人教版A版高中數(shù)學(xué)選修2-1全套課件

人教版A版高中數(shù)學(xué)選修2-1全套PPT課件

命題問題引航1.在數(shù)學(xué)中命題是如何定義的?什么是真命題?什么是假命題?2.對于“若p,則q”形式的命題,其中命題的條件與結(jié)論各是什么?命題及相關(guān)概念(1)定義:在數(shù)學(xué)中,用語言、符號或式子表達(dá)的,可以__________的陳述句.(2)分類(3)形式:命題“若p,則q”,其中p叫做命題的_____,q叫做命題的_____.真命題：判斷為___的語句.假命題：判斷為___的語句.判斷真假真假條件結(jié)論1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)語句“陳述句都是命題”不是命題.(

)(2)命題“實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)”是真命題.(

)(3)“平行四邊形的對角線互相平分”可以看作是“若p,則q”形式的命題.(

)【解析】(1)錯誤.命題可以判斷真假.該語句可以判斷真假,是命題.(2)正確.“實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)”這個陳述句能判斷真假且判斷為真,故這種說法是正確的.(3)正確.平行四邊形的對角線互相平分寫成“若p,則q”的形式的命題為“若四邊形是平行四邊形,則它的對角線互相平分”.答案:(1)×

(2)√

(3)√2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)下列兩個語句是命題的是

.①0是自然數(shù);②溫度是向量嗎?(2)命題“8>10”是

命題(填“真”或“假”).(3)若a與b是無理數(shù),則ab是無理數(shù),其中該命題的條件是

,結(jié)論是

.【解析】(1)“0是自然數(shù)”可以判斷真假,“溫度是向量嗎”不是陳述句.故①是命題,②不是命題.答案:①(2)8>10顯然是錯誤的,故該命題是假命題.答案:假(3)“若p,則q”形式的命題,其中p是條件,q是結(jié)論,因此原命題中“a與b是無理數(shù)”是條件,“ab是無理數(shù)”是結(jié)論.答案:a與b是無理數(shù)ab是無理數(shù)【要點(diǎn)探究】

知識點(diǎn)命題的概念及構(gòu)成形式1.對命題概念理解的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)命題首先必須是陳述句,對于疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題.(2)命題是對一個結(jié)論的判斷,所謂判斷,就是肯定一個事物是什么或不是什么,不能含糊不清.命題的實(shí)質(zhì)是對某一前提條件下相應(yīng)結(jié)論的一個判斷,這個判斷可能正確,也可能錯誤.所以不能認(rèn)為只有真命題才是命題,假命題不是命題.2.對命題構(gòu)成形式“若p,則q”的兩點(diǎn)說明(1)任何命題都有條件和結(jié)論,數(shù)學(xué)中,一些命題表面上看不具有“若p,則q”的形式,如“對頂角相等”,但是適當(dāng)改變敘述方式,就可以寫成“若p,則q”的形式,即“如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等”.這樣,命題的條件和結(jié)論就十分清楚了.(2)一般地,在命題中,已知的事項(xiàng)為“條件”,由已知推出的事項(xiàng)為“結(jié)論”.【知識拓展】唐代詩人王維的詩句與數(shù)學(xué)中的命題的關(guān)系

“紅豆生南國,春來發(fā)幾枝.愿君多采擷,此物最相思.”這是唐代詩人王維的《相思》,在這4句詩中,可作為命題的詩句為“紅豆生南國”.因?yàn)椤凹t豆生南國”是陳述句,意思是“紅豆生長在中國南方”,這在唐代是事實(shí),故本語句是命題;“春來發(fā)幾枝”中的“幾”是概數(shù),無法判斷其真假,故不是命題;“愿君多采擷”是祈使句,所以不是命題;“此物最相思”不能判斷真假,故不是命題.【微思考】(1)陳述句一定是命題嗎?提示:不一定,命題雖然是陳述句,但陳述句不一定是命題,如“瑞雪兆豐年”,這句話表達(dá)的是一種可能性,但不具有確定性,所以不是命題.(2)任何一個命題都可以寫成“若p,則q”的形式嗎?提示:并不是所有的命題都可以寫成“若p,則q”的形式,比如“3>2”這個命題就沒法寫成“若p,則q”的形式.【即時練】1.下列語句中是命題的是(

)A.是無限不循環(huán)小數(shù)B.6x≤9C.什么是“溫室效應(yīng)”

D.給我把門打開!2.判斷下列語句是否是命題,并說明理由.①若a與b是無理數(shù),則a+b是無理數(shù);②梯形是不是平面圖形呢?③x2-x+7>0.【解析】1.選A.A是陳述句且能判斷真假,故A是命題;B不能判斷真假,因此B不是命題;而C,D不是陳述句,故C,D不是命題.2.①“若a與b是無理數(shù),則a+b是無理數(shù)”是陳述句,并且它是假的,所以它是命題.②“梯形是不是平面圖形呢?”是疑問句,所以它不是命題.③因?yàn)榭梢耘袛唷皒2-x+7>0”是真的,故它是命題.【題型示范】

