高考數(shù)學(xué)壓軸專(zhuān)題易錯(cuò)題備戰(zhàn)高考空間向量與立體幾何難題匯編附答案

新《空間向量與立體幾何》專(zhuān)題一、選擇題.設(shè)〃？、〃是兩條不同的直線(xiàn)，。、?是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若〃?_La,nila,則mJ_〃；②若a〃/7, 則〃?_!_/?：③若mHa，nila,則m//〃；④若〃z_La,a工p,則〃其中真命題的序號(hào)為（）A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④【答案】A【解析】【分析】逐一分析命題①②③④的正誤，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于命題①，潦〃Ha,過(guò)直線(xiàn)〃作平面夕，使得ac4=。，則?！ā?，vml6z,。ua, ，命題①正確：對(duì)于命題②，對(duì)于命題②，若々，〃z_La,則〃?上），命題②正確；對(duì)于命題③，若加〃a,〃〃a,則，"與〃相交、平行或異面，命題③錯(cuò)誤：對(duì)于命題④，若m_La,al。,則〃?u/7或加//夕，命題④錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)線(xiàn)面、面面位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.內(nèi)部的構(gòu)造各不相同,魯班鎖玩具的直觀圖,KTr圖1A.8（6+60+向.魯班鎖（也稱(chēng)孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的樺卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即梯卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類(lèi)玩具比較多，形狀和一般都是易拆難裝.如圖1，內(nèi)部的構(gòu)造各不相同,魯班鎖玩具的直觀圖,KTr圖1A.8（6+60+向B.6（8+8>/2+>/3）C.8（6+6有+。D.6（8+86+?！敬鸢浮緼【解析】【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，然后按照表

面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為2+2走的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為JI，則該幾何體的表面積為S=6x(2+2&-+8S=6x(2+2&-+8故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化與簡(jiǎn)單幾何體的表面枳，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力..已知正方體A5CO—A與GA中，M，N分別為A5，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)QM與5N所成角的大小為（）30°45°60°90°30°45°60°90°作4N的中點(diǎn)N',連接A.作4N的中點(diǎn)N',連接A.若m〃&則m〃/B.若m//K則m//6C.若巾_16,則mJJD.若m，/,則mj_6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，可將異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化共面的相交直線(xiàn)，再進(jìn)行求解【詳解】如圖:G”由題設(shè)可知?jiǎng)t異面直線(xiàn)GM與5N所成角為“‘河￡或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為4,由幾何關(guān)系可得，W）w|二a,CM=6,6人1=聞，得RNf 即Z/V）WG=90。故選D【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)的求法，屬于基礎(chǔ)題.已知平而ac8=/,m是a內(nèi)不同于/的直線(xiàn)，那么下列命題中錯(cuò)誤的是（）【答案】D【解析】【分析】A由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理判斷.B根據(jù)兩個(gè)平面相交，一個(gè)面中平行于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)必平行于另一個(gè)平面判斷.C根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義判斷.D根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理判斷.【詳解】A選項(xiàng)是正確命題，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理知，可以證出線(xiàn)線(xiàn)平行；B選項(xiàng)是正確命題，因?yàn)閮蓚€(gè)平面相交，一個(gè)面中平行于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)必平行于另一個(gè)平面；C選項(xiàng)是正確命題，因?yàn)橐粋€(gè)線(xiàn)垂直于一個(gè)面，則必垂直于這個(gè)面中的直線(xiàn)；D選項(xiàng)是錯(cuò)誤命題，因?yàn)橐粭l直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面中的一條直線(xiàn)，不能推出它垂直于這個(gè)平面；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系和面面關(guān)系，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題..