二項(xiàng)式定理講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題

高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題二項(xiàng)式定理一、二項(xiàng)式定理：例。分析：是2個(gè)相乘，每個(gè)在相乘時(shí)有兩種選擇：選或選，且每個(gè)中的都選定后，才能得到展開式的一項(xiàng)。由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，在合并同類項(xiàng)之前，的展開式共有項(xiàng)。對(duì)于，可以這樣分析：（按的個(gè)數(shù)分類）①每個(gè)括號(hào)都不選，有個(gè)，即只有1個(gè)；②兩個(gè)括號(hào)恰有1個(gè)選，有個(gè)，即系數(shù)為；③兩個(gè)括號(hào)恰有2個(gè)選，有個(gè)，即系數(shù)為。即同理：這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，它共有項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)。叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：理解三點(diǎn)：①共項(xiàng)；②各項(xiàng)系數(shù)叫二項(xiàng)式系數(shù)；③通項(xiàng)為第項(xiàng)。在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè)，則得到公式：例1。求的展開式。解：。例2。（1）求的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式的的系數(shù)。解：（1）展開式的第4項(xiàng)是：展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280。（2）的展開式的通項(xiàng)是：令的系數(shù)是：。注意：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別。例3。（1）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）展開式中的有理項(xiàng)（正整數(shù)次冪的項(xiàng)）。解：（1）展開式的通項(xiàng)為：令得：即為展開式中的常數(shù)項(xiàng)。（2）展開式中的通項(xiàng)為：令，用代入驗(yàn)證得：時(shí)符合。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。例4。求展開式中的系數(shù)。解：出現(xiàn)在三處：展開式中的系數(shù)為135。例5。求展開式的常數(shù)項(xiàng)。解：常數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)在兩處：。例6。在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：。例7。求展開式中按的升冪排列的第3項(xiàng)（即項(xiàng)）。（答案：）二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，如表所示：11121133114641151010511615201561上面的表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，它有這樣的規(guī)律：①在同一行中，每行兩端都是1，且與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；用公式表示為：；②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和。用公式表示為：。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對(duì)稱性。與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。即：。（2）增減性與最大值：（先增而后減）由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，則在中間取得最大值。即對(duì)于共個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)：。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和：已知令，則：即各二項(xiàng)式系數(shù)的和為。例。證明：在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和。證明：在展開式中，令，則得：即即在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和。二者均為。三、賦值法的應(yīng)用：求展開式的系數(shù)和。例1。設(shè)求：（1）；（2）。解：設(shè)令時(shí)，（1）令時(shí)，（2）令，。例2。若，且，求。解：令，則。例3。求（1）；（2）。解：（1）令，得：；（2）設(shè)，則令，得：。例4。已知（1）求；（2）求；（3）求。解：（1）令得：；（2）令得：均為正，均為負(fù)（3），。總結(jié)：一般地，對(duì)于多項(xiàng)式，有以下結(jié)論：①二項(xiàng)式系數(shù)和為；②各項(xiàng)系數(shù)和為；③奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為：；④偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為：。練習(xí)：1。若展開式的系數(shù)和等于的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和，求。（答案：）2。展開式中，奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，用表示出。（答案：）3。已知求：（1）；（2）。（答案：（1）128（2））4。若，則的值為（）A。2B。0C。D。5。已知若，求。（答案：）四、求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)和求系數(shù)最大項(xiàng)：例1。展開式中第6、7項(xiàng)系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。解：由已知得：二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為：。設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則系數(shù)最大的項(xiàng)為：。例2。在的展開式中，求：（1）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)？（3）系數(shù)最大的項(xiàng)？（4）系數(shù)最小的項(xiàng)？解：（1）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，則系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)。（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為：。（3）由（1）知展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)系數(shù)為正，則系數(shù)最大的項(xiàng)為：。（4）系數(shù)最小的項(xiàng)為：。例3。在的展開式中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；（3