類型一命題的構(gòu)成形式【典例1】(1)命題“若x,y都是奇數(shù),則x+y是偶數(shù)”的條件為

,結(jié)論為

.(2)把下列命題改寫為“若p,則q”的形式,指出條件和結(jié)論:①直角三角形的兩個銳角互余.②正弦值相等的兩個角的終邊相同.【解題探究】1.題(1)中的命題是“若p,則q”的形式嗎?p與q分別對應(yīng)命題中的什么內(nèi)容?2.題(2)中要把命題改寫為“若p,則q”的形式,關(guān)鍵是要確定什么?【探究提示】1.該命題是“若p,則q”的形式,p對應(yīng)“x,y都是奇數(shù)”,q對應(yīng)“x+y是偶數(shù)”.2.關(guān)鍵是確定命題的條件與結(jié)論各是什么.【自主解答】(1)命題“若x,y都是奇數(shù),則x+y是偶數(shù)”的條件為“x,y都是奇數(shù)”,結(jié)論為“x+y是偶數(shù)”.答案:x,y都是奇數(shù)x+y是偶數(shù)(2)①“若一個三角形是直角三角形,則它的兩個銳角互余”,條件是“一個三角形是直角三角形”,結(jié)論是“兩個銳角互余”.②“若兩個角的正弦值相等,則它們的終邊相同”,條件是“兩個角的正弦值相等”,結(jié)論是“它們的終邊相同”.【延伸探究】把題(2)中的命題改為以下形式:①兩個銳角互余的三角形是直角三角形.②終邊相同的兩個角的正弦值相等.求解的問題不變,結(jié)論如何?【解析】①“若一個三角形的兩個銳角互余,則這個三角形是直角三角形”,條件是“一個三角形的兩個銳角互余”,結(jié)論是“這個三角形是直角三角形”.②“若兩個角的終邊相同,則它們的正弦值相等”,條件是“兩個角的終邊相同”,結(jié)論是“它們的正弦值相等”.【方法技巧】1.將命題改寫為“若p,則q”形式的方法及原則2.命題改寫中的注意點(diǎn)若命題不是以“若p,則q”這種形式給出時,首先要確定這個命題的條件p和結(jié)論q,進(jìn)而再寫成“若p,則q”的形式.【變式訓(xùn)練】將下列命題改寫成“若p,則q”的形式.(1)當(dāng)a>b時,ac>bc.(2)同弧所對的圓周角不相等.【解題指南】解答此類問題時首先確定命題的條件p與結(jié)論q,然后再寫成“若p,則q”的形式.【解析】(1)若a>b,則ac>bc.(2)若兩個角為同弧所對的圓周角,則它們不相等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】指出下列命題的條件與結(jié)論并寫成“若p,則q”的形式:(1)平行四邊形的兩條對角線互相垂直.(2)平行于同一平面的兩條直線互相平行.【解析】(1)命題的條件是四邊形是平行四邊形,結(jié)論是:兩條對角線互相垂直.寫成“若p,則q”的形式為:若四邊形是平行四邊形,則它的兩條對角線互相垂直.(2)條件:兩條直線平行于同一平面,結(jié)論:它們互相平行,若兩條直線平行于同一平面,則它們互相平行.類型二命題真假判斷【典例2】(1)“方程x2+x+1=0有實(shí)根”是

命題(填“真”或“假”).(2)判斷下列命題的真假:①已知a,b,c,d∈R,若a≠c或b≠d,則a+b≠c+d;②空集是任何集合的真子集;③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行.【解題探究】1.題(1)中方程x2+x+1=0的判別式是大于0還是小于0?該方程有實(shí)根嗎?2.題(2)中判斷一個命題是假命題或真命題的關(guān)鍵是什么?【探究提示】1.方程的判別式Δ=12-4=-3,故判別式小于0,該方程無實(shí)根.2.判斷一個命題是假命題只需舉一反例即可,要說明某個命題是真命題,必須用學(xué)過的公式定理加以證明.【自主解答】(1)因?yàn)棣?1-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0無實(shí)根,因此原命題是假命題.答案:假(2)①假命題.反例:1≠4或5≠2,而1+5=4+2.②假命題.空集是任何非空集合的真子集.③假命題.反例:有可能互相垂直.【方法技巧】判斷命題真假的策略(1)要判斷一個命題是真命題,一般要有嚴(yán)格的證明或有事實(shí)依據(jù),比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證.(2)要判斷一個命題是假命題,只要舉一個反例即可.【變式訓(xùn)練】“常數(shù)列是等差數(shù)列”是

命題,“常數(shù)列是等比數(shù)列”是

命題.(填“真”或“假”)【解析】“常數(shù)列是等差數(shù)列”是真命題,“常數(shù)列是等比數(shù)列”是假命題.答案:真假【補(bǔ)償訓(xùn)練】把下列命題寫成“若p,則q”的形式,并判斷命題的真假.(1)正n邊形(n≥3)的n個內(nèi)角全相等.(2)菱形的對角線相等且互相平分.【解析】(1)此命題可改寫為:“若一個多邊形是正n邊形,則這個正n邊形的n個內(nèi)角全相等”.此命題是真命題.(2)命題“菱形的對角線相等且互相平分”,改寫為:“若一個四邊形是菱形,則它的對角線相等且互相平分”.此為假命題.【誤區(qū)警示】解答本題(2)易出現(xiàn)把命題的條件寫成“菱形的對角線相等”,結(jié)論寫成“它的對角線互相平分”的錯誤,導(dǎo)致出現(xiàn)這種錯誤的原因是對“若p,則q”形式的命題理解不透所致.【拓展類型】由命題真假求參數(shù)范圍【備選例題】(1)命題“f(x)=ax是增函數(shù)”是真命題,則a的取值范圍是

.(2)已知命題P:lg(x2-2x-2)≥0;命題Q:1-x+<1,若命題P是真命題,命題Q是假命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=ax是增函數(shù),所以a＞1.答案：a＞1(2)由lg(x2-2x-2)≥0,得x2-2x-2≥1,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.由得x2-4x＜0,解得0＜x＜4.因?yàn)槊}P為真命題，命題Q為假命題，所以解得x≤-1或x≥4.所以，滿足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-∞,-1］∪［4,+∞).【方法技巧】由命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧一般地,若命題Q是假命題,那么命題非Q就是真命題,它們的交集為

,并集為全集R,實(shí)質(zhì)上當(dāng)命題Q是假命題時,可先求出命題Q為真命題時的解集,然后求其補(bǔ)集即命題Q為假命題時的解集即可.【易錯誤區(qū)】忽視命題的條件以及平面向量的運(yùn)算而致誤【典例】設(shè)p:平面向量a,b,c互不共線,q表示下列不同的結(jié)論:(1)|a+b|<|a|+|b|.(2)a·b=|a|·|b|.(3)(a·b)c-(a·c)b與a垂直.(4)(a·b)c=a(b·c).其中,使命題“若p,則q”為真命題的所有序號是

