數(shù)學(xué)知識點中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五圖形折疊問題含解析9394

數(shù)學(xué)知識點中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五圖形折疊問題含剖析9394數(shù)學(xué)知識點中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五圖形折疊問題含剖析93941/24數(shù)學(xué)知識點中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五圖形折疊問題含剖析9394圖形的折疊問題【專題思路剖析】圖形的折疊實質(zhì)就是反射變換也許說是對稱變換，也許說是翻折。這類問題多半聯(lián)系實際，內(nèi)容豐富，解法靈便，擁有開放性，有利于觀察解題者的著手能力，空間見解和幾何變換的思想。折疊(翻折)問題常常出現(xiàn)在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實質(zhì)是軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用．解題的要點利用軸對稱的性質(zhì)找到折疊前后不變量與變量，運用三角形的全等、相似及方程等知識成立相關(guān)線段、角之間的聯(lián)系．圖形折疊問題既觀察學(xué)生的著手能力,又觀察了想象能力,涉及到畫圖、歸納等問題,它與代數(shù)、幾何均有聯(lián)系。折疊問題將圖形的變換與學(xué)生的實質(zhì)操作能力親近聯(lián)系起來。在折疊過程中,經(jīng)過觀察圖形中的變與不變,靈便應(yīng)用平面圖形的基本性質(zhì)及定理解決問題。近來幾年來,折疊問題（對稱問題）是中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型,學(xué)生常常由于對折疊的實質(zhì)理解不夠透徹,以致對這類中檔問題失分嚴(yán)重。本文試圖經(jīng)過對在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到的幾類典型的折疊問題的剖析,從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問題的老例方法。【典型例題賞析】種類：三角形中的折疊問題折疊(翻折)意味著軸對稱，會生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中．若是題目中有直角，則平時將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解．例題：2015?烏魯木齊,第7題4分）如圖，△ABC的面積等于6，邊AC=3，現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折，使點C落在直線AD上的′處，點P在直線AD上，則線段BP的長不可以能是（）．3B．4C．5D．61考點：翻折變換（折疊問題）．剖析：過B作BN⊥AC于，BM⊥AD于，依照折疊得出∠′AB=∠CAB，依照角均分線性質(zhì)得出BN=BM，依照三角形的面積求出BN，即可得出點B到AD的最短距離是4，得出選項即可．解答：解：如圖：過B作BN⊥AC于，BM⊥AD于，∵將△ABC沿AB所在直線翻折，使點C落在直線AD上的′處，∴∠′AB=∠CAB，∴BN=BM，∵△ABC的面積等于，邊AC=3，1∴×AC×BN=6，2∴BN=4，∴BM=4，即點B到AD的最短距離是，∴BP的長不小于4，即只有選項A的3不正確，應(yīng)選．議論：此題觀察了折疊的性質(zhì)，三角形的面積，角均分線性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的要點是求出B到的最短距離，注意：角均分線上的點到角的兩邊的距離相等．【變式練習(xí)】(2014?黑龍江牡丹江,第7題3分)已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠＜∠，CM是斜邊AB上的中線，將△ACM沿直線CM折疊，點A落在點DCD恰好與AB垂直，那么∠A的度數(shù)是（）2第1題圖．°．°．°．°考點：翻折變換（折疊問題）．剖析：依照折疊的性質(zhì)可知，折疊前后的兩個三角形全等，則∠D=∠，∠MCD=MCA，從而求得答案．解答：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠＜∠，CM是斜邊AB上的中線，∴AM=MC=BM∴∠A=∠MCA，∵將△ACM沿直線CM折疊，點A落在點D處，∴CM均分∠ACD，∠A=∠，∴∠ACM=MCD，∵∠A+∠B=∠B+∠0∴∠A=∠BCD∴∠BCD=∠DCM=MCA=30∴∠A=30°．應(yīng)選：．議論：此題觀察圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理．要點是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，依照軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，可是地址變化．種類：四邊形及其他圖形中的折疊問題矩形中的一次折疊平時利用折疊性質(zhì)和平行線性質(zhì)求角的度數(shù)，也許利用折疊性質(zhì)以及勾股3定理求線段長度．矩形中的兩次或多次折疊平時出現(xiàn)“一線三直角”的模型(如圖)，進而構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形求邊也許角的度數(shù)．例題：（2015?山東泰安,第20題3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后獲得△GBE，延長交CD于點．若AB=6，BC=4，則FD的長為（）．2．4．．2考點：翻折變換（折疊問題）．.剖析：依照點E是AD的中點以及翻折的性質(zhì)能夠求出G爾后利用“HL”證明△和△EGF全等，依照全等三角形對應(yīng)邊相等可證得DF=GF；設(shè)FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△中，利用勾股定理列式進行計算即可得解．