信號(hào)與線性系統(tǒng)-第4章123new第四章變換和系統(tǒng)頻域分析

第四章

變換和系統(tǒng)的頻域分析§4.0

引言時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而yzs(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)

或虛指數(shù)信號(hào)之和。用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率，故稱為頻域分析。頻域分析從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先葉變換。

變換是在 級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為

分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。的生平：1768年生于法國1807年提出“任何周期函數(shù)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”日在“熱的分第一個(gè)給出1822年首次析理論”一書中1829年狄收斂條件的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的 和”——

的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”——

的第二個(gè)主要論點(diǎn)§4.2

級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的三角形式波形的對(duì)稱性與諧波特性級(jí)數(shù)的指數(shù)形式周期信號(hào)的功率——Parseval等式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式2

t

sin

m t

dt

0cos

nT2T

T

,2cos

nt

cos

mt

dt

T2T2

Tt

dt

0,m

n

0,

m

n,

m

nm

n2t

sin

msin

nT2T2由積分可知1.三角函數(shù)集{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。2．級(jí)數(shù)形式設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄

(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)——稱為f(t)的

級(jí)數(shù)2n1nnb

sin(

nt)t)

a

cos(nn1f

(t)

a0系數(shù)系數(shù)an

,bn稱為Ta22iT可見，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。狄

(Dirichlet)條件條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。條件3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。其他形式2n1f

(t)

A0

An

cos(nt

n

)式中，A0

=a0n

n

na2

b2A

anbnn

arctan可見：An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。an

=

Ancosn，

bn

=

–Ansin

n，n=1,2,…上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。A0/2為直流分量A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號(hào)相同A2cos(2t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為級(jí)求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的數(shù)展開式。2TTt

d

t

0A1T

Ta0

202Ta2TbnπAn1周期鋸齒波的 級(jí)數(shù)展開式為t

A

sin

2t

2πf

t

0

A

sinT

A

Tf

(t)

t

t

T

2

2直流π基波二次諧tf

t

A/2T2T2T1)(

n

21

2π解：二、波形的對(duì)稱性與諧波特性Ta2T2.f(t)為偶函數(shù)——對(duì)稱縱坐標(biāo)f

(t)

f

(t)bn

=0，展開為余弦級(jí)數(shù)。.f(t)為奇函數(shù)——對(duì)稱于原點(diǎn)f

(t)

f

(t)an

=0，展開為正弦級(jí)數(shù)。3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)f(t)0T

tT/2此時(shí)其 級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=04．f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)f

(t

)OtTT

T2T2此時(shí)其 級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式12T2T

jntf

(t)e

d

tTFn

系數(shù)Fn

稱為復(fù)傅里葉系數(shù)三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}f

(t)

Fn

e

jntn利用cosx=(ejx

+e–jx)/2可從三角形式推出：指數(shù)形式付氏級(jí)數(shù)推導(dǎo)22An1

0

An

[e

j

(nt

n

)

e

j

(nt

n

)

]2

22n

nA

e

jn

e

jnt

A

e

jn

e

jntn1

n1

A0

1

1

A0

n1f

(t)

A

cos(nt

)2

n

n上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An，–n=–n，則上式寫為ee2

2nnnnA

ec

ejjjntjntn1n1

12A0

1

令A(yù)0=A0ej0ej0Ωt

，0=01n

ejjnt2

n

An

e所以

f

(t)

2n令復(fù)數(shù)

1

A

ejn

F

ejn

Fn

n22n

nn

n

n

nn

nF

1

A

ejn

1

(

A

cos

j

A

sin

)

1

(a

jb

)jT2T2T2T2T2T2f

(t)

e

t

d

t1T1T1T

jn2f

(

s(ntf

(t)

sin(nt)

d

t

njntFn

ef

(t)

n

=

0,

±1,

±2，…2T

jn

td

tT2

f

(t)

e1TFn

表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。F0

=A0/2為直流分量。傅里葉系數(shù)之間關(guān)系nnnnAF1222a

b

12

nna

bn

arctan212n

nnA

en

jb

)