設(shè)。為平面，。，b為兩條不同的直線(xiàn)，則下列敘述正確的是（）A.若b//a,則。//b B.若。_La,allb則C.若a_La,"15，則b//a D.若〃//&,則【答案】B【解析】【分析】利用空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的關(guān)系對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】若c〃/a,b//a，則。與〃相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；若cj_La,allb,則由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理知Z?_La,故8正確；若cj_La,alb'則8//a或bua,故C錯(cuò)誤；若a//a,： ,則b//a,或bua,或6與a相交，故。錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)..已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）

俯視圖正視圖俯視圖正視圖3兀12兀A,323兀12?！敬鸢浮緾【解析】【分析】該幾何體是一個(gè)三棱錐，且同一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直并且相等，把這個(gè)三棱錐放到正方體中，即可求出其外接球的表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱錐，且同一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直并且相等，如圖所示該幾何體是棱長(zhǎng)為1的正方體中的三棱錐A—5C3,AB=BC=BD=\..所以該三棱錐的外接球即為此正方體的外接球，球的直徑力?為正方體體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng).即zyJf+f+f=5所以外接球的表面積為4x產(chǎn)=故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的三視圖，考杳學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題..己知正方體AdQR-ABC。的棱441的中點(diǎn)為E，AC與80交于點(diǎn)。，平面。過(guò)點(diǎn)石且與直線(xiàn)0G垂直，若A6=l，則平面。截該正方體所得截面圖形的面枳為（）C.叵2C.叵24【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方體的垂直關(guān)系可得6O_L平面ACGA，進(jìn)而6O_LOQ,可考慮平面50E是否為所求的平面，只需證明。即可確定平面【詳解】如圖所示，正方體48co—Adan中，石為棱44的中點(diǎn)，AB=1?則0G2=1+4=之，OE~=A+—=—,EC.2=2+—=—,1 22 424 1 44OC：+OEZ=EC；,:.OE_LO￡；又BDt平面ACC^,.?.8。_LOG，且0石口3。=。，平面50E，JLS鄴de=~BD*OE=；x5/2x ?即。截該正方體所得截面圖形的面積為.4故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的判定，考杳三角形面枳的計(jì)算，熟悉正方體中線(xiàn)面垂直關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題..以下說(shuō)法正確的有幾個(gè)（）①四邊形確定一個(gè)平面；②如果一條直線(xiàn)在平面外，那么這條直線(xiàn)與該平面沒(méi)有公共點(diǎn)；③過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行；④如果兩條直線(xiàn)垂直于同一條直線(xiàn)，那么這兩條直線(xiàn)平行；A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】【分析】對(duì)四個(gè)說(shuō)法逐一分析，由此得出正確的個(gè)數(shù).【詳解】①錯(cuò)誤，如空間四邊形確定一個(gè)三棱錐.②錯(cuò)誤，直線(xiàn)可能和平面相交.③正確，根據(jù)公理二可判斷③正確.④錯(cuò)誤，在空間中，垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)可能相交，也可能異面，也可能平行.綜上所述，正確的說(shuō)法有1個(gè)，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題..如圖，在長(zhǎng)方體ABC?！狝4G。中，邳二|aq|=J?，Ma|=l而對(duì)角線(xiàn)A5上存在一點(diǎn)「，使得|AP|十|30取得最小值，則此最小值為（）A." B.3 C.1+7J D.2【答案】A【解析】【分析】把面A\B繞Afi旋轉(zhuǎn)至面B\M使其與對(duì)角面\BCD,在同一平面上，連接“僅并求出，就是最小值.【詳解】把面繞4/旋轉(zhuǎn)至面BAM使其與對(duì)角面A8CR在同一平面上，連接MR.就是|AP|+|RP|的最小值，|AB|=|AO|=0,|A4J=1，「?tanZ4A8=9=.?.Z/M18=60°.所以NMAR=90+60=150°MD[=[aQ；+ '-2Al￡)—-McosNMA^i=^l+3-2x2x^3x(-4)=-jl故選A.【點(diǎn)睛】

