專(zhuān)題4：橢圓的定義與方程

第第頁(yè)參考答案1．A【解析】根據(jù)橢圓的定義和比例，有.2．A【分析】在橢圓上任取一點(diǎn)，可證明，可得，設(shè)點(diǎn)沿圓錐表面到達(dá)的路線長(zhǎng)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與橢圓交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，即可求解.【解析】在橢圓上任取一點(diǎn)，連接交球于點(diǎn)，交球于點(diǎn)，連接，，，，，

在與中有：，（為球的半徑），，為公共邊，所以，QQ群333528558所以，設(shè)點(diǎn)沿圓錐表面到達(dá)的路線長(zhǎng)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與橢圓交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，，所以最小值為，故選：A【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題解題的關(guān)鍵是證明得出，從而，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線時(shí)求.3．C【分析】利用題設(shè)條件給出的幾何圖形特征知，點(diǎn)M到直線PF1、PF2的距離都等于點(diǎn)M到x軸的距離，由此計(jì)算三角形面積得解.【解析】如圖，橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，作一圓與線段F1P，F(xiàn)1F2的延長(zhǎng)線都相切，并且與線段PF2也相切，切點(diǎn)分別為D，A，B，，，所以(c為橢圓半焦距)，從而點(diǎn)A為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)，即圓心M的軌跡是直線x=a(除點(diǎn)A外).因點(diǎn)M(2,1)在的平分線上，且橢圓右端點(diǎn)A(2,0)，所以點(diǎn)M是上述圓心軌跡上的點(diǎn)，即點(diǎn)M到直線F1P，PF2，F(xiàn)1F2的距離都相等，且均為1，與的面積之和為.故選：C【點(diǎn)評(píng)】橢圓焦點(diǎn)三角形旁切圓圓心的軌跡是過(guò)橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)垂直于該軸的直線(除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外).4．D【分析】利用三角形的中位線、線段的中垂線、橢圓的定義對(duì)轉(zhuǎn)化，用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示，通過(guò)P點(diǎn)在第一想象的范圍，求出范圍.【解析】如圖所示，點(diǎn)在軸右邊，因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€，所以．由中位線定理可得．設(shè)點(diǎn)．由兩點(diǎn)間的距離公式，得，同理可得，所以，故，因?yàn)?，，所以，故，所以．因?yàn)?，所以．故的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的定義、直線和橢圓的關(guān)系、三角形中位線和線段的中垂線的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.5．B【分析】由的平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn)，得到，再結(jié)合橢圓的定義，得到，進(jìn)而求得的取值范圍.【解析】由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，都在圓上，得，則，所以橢圓的方程為，故，，由的平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn)，顯然，，又，所以，，即，由，，得，設(shè)，則，而，即，也就是，所以，所以，，所以.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，以及圓的方程、角平分線性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，著重考查推理論證能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題.6．C【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，利用，進(jìn)一步利用橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得解.【解析】連接,設(shè)橢圓的基本量為，,故答案為：3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義與平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題，關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合橢圓的定義計(jì)算.7．A【分析】將與橢圓的左、右焦點(diǎn)連接起來(lái)，由橢圓的對(duì)稱性得到一個(gè)平行四邊形，利用橢圓的定義和余弦定理，結(jié)合重要不等式可得離心率的范圍.【解析】如圖設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓相交于，連接.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得：四邊形為平行四邊形.由橢圓的定義有：由余弦定理有：即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又的斜率存在，故不可能在軸上.所以等號(hào)不能成立,即即，所以故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的對(duì)稱性和焦點(diǎn)三角形，考查利用橢圓的定義和余弦定理、重要不等式求橢圓的離心率的范圍，屬于難題.8．B【分析】線段的垂直平分線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，可得．根據(jù)，，可得，．點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，不妨設(shè)為上端點(diǎn)．作軸，垂足為點(diǎn)．可得．利用性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)．代入橢圓方程可得離心率．【解析】由題意知，又，所以線段AB過(guò)點(diǎn)且，不妨設(shè)，故，由橢圓定義可得，故，，，，故點(diǎn)A為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，不妨設(shè)，過(guò)點(diǎn)B作軸于M，由和相似，又，可得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)，代入橢圓的方程可得，解得，即.故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、方程的解法，考查了轉(zhuǎn)化法、推理能力與計(jì)算能力．9．B【解析】如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，可得，解得，取，可得點(diǎn)到直線的距離，即有，解得，，則焦距為，故選B.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式求橢圓的定義，屬于難題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.解答本題的關(guān)鍵是利用橢圓的對(duì)稱性得到，從而利用橢圓的定義求解.10．C【解析】解：看左視圖，左視圖為高為6的等腰三角形，如圖所示，圖中,，又，故△PCD為等邊三角形，，即橢圓的短軸長(zhǎng)為.本題選擇C選項(xiàng).11．A【解析】試題分析：設(shè)點(diǎn)距軸的距離為，因?yàn)镮G∥，則點(diǎn)距軸的距離為，連接，則，，所以，所以，所以橢圓方程為．【點(diǎn)評(píng)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．12．①②④⑤【分析】由題設(shè)條件線段的垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圓錐曲線的定義，分類(lèi)討論，即可求解.