重積分華南理工大學高數(shù)模版(共35張PPT)

三重積分的概念三重積分的計算3三重積分的概念與計算是空間有界閉區(qū)域Ω上的如當各小閉區(qū)域直徑中的最大值在每個1.三重積分的定義將閉區(qū)域Ω恣意分成n個小閉區(qū)域其中并作和作乘積①②③④有界函數(shù).也表示它的體積.表示第i個小閉區(qū)域,上任取一點一、三重積分的概念記為函數(shù)趨于零時這和的極限總存在,那么稱此極限為在閉區(qū)域Ω上的三重積分.即體積元素二、三重積分的計算1.在直角坐標系下計算三重積分直角坐標系下的體積元素為在直角坐標系下三重積分可表為三重積分投影法如圖,閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域D,過點作直線,解化三重積分為三次積分,例所圍成的閉區(qū)域.其中積分區(qū)域為由曲面得交線投影區(qū)域解例計算三重積分其中V是長方體例求解的原函數(shù)不是初等函數(shù),應先x對積分一定要交換積分次序.三重積分截面法(紅色部分)截面法的普通步驟(1)投影,得投影區(qū)間(2)(3)計算二重積分(4)最后計算單積分截面法(先二后一法)解計算三重積分例原式=規(guī)定直角坐標與柱面坐標的關系為就叫點M的柱面坐標.設M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,并設點M在xOy面上的投影P的極坐標為那么這樣的三個數(shù)2、在柱面坐標系下計算三重積分柱面坐標系中,以z軸為中心軸的圓柱面；過z軸的半平面.與xOy平面平行的平面;三坐標面分別為柱面坐標系中的體積元素為在柱面坐標系中,如圖,得小柱體即(紅色部分).假設以三坐標面分割空間區(qū)域注通常是先積再積后積解例所圍成.積分域用柱坐標表示為原式其中Ω由柱面解例所圍成.積分域用柱坐標表示為原式其中Ω由半圓柱面補充三重積分對稱性質(zhì)那么稱f關于變量z的奇函數(shù).(1)關于坐標面的上半部區(qū)域.(偶)三重積分(property)那么稱f關于變量z的奇函數(shù).趨于零時這和的極限總存在,球面坐標與直角坐標的關系為記投影向量與x軸正方向的直角坐標系下的體積元素為是空間有界閉區(qū)域Ω上的面上的投影P的極坐標為2、在柱面坐標系下計算三重積分球面坐標與直角坐標的關系為在直角坐標系下計算三重積分假設以三坐標面分割空間區(qū)域趨于零時這和的極限總存在,直角坐標系下的體積元素為設M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,設M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,或而得結果為零.例0那么三重積分C那么()成立.三重積分記投影向量與x軸正方向的規(guī)定正方向間的夾角為偏轉(zhuǎn)角為球面坐標.稱為點M的設M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,向xOy平面投影,3、在球面坐標系下計算三重積分球面坐標系中的三坐標面分別為原點為心的球面；過z軸的半平面．球面坐標與直角坐標的關系為原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；球面坐標系中的體積元素為如積分域Ω為球域(如圖).那么解采用例由錐面和球面圍成,所圍成的立體體積.球面坐標求曲面與設被積函數(shù)在區(qū)域D上延續(xù),假設變換滿足如下條件:例解所圍成的閉區(qū)域.其中Ω為橢圓面作廣義球坐標變換解法一采用例所圍的立體.球面坐標球面坐標系中的三坐標面分別為求曲面與柱面坐標系中的體積元素為如當各小閉區(qū)域直徑中的最大值設M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；求曲面與趨于零時這和的極限總存在,設M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,球面坐標與直角坐標的關系為直角坐標系下的體積元素為