泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件

演講者：丁時(shí)進(jìn)教授

時(shí)間：2006年11月30日分析數(shù)學(xué)中的若干問題演講者：丁時(shí)進(jìn)教授

時(shí)間：2006年11月30日分析數(shù)一.分析數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程：1.初創(chuàng)

現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的發(fā)展應(yīng)該起源于微積分的發(fā)明和極限理論的建立。即使僅僅是對(duì)“數(shù)“的理論的完善也歸功于極限論的建立。

經(jīng)過16世紀(jì)中葉到17世紀(jì)初的醞釀，牛頓（1642——1727）和萊布尼茨（1646——1716）終于在17世紀(jì)下半葉創(chuàng)立了微積分。一.分析數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程：1.初創(chuàng)

在此之前，通過略去高次項(xiàng)（即忽略高階無(wú)窮小量）。帕斯卡，費(fèi)馬，沃利斯，巴羅等著名學(xué)者使微積分學(xué)產(chǎn)生萌芽。

牛頓的流數(shù)術(shù)（微積分）是他一生三大發(fā)明之一。在此之前，通過略去高次項(xiàng)（即忽略高階無(wú)窮小量流數(shù)術(shù)：流數(shù)術(shù)：泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件“已知量之間的關(guān)系，求他的流數(shù)；以及反過來(lái)”——牛頓的微分和積分的觀點(diǎn)——互逆運(yùn)算：微積分學(xué)基本定理。(1736年發(fā)表)

萊布尼茲：考察切線，第一次引入了符號(hào)，沿用至今?！耙阎恐g的關(guān)系，求他的流數(shù)；以及反過來(lái)”——牛頓的微分和

1734年貝克萊嘲笑“無(wú)窮小量是‘已死量的幽靈’，因?yàn)槭琴M(fèi)馬略去的無(wú)窮小量，還是牛頓的，一直到萊布尼茨的,又是又不是，招之即來(lái)，揮之即去，“鬼使神差”。達(dá)朗貝爾——將微積分的基礎(chǔ)歸結(jié)為極限。但沒創(chuàng)造完整體系。

1734年貝克萊嘲笑“無(wú)窮小量是‘已死量的幽靈’，因

歐拉利用這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分創(chuàng)立了微分方程，無(wú)窮級(jí)數(shù)，變分學(xué)諸多學(xué)科并解決了大量天文，物理，力學(xué)問題，著有《無(wú)窮小分析引論》。

拉格朗日，拉普拉斯，勒讓德，傅立葉在分析學(xué)方面都作出了巨大貢獻(xiàn)。

歐拉利用這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分創(chuàng)立了微分方程，無(wú)窮級(jí)數(shù)

但至此，微積分學(xué)的基礎(chǔ)還沒有找到合適的解決辦法。所以，法國(guó)哲學(xué)家伏爾泰稱微積分為“精確計(jì)算和度量的一個(gè)其存在性是無(wú)從想象的東西的藝術(shù)?！钡链?，微積分學(xué)的基礎(chǔ)還沒有找

柯西《分析教程》：“若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無(wú)限地趨向于某一數(shù)值，其差可以任意小，則該固定值稱為這一串?dāng)?shù)的極限”，他將分析學(xué)奠定在極限概念之上，但仍然使用“無(wú)限趨向”，“要多小就有多小”一類不嚴(yán)格的語(yǔ)言。魏爾斯特拉斯（1815-1897）將柯西的思想“算術(shù)化”，出現(xiàn)了至今通用的語(yǔ)言。語(yǔ)言——柯西準(zhǔn)則——構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)“極限論”的基礎(chǔ)。2.微積分的基礎(chǔ)柯西《分析教程》：“若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無(wú)限地趨3.實(shí)數(shù)理論

在十九世紀(jì)分析學(xué)發(fā)展的同時(shí)，人類也完善了實(shí)數(shù)理論?？挛魇紫日J(rèn)識(shí)到“無(wú)理數(shù)是有理數(shù)迫近的極限”（即：實(shí)數(shù)域是有理數(shù)域的完備化）。但極限又要用到實(shí)數(shù)，這形成了一個(gè)循環(huán)論證。梅萊，海涅，康托把無(wú)理數(shù)看成柯西列。戴德金采用對(duì)有理數(shù)分割的辦法，建立了不依賴于極限論的實(shí)數(shù)理論。3.實(shí)數(shù)理論在十九世紀(jì)分析學(xué)發(fā)展的

勒貝格（1875-1941）——?jiǎng)?chuàng)立可列可加測(cè)度的積分論，形成實(shí)變函數(shù)論。以實(shí)分析為基礎(chǔ)的概率論和隨機(jī)過程，稱為現(xiàn)代分析。復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展，形成復(fù)分析。以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論——泛函分析。此外還有傅立葉分析等。4.20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展勒貝格（1875-1941）——?jiǎng)?chuàng)立可列可加測(cè)度的

20世紀(jì)分析學(xué)的另一特征是用拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)，處理高維空間中的曲面和曲線以及多變量函數(shù)的整體性質(zhì)，形成流形上的分析。流形上的分析結(jié)合了微分幾何學(xué)—偏微分方程—多復(fù)變函數(shù)論，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的主流方向。外微分形式—反函數(shù)理論，成為當(dāng)代分析學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。20世紀(jì)分析學(xué)的另一特征是用拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)，處理

同時(shí)，20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展，使非線性分析成為最活躍的數(shù)學(xué)分支之一，其基礎(chǔ)理論是算子理論。泛函分析使分析學(xué)躍上新的高度。希爾伯特空間—巴拿赫空間—廣義函數(shù)論成為常識(shí)。現(xiàn)在我們知道，無(wú)窮小量不再是一個(gè)量，而是一個(gè)變化的過程。同時(shí)，20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展，使非線性分析成為最活躍的

從上面可以看到，分析數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了近3百年漫長(zhǎng)的歷史。數(shù)學(xué)成為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)，已經(jīng)成為人類的共識(shí)。二.從“數(shù)“到”泛函分析“的知識(shí)體系從上面可以看到，分析數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了近3百年漫數(shù)（自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實(shí)數(shù)—復(fù)數(shù)）變量函數(shù)（描述變量之間的變化關(guān)系）極限函數(shù)的分析性質(zhì)，實(shí)數(shù)理論的建立（有限維歐式空間上的定義的函數(shù)）實(shí)分析（Lebesgue積分理論函數(shù)空間的研究（Hilbert空間，Banach空間——無(wú)限維空間）函數(shù)空間上定義的函數(shù)，即泛函或算子數(shù)（自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實(shí)數(shù)—復(fù)數(shù)）變量函數(shù)（描述變量之間