.【解析】由于p:平面向量a，b，c互不共線，則必有|a+b|＜|a|+|b|，(1)正確；由于a·b=|a||b|cosθ＜|a||b|，(2)不正確；由于［(a·b)c-(a·c)b］·a=(a·b)(c·a)-(a·c)(b·a)=0①，所以(a·b)c-(a·c)b與a垂直，(3)正確；由平面向量的數(shù)量積的定義知,(a·b)c與c共線，而a(b·c)與a共線，且a,b,c互不共線，故(a·b)c≠a(b·c)②，(4)不正確.綜上可知真命題的序號是(1)(3).答案：(1)(3)【常見誤區(qū)】錯解錯因剖析填(1)在①處忽視向量的數(shù)量積滿足分配律及數(shù)乘向量滿足結(jié)合律而導(dǎo)致漏掉答案(3)填(1),(4)在②處對向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律不理解而錯選(4)【防范措施】1.注意命題的條件與結(jié)論若一個命題具備所給的條件,一定能得到所給的結(jié)論,它就是真命題;若不一定能或一定不能得到所給的結(jié)論,那么就是假命題,如本例命題的條件是判斷命題的結(jié)論是否成立的重要前提.2.平面向量的概念與運(yùn)算要明確平面向量與數(shù)量積的概念及運(yùn)算尤其是與實(shí)數(shù)運(yùn)算的不同,這是避免判斷命題真假出錯的關(guān)鍵,如本例(4)是錯誤的,根據(jù)數(shù)量積的定義可判斷.【類題試解】在

上填上適當(dāng)?shù)恼Z句,使其成為真命題:(1)若

,則a+b>0.(2)若a·b=0,則

.【解析】(1)若a>0,b>0(或a>-b),則a+b>0.(2)若a·b=0,則a=0或b=0或a⊥b.答案:(1)a>0,b>0(或a>-b)(填一種情形即可)(2)a=0或b=0或a⊥b(三種情形必須填全面)

常用邏輯用語

在我們?nèi)粘＝煌W(xué)習(xí)與工作中，邏輯用語是必不可少的工具，正確使用邏輯用語是現(xiàn)代社會公民應(yīng)具備的基本素質(zhì)。本章中，我們將學(xué)習(xí)命題及四種命題之間的關(guān)系，充分條件、必要條件，簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞等一些基本知識。命題及其關(guān)系課題引入（1）若直線,則直線和直線無公共點(diǎn)；（2）2＋4＝7；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行;（4）垂直于同一條直線的兩個直線平行;（5）若,則；（6）兩個全等三角形的面積相等；（7）3能被2整除.下列語句的表述形式有什么特點(diǎn)？你能判斷下列語句的真假嗎？概念生成

(1)命題:

判斷為真的語句叫做真命題；判斷為假的命題叫做假命題.

一般地，在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.

(2)真命題、假命題:概念辨析

判斷下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)；（3）對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？（4）若空間中兩條直線不相交，則這兩條直線平行.（5）；（6）x2＋x－6＞0.假真假假不是命題不是命題概念辨析

判斷下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？（7）x2-x+1＞0；（8）等邊三角形難道不是等腰三角形嗎？（9）每一個不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素數(shù)之和；（10）人類的正常壽命是200歲.真哥德巴赫猜想真壽命猜想科學(xué)猜想是命題概念辨析（1）若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)；（2）若空間中兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

這兩個命題在表達(dá)形式上有什么共同特點(diǎn)？思考1

對具有“若p，則q”形式的命題，在邏輯上，p、q分別是什么地位？思考2“若p，則q”概念形成

我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.“若p，則q”例題講解例題講解問題探究（1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（2）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；（3）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；（4）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)；

考察下列四個命題：思考：判斷上述命題的真假.思考：這四個命題之間有什么聯(lián)系？

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則稱這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題.（1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（2）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù).問題探究探究：舉出一些互逆命題的例子，并判斷原命題與逆命題的真假.形成結(jié)論

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則稱這兩個命題叫做互否命題．如果把其中的一個叫做原命題，那么另一個命題叫做否命題.（1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（2）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù).問題探究探究：舉出一些互否命題的例子，并判斷原命題與否命題的真假.形成結(jié)論（3）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（4）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)；對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則稱這兩個命題叫做互為逆否命題．問題探究探究：舉出一些互為逆否命題的例子，并判斷原命題與逆否命題的真假.問題探究原命題：若p，則q；逆命題：若q，則p；否命題：若﹁p，則﹁q；逆否命題：若﹁q，則﹁p.結(jié)論概括

例3寫出下列命題的逆命題，否命題和逆否命題.（1）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù);（2）平行四邊形的對邊相等；（3）菱形的對角線互相垂直平分；（4）同位角相等，兩直線平行；（5）若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.

例題講解例題講解知識探究探究1：對于下列命題，它們之間的相互關(guān)系如何？（1）若a＝0，則ab＝0；（2）若ab＝0，則a＝0；（3）若a≠0，則ab≠0；（4）若ab≠0，則a≠0.若a＝0，則ab＝0.若ab＝0，則a＝0.若a≠0，則ab≠0.互逆互逆互否互否互為逆否為逆否互若ab≠0，則a≠0.知識探究

一般地，怎樣理解原命題、逆命題、否命題和逆否命題之間的相互關(guān)系？互逆互逆互否互否互為逆否為逆否互原命題：若p則q逆命題：若q則p否命題：若﹁p則﹁q逆否命題：若﹁q則﹁p形成結(jié)論探究2：四種命題的真假性之間是否有什么規(guī)律？知識探究

1.下列四個命題中哪些是真命題，哪些是假命題？（1）若a＝0，則ab＝0；（2）若ab＝0，則a＝0；（3）若a≠0，則ab≠0；（4）若ab≠0，則a≠0.真真假假知識探究

2.