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力，空間想象能力，解決此類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，是中檔題.10.如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線(xiàn)圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）?正視圖俯現(xiàn)留?正視圖俯現(xiàn)留B.3對(duì)B.3對(duì)D.5又寸易證平面平面人5C￡＞，平面PCD_L平面A.2對(duì)C.4對(duì)【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出該幾何體的直觀圖P-ABCD，PAD,平面平面B4O,平面PA5，平面PCO,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面A4O_L平面作POJ_A。于O,則有PO_L平而4BCD,POLCD,又八。_LCD,所以，CD_L平而以D,所以平面尸C0_L平面PAD，同理可證：平面E45_L平面B4O，由三視圖可知：PO=AO=OD,所以，APLPD,又4P_LCD,所以，4P_L平面PCD,所以，平面Q46_L平面尸C。，所以該多面體各表面所在平而互相垂直的有4對(duì).【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A5CD—AqGA中，點(diǎn)M是AO的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在底面45CD內(nèi)（不包括邊界），若4P〃平面46M,則G2的最小值是（）A聞 B2聞TOC\o"1-5"\h\z5 5C." D.晅5 5【答案】B【解析】【分析】在A"上取中點(diǎn)。，在5c上取中點(diǎn)N,連接DN,NB「BQQD,根據(jù)面面平行的判定定理可知平面4QON//平面AjBM,從而可得。的軌跡是DV（不含。,N兩點(diǎn)）；由垂直關(guān)系可知當(dāng)CP_L3N時(shí)，C/取得最小值：利用面積橋和勾股定理可求得最小值.【詳解】如圖，在AA上取中點(diǎn)。，在5C上取中點(diǎn)N,連接DN,NB「BQ，2D?.?DN3BM,。。//人眼且平面瓦QON//平面ABM,則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是DV（不含O,N兩點(diǎn)）又CC;_L平面ABC。，則當(dāng)CP_LON時(shí)，CJ取得最小值本題正確選項(xiàng)：B【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡及最值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)面面平行關(guān)系得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，從而找到最值取得的點(diǎn).12.己知〃71是兩條不同的直線(xiàn)，0，/是兩個(gè)不同的平面，則下列可以推出a_L々的是()A.〃7_!_/,/〃u/7,/_La b.m,ctc/3=I,muaC.in//I,m-LaJ±p D.I±ajnfll,m/ip【答案】D【解析】【分析】A,有可能出現(xiàn)。，夕平行這種情況B會(huì)出現(xiàn)平面。，夕相交但不垂直的情況C根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷Q,根據(jù)面面垂直的判定定理判斷.【詳解】對(duì)于A, 若/_L4,則a//〃，故4錯(cuò)誤；對(duì)于B,會(huì)出現(xiàn)平面。，?相交但不垂直的情況，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)?〃/,〃7_La,則/_La,又因?yàn)?〃/,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,/J_a,in//1=>m±a,又由〃7〃尸=>a_L,故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間中的平行、垂直關(guān)系的判定，還考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題..設(shè)。，〃是兩個(gè)不同的平面，加是直線(xiàn)且“加||77"是"。||夕〃的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：也Ud,也〃月得不到*因?yàn)?月可能相交，只要我和內(nèi)戶(hù)的交線(xiàn)平行即可得到叨〃月；陰匚《,???加和戶(hù)沒(méi)有公共點(diǎn)，???陰”月，即區(qū)用能得到冽〃￡；???"物〃X?"是"必‘尸"的必要不充分條件.故選B.考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點(diǎn)晴】考查線(xiàn)面平行的定義，線(xiàn)面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題：也？與并得不到區(qū)根據(jù)面面平行的判定定理，只有儀內(nèi)的兩相交直線(xiàn)都平行于￡,而區(qū)戶(hù),并且也U2,顯然能得到巾這樣即可找出正確選項(xiàng)..如下圖，在正方體48co—4月￡￡\中，點(diǎn)反尸分別為棱84，ca的中點(diǎn)，點(diǎn)。為上底面的中心，過(guò)￡、F、O三點(diǎn)的平面把正方體分為兩部分，其中含A的部分為匕，

