數(shù)學-新醫(yī)科一、空間解析幾何簡介

第一&二節(jié)

多元函數(shù)一、空間解析幾何簡介二、多元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)第四章

多元函數(shù)微積分橫軸xy

縱軸z

豎軸定點o空間直角坐標系一、空間直角坐標系過空間一點

o

引三條兩兩相互垂直的數(shù)軸,就構成空間直角坐標系.三個坐標軸的正方向符合右手系.即當右手的四個手x指從

軸正向轉過

2

的角度指向

軸正向時，大拇指所指y的方向就是z

軸的正向.每兩個坐標軸所在的平面xoy、yoz平面.這三個坐標平面將空間分成八個部分,每一部分稱為一個卦限.、xoz稱為坐標如下圖所示:Ⅶxyozxoy面yoz面zox

面空間直角坐標系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間的點有序數(shù)組(x,y,z)特殊點的表示:M

(

x,

y,

z)xyoP(

x,0,0)Q(0,

y,0)R(0,0,

z)A(

x,

y,0)B(0,

y,

z)C

(

x,

o,

z)坐標面上的點

A,B,C,z坐標軸上的點P,Q,R,一一對應設M1

(x1

,y1

,z1

)、M

2

(x2

,y2

,z2

)為空間兩點x中，使用勾股定y

理知zoM1PNQRM

2d

M1

M2

?1

2在直角M

NM及直角M1

PNd

22

2

2

M1P

PN

NM

2空間兩點間距離

M1

P

x2

x1

,PN

y2

y1

,NM2

z2

z1

,

d

M P

2

PN

2

NM

21

22

222

1

2

1

2

1

y

y

z

z

.x

x

M1

M2

空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為M

(

x,

y,

z)

,

O(0,0,0)d

OM

x2

y2

z2

.例1

求與二定點

A(1,2,和0)

B(2,1,3等)

距離的點的軌跡方程.解設與二定點A和B等距離的點為M

(x,y,z)MA

MB依題意所以(x

1)2

(

y

2)2

z2

(x

2)2

(

y

1)2

(z

3)2化簡,得2x

2

y

6z

9

0說明:動點軌跡為線段AB的垂直平分面.顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.Ax

By

Cz

D

0(

A

2

B

2

C

2

0

)特殊情形當

D

=0

時,

A

x

+

B

y

+

C

z

=0

表示通過原點的平面;B

y

+Cz

+D

=0表示平面平行于x

軸;A

x+C

z+D

=0

表示平行于y

軸的平面;A

x+B

y+D

=0

表示平行于z

軸的平面;C

z

+D

=0

表示平行于xOy

面的平面;A

x

+

D

=0

表示平行于

yOz

面

的平面；B

y

+

D

=0

表示平行于

zOx

面的平面.（一）平面的一般方程：MA

R(

x

a)2

(

y

b)2

(z

c)2

R即因此球面方程為(xa)2

(

yb)2

(zc)2

R2特別,當球心在原點時,球面方程為2MAxyzo常見的曲面方程球面方程在空間與一定點A(a,b,c)的距離為一定值R

的點的軌跡稱為球面.設M

(x,y,z)為球面上的任意一點，則（二）旋轉曲面一條平面曲線 繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:建立yOz面上曲線C

繞z

軸旋轉所成曲面的方程:給定yOz

面上曲線C:z

z1,

x2

y

2

y1故旋轉曲面方程為f

(

x2

y

2

,

z)

0若點M1

(0,y1,z1)

C,則有f

(

y1,

z1)

0當繞

z

軸旋轉時, 該點轉到M

(x,y,z),則有f

(

y,

z)

0zyxCM

1

(0,

y1

,

z1

)M

(

x,

y,

z)O思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？C

:

f

(

y,

z)

0Oyxz

z

2

)

0x

2f

(

y

,

xyzO例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L

的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方z

2

a2

(

x2

y

2

)LM

(0,

y,

z)xyOxyO分別繞xz

1c2y

2

z

2a2

x21x2

y

2

z

2

a2

c2這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.例4.求坐標面xOz

上的雙曲線軸和z

軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞x

軸旋轉所成曲面方程為z繞z

軸旋轉所成曲面方程為xyzOxyz（三）柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.解:在xOy