派生：微分幾何學(xué)，復(fù)變函數(shù)，微分方程等；現(xiàn)代：流形—流形上的分析學(xué)。派生：微分幾何學(xué)，復(fù)變函數(shù)，微分方程等；三、用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看已學(xué)過數(shù)學(xué)知識(shí)從上面的發(fā)現(xiàn)過程看來(lái)，可以歸結(jié)為：三、用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看已學(xué)過數(shù)學(xué)從上面的發(fā)現(xiàn)過程看來(lái)，可以歸

第一階段：變量取的是“數(shù)“，函數(shù)就是通常所說的函數(shù)第二階段：變量取的是“函數(shù)空間中的元素”函數(shù)變成了泛函。所以，總是首先對(duì)變量所在的“空間”研究清楚，才能研究定義在這個(gè)“空間”上的“函數(shù)”。

變量所在的“空間”，除了其代數(shù)運(yùn)算與代數(shù)性質(zhì)（群，環(huán)，域）外，對(duì)于研究在他上面定義的分析性質(zhì)來(lái)說，“空間”的分析性質(zhì)是十分重要的。第一階段：變量取的是“數(shù)“，函數(shù)就是通常所說的函數(shù)

小學(xué)就開始學(xué)習(xí)“距離空間”。如，直線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。中學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的作為兩個(gè)點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2)之間的距離。

其實(shí)，現(xiàn)在我們知道，還可以采用很多方法定義距離。小學(xué)就開始學(xué)習(xí)“距離空間”。如，直線作為兩個(gè)點(diǎn)(x1,2.在空間上定義拓?fù)洹x收斂性2.在空間上定義拓?fù)洹x收斂性泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件

一般說來(lái)，中有界閉集合一定是緊的，這就是數(shù)學(xué)分析中所說的致密性定理。

一般說來(lái)，中有界閉集合一定是緊

但是，到了無(wú)限維空間，例如一般的Banach空間，其中的有界集就不一定有收斂子列。常見的例子是，有界的連續(xù)函數(shù)列不一定有一致收斂的子列，還要加上諸如“等度連續(xù)性“條件（Arzela--Ascoli）.但是，到了無(wú)限維空間，例如一般的Banach空間，5.現(xiàn)在我們看看“函數(shù)空間”1°在上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合。按照通常的加法和數(shù)乘，構(gòu)成一個(gè)線性空間，把里面的元素視為點(diǎn)。5.現(xiàn)在我們看看“函數(shù)空間”1°在上連續(xù)的函數(shù)的全體泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件1?Dirichlet函數(shù)不是黎曼可積的，但是它是Lebesgue可積的.2?積分與極限交換順序的問題6.另三個(gè)典型的例子可以看到人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展：1?Dirichlet函數(shù)不是黎曼可積的，但是它是Le泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件3?在通常意義和Lebesgue意義下都無(wú)法解釋的“函數(shù)”3?在通常意義和Lebesgue意義下都無(wú)法解釋的泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件四、幾個(gè)問題a.極值問題——從函數(shù)極值到短程線問題四、幾個(gè)問題a.極值問題——從函數(shù)極值到短程線問題半正定——極小半負(fù)定——極大半正定——極小半負(fù)定——極大泛函的極值：短程線，障礙問題泛函的極值：短程線，障礙問題（1）捷線問題：初速為0的質(zhì)點(diǎn)，僅受重力作用，沿光滑曲線由定點(diǎn)A滑行到定點(diǎn)B（B低于A但不在同一條垂直于地面的直線上），為使滑行時(shí)間最短，問滑行的曲線是怎樣的？AyBx（1）捷線問題：初速為0的質(zhì)點(diǎn)，僅受重力作用，沿光滑曲線由定分析：分析：泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件AyBxAyBx(2)短程線眾所周知，連接平面上兩點(diǎn)A、B的最短線為直線。那么，我們來(lái)考慮如下有趣的問題：要在山坡上修建一條最短的公路連接兩個(gè)居民點(diǎn)A、B，問如何選線？分析：設(shè)山坡的曲面方程為F(x,y,z)=0,設(shè)連接A、B的曲線為：y=y(x)z=z(x)(2)短程線眾所周知，連接平面上兩點(diǎn)A、B的最短線為直線。那則A、B間曲線

的弧長(zhǎng)是所以，要在約束條件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值則A、B間曲線的弧長(zhǎng)是所以，要在約束條件F(x,y,（3）等周問題：平面上一切有定長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉曲線中，確定一條圍成最大面積的曲線。設(shè)曲線方程為

是定長(zhǎng)，則面為，

求A在約束條件之下求最小值————等周問題。（3）等周問題：平面上一切有定長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉曲線中，確定一條圍成歷史上用平面幾何和不等式的辦法曾經(jīng)證明了下面的等周定理，為了證明它，人類花了兩千多年（1）在具有給定周長(zhǎng)的所有平面圖形中，圓的面積最大。

（2）在所有給定面積的平面圖形中，圓的周長(zhǎng)最小。

（1’）在具有給定表面積的所有立體圖形中，球的體積最大。

（2’）在具有給定體積的所有立體圖形中，球的表面積最小。等周定理：其他還有三角形的等周定理，多邊形的等周定理。歷史上用平面幾何和不等式的辦法曾經(jīng)證明了下面的等周定理，為了（4）繞過障礙拉緊橡皮筋帶兩端A、B，繞過平板W光滑邊緣，則弧長(zhǎng)為但是要保證其中是W的邊界方程。（4）繞過障礙拉緊橡皮筋帶兩端A、B，繞過平板W光滑邊緣泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件（5）球面上的短程線（6）不動(dòng)點(diǎn)定理－從一維到高維－求解非線性問題i.設(shè)在上連續(xù)，且，則存在,使得即：連續(xù)且將映到自身，那么在中有不動(dòng)點(diǎn)，此為Schauder不動(dòng)點(diǎn)。（5）球面上的短程線（6）不動(dòng)點(diǎn)定理－從一維到高維－求i.ii.壓縮映象原理如果函數(shù)定義在上，且存在使得那么存在唯一的使得iii.高維

