電動力學-第零章數(shù)學準備

直角坐標系中：A

AxexAyey

AAyxxA2yzAAx方向余弦：cos cos cos cos2cos2cos2單位矢量：A

cos

ey 加法：滿足平行四邊形法則（或三角形法則A A

BABB

A

AB

(AB)CA(B標積：ABAB

（結(jié)果為標量 矢量A與單位矢量e的標積等于A在e ABB A(BC)ABA AB ABABsin

A與B

A(BC)ABA ABB

(結(jié)果為標量

A(BC)

A(BCsin) 三矢量ABC A(BC)B(CA)C(AB)A(CB)B(AC)C(B

A(B

A(BC)必在B與 構(gòu)成的平面上，可表示為B與C的 A(BC)(AC)B(A

(BC)AA(BC)(AB)C(A注意：ABC)AB d(AB)

A d(A B)AdBdA 場

(x,y,z,t)(x,

時間坐標 A(x,y,z,t)A(x,

函數(shù)來

(x,

A(x, (x,y,z)常數(shù)的曲設(x,y,z)點，沿線元dl，標量場(x,y,z)的數(shù)值改變 則(x,y,z)點沿dl方向的方向?qū)?shù)為 梯度：若在標量場(x,yz)的一點(x,yz處，存在矢量G，化率值，則稱矢量G為標量場在該點的梯度。記做grad,grad

x y z方向?qū)?shù)和梯度的關系：標量場中某點沿線元dl 向?qū)?shù)等于該點梯度沿dl方向的投影。

(grad) grad

dgraddl

矢量微分算子eyeyez

ex ey ez

A

eAe

e

x

x

y

zz

Ay Az

AxA

exy

zey

ez

xy 22 2

x2y2 r為由源點x指向場點x的矢量，證明：rrr求通量：矢量場A沿有向曲面S的積分SA

場A穿過曲面S的通量。（穿過有向曲面的矢量線數(shù)目A通過閉合曲面S

SS 散度：設M為矢量場A中的一點，取包含MV，V的表面為S。當V以任意方縮向M（V）A通過表面S的通量SAdSV之比的極限值稱為矢量場A在M點的散度，記作divA，或AdivAV

SASAdS

V A

divA V

V

r1.求r求r (r求

AA環(huán)量：矢量場A沿有向閉合曲線L的線積分A稱為矢量場A沿有向閉合曲線L的環(huán)量 若矢量場A沿任一閉合曲線L環(huán)量面密度：設M為矢量場A中一點，在M處取定一個方n，過M且以n為法矢作一微小曲面SS的周界為（L繞行方向和n成右手螺旋關系）。當S在保持以n為法矢的下，以任意方式縮向M點時，矢量場A沿n的環(huán)量LAdL與面積S之比的極限值稱為矢量場A在M點沿 lim

A S 旋度：若矢量場A中一點M處存在一矢量R，其方向為矢密度值，則稱矢量R為矢量場A在該點的旋度，記作： ，或 n的環(huán)量面密度等于該點旋度在n方向的投影。即： lim

AdL

LS 或

當S 時，

LAdL(rotA)LAdL(A) AdL

(A)

(A) (rotA)nlim

lim

(A)

rotA求證

AA

A即若F0，則F 稱為無旋場F的標勢函數(shù)即若F0，則FAA稱為無源場F任意的矢量場（F0，F(xiàn)0）均可以分解為無旋場 和無源場F2之和，即FF1

F10，F(xiàn)20F1又稱為F的縱場部分，可引入標

F2FA，F(xiàn)2AV VA(x) 在V Af(S 在SSA VLAdlL

dS（2

第二公

()dS（2

dS S

dVV

*可以是,A,Adl dS*

dSVdV

SdSAVdV LdlAS(dS)

dlA（dS） 常用運算公式：算符常用公算符常用公）微分性：兩因子乘積的微分拆成兩項 AA(A)A

（作用在需微分的因子上 (AB)(A ABABABBAB AA2 A復合函數(shù)的三 有關r的運算公 u是空間坐(xyz)的函

xx(xx)ex(yyrrrr

(zzfudf

rrrr Auu

r r

（rAuu

2 4xr r arar點P的位置坐標為(u1u2u3)，(e1e2e3有向線元：dl

h,

h

＋

＋

dV

h2u

A11

[

(h3h1A2) 3

h2

Ah1h2

h2 h3

2

[ (h2h3) (

)

(h1h2

u1x u2y u3zh1h2h31 ex ey ez Axy

Ay

A

AA

ex z ey x zez x z x y 2 2 u1rh1

u2h2

u3zh311 r r z 1 A

r

(rAr)

r A

2 1 12 ) r r2 u1h1

u2h2

u31rsin1rsin1

r

r

rsin rA r

r Ar)

rsin

rsin A

r2sin rsin 2

r

r

) (sin ) sin

xxa

x xadx a0 xx0xx0yy0zz0

x

xx