原命題：若|x|＝x，則x≥0，那么其逆命題、否命題和逆否命題分別是什么？這些命題的真假如何？

原命題：若|x|＝x，則x≥0；逆命題：若x≥0，則|x|＝x；否命題：若|x|≠x，則x＜0；逆否命題：若x＜0，則|x|≠x.（真）（真）（真）（真）知識探究3.原命題：若x2－3x＋2＝0，則x＝2，那么其逆命題、否命題和逆否命題分別是什么？這些命題的真假如何？原命題：若x2－3x＋2＝0，則x＝2；逆命題：若x＝2，則x2－3x＋2＝0；否命題：若x2－3x＋2≠0，則x≠2；逆否命題：若x≠2，則x2－3x＋2≠0.（假）（假）（真）（真）知識探究已知原命題：若x＞0，y＜0，則x＋y＞0，那么其逆命題、否命題和逆否命題分別是什么？這些命題的真假如何？原命題：若x＞0，y＜0，則x＋y＞0；逆命題：若x＋y＞0，則x＞0，y＜0；否命題：若x≤0，y≥0，則x＋y≤0；逆否命題：若x＋y≤0，則x≤0，y≥0.（假）（假）（假）（假）知識探究（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.結(jié)論概括（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；例5證明：若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0.典例講評例6原命題：若關(guān)于x的方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根，則b＋c＋1＝0.試判斷其否命題的真假，并說明理由.典例講評

1.命題，真命題，假命題，原命題，逆命題，否命題，逆否命題等，都是數(shù)學(xué)中邏輯概念，判斷一個語句是命題，必須同時具備兩個基本條件：語句是陳述句；語句可以判斷真假.

2.命題有真假之分，逆命題，否命題，逆否命題具有相互性，任何一個命題都有逆命題，否命題和逆否命題.課堂小結(jié)課堂小結(jié)

3.“若p，則q”是命題的基本形式，在本章中，我們只討論這種形式的命題.“﹁p”是“非p”的符號表示，其含義是對p的否定.4.四種命題中任意兩種命題的關(guān)系都具有相互性，其中有兩組互逆命題，兩組互否命題，兩組互為逆否命題.5.原命題與逆否命題同真同假，即原命題與逆否命題等價，這是反證法的理論依據(jù).課堂小結(jié)

6.原命題與逆命題（否命題）真假不明，但逆命題與否命題等價，若判斷原命題的否命題的真假有困難，可以換成判斷原命題的逆命題的真假.課堂小結(jié)

四種命題間的相互關(guān)系問題引航1.四種命題的相互關(guān)系是什么?你會用圖示表示它們之間的關(guān)系嗎?2.四種命題的真假情況有幾種?你會列表表示嗎?1.四種命題的相互關(guān)系﹁p﹁q﹁q﹁p2.四種命題的真假關(guān)系(1)一般地,四種命題的真假性有且僅有下面四種情況:原命題逆命題否命題逆否命題真真______真___假_________真假___假___假真真假真假真假假(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系:①兩個命題互為_________,它們有相同的真假性.②兩個命題為_________或_________,其真假性沒有關(guān)系.逆否命題互逆命題互否命題1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩個互逆命題的真假性相同.(

)(2)若兩個命題為互否命題,則它們的真假性肯定不相同.(

)(3)對于一個命題的四種命題,可以一個真命題也沒有.(

)【解析】(1)錯誤.兩個互逆命題的真假性沒有關(guān)系.(2)錯誤.兩個命題為互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系,但也可能相同,故此說法錯誤.(3)正確.一個命題的四種命題中,可能都是假命題,如若0<x<1,則x>1,此命題的四種命題均為假命題.答案:(1)×

(2)×

(3)√2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)命題“若x2≠1,則x≠1”的否命題是

(填“真”或“假”)命題.(2)若命題p的逆否命題是真命題,則命題p是

命題.(填“真”或“假”)(3)命題“若a>b,則a2>b2”的逆否命題為

,其真假情況為

(填“真命題”或“假命題”).【解析】(1)由于否命題是“若x2=1,則x=1”,是假命題.答案:假(2)由于原命題與其逆否命題等價,故命題p是真命題.答案:真(3)逆否命題為:若a2≤b2,則a≤b,由于原命題是假命題,故其逆否命題也是假命題.答案:若a2≤b2則a≤b假命題【要點(diǎn)探究】

知識點(diǎn)四種命題間的關(guān)系對四種命題相互關(guān)系的三點(diǎn)認(rèn)識(1)四種命題中原命題具有相對性,任意確定一個為原命題,其逆命題、否命題、逆否命題就確定了,所以“互逆”“互否”“互為逆否”具有對稱性.(2)在原命題、逆命題、否命題與逆否命題這四種命題中,有兩對互逆命題,兩對互否命題,兩對互為逆否命題.它們分別為:①兩對互逆命題:原命題與逆命題,否命題與逆否命題.②兩對互否命題:原命題與否命題,逆命題與逆否命題.③兩對互逆否命題:原命題與逆否命題,逆命題與否命題.(3)由于原命題與其逆否命題的真假性相同,所以原命題與其逆否命題是等價命題,因此當(dāng)直接證明原命題困難時,可以轉(zhuǎn)化證明其逆否命題.【知識拓展】等價命題的證法與反證法在解答命題的過程中,注意借助逆否命題證明真命題與利用反證法證明真命題有本質(zhì)區(qū)別,運(yùn)用逆否命題的證法實(shí)質(zhì)是把命題等價轉(zhuǎn)化,而反證法是先假設(shè)結(jié)論不成立,接著推出矛盾,從而得出假設(shè)不成立.【微思考】(1)在四種命題中,它們的真假性有什么關(guān)系?提示:互為逆否的兩個命題具有相同的真假性,互逆或互否的兩個命題的真假性沒有必然的聯(lián)系.(2)原命題的逆命題與原命題的否命題真假性相同嗎?提示:相同.因?yàn)樵}的逆命題與否命題互為逆否命題.【即時練】原命題、逆命題、否命題和逆否命題中,真命題的個數(shù)是____個.【解析】因?yàn)樵}與逆否命題同真假,逆命題與否命題同真假,因此真命題的個數(shù)為0個或2個或4個.答案:0或2或4【題型示范】類型一四種命題的相互關(guān)系【典例1】(1)若命題p的逆命題為q,命題q的否命題為r,則p是r的(