如果一個(gè)連續(xù)映射φ把一個(gè)閉單位球映到自己，那么這個(gè)閉單位球內(nèi)有這個(gè)映射的不動(dòng)點(diǎn)。還有類似的壓縮映射原理ii.壓縮映象原理如果函數(shù)定義在iv.無(wú)限維在Banach空間上，有Schauder不動(dòng)點(diǎn)原理，Brower不動(dòng)點(diǎn)原理，Leray－Schauder不動(dòng)點(diǎn)原理。它們是求解非線性問題的有力工具。iv.無(wú)限維在Banach空間上，有Schauder不動(dòng)點(diǎn)原五、總結(jié)——可供選擇的題目1、變分問題

3、函數(shù)方程常見解法4、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用2、不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用五、總結(jié)——可供選擇的題目1、變分問題3、函數(shù)方程常見解法5、中學(xué)如何講授微積分（在沒有的情況下）6、中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的微分方程7、從分析角度談數(shù)系8、球面上三角形的計(jì)算問題5、中學(xué)如何講授微積分6、中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的微分方程7、從分析9、函數(shù)的迭代11、無(wú)窮大量對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義（有界、無(wú)界、漸近線等）12、不等式的證明——從離散到積分形式（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、凹凸性）10、復(fù)數(shù)方法解決中數(shù)問題13、用拓?fù)涞挠^點(diǎn)看函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性9、函數(shù)的迭代11、無(wú)窮大量對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義12、不等式六、現(xiàn)在，把上面提到的有些問題作一些解釋1、關(guān)于函數(shù)方程六、現(xiàn)在，把上面提到的有些問題作1、關(guān)于函數(shù)方程泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件其他函數(shù)方程：①②③其他函數(shù)方程：①②③其他方程如：待定系數(shù)法、極限、冪級(jí)數(shù)法其他方程如：待定系數(shù)法、極限、冪級(jí)數(shù)法微積分法還可用于

可以從已知函數(shù)所滿足的關(guān)系式反過來(lái)思考，再討論一些函數(shù)方程。參考文獻(xiàn)：王向東等著，函數(shù)方程及其應(yīng)用，上?？萍嘉墨I(xiàn)出版社，2003微積分法還可用于可以從已知函數(shù)所滿足的關(guān)系式反2、函數(shù)的迭代與不動(dòng)點(diǎn)設(shè)連續(xù)函數(shù)f:R→R，復(fù)合函數(shù)f(f(x))記作f2(x)≡f(f(x)),類似的定義f(f(f(x)))=f3(x),…,f(f(…f(x)…))=fn(x),稱為函數(shù)的迭代。視n次迭代fn

為R中的一個(gè)映射。2、函數(shù)的迭代與不動(dòng)點(diǎn)設(shè)連續(xù)函數(shù)f:R→R，復(fù)合函數(shù)f

若存在x∈R，使fn(x)=x，則稱x是映射fn

的不動(dòng)點(diǎn)。fn

的不動(dòng)點(diǎn)的集合記作Fix(fn)

可以考察：n→∞，極限是什么（對(duì)具體函數(shù)或給f一定的條件）?

也可以考察，在哪些條件下，fn

有不動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)ix(fn)有什么性質(zhì)？若存在x∈R，使fn(x)=x，則稱x是映射fn3、用不動(dòng)點(diǎn)解非線性問題或用迭代法求解非線性問題例：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a≤f(x)≤b，

x

∈[a,b]，求證存在x0∈[a,b]，使x0=f(x0)思想：選x1∈[a,b]，定義xn+1=f(xn)，n=1，2，‥證明{xn}收斂且極限x0就是不動(dòng)點(diǎn)。思考：①推廣到高維映射；②應(yīng)用到其他的問題；3、用不動(dòng)點(diǎn)解非線性問題或用迭代法求解非線性問題例*2006年高考題：A是由定義在[2,4]上具有滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：*2006年高考題：A是由定義在[2,4]上具有滿足如泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件4、解微分不等式——Gronwall不等式

由在一定條件下研究的性質(zhì)，推廣到其他多種變形。

Gronwall不等式是研究偏微分方程的重要工具。4、解微分不等式——Gronwall不等式由5、常微分方程有限時(shí)刻爆破的問題例：對(duì)一階非線性常微分方程

當(dāng)滿足什么條件時(shí)，一定在某個(gè)有限時(shí)刻爆破，即：

也可研究任意時(shí)刻不爆破.5、常微分方程有限時(shí)刻爆破的問題例：對(duì)一階非線性常微分方程

還可以推廣到高階非線性常微分方程的初值問題或邊值問題。甚至可以推廣到偏微分方程還可以推廣到高階非線性常微分方程的初值問題或邊*科學(xué)研究常用步驟：

選題＝＞調(diào)研＝＞收集資料（卡片）＝＞寫作＝＞遇到問題再查資料

＝＞解決一部分問題＝＞推廣*科學(xué)研究常用步驟：選題＝＞調(diào)研＝＞收集資料（卡片11醉翁亭記

1．反復(fù)朗讀并背誦課文，培養(yǎng)文言語(yǔ)感。

2．結(jié)合注釋疏通文義，了解文本內(nèi)容，掌握文本寫作思路。

3．把握文章的藝術(shù)特色，理解虛詞在文中的作用。

4．體會(huì)作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導(dǎo)入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下《岳陽(yáng)樓記》，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”的政治理想。實(shí)際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文學(xué)家、史學(xué)家歐陽(yáng)修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期間，歐陽(yáng)修在滁州留下了不遜于《岳陽(yáng)樓記》的千古名篇——《醉翁亭記》。接下來(lái)就讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)這篇課文吧！【教學(xué)提示】結(jié)合前文教學(xué)，有利于學(xué)生把握本文寫作背景，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)作品含義的理解。二、教學(xué)新課目標(biāo)導(dǎo)學(xué)一：認(rèn)識(shí)作者，了解作品背景作者簡(jiǎn)介：歐陽(yáng)修(1007—1072)，字永叔，自號(hào)醉翁，晚年又號(hào)“六一居士”。吉州永豐(今屬江西)人，因吉州原屬?gòu)]陵郡，因此他又以“廬陵歐陽(yáng)修”自居。謚號(hào)文忠，世稱歐陽(yáng)文忠公。北宋政治家、文學(xué)家、史學(xué)家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。

