高數(shù)-二第二章導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)因變量相對于自變量變化快

導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)因變量相對于自變量變化的快慢程度，即：函數(shù)的變化率。微分指明,當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上改變了多少。本章內(nèi)容包括：兩個概念——導(dǎo)數(shù)與微分；六個法則——導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，復(fù)合函求導(dǎo)法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則；若干導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題。第二章導(dǎo)數(shù)和微分第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系1.切線問題割線的極限位置——切線位置一、引例Tx0xoxyy

f

(

x)CNM曲線的切線問題如圖,如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.設(shè)M(x0

,y0

),N(x,y),x

x0N

沿曲線C

M

,

x

x

,0則割線MN的斜率為tan

y

y0

f

(

x)

f

(

x0

)

,x

x0Tx0xoxyCy

f

(

x)NM

0

.k

tan

limx

x0x

x0f

(

x)

f

(

x

)x0

x共性：lim

y----函數(shù)值的改變量----自變量的改變量當(dāng)x

時，割線MN就轉(zhuǎn)化為切線MT,割線MN的斜率就轉(zhuǎn)化為曲線在點M處的切線的斜率.切線MT的斜率為2.作變速直線運動瞬時速度問題質(zhì)點運動的路程S是時間t的函數(shù)：S=S(t).從時刻t到t+t時間段內(nèi)，質(zhì)點走過的路程為t

0tΔS=S(t+Δt)-S(t).在時間間隔Δt內(nèi)，質(zhì)點運動的平均速度為v

S

S(t

t

)

S(t

)

.t

t平均速度v

與Δt的取值有關(guān)，一般不等于質(zhì)點在時刻t的速度v，但Δt的值愈小，愈v

接近于t時刻的速度

v(t)。因此,取極限t0,質(zhì)點在時刻t的瞬時速度為v

v(t)

lim

S(t

t)

S(t)

.二、導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)在點x

x0;

dy0f

(

x

)

;

y0dx

x

xd

f

(x);x

x0,dx的某鄰域內(nèi)有定義,若在點處可導(dǎo),并稱此極限為在點

的導(dǎo)數(shù).

記作

x0

x存在,則稱函數(shù)lim

y其它形式x

x00x

x0若極限lim

f

(

x)

f

(

x0

)不存在,

就說函數(shù)在點

x

不可導(dǎo).f

x

0lim0h00f

(

x

)

hf

(

x

h)

f

(

x0

)

..limx

x0000f

(

x

)

x

xf

(

x)

f

(

x

)注:f

x

反映了函數(shù)f00x0y

lim

f

(

x

x)

f

(

x)x而

f(

x0

)

f

(

x)

x

x0

.f

(

x0

)

f

(

x0

)若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點都可導(dǎo),就稱函數(shù)在

I

內(nèi)可導(dǎo).此時對于區(qū)間I

內(nèi)任一點x，都對應(yīng)唯一的導(dǎo)數(shù)值

f

x

,記作:

f

(

x)

;y

;

d

y

;dxd

f

(

x)

.dx即這樣得到一個函數(shù)

f

x

,

稱為

f

x

的導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))，右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):f

(

x

)

limx0

0f

(

x

)

limx0

00f

(

x

x)

f

(

x0

)

lim

f

(

x)

f

(

x0

)

.00

0

0x

x

xf

(

x

x)

f

(

x

)

lim

f

(

x)

f

(

x

);x

x00x

x0x

x定理函數(shù)x在點且可導(dǎo)的充分必要條件是f

(x

0

)存在f(x0

).即如果

f

(x)在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，且f

(a)及f

(b)都存在，就說

f

(x)在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo).注:例1解hf

(

x)

lim

f

(

x

h)

f

(

x)

lim

C

C

0.h0hh0(C

)

0.即f

(x)

C(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)解h(sin

x)

lim

sin(

x

h)

sin

xh02h2sin

h

lim

cos(

x

h)

h02

cos

x.44故(sin

x)

cos

xx

x

2

.2例2

設(shè)函數(shù)

f

(

x)

sin

x,

求(sin

x)及(sin

x)4

.x

即(sin

x

)

=cosx.例3

求函數(shù)y

xn

(n為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù).h(

x

h)n

xn解(xn

)

limh02!h0

lim[nx

n1

n(n

1)

xn2

h

hn1

]

nxn1更一般地

(x

)

x1

.(

R)(

x)

例如,1

1x

2121

.2

x(

x

1

)

