數(shù)學(xué)分析第十章-定積分的應(yīng)用課件

數(shù)學(xué)分析第十章定積分的應(yīng)用數(shù)學(xué)分析第十章定積分的應(yīng)用1

本章中我們將用前面學(xué)過的定積分的知識來分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的不僅是建立計算這些幾何、物理的公式，而且微元法解決問題的定積分的分析方法。本章中我們將用前面學(xué)過的定積分的知識來2第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積3abxyoabxyo42.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非負(fù)時，如下圖abxyy=f(x)02.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非負(fù)時，如下圖abx5y0xy=f(x)y=g(x)aby0xy=f(x)y=g(x)ab6

一般地,由兩條曲線y=f(x)與y=g(x)以及兩條直線x=a與x=b(a<b)所圍平面圖形的面積計算公式為一般地,由兩條曲線y=f(x)與y=g(x)7解兩曲線的交點(diǎn)解兩曲線的交點(diǎn)8注被積函數(shù)為“右-左”右為直線，左為拋物線注被積函數(shù)為“右-左”9如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積三參數(shù)方程形式下的面積公式如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積三參數(shù)方程形式10解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．111考慮曲邊梯形面積計算問題微元法abxyo1考慮曲邊梯形面積計算問題微元法abxyo12面積表示為定積分要通過如下步驟：（3）求和，得A的近似值（4）求極限，得A的精確值面積表示為定積分要通過如下步驟：（3）求和，得A的近似值（13兩式，我們發(fā)現(xiàn)一個事實(shí)，左邊的極限式子與右邊的定積分表達(dá)式有很好的對應(yīng)。我們讓

要想得到一個定積分表達(dá)式，只要求出被積表達(dá)式這就是定積分的微元法兩式，我們發(fā)現(xiàn)一個事實(shí)，左邊的極限式子與右邊要想得142定積分的微元法2定積分的微元法15微元法的一般步驟微元法的一般步驟16這個方法通常叫做微元法．應(yīng)用方向：

平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．這個方法通常叫做微元法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；17xyo曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積穿針法或微元法被積函數(shù)上-下、右-左xyo曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積穿針法或微元法被積函數(shù)上-18解兩曲線的交點(diǎn)，面積微元選

為積分變量解方程組注被積函數(shù)為上-下，上為

下為解兩曲線的交點(diǎn)，面積微元選為積分變量解方程組注19曲邊扇形的面積四極坐標(biāo)下的面積公式面積微元曲邊扇形的面積四極坐標(biāo)下的面積公式面積微元20解利用對稱性知解利用對稱性知21解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積22作業(yè)Ｐ２４２１，４，６作業(yè)Ｐ２４２１，４，６23第十章定積分的應(yīng)用§2由平行截面面積求體積第十章定積分的應(yīng)用§2由平行截面面積求體積24一平行截面面積為已知的立體的體積

對一個立體，如果知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.一平行截面面積為已知的立體的體積對一個立體，如果25立體體積立體體積26例1

求兩圓柱:

所圍的立體體積

.

解：兩圓柱所圍成的立體是關(guān)于8個卦限對稱的，因此，它的體積是其在第一卦限體積的8倍。如何求其在第一卦限的體積？下圖就是其在第一卦限部分立體：例1

求兩圓柱:

所圍的立體體積

.解：兩圓柱所27

該立體被平面（因?yàn)閮蓤A柱半徑相同）所截的截面,是一個邊長為

的正方形,所以截面面積。故兩圓柱面所圍成的立體的體積該立體被平面（因?yàn)閮蓤A柱半徑相同）所28解建立坐標(biāo)系，底圓方程為截面面積立體體積解建立坐標(biāo)系，底圓方程為截面面積立體體積29

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而30xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為即體積微元為

xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為即體積微元為31解直線方程為過原點(diǎn)

及點(diǎn)解直線方程為過原點(diǎn)及點(diǎn)32數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件33數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件34yoxyxoyxoyoxyxoyxo35即環(huán)體體積:即環(huán)體體積:36解解37數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件38作業(yè)P2462(1)(3)(4),3作業(yè)P2462(1)(3)(4),339第十章定積分的應(yīng)用§3平面曲線的弧長第十章定積分的應(yīng)用§3平面曲線的弧長401.平面曲線弧長的概念1.平面曲線弧長的概念41數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件42對光滑曲線C:對光滑曲線C:43從而曲線的長度:從而曲線的長度:441.

弧長公式1.弧長公式45設(shè)光滑曲線?。脼楣驶￠L為證明1.