不含A的部分為匕，連接A和匕的任一點(diǎn)加，設(shè)4〃與平面4及ga所成角為。，則sma的最大值為（）.A走 R2/ 26 2遙2 5 5 6【答案】B【解析】【分析】連接EF,可證平行四邊形EFGH為截面，由題意可找到AM與平面AdG2所成的角，進(jìn)而得到sina的最大值.【詳解】連接EF,因?yàn)镋F〃面ABCD,所以過(guò)EFO的平面與平面ABCD的交線(xiàn)一定是過(guò)點(diǎn)。且與EF平行的直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)0作GH〃BC交CD于點(diǎn)G,交AB于H點(diǎn)，則GH〃EF,連接EH,FG,則平行四邊形EFGH為截面，則五棱柱A4E/M—RC/G。為匕，三棱柱EBH-FCG為匕，設(shè)M點(diǎn)為匕的任一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作底面A4GA的垂線(xiàn)，垂足為N,連接AN,則/揚(yáng)1/V即為AM與平面AM與平面44GA所成的角，所以乙也N=a,MN因?yàn)?而，要使0的正弦最大，必須MN最大，最小，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合時(shí)符合題意，故sina的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查空間中的平行關(guān)系與平面公理的應(yīng)用，考查線(xiàn)面角的求法，屬于中檔題.15.若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面枳與側(cè)面積之比為A.1：2 B.1：73C.1：旺 D.小：2【答案】C【解析】【分析】由已知，求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的底面面積和側(cè)面積，可得答案【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r,則高6=2r,??.其母線(xiàn)長(zhǎng)l=?. 傅="/=小w2,S底="故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的表面枳公式，屬于基礎(chǔ)題.16.己知正三棱柱A6C—AMG的所有棱長(zhǎng)都相等，。是44的中點(diǎn)，則40與平面10BCQq所成角的正弦值為（）10A.五 B.空5 5【答案】D【解析】【分析】先找出直線(xiàn)4。與平面所成角，然后在△5￡尸中，求出sin/Eq尸，即可得到本題答案.【詳解】如圖，取45中點(diǎn)石，作EF工BC于F,連接4瓦4尸，則NE芝尸即為人。與平面BCQd所成角.不妨設(shè)棱長(zhǎng)為4,則5尸=1,5E=2,，EF=5B]E=2下...sin/￡4/=g=史.2邪10故選：?！军c(diǎn)睛】

本題主要考查直線(xiàn)與平面所成角的求法，找出線(xiàn)面所成角是解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵..圓錐（其中S為頂點(diǎn)，D為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是2:1,則圓錐SD與它外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為（）A.9:32 B.8:27 C.9:22 D.9:28【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐母線(xiàn)與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計(jì)算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計(jì)算球的體積，作比即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為I,則側(cè)面積為兀U,側(cè)面積與底面積的比為」與nr側(cè)面積與底面積的比為」與nr=；=2,則母線(xiàn)l=2r,圓錐的高為h= ,則圓錐的體積為［兀/h=@3 3設(shè)外接球的球心為0,半徑為R,截面圖如圖，則0B=0S=RQD=h-R=32乃“在直角三角形B0D中，由勾股定理得05? +即='+（6『一R）一,展開(kāi)整理得R=一0.，所以外接球的體積為:乃川=:〃x—=/32乃“V3 3 3 30壽3932——932故所求體枳比為壽丁32萬(wàn)「9a/3故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓錐與球的體積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題..某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的各棱中，最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A.y[6 B.y/5 C.2 D.1【答案】A【解析】由三視圖可知該多面體的直觀圖為如圖所示的四棱錐尸—ABCD：其中，四邊形A6C。為邊長(zhǎng)為1的正方形，尸石_1面48c且4E=1,PE=\-,AP= +PE>=&，BE=AB+AE=2,DE=JAD[+>6=近*-CE=ylBE2+BC1= ?PB=+PE?=&PD=4PE?+DE?=不??PC=y)CE2+PE2=yf6??最長(zhǎng)棱為PC故選A.點(diǎn)睛:思考三視圖還