服務(wù)，服務(wù)時間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。泊松過程到達(dá)，三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/2022523、易知，系統(tǒng)是生滅過程，狀態(tài)空間為利用生滅過程的系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)為排隊(duì)顧客的平均數(shù)為在系統(tǒng)內(nèi)顧客所化時間的平均值為三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202253系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)為排隊(duì)顧客的平均數(shù)為在系統(tǒng)內(nèi)顧客所顧客排隊(duì)時間的平均值為4、三、排隊(duì)系統(tǒng)11/26/202254顧客排隊(duì)時間的平均值為4、三、排隊(duì)系統(tǒng)11/22/20222系統(tǒng)的狀態(tài)空間為由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖可以求得設(shè)系統(tǒng)內(nèi)僅有一個服務(wù)員，顧客按強(qiáng)度顧客到達(dá)時，