)A.逆命題 B.否命題C.逆否命題

D.以上判斷都不對(2)命題“若p不正確,則q不正確”的逆命題的等價命題是

(

)A.若q不正確,則p不正確 B.若q不正確,則p正確C.若p正確,則q不正確D.若p正確,則q正確【解題探究】1.題(1)中命題p的條件與結(jié)論與命題r的條件與結(jié)論有什么關(guān)系?2.題(2)中原命題的逆命題是什么?逆命題的等價命題是什么?【探究提示】1.命題p的條件與結(jié)論分別是命題r的結(jié)論的否定與條件的否定.2.原命題的逆命題是“若q不正確,則p不正確”,逆命題的等價命題是:“若p正確,則q正確”.【自主解答】(1)選C.因?yàn)槊}p與q的條件與結(jié)論交換,命題q的條件與結(jié)論分別是r的條件與結(jié)論的否定.所以p與r的條件與結(jié)論既交換又否定,故選C.(2)選D.原命題的逆命題是“若q不正確,則p不正確”.因此逆命題的等價命題為“若p正確,則q正確”.【延伸探究】題(2)中“逆命題的等價命題”若換為“否命題的等價命題”,其結(jié)果又如何呢?【解析】選A.原命題的否命題為“若p正確,則q正確”,其等價命題為“若q不正確,則p不正確”.【方法技巧】判斷四種命題之間四種關(guān)系的兩種方法方法一:利用四種命題的定義判斷;方法二:可以巧用“逆、否”兩字進(jìn)行判斷,如“逆命題”與“逆否命題”中不同有“否”字,是互否關(guān)系;而“逆命題”與“否命題”中不同有“逆、否”二字,其關(guān)系為逆否關(guān)系.【變式訓(xùn)練】(2014·陜西高考)原命題為“若<an,n∈N+,則{an}為遞減數(shù)列”,關(guān)于逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是(

)A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假【解題指南】因?yàn)樵}和其逆否命題同真假,逆命題和否命題同真假,所以只要判斷原命題和它的逆命題的真假即可.【解析】選A.由已知條件可以判斷原命題為真,所以它的逆否命題也是真;而它的逆命題為真,所以它的否命題亦為真,故選A.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若命題p的否命題是q,命題q的逆命題是s,則p是s的

命題.【解析】設(shè)命題p“若a,則b”,因?yàn)閜的否命題是q,則q“若不是a,則不是b”,又因?yàn)閝的逆命題是s,則s“若不是b,則不是a”,顯然命題p與s的條件a和結(jié)論b交換位置且同時否定,所以互為逆否命題.答案:逆否類型二等價命題的應(yīng)用【典例2】(1)命題:“已知a,x為實(shí)數(shù),若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集,則a<2”的逆否命題是

命題(填“真”或“假”).(2)證明:如果p2+q2=2,則p+q≤2.【解題探究】1.題(1)中解集為空集的含義是什么?需要具備哪些條件?2.題(2)中命題的逆否命題是什么?【探究提示】1.題(1)中不等式的解集為空集,即此不等式無解,需要相應(yīng)的Δ<0.2.此命題的逆否命題是:若p+q>2則p2+q2≠2.【自主解答】(1)先判斷原命題的真假.因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集,所以相應(yīng)二次方程的判別式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,所以a<<2.所以原命題為真命題.又因?yàn)樵}和它的逆否命題是等價命題.所以此命題的逆否命題為真命題.答案:真(2)該命題的逆否命題為:若p+q>2,則p2+q2≠2.p2+q2≥(p+q)2.因?yàn)閜+q>2,所以(p+q)2>4,所以p2+q2>2.即p+q>2時,p2+q2≠2成立.所以如果p2+q2=2,則p+q≤2成立.【延伸探究】在題(1)中,寫出命題的逆命題,并判斷其真假.【解析】逆命題:已知a,x為實(shí)數(shù),若a<2,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集,由題(1)可知Δ=4a-7.所以當(dāng)≤a<2時,Δ≥0,解集不為空集;當(dāng)a<時,Δ<0,解集為空集.所以不等式的解集為空集是假命題,故逆命題是假命題.【方法技巧】“正難則反”的處理原則(1)當(dāng)原命題的真假不易判斷,而逆否命題較容易判斷真假時,可通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假.(2)在證明某一個命題的真假性有困難時,可以證明它的逆否命題為真(假)命題,來間接地證明原命題為真(假)命題.【變式訓(xùn)練】證明:已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),則a+b≥0.【解題指南】由于原命題不易證明,可轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題為真命題.【證明】原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),a,b∈R,若a+b<0,則f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.若a+b<0,則a<-b,b<-a,又因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),即逆否命題為真命題.所以原命題為真命題.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知全集U的兩個子集A,B,命題“若x?A,則x?B”是真命題,則下列結(jié)論正確的是(

)A.B

A

B.(

)∪B=UC.(

)∪A=U

D.A∩(

)=?【解析】選C.“若x?A,則x?B”等價于“若x∈B,則x∈A”為真命題,即B?A.故(

)∪A=U.【規(guī)范解答】由等價命題求參數(shù)的取值范圍【典例】(12分)(2013·臨沂高二檢測)命題:對任意x∈R,ax2-2ax-3>0不成立是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【審題】抓信息,找思路【解題】明步驟,得高分【點(diǎn)題】警誤區(qū),促提升失分點(diǎn)1:解題時若在①處對原命題的等價命題寫錯,則會導(dǎo)致本例不得分.失分點(diǎn)2:本例若對不等式考慮不全面,即忽略②處對參數(shù)a的討論,漏掉一解,則本例最多得8分.失分點(diǎn)3:若解題步驟不規(guī)范,漏掉③處最后的歸納,則本例最多得10分【悟題】提措施,導(dǎo)方向1.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用在解決原命題遇到困難時,可轉(zhuǎn)化為其等價命題解決,如本例中的不成立問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決.2.分類討論意識在解決含參數(shù)的問題時,切記分類討論思想的應(yīng)用,如本例對二次項(xiàng)系數(shù)的討論.【類題試解】已知命題“對于任意x∈R,x2+ax+1<0不成立”是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】命題“對于任意x∈R,x2+ax+1<0不成立”等價于“對于任意x∈R,x2+ax+1≥0成立”是真命題.由于函數(shù)f(x)=x2+ax+1是開口向上的拋物線,由二次函數(shù)的圖象易知:Δ=a2-4≤0,解得:-2≤a≤2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,2].高中數(shù)學(xué)常用邏輯用語充分條件與必要條件課題引入真假