1

(aFn

Fn

jenn的偶函數(shù)：an

，An

，|Fn

|n的奇函數(shù):

bn

，nan

An

cosnnbn

An

sin信號(hào)頻譜的概念周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)頻帶寬度§4.3

周期信號(hào)的頻譜一、信號(hào)頻譜的概念從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn

。

圖示頻譜圖示（單邊）3A02AnA1A3O3nO幅度頻譜離散譜，譜線Fn

~

曲線An

~

或相位頻譜n~

曲線頻譜概念演示f

(t

)OtTT1

1T

/

2頻譜概念演示既是奇函數(shù)又是奇諧函數(shù)只含奇次諧波,且為正弦波.例1 例2對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率，只有數(shù)學(xué)意義，而無物理意義。為什么引入負(fù)頻率？f(t)是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對(duì)ejnΩt和e-jnΩt，才能保證f(t)的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。單邊頻譜圖例1

3 6

4

4

3

2例：周期信號(hào)

f(t)=

1

1

cos

t

2

1

sin

t

試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖。解首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即

2

4

32

4

3

2

1

6

cos

t

f

(t)

1

1

cos

t顯然1是該信號(hào)的直流分量。1

2

4

3

cos

t

的周期T1

=8

3

3

421

cos

2

的周期T =6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/121

cos

t

是f(t)的(π/4)/(π/12)=3次諧波分量；2

4

3

341

cos

t

2

3

是f(t)的(π/3)/(π/12)=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖(b)o

12

6

4

3(a)2A

01214ωoω33

12

6

42

3

nAn1

3

3

4

4

3

2f

(t)

1

1

cos

t

1

cos

t

2

例22

1A0A1

5

2.236A2

10

01

0.15π2

0.25π請(qǐng)畫出其幅度譜和相位譜。

411

1

t

π

已知f

(t

)

1

sin

t

2cos

t

cos

241

t

π

5

cos(

t

0.15π

)

cos

2解：化為余弦形式f

(t

)

1

三角函數(shù)形式的單邊頻譜圖1級(jí)數(shù)的譜系數(shù)A1

02A2A1

21O2.2411An0.25π

0.15πO12

1

n雙邊頻譜圖

44111111

ee2

1e

e

22e

e

12

jf

(t)

1

2

jn

t

π

2

j

t

π

j

t

j

tj

t

j

t111πjπ4

e

1e12j2

tj

t

j2

t

j

j

te

4

e

e2

j

1

12

12

j

1

12Fn

ejn

tn20F

1

j0.15π

1.12e2

j

1

F1

12

j

1.12e

j0.15π1

F

11jπe

412F2

41

jπF2

2

e整理f

(t)

1

1

e0.5O1

21

1.12

2

1

11.120.51Fn0.25π

0.15

πO121

10.15π

21

0.25πn周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，

。求頻譜。f(t)t0T-T…1

2

21211T2T2ne

d

tTT2

jn

tF

f

(t)

e

jn1t

d

t

212n1

sinn

T令Sa(x)=sin(x)/x

(取樣函數(shù)）11T

n22

jn

t

1

e

1T

jnnT

2

T

TF

Sa(

n1

)

Sa(

n

),

n

=

0,±1，±2，…FnO(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）1當(dāng)ω

n時(shí)取值。T(2)其最大值在n

0處，為2π（4)第一個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)：T2π2令

n1

n

2π1＝

（5）Fn是復(fù)函數(shù)（此處為實(shí)函數(shù)），幅度/相位Fn

0，相位為0，F(xiàn)n

0,相位為π圖中T

51思考T不變，τ變?chǔ)硬蛔儯琓變T

時(shí)，時(shí)域波形和頻譜結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生什么變

2π11包絡(luò)線零值點(diǎn)

2π譜線間隔

不變幅度TT不變，τ變包絡(luò)線零值點(diǎn)位置不變幅度11TT1

2π譜線間隔

τ不變，T變，

為無限小f

t

由周期信號(hào)