弧長公式設(shè)光滑曲線弧Ｃ為故弧長為證明1.弧長公式46解的全長所以解的全長所以47(2)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長微元:因此所求弧長(2)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長微元:因此所求弧長48解所以弧長為解所以弧長為49設(shè)曲線弧為弧長（３）極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧為弧長（３）極坐標(biāo)情形50x0yx0y51解解521光滑曲線的概念.四小結(jié)2平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下3弧長的公式1光滑曲線的概念.四小結(jié)2平面曲線弧長的概念直角坐53作業(yè)Ｐ２５２１（１）（３）（５）作業(yè)Ｐ２５２１（１）（３）（５）54第十章定積分的應(yīng)用§4旋轉(zhuǎn)曲面的面積第十章定積分的應(yīng)用§4旋轉(zhuǎn)曲面的面積551設(shè)平面光滑曲線Ｃ的方程為求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.1設(shè)平面光滑曲線Ｃ的方程為求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋56積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積故側(cè)面積微元為:則側(cè)面積近近似值為:積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積故側(cè)面積微元為:則側(cè)面積近近似值為:57側(cè)面積微元的線性主部.不是薄片側(cè)面積△Ｓ

的注意:側(cè)面積微元的線性主部.不是薄片側(cè)面積△Ｓ的注意:58例1.

計算圓x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.解:

對曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺高h(yuǎn)＝2R

時,得球的表面積公式例1.計算圓x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.解:59２若光滑曲線Ｃ由參數(shù)方程給出,旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為則它繞

x

軸２若光滑曲線Ｃ由參數(shù)方程給出,旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為則60例2.

求由內(nèi)擺線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.解:

利用對稱性繞

x

軸旋轉(zhuǎn)例2.求由內(nèi)擺線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.解:利用61３若光滑曲線Ｃ由極坐標(biāo)方程給出,則它繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為這里極坐標(biāo)方程可轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程３若光滑曲線Ｃ由極坐標(biāo)方程給出,則它繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體62作業(yè)Ｐ２５５１（２）（４），３（２）作業(yè)Ｐ２５５１（２）（４），３（２）63第十章定積分的應(yīng)用§5定積分在物理中的某些應(yīng)用第十章定積分的應(yīng)用§5定積分在物理中的某些應(yīng)用64一液體靜壓力一液體靜壓力65解在端面建立坐標(biāo)系如圖解在端面建立坐標(biāo)系如圖66數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件67二、引力二、引力68解:

建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)小段的質(zhì)量為小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為解:建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段機(jī)動目錄上頁69故垂直分力微元為引力微元為(對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為)故垂直分力微元為引力微元為(對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為)70利用對稱性棒對質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故棒對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為利用對稱性棒對質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力機(jī)動目錄上頁71三功與平均功率三功與平均功率72解建立坐標(biāo)系如圖5m3m解建立坐標(biāo)系如圖5m3m73這一薄層水的重力為功微元為3m5m這一薄層水的重力為功微元為3m5m74數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件75作業(yè)P2591,4,7作業(yè)P2591,4,776數(shù)學(xué)分析第十章定積分的應(yīng)用數(shù)學(xué)分析第十章定積分的應(yīng)用77

本章中我們將用前面學(xué)過的定積分的知識來分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的不僅是建立計算這些幾何、物理的公式，而且微元法解決問題的定積分的分析方法。本章中我們將用前面學(xué)過的定積分的知識來78第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積第十章定積分的應(yīng)用§1平面圖形的面積79abxyoabxyo802.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非負(fù)時，如下圖abxyy=f(x)02.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非負(fù)時，如下圖abx81y0xy=f(x)y=g(x)aby0xy=f(x)y=g(x)ab82

一般地,由兩條曲線y=f(x)與y=g(x)以及兩條直線x=a與x=b(a<b)所圍平面圖形的面積計算公式為一般地,由兩條曲線y=f(x)與y=g(x)83解兩曲線的交點(diǎn)解兩曲線的交點(diǎn)84注被積函數(shù)為“右-左”右為直線，左為拋物線注被積函數(shù)為“右-左”85如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積三參數(shù)方程形式下的面積公式如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積三參數(shù)方程形式86解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．871考慮曲邊梯形面積計算問題微元法abxyo1考慮曲邊梯形面積計算問題微元法abxyo88面積表示為定積分要通過如下步驟：（3）求和，得A的近似值（4）求極限，得A的精確值面積表示為定積分要通過如下步驟：（3）求和，得A的近似值（89兩式，我們發(fā)現(xiàn)一個事實(shí)，左邊的極限式子與右邊的定積分表達(dá)式有很好的對應(yīng)。我們讓