解答：解：∵E是AD的中點，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折疊后獲得△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，∵在Rt△和Rt△中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL∴DF=FG，設(shè)DF=x，則BF=6+x，CF=6﹣x，4在Rt△4）2（﹣x）=（），解得x=4．應(yīng)選：．議論：此題觀察了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件EF=EC是解題的要點．【變式練習(xí)】（2015?銅仁市）（第8題）如圖，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，將△BCD沿對角線BD翻折，11點C落在點C處，BC交于點，則線段DE的長為（）．3B．C．5D．考點：翻折變換（折疊問題）．剖析：第一依照題意獲得BE=DE，爾后依照勾股定理獲得對于線段AB、AE、BE的方程，解方程即可解決問題．ED=x，則AE=8﹣x；∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC；5由題意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x由勾股定理得：2=AB2+AE2，BE即x2+（﹣）2+（﹣）2，解得：，∴ED=5．應(yīng)選：．議論：此題主要觀察了幾何變換中的翻折變換及其應(yīng)用問題；解題的要點是依照翻折變換的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判斷及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識，靈便進行判斷、剖析、推理或解答．【拓展演練】1.（2015?江蘇泰州，第16題3分）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD訂交于點，且OE=OD則AP的長為．2015?寧夏第15題3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一點，連接BE，將△BCE沿BE折疊，使點C恰好落在邊上的點F處，則CE的長為．63.（2015?青海西寧第20題2分）如圖，△是邊長為1的等邊三角形，為AC邊上的高，將△ABC折疊，使點B與點D重合，折痕EF交BD于點，再將△BEF折疊，使點B于點1重合，折痕GH交BD1于點2，依次折疊，則BD=．4.（2015?濱州,第17題4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AEE在邊DCD恰好落在邊OC上的點F處．若點D的坐標(biāo)為（10，E的坐標(biāo)為．75.（2014?上海，第18題4分）如圖，已知在矩形ABCD中，點E在邊BC上，BE=2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點D分別落在邊BC下方的點′處，且點′、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點，′F與BE交于點．設(shè)AB=t，那么△EFG的周長為（用含t的代數(shù)式表示）．6.（2014?山西，第23題11分）課程學(xué)習(xí)：正方形折紙中的數(shù)學(xué)．著手操作：如圖，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF爾后沿直線折疊，使B點落在EF上，對應(yīng)點為′．CB′F221的基礎(chǔ)上，連接AB′，試判斷∠′AE與∠GCB′的大小關(guān)系，并說明原由；解決問題：（3）如圖，按以下步驟進行操作：第一步：先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個正方形展平，爾后繼續(xù)對折，使AB與重合，折痕為MN，再把這個正方形展平，設(shè)EF和MN訂交于點；8第二步：沿直線CG折疊，使B點落在EF上，對應(yīng)點為′，再沿直線AH折疊，使D點落在EF上，對應(yīng)點為′；第三步：設(shè)CG、分別與MN訂交于點、，連接′、PD′、′、QB′，試判斷四邊形′PD′Q的形狀，并證明你的結(jié)論．【拓展演練】參照答案1.（2015?江蘇泰州，第16題3分）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD訂交于點，且OE=OD則AP的長為．考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質(zhì)．.剖析：由折疊的性質(zhì)得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由證明△ODP≌△OEG，得出OP=OGPD=GE，設(shè)AP=EP=x，則6x，DG=x，求出CG、BG，依照勾股定理得出方程，解方程即可．解答：解：以下列圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，68依照題意得：△ABP≌△EBP，9∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，設(shè)AP=EP=x，則6x，DG=x，∴CG=8﹣，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，依照勾股定理得：BC2+CG=BG2，2即6（8﹣x）22=（x+2），解得：，∴；故答案為：．議論：此題觀察了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的要點2015?寧夏第15題3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一點，連接BE，將△BCE沿BE折疊，使點C恰好落在邊上的點F處，則CE的長為．考點：翻折變換（折疊問題）．.10剖析：設(shè)CE=x，由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折疊的性質(zhì)得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的長度，進而求出DF的長度；爾后在Rt△DEF依照勾股定理列出對于x的方程即可解決問題．解答：解：設(shè)CE=x．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=53∠A=∠D=90°．