非周期信號(hào)。T11

1當(dāng)T

，時(shí)，

0

E周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻

Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性。總趨勢減小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系T一定，變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無限增長（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。三、周期信號(hào)的功率——Parseval等式nnnTA2n120|

F |12f

2

(t)dt

(

A0

)2

1T

2周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。n≥0時(shí)，|Fn|=An/2。證明這是Parseval定理在 級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。周期信號(hào)功率式證明對(duì)于三角函數(shù)形式的 級(jí)數(shù)

2n1

nt bn

sin

n

ta

cos

n

a0f

(t)平均功率a

cos

n11T2T02

nT

a0

t

bn

sinnt

d

tf

(t)dt

T

0

2P

n1

2

2n1

2na

bn

2

a0

12

22

12

2n1

An

a

2A

對(duì)于指數(shù)形式的 級(jí)數(shù)n

Fn2T2

a0

12P

02f

(t)

d

t

2nn11T200aF

總平均功率=直流、各次諧波的平均功率之和FnO

2T2π第一個(gè)零點(diǎn)集中了信號(hào)絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號(hào)的功率集中在低頻段。周期矩形脈沖信號(hào)的功率二者比值

0.181而總功率21P

F

2

5n

0nTP

2T02f

(t)dt

Fn102Tf

(t)dt

0.21TP

90.5%PP5n20

4以τ

1

s,T

1

s為例，

取前5

次2．頻帶寬度在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為：

fB

2π

或B

1

，帶寬與脈寬成反比對(duì)于一般周期信號(hào)，將幅度下降為0.1|Fn|max的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。3．系統(tǒng)的通頻帶>信號(hào)的帶寬，才能不失真語音信號(hào) 頻率大約為

300~3400Hz，音樂信號(hào)

50~15,000Hz，擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器 有效帶寬約為

15~20,000Hz?！?.4非周期信號(hào)的頻譜變換常用函數(shù)的變換F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為F(jω)

=

|

F(jω)|e

j(ω)

=

R(ω)

+

jX(ω)說明(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)f(t)

變換存在的充分條件:f

(t)

d

t

(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分F

(0)f

(t)dt

1

2F

(

j)

df

(0)

變換f

(t)

e

j

t

d

t一．F

(j)

1j

tf

(t)

F

(j)

e

d

2

2.

常用函數(shù)F

變換對(duì)：1j

2

Sa2

j

e

–|t|

2

2

2δ(t)1ε(t)e

-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)12πδ(ω)

(

)

1j

§4.5變換的性質(zhì)線性奇偶性對(duì)稱性尺度變換時(shí)移特性頻移特性卷積定理時(shí)域微分和積分頻域微分和積分相關(guān)定理一．線性性質(zhì)(Linear

Property)If

f1(t)

←→F1(jω)，

f2(t)

←→F2(jω)then[a

f1(t)+b

f2(t)]←→

[a

F1(jω)+

b

F2(jω)]二．奇偶虛實(shí)性(Parity)If

f

(t) is

real

function,

andf

(t)

←→F(jω)=|F(jω)|ej(ω)

=

R(ω)+jX(ω)thenR(ω)=

R(–ω)，

X(ω)=–X(–ω)，|F(jω)|=

|F(–jω)|，

(ω)=

–(–ω)，f

(–t)←→F(–jω)

=F*(jω)If

f

(t)=f(–t) thenX(ω)=0，

F(jω)

=R(ω)If

f(t)=–f

(–t) thenR(ω)=0，

F(jω)

=jX(ω)三、對(duì)稱性(SymmetricalProperty)1tf

(t)

sin

t

?If

f

(t)←→F(jω)

thenF(

jt

)←→2πf(–ω)四、尺度變換性質(zhì)(Scaling

Transform

Property)If

f

(t)←→F(jω)

thenwhere

“a” is

anonzero

real

constant.

a

|

a

|1

F

j

f

(at)

Also,letting

a

=-1,f

(-t

)←→F(

-jω)五、時(shí)移特性(Timeshifting

Property)If

f(t)←→F(jω)

thenwhere

“t0”

is

real

constant.0F

(

j