關(guān)于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號(hào)醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號(hào)六一居士?？陀袉栐唬骸傲缓沃^也？”居士曰：“吾家藏書一萬(wàn)卷，集錄三代以來(lái)金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置酒一壺?！笨驮唬骸笆菫槲逡粻?，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045年)，參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽(yáng)修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內(nèi)心抑郁，但還能發(fā)揮“寬簡(jiǎn)而不擾”的作風(fēng)，取得了某些政績(jī)?！蹲砦掏び洝肪褪窃谶@個(gè)時(shí)期寫就的。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)二：朗讀文章，通文順字1．初讀文章，結(jié)合工具書梳理文章字詞。2．朗讀文章，劃分文章節(jié)奏，標(biāo)出節(jié)奏劃分有疑難的語(yǔ)句。節(jié)奏劃分示例

環(huán)滁/皆山也。其/西南諸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞/水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉(zhuǎn)，有亭/翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰(shuí)？山之僧/曰/智仙也。名之者/誰(shuí)？太守/自謂也。太守與客來(lái)飲/于此，飲少/輒醉，而/年又最高，故/自號(hào)曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之間也。山水之樂，得之心/而寓之酒也。節(jié)奏劃分思考“山行/六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？

明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個(gè)狀中短語(yǔ)，不能將其割裂?！巴?蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個(gè)并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語(yǔ)，故應(yīng)從其后斷句?！窘虒W(xué)提示】引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)朗讀的過程中劃分朗讀節(jié)奏，在劃分節(jié)奏的過程中感知文意。對(duì)于部分結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，教師可做適當(dāng)?shù)闹v解引導(dǎo)。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)三：結(jié)合注釋，翻譯訓(xùn)練1．學(xué)生結(jié)合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處?！窘虒W(xué)提示】節(jié)奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節(jié)奏劃分引導(dǎo)學(xué)生明確文意最好；若學(xué)生理解有限，亦可在解讀文意后把握節(jié)奏劃分。2．以四人小組為單位，組內(nèi)互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3．教師選擇疑難句或值得翻譯的句子，請(qǐng)學(xué)生用兩種翻譯方法進(jìn)行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰，風(fēng)霜高潔，水落而石出者，山間之四時(shí)也。直譯法：那太陽(yáng)一出來(lái)，樹林里的霧氣散開，云霧聚攏，山谷就顯得昏暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開放，有一股清幽的香味，好的樹木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽(yáng)升起，山林里霧氣開始消散，煙云聚攏，山谷又開始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春天野花綻開并散發(fā)出陣陣幽香，夏日佳樹繁茂并形成一片濃蔭，秋天風(fēng)高氣爽，霜色潔白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季?！窘虒W(xué)提示】翻譯有直譯與意譯兩種方式，直譯鍛煉學(xué)生用語(yǔ)的準(zhǔn)確性，但可能會(huì)降低譯文的美感；意譯可加強(qiáng)譯文的美感，培養(yǎng)學(xué)生的翻譯興趣，但可能會(huì)降低譯文的準(zhǔn)確性。因此，需兩種翻譯方式都做必要引導(dǎo)。全文直譯內(nèi)容見《我的積累本》。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)四：解讀文段，把握文本內(nèi)容1．賞析第一段，說說本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此運(yùn)用了怎樣的藝術(shù)手法。

明確：首先以“環(huán)滁皆山也”五字領(lǐng)起，將滁州的地理環(huán)境一筆勾出，點(diǎn)出醉翁亭坐落在群山之中，并縱觀滁州全貌，鳥瞰群山環(huán)抱之景。接著作者將“鏡頭”全景移向局部，先寫“西南諸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南諸峰之中，視野集中到最佳處。再寫瑯琊山“蔚然而深秀”，點(diǎn)山“秀”，照應(yīng)上文的“美”。又寫釀泉，其名字透出了泉與酒的關(guān)系，好泉釀好酒，好酒叫人醉?！白砦掏ぁ钡拿直惆抵型赋?，然后引出“醉翁亭”來(lái)。作者利用空間變幻的手法，移步換景，由遠(yuǎn)及近，為我們描繪了一幅幅山水特寫。2．第二段主要寫了什么？它和第一段有什么聯(lián)系？明確：第二段利用時(shí)間推移，抓住朝暮及四季特點(diǎn)，描繪了對(duì)比鮮明的晦明變化圖及四季風(fēng)光圖，寫出了其中的“樂亦無(wú)窮”。第二段是第一段“山水之樂”的具體化。3．第三段同樣是寫“樂”，但卻是寫的游人之樂，作者是如何寫游人之樂的？明確：“滁人游”，前呼后應(yīng)，扶老攜幼，自由自在，熱鬧非凡；“太守宴”，溪深魚肥，泉香酒洌，美味佳肴，應(yīng)有盡有；“眾賓歡”，投壺下棋，觥籌交錯(cuò)，說說笑笑，無(wú)拘無(wú)束。如此勾畫了游人之樂。4．作者為什么要在第三段寫游人之樂？明確：寫滁人之游，描繪出一幅太平祥和的百姓游樂圖。游樂場(chǎng)景映在太守的眼里，便多了一層政治清明的意味。太守在游人之樂中酒酣而醉，此醉是為山水之樂而醉，更是為能與百姓同樂而醉。體現(xiàn)太守與百姓關(guān)系融洽，“政通人和”才能有這樣的樂。5．第四段主要寫了什么？明確：寫宴會(huì)散、眾人歸的情景。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)五：深入解讀，把握作者思想感情思考探究：作者以一個(gè)“樂”字貫穿全篇，卻有兩個(gè)句子別出深意，不單單是在寫樂，而是另有所指，表達(dá)出另外一種情緒，請(qǐng)你找出這兩個(gè)句子，說說這種情緒是什么。明確：醉翁之意不在酒，在乎山水之間也。醉能同其樂，醒能述以文者，太守也。這種情緒是作者遭貶謫后的抑郁，作者并未在文中袒露胸懷，只含蓄地說：“醉能同其樂，醒能述以文者，太守也?！贝司渑c醉翁亭的名稱、“醉翁之意不在酒，在乎山水之間也”前后呼應(yīng)，并與“滁人游”“太守宴”“眾賓歡”“太守醉”連成一條抒情的線索，曲折地表達(dá)了作者內(nèi)心復(fù)雜的思想感情。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)六：賞析文本，感受文本藝術(shù)特色1．在把握作者復(fù)雜感情的基礎(chǔ)上朗讀文本。2．反復(fù)朗讀，請(qǐng)同學(xué)說說本文讀來(lái)有哪些特點(diǎn)，為什么會(huì)有這些特點(diǎn)。(1)句法上大量運(yùn)用駢偶句，并夾有散句，既整齊又富有變化，使文章越發(fā)顯得音調(diào)鏗鏘，形成一種駢散結(jié)合的獨(dú)特風(fēng)格。如“野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰”“朝而往，暮而歸，四時(shí)之景不同，而樂亦無(wú)窮也”。(2)文章多用判斷句，層次極其分明，抒情淋漓盡致，“也”“而”的反復(fù)運(yùn)用，形成回環(huán)往復(fù)的韻律，使讀者在誦讀中獲得美的享受。(3)文章寫景優(yōu)美，又多韻律，使人讀來(lái)不僅能感受到繪畫美，也能感受到韻律美。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)七：探索文本虛詞，把握文言現(xiàn)象虛詞“而”的用法用法

