高一年段培優(yōu)數(shù)學教材

**第一講

高一年段培數(shù)學教材（1）高一數(shù)學備課組函數(shù)的性質一、本性質：1.函數(shù)圖像的對稱性（1

奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)圖像關于坐標原點對稱，對于任意xD都有偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱，對于任意D，有f(x)f(x)成立。

成立；（2

原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關于直線yx示同一函數(shù)時，那么此函數(shù)的圖像就關于直線y對稱。

對稱。若某一函數(shù)與其反函數(shù)表（3

若函足x)

，則

的圖像就關于線x

對稱；函數(shù)足

，則

的圖像就關于對稱。（4

互對稱知識：函數(shù)y與x)

的圖像關于直線xa

對稱。2函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性是針對其定義域的某個子區(qū)間而言的。判斷一個函數(shù)的單調性一般采用定義法、導數(shù)法或借助其他函數(shù)結合單調性的性質（如復合函數(shù)的單調性）特別提示：函數(shù)y

0)

的圖像和單調區(qū)間。3函數(shù)的周期性對于函數(shù)y

，若存在一個非零常數(shù)

T

，使得當x為定域中的每一個值時，都有T)

成立，則y

是周期函數(shù)，T稱該函數(shù)的一個周期。若在所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱其為最小正周期。（1

T

是

的周期，那)

也是它的周期。（2

若

是周期T

的函數(shù)，則yb)(a

是周期為

的周期函數(shù)。（3

若函數(shù)

的圖像關于直線xa和x

對稱，則y

是周期

的函數(shù)。（4

若函數(shù)

滿足f(xa)，則y

是周期2a函數(shù)。4高斯函數(shù)對于任意實數(shù)x

，我們記不超過x

的最大整數(shù)

，通常稱函數(shù)y

為取整函數(shù)。又稱高斯函數(shù)。又x

，則函數(shù)y

稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是x

的小數(shù)部分。高斯函數(shù)的常用性質：（1

對任意xR有x1x1

（2

對任意xR

，函數(shù)

y

的值域為

[0,1)（3

高斯函數(shù)是一個不減函數(shù)，即對于任意x,x1

Rx1

x]]2（4

nZRxn]n

，后一個式子表明

y

是周期為1的函數(shù)。（5

若R[y]

（6）nNR二、綜合應用例1設

是R上的奇函數(shù)，f(x2)時，f(x)x,求的值。例2

都是定義在R的奇函數(shù)2

在區(qū))

上的最大值為5，求F在(,0)上的最小值。

x2222x22x2222x223

2a例3已知44y

ya0

x2y)

______________例4a1,a,

均為實數(shù)，試求當變化時，函數(shù)

sinsinsin

的最小值。例5解方程xlog(22

31)5

20x38)

4x15284x例6已知定義在R上的函數(shù)

滿足f(x)y)，當x0時f0，；（1

：

為奇函數(shù)；2）求

在[上的最值3當2時,

式logt)f2

t2

2)

求實k

的取值范圍。11例7證明：對于一切大于的自然，恒(1)(1)(135

11

)

12例8

是定義在Z上的一個實值函數(shù)

滿足

y)y)2f(x)f(y)f(1)0

①②

證：

是周期為4的期函數(shù)。例9給定實數(shù)，

為不大于x的最大整數(shù)，則下列結論中不正確的序號是（）①x0②x1③x是周期函④x是函例10：方lg三、強化訓練：

x20

的實根個數(shù)。1.已知abx4

、b實數(shù)5求lg3)的值。32.若方程x)a0

有唯一解，求a的所有取值。3.知函數(shù)

定義在非負整數(shù)集上，且對任意正整數(shù)x，有f(x)。若f(0)19924.函數(shù)

，求的值。定義在實數(shù)集R對一切實數(shù)x滿足等式f(27)f(7x).設0

的一個根是0

，記0區(qū)間中的根的個數(shù)是N，求N的最小值。5.若函

的圖像關于直線x

對稱，且關于點

對稱，求證

是周期函數(shù)。6.求數(shù)a

n

的最小項，其中

a

n

224n69

a2

3

2,)7.已知

0

的解集[0,，解不等式

0.8.設

是定義)

上的增函數(shù)，對任意(0,)

，滿足f(y)

。（1求證：①當

x0

x②)f(y)y（2若f(5)1

，解不等式1)2.9.已知a1)，滿足4x5)3x1)的x值。10.求和：

]

3x3223x322參考答案：例1周期為4，0.5例2af(x)

，G

為奇函數(shù)。F

(上最小值為-1.例3

[

上為增函數(shù)x2y)4例4(1sin)

1)換元后研究函數(shù)xsin

2

的單調性1

時y2a2min

1))

；a

時y2)min2例5構造xlog(22

31)，利用單調性得：（2

構造遞增函數(shù)x

4x

，利用

20x38)

解得2x9例6max

6;f(x)min

6

（3k221例7構造

111(1)(1)(1352n1

，證明

是遞增數(shù)列，故

例8令y1例9④

得T例10

x22

（11

方程解得x

（2）當0

時x]0lgx2

（矛盾）（3）當1

1

3x10

3

（4x1000強化訓練：132a