若p，則q若為真命題則記為pq＞概念形成＞若為真命題則記為pq

一般地，如果“若p，則q”為真命題，可理解為“由p可推出q”，記作“”．記作“”．

如果“若p，則q”為假命題,可理解為“由p不能推出q”概念形成下列命題用推斷符號分別怎樣表示？⑴若a＞b，則ac＞bc；⑵若a＞b，則a＋c＞b＋c；⑶若x≥0，則x2≥0；⑷若x＞1，則x＞0．

（a＞bac＞bc）（a＞ba＋c＞b＋c）（x≥0x2≥0）（x＞1x＞0）概念辨析概念形成概念辨析從充分條件和必要條件的角度，怎樣理解下列各組條件的關(guān)系？（1）ab＝0與a＝0

；

（2）x＞0與|x|＝x；（3）x2＝y(tǒng)2與x＋y＝0；（4）“甲是乙的父親”與“甲的年齡比乙大”.概念辨析

一般地，若A是B的必要條件，如何用推斷符號連接A、B？概念辨析

已知p:x∈(0,1)，q:x∈(－1，3)，則條件p與q之間的邏輯關(guān)系是什么?p是q的充分條件；q是p的必要條件.新知探究探究1:若p是q的充分條件，則﹁p是﹁q的什么條件？﹁p是﹁q的必要條件.探究2:若p是q的必要條件，則﹁p是﹁q的什么條件？﹁p是﹁q的充分條件.新知探究探究3:若p不是q的充分條件，則q可能是p的必要條件嗎？p可能是q的必要條件嗎？新知探究如果p不是q的充分條件，則q也不是p的必要條件.充分條件與必要條件是共存的例1下列“若p，則q”形式的命題中，那些命題中的p是q的充分條件？那些命題中的p是q的必要條件？（1）若x＝1，則x2－4x＋3＝0；（2）若x2＝y(tǒng)2，則x＝－y；（3）若兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形全等；充分條件必要條件必要條件例題講解（4）若f(x)＝x，則f(x)在R上為增函數(shù)；（5）若x為無理數(shù)，則x2為無理數(shù).充分條件必要條件例題講解例2判斷下列各組語句中，p是q的什么條件？（1）p：a＞b，q：a＋2＞b；（2）p：x2－x＞0，q：x＞1；（3）p：x≠2，q：x2－2x≠0；（4）p：m＜－3，

q：方程x2＋2x－m＝0無實(shí)根.充分條件必要條件必要條件充分條件例題講解1.用推斷符號連接的兩個語句是命題的簡寫形式，其中“

”表示“若p，則q”為真命題；“

”表示“若p，則q”為假命題.課堂小結(jié)2.充分條件與必要條件是共存的，即如果p是q的充分條件，則q是p的必要條件；如果p是q的必要條件，則q是p的充分條件；如果p不是q的充分條件，則q也不是p的必要條件.課堂小結(jié)充要條件的應(yīng)用問題引航1.充要條件的概念是什么?判斷p是q的充要條件需要幾個條件?2.證明充要條件問題應(yīng)分哪兩步?1.充要條件(1)定義:若p?q且q?p,則記作p___q,此時p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.(2)條件與結(jié)論的等價性:如果p是q的充要條件,那么q也是p的_________.2.互為充要條件如果_____,那么p與q互為充要條件.?充要條件p?q1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)當(dāng)p是q的充要條件時,也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(

)(2)若p是q的充要條件,則命題p和q是兩個相互等價的命題.(

)(3)若pq和qp有一個成立,則p一定不是q的充要條件.(

)【解析】(1)當(dāng)p是q的充要條件時,p?q,且q?p,故說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立,這種說法正確.(2)若p是q的充要條件,p?q,即p等價于q,故此說法正確.(3)若p

q或q

p,則p不是q的充分條件,或p不是q的必要條件,故此說法正確.答案:(1)√

(2)√

(3)√2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)“x2<1”的充要條件是

.(2)若p是q的充要條件,q是r的充要條件,則p是r的

.(3)“三角形是等邊三角形”的充要條件是

.【解析】(1)因?yàn)閤2<1?-1<x<1,所以x2<1的充要條件是-1<x<1.答案:-1<x<1(2)因?yàn)閜?q,q?r,所以p?r,所以p是r的充要條件.答案:充要條件(3)因?yàn)椤叭呄嗟鹊娜切巍迸c“三角形是等邊三角形”是等價的,所以“三角形是等邊三角形”的充要條件是“三角形的三邊相等”.答案:三角形的三邊相等【要點(diǎn)探究】知識點(diǎn)充要條件1.對充要條件的兩點(diǎn)說明(1)p是q的充要條件意味著“p成立,則q一定成立;p不成立,則q一定不成立”.(2)p是q的充要條件,則q也是p的充要條件.2.常見的四種條件與命題真假的關(guān)系如果原命題為“若p,則q”,逆命題為“若q,則p”,那么p與q的關(guān)系有以下四種情形:原命題逆命題p與q的關(guān)系真真p是q的充要條件q是p的充要條件真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件3.從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若A?B,則p是q的充分條件,若AB,則p是q的充分不必要條件若B?A,則p是q的必要條件,若BA,則p是q的必要不充分條件若A=B,則p,q互為充要條件若A?B且B?A,則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.【知識拓展】等價命題的轉(zhuǎn)化與充要條件由于p是q的充要條件和p與q等價是一致的,因而我們可以通過這一結(jié)論將我們所有證明判定的結(jié)論和利用的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即我們可以把命題p轉(zhuǎn)化為命題q來證明判定,這就是數(shù)學(xué)上重要的轉(zhuǎn)化思想.【微思考】(1)從命題的角度理解等價符號“?”的意義是什么?提示:“?”表示連接的兩個命題互為逆命題且同為真.(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里?提示:①p是q的充要條件說明p是條件,q是結(jié)論.②p的充要條件是q說明q是條件,p是結(jié)論.【即時練】1.(2014·蘭州高二檢測)“x>1”是“x2>1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.向量a與非零向量b共線的充要條件為(