文本舉例表并列 1.蔚然而深秀者；2.溪深而魚肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧嘩者表遞進(jìn) 1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接 1.漸聞水聲潺潺，而瀉出于兩峰之間者；2.若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝；3.野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰；4.水落而石出者；5.臨溪而漁；6.太守歸而賓客從也；7.人知從太守游而樂表修飾 1.朝而往，暮而歸；2.雜然而前陳者表轉(zhuǎn)折 1.而不知人之樂；2.而不知太守之樂其樂也虛詞“之”的用法用法

文本舉例表助詞“的” 1.瀉出于兩峰之間者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之樂；4.山間之朝暮也；5.宴酣之樂位于主謂之間，取消句子獨(dú)立性

而不知太守之樂其樂也表代詞 1.望之蔚然而深秀者；2.名之者誰(shuí)(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之樂)【教學(xué)提示】

更多文言現(xiàn)象請(qǐng)參見《我的積累本》。三、板書設(shè)計(jì)路線：環(huán)滁——瑯琊山——釀泉——醉翁亭風(fēng)景：朝暮之景——四時(shí)之景山水之樂(醉景)風(fēng)俗：滁人游——太守宴——眾賓歡——太守醉宴游之樂(醉人)

心情：禽鳥樂——人之樂——樂其樂與民同樂(醉情)

可取之處

重視朗讀，有利于培養(yǎng)學(xué)生的文言語(yǔ)感，并通過節(jié)奏劃分引導(dǎo)學(xué)生理解文意，突破了僅按注釋疏通文義的桎梏，有利于引導(dǎo)學(xué)生自主思考；不單純關(guān)注“直譯”原則，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的“意譯”能力，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注文言文的美感，在一定程度上有助于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

不足之處

文章難度相對(duì)較高，基礎(chǔ)能力低的學(xué)生難以適應(yīng)該教學(xué)。

會(huì)員免費(fèi)下載11醉翁亭記

1．反復(fù)朗讀并背誦課文，培養(yǎng)文言語(yǔ)感。

演講者：丁時(shí)進(jìn)教授

時(shí)間：2006年11月30日分析數(shù)學(xué)中的若干問題演講者：丁時(shí)進(jìn)教授

時(shí)間：2006年11月30日分析數(shù)一.分析數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程：1.初創(chuàng)

現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的發(fā)展應(yīng)該起源于微積分的發(fā)明和極限理論的建立。即使僅僅是對(duì)“數(shù)“的理論的完善也歸功于極限論的建立。

經(jīng)過16世紀(jì)中葉到17世紀(jì)初的醞釀，牛頓（1642——1727）和萊布尼茨（1646——1716）終于在17世紀(jì)下半葉創(chuàng)立了微積分。一.分析數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程：1.初創(chuàng)

在此之前，通過略去高次項(xiàng)（即忽略高階無(wú)窮小量）。帕斯卡，費(fèi)馬，沃利斯，巴羅等著名學(xué)者使微積分學(xué)產(chǎn)生萌芽。

牛頓的流數(shù)術(shù)（微積分）是他一生三大發(fā)明之一。在此之前，通過略去高次項(xiàng)（即忽略高階無(wú)窮小量流數(shù)術(shù)：流數(shù)術(shù)：泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件“已知量之間的關(guān)系，求他的流數(shù)；以及反過來(lái)”——牛頓的微分和積分的觀點(diǎn)——互逆運(yùn)算：微積分學(xué)基本定理。(1736年發(fā)表)

萊布尼茲：考察切線，第一次引入了符號(hào)，沿用至今?！耙阎恐g的關(guān)系，求他的流數(shù)；以及反過來(lái)”——牛頓的微分和

1734年貝克萊嘲笑“無(wú)窮小量是‘已死量的幽靈’，因?yàn)槭琴M(fèi)馬略去的無(wú)窮小量，還是牛頓的，一直到萊布尼茨的,又是又不是，招之即來(lái)，揮之即去，“鬼使神差”。達(dá)朗貝爾——將微積分的基礎(chǔ)歸結(jié)為極限。但沒創(chuàng)造完整體系。

1734年貝克萊嘲笑“無(wú)窮小量是‘已死量的幽靈’，因

歐拉利用這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分創(chuàng)立了微分方程，無(wú)窮級(jí)數(shù)，變分學(xué)諸多學(xué)科并解決了大量天文，物理，力學(xué)問題，著有《無(wú)窮小分析引論》。

拉格朗日，拉普拉斯，勒讓德，傅立葉在分析學(xué)方面都作出了巨大貢獻(xiàn)。

歐拉利用這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分創(chuàng)立了微分方程，無(wú)窮級(jí)數(shù)