∵將△BCE沿BE折疊，使點C恰好落在AD邊上的點F處，∴BF=BC=5EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF﹣32=52=16，∴AF=4，DF=5﹣．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2（3﹣x）2（3﹣x）2，解得：x=，故答案為．議論：此題觀察了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，地址變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也觀察了勾股定理、矩形的性質(zhì)、方程思想等知識，要點是熟練掌握勾股定理，找準(zhǔn)對應(yīng)邊．3.（2015?青海西寧第20題2分）如圖，△是邊長為1的等邊三角形，為AC邊上的高，將△ABC折疊，使點B與點D重合，折痕EF交BD于點，再將△BEF折疊，使點B于點1重合，折痕GH交BD1于點2，依次折疊，則BD=．考點：翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的性質(zhì)．.11專題：規(guī)律型．剖析：依照等邊三角形的性質(zhì)依次求出邊上的高，找出規(guī)律即可獲得結(jié)果．解答：解：∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，BD為AC邊上的高，∴BD=，∵△BEF是邊長為等邊三角形，∴BD=，∴BD=，?∴BD=，故答案為：．議論：此題觀察了翻折變換﹣折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，依照已知條件找出規(guī)律是解題的要點．4.（2015?濱州,第17題4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AEE在邊DCD恰好落在邊OC上的點F處．若點D的坐標(biāo)為（10，E的坐標(biāo)為．考點：翻折變換（折疊問題）；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．剖析：依照折疊的性質(zhì)獲得AF=AD，所以在直角△中，利用勾股定理來求OF=6，爾后設(shè)EC=x，則EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，依照勾股定理列方程求出EC可得點E的坐標(biāo)．12解答：解：∵四邊形為矩形，D的坐標(biāo)為（10，∴AD=BC=10，8∵矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，OF=，∴FC=10﹣，設(shè)EC=x，則DE=EF=8﹣x，=EC2+FC=x+422在Rt△中，EF，即（8﹣x），解得，即EC的長為．∴點E的坐標(biāo)為（，故答案為：（10，3議論：此題觀察折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；對應(yīng)點的連線段被折痕垂直均分．也觀察了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．5.（2014?上海，第18題4分）如圖，已知在矩形ABCD中，點E在邊BC上，BE=2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點D分別落在邊BC下方的點′處，且點′、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點，′F與BE交于點．設(shè)AB=t，那么△EFG的周長為（用含t的代數(shù)式表示）．13考點：翻折變換（折疊問題）剖析：依照翻折的性質(zhì)可得CE=C′，再依照直角三角形°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠EBC′=30°，而后求出∠BGD′=60°，依據(jù)對頂角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，依照兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，爾后判斷出△EFG是等邊三角形，依照等邊三角形的性質(zhì)表示出EF，即可得解．解答：由翻折的性質(zhì)得，CE=C′，∵BE=2CE，∴BE=2C′，又∵∠′∠C=90°，∴∠EBC′=30°，∵∠FD′′∠D=90°，∴∠BGD′=60°，∴∠FGE=∠∠BGD′=60°，∵AD∥BC，∴∠AFG=∠FGE=60°，∴∠EFG=（°﹣∠AFG）=（°﹣°）=60°，∴△EFG是等邊三角形，∴，∴EF=t÷=t，∴△EFG的周長=3×t=2t．故答案為：2t．議論：此題觀察了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形°角所對的直角邊等于斜邊的一半，等邊三角形的判斷與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出△EFG是等邊三角形是解題的要點．146.（2014?山西，第23題11分）課程學(xué)習(xí)：正方形折紙中的數(shù)學(xué)．著手操作：如圖，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF爾后沿直線折疊，使B點落在EF上，對應(yīng)點為′．CB′F221的基礎(chǔ)上，連接AB′，試判斷∠′AE與∠GCB′的大小關(guān)系，并說明原由；解決問題：（3）如圖，按以下步驟進行操作：第一步：先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個正方形展平，爾后繼續(xù)對折，使AB與重合，折痕為MN，再把這個正方形展平，設(shè)EF和MN訂交于點；第二步：沿直線CG折疊，使B點落在EF上，對應(yīng)點為′，再沿直線AH折疊，使D點落在EF上，對應(yīng)點為′；第三步：設(shè)CG、分別與MN訂交于點、，連接′、PD′、′、QB′，試判斷四邊形′PD′Q的形狀，并證明你的結(jié)論．考點：四邊形綜合題．1B，在RT△′FC中，sin∠CB′F==CB′F=30°，（2）連接BB′交CG于點，由對折可知，∠′AE=∠′BE，由∠′BE+∠KBC=90°，∠KBC+∠GCB=90，獲得∠′BE=∠GCB，又由折疊知∠=GCB′得∠′AE=∠GCB′，（3）連接AB′利用三角形全等