面上，表示圓C,x2

y

2

R

2表示圓柱面ClMM1在圓C上任取一點M1

(x,

y,0),

過此點作平行

z

軸的直線

l,

對任意

z

,點M

(x,

y,

z)的坐標也滿足方程

x2

y

2

R

2沿圓周C平行于z

軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面.其上所有點的坐標都滿足此方程,故在空間OOxyzxyzOxyz表示拋物柱面,母線平行于z

軸;準線為xOy

面上的拋物線.2

2

1ya2

b2xCx

y

0

表示母線平行于z

軸的平面.(且z

軸在平面上)表示母線平行于z

軸的橢圓柱面.平行定直線并沿定曲線

C

移動的直線

l

形成的軌跡叫做柱面.

C

叫做準線,

l

叫做母線.Olxzyl2準線xOy

面上的曲線l1.一般地,在三方程F

(x,y)

0

表示柱面,母線平行于z

軸;方程G(y,z)

0

表示柱面,母線平行于x軸;準線yOz

面上的曲線l2.方程H

(z,x)

0

表示柱面,母線平行于y

軸;準線xOz

面上的曲線l3.yzxyzl1OOl3Ox（四）二次曲面三元二次方程Ax2

By2

Cz

2

Dxy

Eyz

Fzx

Gx

Hy

Iz

J

0(二次項系數(shù)不全為0)的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見 的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法和伸縮變形法O1.橢球面

z

2

1

(a,b,c

為正數(shù))x2

y

2a2

b2

c2范圍：x

a,

y

b,

z

c與坐標面的交線：橢圓b2z

0

y

2

1a2

x2,

b2

y

2a2z

2

x2

z

2

c2

1

,

c2

1x

0

y

0x2

y

2

z

2

2

1a2

b2

cz

z1的截痕同樣

y

y1

(

y1

b

)

及也為橢圓.(4)當a＝b

時為旋轉橢球面;當a＝b＝c

時為球面.(3)

截痕:

與z

z1

(

z1

c)的交線為橢圓：21221222

1(c

z

)(c

z

)x2

y

2c2bc2a(a,b,c為正數(shù))z2

p

2q

y

2

zx22.

拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)2

p

2

q

y

2

z

x2(p,q

同號)zyOxzyxO特別,當p=q

時為繞z

軸的旋轉拋物面.(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）3.

雙曲面(1)單葉雙曲面1)1b22

y1x2

z

2

a2

c2(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z

軸）y

y1a2

b2

c2

z

2

1

(a,b,c

為正數(shù))x2

y

2平面z

z1

上的截痕為橢圓.平面y

y1上的截痕情況:y1

b

時,截痕為雙曲線:zxyOa

cx

z

03)

y1y121

b2x2

z

2

a2

c2(實軸平行于z

軸;

虛軸平行于x

軸）y

y12)

y1

b

時,截痕為相交直線:y

b

(或

b)b時,截痕為雙曲線:

0zxO

yzxyO(2)

雙葉雙曲面

z

2

1

(a,b,c

為正數(shù))x2

y

2a2

b2

c2平面y

y1

上的截痕為雙曲線平面x

x1

上的截痕為雙曲線平面

z

z1

(

z1

c)上的截痕為橢圓a2

b2

c2x2

y

2

z

2

注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:單葉雙曲面11

雙葉雙曲面Ozxyzyx4.

橢圓錐面2(a,b

為正數(shù))x2

y

2a2

b2

z在平面z

t

上的截痕為橢圓x2

y

2

1,

z

t①(at)2

(bt)2在平面x＝0

或y＝0

上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y

方向的伸縮變換得到)xyzOS2（五）空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組S1例如,方程組表示圓柱面與平面的交線C.xG(x,

y,

z)

0

L

F

(x,

y,

z)

0z1

yOC2溫度T之間的關系是VP

RT（其中R是比例常數(shù)）這兩個例子的實質(zhì)是依賴于多個變量的函數(shù)關系.二、多元函數(shù)的概念觀察兩個例子例1

在進行補液時,補液量N與正常血容量V、正常紅細胞比容(單位容積血液中紅細胞所占容積百分比)A及B例2

一定質(zhì)量的理想氣體,它的壓強P和體積V、絕對紅細胞比容B的關系為N

V

(1

A)定義4-1

設有三個變量

x

、y、

z

,

D是xoy平面上的一個點集.如果對于任意點P(x,y)