但至此，微積分學(xué)的基礎(chǔ)還沒有找到合適的解決辦法。所以，法國(guó)哲學(xué)家伏爾泰稱微積分為“精確計(jì)算和度量的一個(gè)其存在性是無(wú)從想象的東西的藝術(shù)?！钡链?，微積分學(xué)的基礎(chǔ)還沒有找

柯西《分析教程》：“若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無(wú)限地趨向于某一數(shù)值，其差可以任意小，則該固定值稱為這一串?dāng)?shù)的極限”，他將分析學(xué)奠定在極限概念之上，但仍然使用“無(wú)限趨向”，“要多小就有多小”一類不嚴(yán)格的語(yǔ)言。魏爾斯特拉斯（1815-1897）將柯西的思想“算術(shù)化”，出現(xiàn)了至今通用的語(yǔ)言。語(yǔ)言——柯西準(zhǔn)則——構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)“極限論”的基礎(chǔ)。2.微積分的基礎(chǔ)柯西《分析教程》：“若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無(wú)限地趨3.實(shí)數(shù)理論

在十九世紀(jì)分析學(xué)發(fā)展的同時(shí)，人類也完善了實(shí)數(shù)理論?？挛魇紫日J(rèn)識(shí)到“無(wú)理數(shù)是有理數(shù)迫近的極限”（即：實(shí)數(shù)域是有理數(shù)域的完備化）。但極限又要用到實(shí)數(shù)，這形成了一個(gè)循環(huán)論證。梅萊，海涅，康托把無(wú)理數(shù)看成柯西列。戴德金采用對(duì)有理數(shù)分割的辦法，建立了不依賴于極限論的實(shí)數(shù)理論。3.實(shí)數(shù)理論在十九世紀(jì)分析學(xué)發(fā)展的

勒貝格（1875-1941）——?jiǎng)?chuàng)立可列可加測(cè)度的積分論，形成實(shí)變函數(shù)論。以實(shí)分析為基礎(chǔ)的概率論和隨機(jī)過程，稱為現(xiàn)代分析。復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展，形成復(fù)分析。以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論——泛函分析。此外還有傅立葉分析等。4.20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展勒貝格（1875-1941）——?jiǎng)?chuàng)立可列可加測(cè)度的

20世紀(jì)分析學(xué)的另一特征是用拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)，處理高維空間中的曲面和曲線以及多變量函數(shù)的整體性質(zhì)，形成流形上的分析。流形上的分析結(jié)合了微分幾何學(xué)—偏微分方程—多復(fù)變函數(shù)論，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的主流方向。外微分形式—反函數(shù)理論，成為當(dāng)代分析學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。20世紀(jì)分析學(xué)的另一特征是用拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)，處理

同時(shí)，20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展，使非線性分析成為最活躍的數(shù)學(xué)分支之一，其基礎(chǔ)理論是算子理論。泛函分析使分析學(xué)躍上新的高度。希爾伯特空間—巴拿赫空間—廣義函數(shù)論成為常識(shí)。現(xiàn)在我們知道，無(wú)窮小量不再是一個(gè)量，而是一個(gè)變化的過程。同時(shí)，20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展，使非線性分析成為最活躍的

從上面可以看到，分析數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了近3百年漫長(zhǎng)的歷史。數(shù)學(xué)成為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)，已經(jīng)成為人類的共識(shí)。二.從“數(shù)“到”泛函分析“的知識(shí)體系從上面可以看到，分析數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了近3百年漫數(shù)（自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實(shí)數(shù)—復(fù)數(shù)）變量函數(shù)（描述變量之間的變化關(guān)系）極限函數(shù)的分析性質(zhì)，實(shí)數(shù)理論的建立（有限維歐式空間上的定義的函數(shù)）實(shí)分析（Lebesgue積分理論函數(shù)空間的研究（Hilbert空間，Banach空間——無(wú)限維空間）函數(shù)空間上定義的函數(shù)，即泛函或算子數(shù)（自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實(shí)數(shù)—復(fù)數(shù)）變量函數(shù)（描述變量之間

派生：微分幾何學(xué)，復(fù)變函數(shù)，微分方程等；現(xiàn)代：流形—流形上的分析學(xué)。派生：微分幾何學(xué)，復(fù)變函數(shù)，微分方程等；三、用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看已學(xué)過數(shù)學(xué)知識(shí)從上面的發(fā)現(xiàn)過程看來(lái)，可以歸結(jié)為：三、用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看已學(xué)過數(shù)學(xué)從上面的發(fā)現(xiàn)過程看來(lái)，可以歸

第一階段：變量取的是“數(shù)“，函數(shù)就是通常所說的函數(shù)第二階段：變量取的是“函數(shù)空間中的元素”函數(shù)變成了泛函。所以，總是首先對(duì)變量所在的“空間”研究清楚，才能研究定義在這個(gè)“空間”上的“函數(shù)”。

變量所在的“空間”，除了其代數(shù)運(yùn)算與代數(shù)性質(zhì)（群，環(huán)，域）外，對(duì)于研究在他上面定義的分析性質(zhì)來(lái)說，“空間”的分析性質(zhì)是十分重要的。第一階段：變量取的是“數(shù)“，函數(shù)就是通常所說的函數(shù)

小學(xué)就開始學(xué)習(xí)“距離空間”。如，直線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。中學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的作為兩個(gè)點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2)之間的距離。

其實(shí)，現(xiàn)在我們知道，還可以采用很多方法定義距離。小學(xué)就開始學(xué)習(xí)“距離空間”。如，直線作為兩個(gè)點(diǎn)(x1,2.在空間上定義拓?fù)洹x收斂性2.在空間上定義拓?fù)洹x收斂性泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件