)A.a=0

B.a與b方向相同C.a與b方向相反 D.存在k∈R,使a=kb【解析】1.選A.因?yàn)閤2>1?x>1或x<-1,所以x>1?x2>1,但x2>1

x>1.故選A.2.選D.選項(xiàng)A,B,C中,都是向量a與非零向量b共線的充分條件.選項(xiàng)D中,“存在k∈R,使a=kb”是向量a與非零向量b共線的充要條件.【題型示范】類型一充要條件的判斷【典例1】(1)“m>”是“一元二次方程x2+x+m=0無實(shí)數(shù)解”的(

)A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件(2)下列所給的p,q中,p是q的充要條件的所有序號為

.①p:x=1,q:lnx=0;②p:a2=b2,q:a=b;③p:|x|>3,q:x2>9;④p:x>y>0,q:x2>y2.【解題探究】1.題(1)中一元二次方程x2+x+m=0有實(shí)根的條件是什么?無實(shí)根的條件是什么?2.題(2)中對每組的兩個命題p,q,判斷p是否是q的充要條件,關(guān)鍵看什么?【探究提示】1.一元二次方程x2+x+m=0有實(shí)根的條件是Δ=1-4m≥0,即m≤;無實(shí)根的條件是Δ=1-4m<0,即m>.2.關(guān)鍵看p能否推出q,及q能否推出p.【自主解答】(1)選B.方程x2+x+m=0無實(shí)根?Δ=1-4m<0?m>.(2)①由于p:x=1?q:lnx=0,所以p是q的充要條件;②由于p:a2=b2

q:a=b,所以p不是q的充要條件;③由于p:|x|>3?q:x2>9,所以p是q的充要條件;④由于p:x>y>0q:x2>y2,所以p不是q的充要條件.答案:①③【延伸探究】本例(1)中“m>”若換為m<,其他條件不變,其結(jié)論又如何呢?【解析】選D.方程x2+x+m=0無實(shí)根?Δ=1-4m<0?m>,所以方程x2+x+m=0無實(shí)根

m<,而m<

方程x2+x+m=0無實(shí)根.所以“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0無實(shí)根”的既不充分也不必要條件.【方法技巧】判斷p是q的什么條件的兩種思路(1)命題角度:判斷p是q的什么條件,主要是判斷p?q及q?p這兩個命題是否成立,若p?q成立,則p是q的充分條件,同時q是p的必要條件;若q?p成立,則p是q的必要條件,同時q是p的充分條件;若二者都成立,則p與q互為充要條件.(2)集合角度:關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件,當(dāng)不容易判斷p?q及q?p的真假時,也可以從集合角度去判斷,結(jié)合集合中“小集合?大集合”的關(guān)系來理解,這對解決與邏輯有關(guān)的問題是大有益處的.【變式訓(xùn)練】(2014·合肥高二檢測)已知a,b,c∈R,問“b2=ac”是“a,b,c成等比數(shù)列”的

條件.【解析】若b2=ac,則a,b,c不一定成等比數(shù)列,比如,a=b=c=0,即b2=ac

a,b,c成等比數(shù)列,但是a,b,c成等比數(shù)列?b2=ac,故是必要不充分條件.答案:必要不充分【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)認(rèn)為b2=ac是a,b,c成等比數(shù)列的充要條件,導(dǎo)致出現(xiàn)這種錯誤的原因是忽略了等比數(shù)列中每一個數(shù)不能為0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a,b,c∈R,則“ac2<bc2”是“a<b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)閍c2<bc2?a<b,但a<b

ac2<bc2,比如c=0時,ac2<bc2不成立.所以是充分不必要條件.類型二充要條件的求解與證明【典例2】(1)(2013·南昌高二檢測)關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負(fù)的實(shí)根的充要條件是

.(2)已知ab≠0,求證a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【解題探究】1.題(1)中方程ax2+2x+1=0一定是一元二次方程嗎?為什么?2.題(2)中證明命題中的條件與結(jié)論各是什么?【探究提示】1.方程ax2+2x+1=0不一定是一元二次方程.當(dāng)a=0時是一元一次方程;當(dāng)a≠0時是一元二次方程.2.命題中條件是a3+b3+ab-a2-b2=0,結(jié)論是a+b=1.【自主解答】(1)①當(dāng)a=0時,原方程化為2x+1=0,此時根為x=-,滿足條件.②設(shè)f(x)=ax2+2x+1,當(dāng)a≠0時,因?yàn)榉匠痰某?shù)項(xiàng)為1不為0,方程沒有零根.(ⅰ)若方程有兩異號的實(shí)根x1,x2,則x1x2=<0,即a<0;(ⅱ)若方程有兩個負(fù)的實(shí)根x1,x2,則需滿足解得0<a≤1.綜上,若方程至少有一個負(fù)的實(shí)根,則a≤1.反之,若a≤1,則方程至少有一個負(fù)的實(shí)根.因此,關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負(fù)的實(shí)根的充要條件是a≤1.答案:a≤1(2)先證必要性:因?yàn)閍+b=1,所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=a2-ab+b2+ab-a2-b2=0,所以必要性成立.再證充分性:因?yàn)閍3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又因?yàn)閍b≠0,所以a≠0且b≠0,從而a2-ab+b2≠0,所以a+b-1=0,即a+b=1,故充分性成立.所以a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【方法技巧】1.求充要條件的方法求一個問題的充要條件,就是利用等價轉(zhuǎn)化的思想,使得轉(zhuǎn)化前后的兩個命題所對應(yīng)的解集是兩個相同的集合.這就要求我們轉(zhuǎn)化的時候思維要縝密.2.充要條件的證明策略(1)要證明一個條件p是否是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個方向進(jìn)行,即證明兩個命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.(2)在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明,證明p與q的解集是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.【變式訓(xùn)練】關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是什么?并證明你的結(jié)論.【解析】因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一個根為1,所以a+b+c=0,即關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0,證明如下:①充分性:因?yàn)閍+b+c=0,所以a×12+b×1+c=0,所以方程ax2+bx+c=0有一個根為1.②必要性:因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一個根為1,所以a×12+b×1+c=0,所以a+b+c=0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是A=90°.【證明】充分性:因?yàn)锳=90°,所以a2=b2+c2,所以x2+2ax+b2=0可化為:x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a)2-c2=0,(x+a+c)(x+a-c)=0,所以x1=-a-c,x2=-a+c.同理,x2+2cx-b2=0可化為:x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c)2-a2=0,(x+a+c)(x+c-a)=0,所以x3=-a-c,x4=a-c.所以兩個方程有公共根-a-c.必要性:設(shè)兩個方程有公共根α,則