D,變量z

按照一定的法則總有唯一確定的值和它對應,則稱變量

z

是變量x、y

的二元函數(shù),記作z

f

(

x,

y)其中x

、y

為自變量,

z

為因變量,點集D稱為函數(shù)的定義域.類似地可定義三元函數(shù)u

f

(x,

y,

z)二元及二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù).

n

元函數(shù)記為u

f

(

x1

,

x2

,,

xn

)

(n

2)0

PP0

δ稱為點P0的

鄰域.1.鄰域點集例如,在平面上,U

(

P0

,

δ

)

(x,y)

(圓鄰域)在空間中,U

(

P0

,

)

(x,y,

z

)(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成

U

(

P0

).點P0

的去心鄰域記為PP0

δ2.區(qū)域內(nèi)點、外點、邊界點設有點集E

及一點P

:若存在點P

的某鄰域U(P)

E

,則稱P

為E

的內(nèi)點；若存在點P

的某鄰域U(P)∩E=,則稱P

為E

的外點;若對點P

的任一鄰域U(P)既含E中的內(nèi)點也含E的外點,則稱P

為E

的邊界點.顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,E的外點必不屬于E

,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E

.P

ED則稱D

是連通的;連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.。

。(2)

開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；E的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E

;若點集EE,則稱E

為閉集；若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D

的折線相連,例4求z

ln(x

y)的定義域.解所求定義域為D

{(x,y)|

x

y}自變量(x,y)的取值范圍稱為函數(shù)的定義域.xyoy

x開區(qū)域解所求定義域為D

{(x,

y)

|

x2

y2

1}

y2

1x2例5

求z

arcsin(x2

y2

)的定義域.xyo有界閉區(qū)域D

{(

x,

y)

|

x2

y

1}有界閉區(qū)域解要使函數(shù)有意義,必須同時滿足例6

1

y

的定義域.求

z

y

x2

所求定義域為

1

y

0

y

x

2

0xyoy

1y

x2二元函數(shù)z

f

(

x,

y)

的圖形設函數(shù)的定義域為

D

，對于任意取定的P(x,y)

D，對應的函數(shù)值為z

，這樣，以

x為橫坐標、y為縱坐標、z為豎坐標在空間就確定一點

M

(

x,

y,

z)，當(

x,

y)取遍D

上一切點時,得到一個空間點集{(

x,

y,

z)

|

z

f

(

x,

y),

(

x,

y)

D}這個點集稱為二元函數(shù)的圖形.注意：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.oxyDpxyzM

(x,

y,

z)三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)1.二元函數(shù)的極限定義4-2 設函數(shù)z

f

(x,

y)在點P

0

(x0

,

y0

)的某一鄰域內(nèi)有定義(點

P

0

(x0

,

y0

)

可以除外).如果當P(x,

y)

沿任何路徑趨近于P0

(x0

,

y0)

時，函數(shù)

f

(x,

y)無限趨近于一個常數(shù)

,則稱

f

(x,

y)當

P(x,

y)

P0

(x0

,

y0

)

時

,以A為極限，記作注意(1)二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似;（2）定義中P

P0

的方式是任意的.lim

f

(x,

yA

)

Ax

x0y

y0或lim

f

(

x,

y)

Ap

p0例7

求極限xy

1

1xylimx0y0xy多極元限函的數(shù)法的極則限可以應用一元函數(shù)求解xy

1

1x0y0limxy

11x0y0xy

1

1)

lim

xy(xy

1

1)

lim(x0y0

2

0

y2x2

yy0x0

x2例8

證明

lim解因為22x

2

y2x

2x

2x

2

y

y20

y

y

x

y又因為

y2

0x

2x0y0lim

0x2

yyx

x2

y2所以lim例9

證明不存在．xyx0

x2

y2limy0證明當p(x,y)沿曲線y

kx趨于(0,0)時當k取不同的值時,所得的值不同22kx

2

k

xx0

x2

21

kk2

li