一般說來(lái)，中有界閉集合一定是緊的，這就是數(shù)學(xué)分析中所說的致密性定理。

一般說來(lái)，中有界閉集合一定是緊

但是，到了無(wú)限維空間，例如一般的Banach空間，其中的有界集就不一定有收斂子列。常見的例子是，有界的連續(xù)函數(shù)列不一定有一致收斂的子列，還要加上諸如“等度連續(xù)性“條件（Arzela--Ascoli）.但是，到了無(wú)限維空間，例如一般的Banach空間，5.現(xiàn)在我們看看“函數(shù)空間”1°在上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合。按照通常的加法和數(shù)乘，構(gòu)成一個(gè)線性空間，把里面的元素視為點(diǎn)。5.現(xiàn)在我們看看“函數(shù)空間”1°在上連續(xù)的函數(shù)的全體泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件1?Dirichlet函數(shù)不是黎曼可積的，但是它是Lebesgue可積的.2?積分與極限交換順序的問題6.另三個(gè)典型的例子可以看到人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展：1?Dirichlet函數(shù)不是黎曼可積的，但是它是Le泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件3?在通常意義和Lebesgue意義下都無(wú)法解釋的“函數(shù)”3?在通常意義和Lebesgue意義下都無(wú)法解釋的泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件四、幾個(gè)問題a.極值問題——從函數(shù)極值到短程線問題四、幾個(gè)問題a.極值問題——從函數(shù)極值到短程線問題半正定——極小半負(fù)定——極大半正定——極小半負(fù)定——極大泛函的極值：短程線，障礙問題泛函的極值：短程線，障礙問題（1）捷線問題：初速為0的質(zhì)點(diǎn)，僅受重力作用，沿光滑曲線由定點(diǎn)A滑行到定點(diǎn)B（B低于A但不在同一條垂直于地面的直線上），為使滑行時(shí)間最短，問滑行的曲線是怎樣的？AyBx（1）捷線問題：初速為0的質(zhì)點(diǎn)，僅受重力作用，沿光滑曲線由定分析：分析：泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件AyBxAyBx(2)短程線眾所周知，連接平面上兩點(diǎn)A、B的最短線為直線。那么，我們來(lái)考慮如下有趣的問題：要在山坡上修建一條最短的公路連接兩個(gè)居民點(diǎn)A、B，問如何選線？分析：設(shè)山坡的曲面方程為F(x,y,z)=0,設(shè)連接A、B的曲線為：y=y(x)z=z(x)(2)短程線眾所周知，連接平面上兩點(diǎn)A、B的最短線為直線。那則A、B間曲線

的弧長(zhǎng)是所以，要在約束條件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值則A、B間曲線的弧長(zhǎng)是所以，要在約束條件F(x,y,（3）等周問題：平面上一切有定長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉曲線中，確定一條圍成最大面積的曲線。設(shè)曲線方程為

是定長(zhǎng)，則面為，

求A在約束條件之下求最小值————等周問題。（3）等周問題：平面上一切有定長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉曲線中，確定一條圍成歷史上用平面幾何和不等式的辦法曾經(jīng)證明了下面的等周定理，為了證明它，人類花了兩千多年（1）在具有給定周長(zhǎng)的所有平面圖形中，圓的面積最大。

（2）在所有給定面積的平面圖形中，圓的周長(zhǎng)最小。

（1’）在具有給定表面積的所有立體圖形中，球的體積最大。

（2’）在具有給定體積的所有立體圖形中，球的表面積最小。等周定理：其他還有三角形的等周定理，多邊形的等周定理。歷史上用平面幾何和不等式的辦法曾經(jīng)證明了下面的等周定理，為了（4）繞過障礙拉緊橡皮筋帶兩端A、B，繞過平板W光滑邊緣，則弧長(zhǎng)為但是要保證其中是W的邊界方程。（4）繞過障礙拉緊橡皮筋帶兩端A、B，繞過平板W光滑邊緣泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件（5）球面上的短程線（6）不動(dòng)點(diǎn)定理－從一維到高維－求解非線性問題i.設(shè)在上連續(xù)，且，則存在,使得即：連續(xù)且將映到自身，那么在中有不動(dòng)點(diǎn)，此為Schauder不動(dòng)點(diǎn)。（5）球面上的短程線（6）不動(dòng)點(diǎn)定理－從一維到高維－求i.ii.壓縮映象原理如果函數(shù)定義在上，且存在使得那么存在唯一的使得iii.高維

如果一個(gè)連續(xù)映射φ把一個(gè)閉單位球映到自己，那么這個(gè)閉單位球內(nèi)有這個(gè)映射的不動(dòng)點(diǎn)。還有類似的壓縮映射原理ii.壓縮映象原理如果函數(shù)定義在iv.無(wú)限維在Banach空間上，有Schauder不動(dòng)點(diǎn)原理，Brower不動(dòng)點(diǎn)原理，Leray－Schauder不動(dòng)點(diǎn)原理。它們是求解非線性問題的有力工具。iv.無(wú)限維在Banach空間上，有Schauder不動(dòng)點(diǎn)原五、總結(jié)——可供選擇的題目1、變分問題

3、函數(shù)方程常見解法4、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用2、不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用五、總結(jié)——可供選擇的題目1、變分問題3、函數(shù)方程常見解法5、中學(xué)如何講授微積分（在沒有的情況下）6、中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的微分方程7、從分析角度談數(shù)系8、球面上三角形的計(jì)算問題5、中學(xué)如何講授微積分6、中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的微分方程7、從分析9、函數(shù)的迭代11、無(wú)窮大量對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義（有界、無(wú)界、漸近線等）12、不等式的證明——從離散到積分形式（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、凹凸性）10、復(fù)數(shù)方法解決中數(shù)問題13、用拓?fù)涞挠^點(diǎn)看函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性9、函數(shù)的迭代11、無(wú)窮大量對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義12、不等式六、現(xiàn)在，把上面提到的有些問題作一些解釋1、關(guān)于函數(shù)方程六、現(xiàn)在，把上面提到的有些問題作1、關(guān)于函數(shù)方程泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件其他函數(shù)方程：①②③其他函數(shù)方程：①②③其他方程如：待定系數(shù)法、極限、冪級(jí)數(shù)法其他方程如：待定系數(shù)法、極限、冪級(jí)數(shù)法微積分法還可用于

可以從已知函數(shù)所滿足的關(guān)系式反過來(lái)思考，再討論一些函數(shù)方程。參考文獻(xiàn)：王向東等著，函數(shù)方程及其應(yīng)用，上?？萍嘉墨I(xiàn)出版社，2003微積分法還可用于可以從已知函數(shù)所滿足的關(guān)系式反2、函數(shù)的迭代與不動(dòng)點(diǎn)設(shè)連續(xù)函數(shù)f:R→R，復(fù)合函數(shù)f(f(x))記作f2(x)≡f(f(x)),類似的定義f(f(f(x)))=f3(x),…,f(f(…f(x)…))=fn(x),稱為函數(shù)的迭代。視n次迭代fn

為R中的一個(gè)映射。2、函數(shù)的迭代與不動(dòng)點(diǎn)設(shè)連續(xù)函數(shù)f:R→R，復(fù)合函數(shù)f

若存在x∈R，使fn(x)=x，則稱x是映射fn

的不動(dòng)點(diǎn)。fn

的不動(dòng)點(diǎn)的集合記作Fix(fn)

可以考察：n→∞，極限是什么（對(duì)具體函數(shù)或給f一定的條件）?