(1)x

11x

2

1

.(

xn

)

nxn

1

.即例4

求函數(shù)

f

(

x)

ax

(a

0,

a

1)

的導(dǎo)數(shù).hah

a

xa

x

hxh0解

(a

)

limhx

a

limh0

1

a

x

ln

a.特別地，(e

x

)

e

x

.(ax

)

ax

ln

a.即例5

求函數(shù)

y

loga

x(a

0,

a

1)

的導(dǎo)數(shù).解hy

lim

log

a

(

x

h)

log

a

xh0xhxax

1log

(1

h)

limh0xhx)

h

1lim

log

a

(1

x

h0log

e.1xaxa

a(log

x)

1

log

e.即x特別地，(ln

x)

1

.三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxyy

f

(

x)T0xMf

(

x

)表示曲線

y

f

(

x)0在點M

(x0

,f

(x0

))處的切線的斜率,即f

(x

)

tan

,

(為傾角)0切線方程為

y

y0

f

(

x0

)(

x

x0

).法線方程為10(

x

x

).0f

(

x

)0y

y

解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,

得切線斜率為2x

12x

1xk

y

(

1

)

12x

1x

2

4.2所求切線方程為y

2

4(x

1),即4x

y

4

0.法線方程為

y

2

1

(

x

1),

即2x

8

y

15

0.4

212,2)處的切線的在點(x斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程.例6

求等邊雙曲線

y

1定理

設(shè)函數(shù)f

(x)在點x0可導(dǎo),則函數(shù)f

(x)在點x0

連續(xù).即可導(dǎo)必連續(xù)。證設(shè)函數(shù)f

(x)在點x0可導(dǎo),0lim

y

f

(

x

)x0

x

00xy

f

(

x

)

y

f

(

x0

)x

xlim

y

lim

[

f

(

x0

)x

x]

0x

0

x

0故函數(shù)

f

(x)在點

x0

連續(xù).(x

0)四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系舉例：xy

x20y

x,

x,

x

0

x

2

,

x

0f

(

x)

2.逆定理不成立:若f

x在x

處連續(xù)，但是f

x0在x0處未必可導(dǎo)即連續(xù)未必可導(dǎo)。yy

3

x

1x01在x

0處連續(xù)但不可導(dǎo)。yf

(

x)

3

x

1,在x

1處連續(xù)但不可導(dǎo)。注：1.因為可導(dǎo)必連續(xù)，故不連續(xù)必不可導(dǎo)(逆否命題).例7y

xxyo解

f

(0

h)

f

(0)

h

,h

hlim

f

(0

h)

f

(0)

lim

h

1,h0

hhh0h

hfh((f)00)lim

h

1.h0limh0函數(shù)

f

(

x)

x

在x

0處的連續(xù)性.和可導(dǎo)性即f(0)

f(0),故函數(shù)

f

(

x)

x

在x

0處的不可導(dǎo).例8在x

0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.,0,x

x

arctan

1

,

x

0x

0函數(shù)f

(x)

例9解x1f

(1)

1

f

(1

0)

lim

x2

1

f

(1

0)

lim(ax

b)

a

bx1若f

(x)在x

1

連續(xù),則a

b

1x

1

1x

2_f

(1)

limx1x

1 x

1f

(1)

lim

ax

b

1

lim

ax

a

ax1x1在x

1處連續(xù)且可導(dǎo)，a,b應(yīng)取什么值

?,為了使函數(shù)

f

(x)設(shè)函數(shù)f

(x)ax

b,

x

1x

2

,

x

1

_

2

a

2

,

當(dāng) 時

f

(1)f

(1)當(dāng)a

=

2,b

=

-

1時,

f

(x)在x=

1處連續(xù)且可導(dǎo).(1

tan2

x

sec2

x,

1

cot2

x

csc2

x)(C

)

0(sin

x)

cos

x(tan

x)

sec2

x(sec

x)

sec

x

tan

x(a

x

)

a

x

ln

a基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(

x

)

x

1(cos

x)

sin

x(cot

x)

csc2

x(csc

x)

csc

x

cot

x(e

x

)

e

xx

ln

aa(log

x)

1(ln

x)

1x(arccos

x)

1

x21

x21(arctan

x)

1(arcsin

x)

1

x21

x21(

arccot

x)

11.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):增量比的極限;6.判斷可導(dǎo)性f

(

x0

)

a

f

(

x0

)

f

(

x0

)

a;導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用定義;連續(xù),看