【解析】（1）因?yàn)闉閳A內(nèi)的一定點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)，可得，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，①當(dāng)不重合時(shí)，根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)的軌跡是：以為焦點(diǎn)的橢圓；②當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡是圓；（2）當(dāng)為圓外的一定點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)，可得，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為定值，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡是：以為焦點(diǎn)的雙曲線；（3）當(dāng)為圓上的一定點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是圓心.綜上可得：點(diǎn)的軌跡可能是點(diǎn)、圓、橢圓和雙曲線.故答案為：①②④⑤【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓、雙曲線和圓的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)，以及橢圓和雙曲線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.13．【分析】先利用橢圓的幾何性質(zhì)得到的軌跡方程為：，再根據(jù)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)關(guān)系可得的軌跡方程.【解析】如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接.因?yàn)闉榈钠椒志€且，故為等腰三角形且，，所以.在中，因?yàn)?，所以，故的軌跡方程為：.令，則，所以即，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，注意遇到與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的軌跡問(wèn)題或計(jì)算問(wèn)題時(shí)，要利用好橢圓的定義，另外，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，QQ群333528558注意把要求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡轉(zhuǎn)移到已知的動(dòng)點(diǎn)的軌跡上去.14．【分析】取橢圓左焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)闉槎ㄖ倒手恍枨蟪龅淖畲笾导纯汕蟮弥荛L(zhǎng)的最大值.【解析】由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上知，右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，連接，由橢圓定義可知：，，即最大時(shí)，最大，在中，兩邊之差總小于第三邊，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取最大值，此時(shí)取最大值，則周長(zhǎng)的最大值為.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，橢圓中三角形周長(zhǎng)問(wèn)題，屬于中檔題.15．28【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為由橢圓的幾何性質(zhì)可知：，同理可得，且，故,故答案為.16．【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，如圖所示，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以是△的中位線，所以，同理，，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以根據(jù)橢圓的定義，可得，所以．【考點(diǎn)】橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程．17．1【分析】根據(jù)已知可以轉(zhuǎn)化為，然后由三點(diǎn)共線即兩點(diǎn)之間線段最短可得答案.【解析】由已知得，，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即.故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離和的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用定義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.18．【分析】首先根據(jù)橢圓定義分析，分析當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，直線的位置，再求的面積，得到橢圓的離心率.【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，的周長(zhǎng)，此時(shí)直線過(guò)右焦點(diǎn)，，，得.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓內(nèi)的線段和的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用兩邊和大于第三邊，只有三點(diǎn)共線時(shí)，兩邊和等于第三邊，再結(jié)合橢圓的定義，求周長(zhǎng)的最值.19．【分析】由圓與圓的位置關(guān)系可得，再由橢圓的定義即可得解.【解析】由題意，圓：的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，動(dòng)圓與圓：內(nèi)切，與圓：外切，所以，，所以，所以的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，所以，橢圓的方程為.故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓位置關(guān)系及橢圓定義的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.20．【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，由，知點(diǎn)Z到點(diǎn)A（0，1）、點(diǎn)B（0，-1）的距離和大于|AB|，由此可得結(jié)論，求出方程即可．【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則表示點(diǎn)Z到點(diǎn)A（0，1）的距離，表示點(diǎn)Z到點(diǎn)B的距離，又|AB|=2，由知點(diǎn)Z到點(diǎn)A、B的距離和大于|AB|，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以a=4，c=1，則，橢圓的焦點(diǎn)就是A，B，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程是：，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義，正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．21．．【分析】設(shè)橢圓半焦距為，由已知可得為直角三角形，利用通徑可得，再根據(jù)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的值，即可得答案；【解析】設(shè)橢圓半焦距為，由已知可得為直角三角形.易知.①，設(shè)點(diǎn)P在第一象限由，可得，代入橢圓的方程可得②．又③，由①②③可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求解、共線向量的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.22．.【解析】設(shè)切點(diǎn)分別為，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即代入，整理化簡(jiǎn)可得，由題設(shè)可得，即，