也可以考察，在哪些條件下，fn

有不動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)ix(fn)有什么性質(zhì)？若存在x∈R，使fn(x)=x，則稱x是映射fn3、用不動(dòng)點(diǎn)解非線性問題或用迭代法求解非線性問題例：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a≤f(x)≤b，

x

∈[a,b]，求證存在x0∈[a,b]，使x0=f(x0)思想：選x1∈[a,b]，定義xn+1=f(xn)，n=1，2，‥證明{xn}收斂且極限x0就是不動(dòng)點(diǎn)。思考：①推廣到高維映射；②應(yīng)用到其他的問題；3、用不動(dòng)點(diǎn)解非線性問題或用迭代法求解非線性問題例*2006年高考題：A是由定義在[2,4]上具有滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：*2006年高考題：A是由定義在[2,4]上具有滿足如泛函分析丁時(shí)進(jìn)教授課件4、解微分不等式——Gronwall不等式

由在一定條件下研究的性質(zhì)，推廣到其他多種變形。

Gronwall不等式是研究偏微分方程的重要工具。4、解微分不等式——Gronwall不等式由5、常微分方程有限時(shí)刻爆破的問題例：對(duì)一階非線性常微分方程

當(dāng)滿足什么條件時(shí)，一定在某個(gè)有限時(shí)刻爆破，即：

也可研究任意時(shí)刻不爆破.5、常微分方程有限時(shí)刻爆破的問題例：對(duì)一階非線性常微分方程

還可以推廣到高階非線性常微分方程的初值問題或邊值問題。甚至可以推廣到偏微分方程還可以推廣到高階非線性常微分方程的初值問題或邊*科學(xué)研究常用步驟：

選題＝＞調(diào)研＝＞收集資料（卡片）＝＞寫作＝＞遇到問題再查資料

＝＞解決一部分問題＝＞推廣*科學(xué)研究常用步驟：選題＝＞調(diào)研＝＞收集資料（卡片11醉翁亭記

1．反復(fù)朗讀并背誦課文，培養(yǎng)文言語(yǔ)感。

2．結(jié)合注釋疏通文義，了解文本內(nèi)容，掌握文本寫作思路。

3．把握文章的藝術(shù)特色，理解虛詞在文中的作用。

4．體會(huì)作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導(dǎo)入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下《岳陽(yáng)樓記》，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”的政治理想。實(shí)際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文學(xué)家、史學(xué)家歐陽(yáng)修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期間，歐陽(yáng)修在滁州留下了不遜于《岳陽(yáng)樓記》的千古名篇——《醉翁亭記》。接下來(lái)就讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)這篇課文吧！【教學(xué)提示】結(jié)合前文教學(xué)，有利于學(xué)生把握本文寫作背景，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)作品含義的理解。二、教學(xué)新課目標(biāo)導(dǎo)學(xué)一：認(rèn)識(shí)作者，了解作品背景作者簡(jiǎn)介：歐陽(yáng)修(1007—1072)，字永叔，自號(hào)醉翁，晚年又號(hào)“六一居士”。吉州永豐(今屬江西)人，因吉州原屬?gòu)]陵郡，因此他又以“廬陵歐陽(yáng)修”自居。謚號(hào)文忠，世稱歐陽(yáng)文忠公。北宋政治家、文學(xué)家、史學(xué)家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。

關(guān)于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號(hào)醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號(hào)六一居士?？陀袉栐唬骸傲缓沃^也？”居士曰：“吾家藏書一萬(wàn)卷，集錄三代以來(lái)金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置酒一壺。”客曰：“是為五一爾，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045年)，參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽(yáng)修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內(nèi)心抑郁，但還能發(fā)揮“寬簡(jiǎn)而不擾”的作風(fēng)，取得了某些政績(jī)。《醉翁亭記》就是在這個(gè)時(shí)期寫就的。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)二：朗讀文章，通文順字1．初讀文章，結(jié)合工具書梳理文章字詞。2．朗讀文章，劃分文章節(jié)奏，標(biāo)出節(jié)奏劃分有疑難的語(yǔ)句。節(jié)奏劃分示例

環(huán)滁/皆山也。其/西南諸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞/水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉(zhuǎn)，有亭/翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰(shuí)？山之僧/曰/智仙也。名之者/誰(shuí)？太守/自謂也。太守與客來(lái)飲/于此，飲少/輒醉，而/年又最高，故/自號(hào)曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之間也。山水之樂，得之心/而寓之酒也。節(jié)奏劃分思考“山行/六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？

明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個(gè)狀中短語(yǔ)，不能將其割裂?！巴?蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個(gè)并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語(yǔ)，故應(yīng)從其后斷句?！窘虒W(xué)提示】引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)朗讀的過程中劃分朗讀節(jié)奏，在劃分節(jié)奏的過程中感知文意。對(duì)于部分結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，教師可做適當(dāng)?shù)闹v解引導(dǎo)。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)三：結(jié)合注釋，翻譯訓(xùn)練1．學(xué)生結(jié)合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處。【教學(xué)提示】節(jié)奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節(jié)奏劃分引導(dǎo)學(xué)生明確文意最好；若學(xué)生理解有限，亦可在解讀文意后把握節(jié)奏劃分。2．以四人小組為單位，組內(nèi)互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3．教師選擇疑難句或值得翻譯的句子，請(qǐng)學(xué)生用兩種翻譯方法進(jìn)行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰，風(fēng)霜高潔，水落而石出者，山間之四時(shí)也。直譯法：那太陽(yáng)一出來(lái)，樹林里的霧氣散開，云霧聚攏，山谷就顯得昏暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開放，有一股清幽的香味，好的樹木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽(yáng)升起，山林里霧氣開始消散，煙云聚攏，山谷又開始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春