要想得到一個定積分表達(dá)式，只要求出被積表達(dá)式這就是定積分的微元法兩式，我們發(fā)現(xiàn)一個事實(shí)，左邊的極限式子與右邊要想得902定積分的微元法2定積分的微元法91微元法的一般步驟微元法的一般步驟92這個方法通常叫做微元法．應(yīng)用方向：

平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．這個方法通常叫做微元法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；93xyo曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積穿針法或微元法被積函數(shù)上-下、右-左xyo曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積穿針法或微元法被積函數(shù)上-94解兩曲線的交點(diǎn)，面積微元選

為積分變量解方程組注被積函數(shù)為上-下，上為

下為解兩曲線的交點(diǎn)，面積微元選為積分變量解方程組注95曲邊扇形的面積四極坐標(biāo)下的面積公式面積微元曲邊扇形的面積四極坐標(biāo)下的面積公式面積微元96解利用對稱性知解利用對稱性知97解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積98作業(yè)Ｐ２４２１，４，６作業(yè)Ｐ２４２１，４，６99第十章定積分的應(yīng)用§2由平行截面面積求體積第十章定積分的應(yīng)用§2由平行截面面積求體積100一平行截面面積為已知的立體的體積

對一個立體，如果知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.一平行截面面積為已知的立體的體積對一個立體，如果101立體體積立體體積102例1

求兩圓柱:

所圍的立體體積

.

解：兩圓柱所圍成的立體是關(guān)于8個卦限對稱的，因此，它的體積是其在第一卦限體積的8倍。如何求其在第一卦限的體積？下圖就是其在第一卦限部分立體：例1

求兩圓柱:

所圍的立體體積

.解：兩圓柱所103

該立體被平面（因?yàn)閮蓤A柱半徑相同）所截的截面,是一個邊長為

的正方形,所以截面面積。故兩圓柱面所圍成的立體的體積該立體被平面（因?yàn)閮蓤A柱半徑相同）所104解建立坐標(biāo)系，底圓方程為截面面積立體體積解建立坐標(biāo)系，底圓方程為截面面積立體體積105

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而106xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為即體積微元為

xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為即體積微元為107解直線方程為過原點(diǎn)

及點(diǎn)解直線方程為過原點(diǎn)及點(diǎn)108數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件109數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件110yoxyxoyxoyoxyxoyxo111即環(huán)體體積:即環(huán)體體積:112解解113數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件114作業(yè)P2462(1)(3)(4),3作業(yè)P2462(1)(3)(4),3115第十章定積分的應(yīng)用§3平面曲線的弧長第十章定積分的應(yīng)用§3平面曲線的弧長1161.平面曲線弧長的概念1.平面曲線弧長的概念117數(shù)學(xué)分析第十章--定積分的應(yīng)用課件118對光滑曲線C:對光滑曲線C:119從而曲線的長度:從而曲線的長度:1201.

弧長公式1.弧長公式121設(shè)光滑曲線?。脼楣驶￠L為證明1.

弧長公式設(shè)光滑曲線弧Ｃ為故弧長為證明1.弧長公式122解的全長所以解的全長所以123(2)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長微元:因此所求弧長(2)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長微元:因此所求弧長124解所以弧長為解所以弧長為125設(shè)曲線弧為弧長（３）極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧為弧長（３）極坐標(biāo)情形126x0yx0y127解解1281光滑曲線的概念.四小結(jié)2平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下3弧長的公式1光滑曲線的概念.四小結(jié)2平面曲線弧長的概念直角坐129作業(yè)Ｐ２５２１（１）（３）（５）作業(yè)Ｐ２５２１（１）（３）（５）130第十章定積分的應(yīng)用§4旋轉(zhuǎn)曲面的面積第十章定積分的應(yīng)用§4旋轉(zhuǎn)曲面的面積1311設(shè)平面光滑曲線Ｃ的方程為求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.1設(shè)平面光滑曲線Ｃ的方程為求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋132積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積故側(cè)面積微元為:則側(cè)面積近近似值為:積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積故側(cè)面積微元為:則側(cè)面積近近似值為:133側(cè)面積微元的線性主部.不是薄片側(cè)面積△Ｓ

的注意:側(cè)面積微元的線性主部.不是薄片側(cè)面積△Ｓ的注意:134例1.

計算圓x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.解:

對曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺高h(yuǎn)＝2R

時,得球的表面積公式例1.計算圓x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.解:135２若光滑曲線Ｃ由參數(shù)方程給出,旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為則它繞

x

軸２若光滑曲線Ｃ由參數(shù)方程給出,旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為則136例2.

求由內(nèi)擺線一周所