兩式相加得α2+(a+c)α=0.若α=0,代入任一方程得b=0,這與已知a,b,c為△ABC的三邊相矛盾.所以α=-a-c.代入上面方程組中任何一個式子,均可得a2=b2+c2,所以A=90°.綜上所述,關(guān)于x的方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是A=90°.【規(guī)范解答】充要條件的求解問題【典例】(12分)求使關(guān)于x的方程x2-2mx+m2-m-2=0的兩根都大于2的充要條件.【審題】抓信息,找思路【解題】明步驟,得高分【點(diǎn)題】警誤區(qū)，促提升失分點(diǎn)1：解題時若忽略①處Δ≥0的條件，則會導(dǎo)致步驟不完整而失分.失分點(diǎn)2：對第一步的條件不等價轉(zhuǎn)化導(dǎo)致結(jié)果不正確而失分，如將②處的條件不等價轉(zhuǎn)化為則結(jié)果顯然錯誤.【悟題】提措施,導(dǎo)方向1.等價轉(zhuǎn)化的意識對于不等式(組)的轉(zhuǎn)化必須是等價的,否則求的就不是充要條件.由“x1>2,x2>2?x1+x2>4,x1x2>4”,但反過來,“x1+x2>4,x1x2>4

x1>2,x2>2.”例如,取x1=1,x2=5有x1+x2>4,且x1x2>4,但沒有保證兩個根都大于2,所以僅是方程的兩根都大于2的必要條件,而不是充分條件.2.整體思想的應(yīng)用意識利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,體現(xiàn)了“設(shè)而不求,整體代入”的思想和方法,如本例的化簡即體現(xiàn)了這種思想【類題試解】求關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有一個根大于1,另一個根小于1的充要條件.【解析】令f(x)=x2+(2m-1)x+m2,因?yàn)榉匠蘹2+(2m-1)x+m2=0的一根大于1,另一根小于1,所以函數(shù)y=f(x)一個零點(diǎn)大于1,另一個零點(diǎn)小于1,如圖需f(1)<0,即1+(2m-1)+m2<0,所以m2+2m<0,所以-2<m<0.故關(guān)于x的方程一根大于1,另一根小于1的充要條件是-2<m<0.且（and）pq串聯(lián)電路創(chuàng)設(shè)情景，引入新課且：就是兩者都要、都有的意思.pq并聯(lián)電路或：就是兩者至少有一個的意思（可兼有）非：就是否定的意思

今后常用小寫字母p,q,r,s,…表示命題。

探究新知，鞏固練習(xí)

且（and）下列命題中，命題間有什么關(guān)系？

（1）12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除；1.問題1：思考：命題(3)是由命題(1)(2)使用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)得到的新命題.

一般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作p∧q，讀作“p且q”

2.問題2思考：命題p∧q的真假如何確定？

觀察下列各組命題，命題p∧q的真假與p、q的真假有什么聯(lián)系？

P:12能被3整除；q:12能被4整除；p∧q:12能被3整除且能被4整除；P:等腰三角形兩腰相等；q:等腰三角形三條中線相等；p∧q:等腰三角形兩邊相等且三條中線相等.P:6是奇數(shù);q:6是素數(shù);p∧q:6是奇數(shù)且是素數(shù).填空：一般地，我們規(guī)定:當(dāng)p，q都是真命題時，p∧q是

；當(dāng)p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，p∧q是

.一句話概括：全真為真,有假即假.

真命題假命題命題p∧q的真假判斷方法：pqp∧q真真真假假真假假假假假真探究：邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”的含義與集合中學(xué)過的哪個概念的意義相同呢？

對“且”的理解，可聯(lián)想到集合中“交集”的概念．A∩B=｛x︱x∈A且x∈B｝中的“且”，是指“x∈A”、“x∈B”這兩個條件都要滿足的意思活動探究例1：將下列命題用“且”聯(lián)結(jié)成新命題，并判斷他們的真假：（1）p：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相等；（2）p：菱形的對角線互相垂直，q：菱形的對角線互相平分；（3）p：35是15的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù).

（1）p∧q：平行四邊形的對角線互相平分且相等.∵q是假命題，∴p∧q是假命題.（2）p∧q:菱形的對角線互相垂直且平分.

∵p、q都是真命題，∴

p∧q是真命題.例題分析解：

有些命題如含有“…和…”、“…與…”、“既…，又…”等詞的命題能用“且”改寫成“p∧q”的形式，例2：用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”改寫下列命題，并判斷它們的真假.（1）1既是奇數(shù)，又是素數(shù)；（2）2和3都是素數(shù).解：（1）1是奇數(shù)且1是素數(shù)，假命題

（2）2是素數(shù)且3是素數(shù)，真命題（3)p∧q:35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù).∵

p是假命題，∴

p∧q是假命題.（1）原命題“若P則q”的形式，它的非命題“若p，則q”；而它的否命題為“若┓p，則┓q”.（2）命題的否定（非）的真假性與原命題相反；而否命題的真假性與原命題無關(guān).命題的否定與否命題的區(qū)別例：寫出命題p:“正方形的四條邊相等”的否定與它的否命題.命題┓p：

P的否命題：正方形的四條邊不相等.若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等.有獎競猜活動231654摸球游戲1.在一次模擬射擊游戲中，小李連續(xù)射擊了兩次，設(shè)命題p：“第一次射擊中靶”，命題q：“第二次射擊中靶”，試用，p、q及邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”表示下列命題：（1）兩次射擊均中靶；（2）兩次射擊至少有一次中靶.p∧qp∨q2.設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足,命題q：實(shí)數(shù)x滿足，若p且q為真，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為

.（1）掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“且、或、非