高一年段培優(yōu)數(shù)學(xué)教材

**第一講

高一年段培數(shù)學(xué)教材（1）高一數(shù)學(xué)備課組函數(shù)的性質(zhì)一、本性質(zhì)：1.函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性（1

奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于任意xD都有偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)于任意D，有f(x)f(x)成立。

成立；（2

原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)yx示同一函數(shù)時(shí)，那么此函數(shù)的圖像就關(guān)于直線(xiàn)y對(duì)稱(chēng)。

對(duì)稱(chēng)。若某一函數(shù)與其反函數(shù)表（3

若函足x)

，則

的圖像就關(guān)于線(xiàn)x

對(duì)稱(chēng)；函數(shù)足

，則

的圖像就關(guān)于對(duì)稱(chēng)。（4

互對(duì)稱(chēng)知識(shí)：函數(shù)y與x)

的圖像關(guān)于直線(xiàn)xa

對(duì)稱(chēng)。2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)其定義域的某個(gè)子區(qū)間而言的。判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性一般采用定義法、導(dǎo)數(shù)法或借助其他函數(shù)結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)（如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）特別提示：函數(shù)y

0)

的圖像和單調(diào)區(qū)間。3函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)y

，若存在一個(gè)非零常數(shù)

T

，使得當(dāng)x為定域中的每一個(gè)值時(shí)，都有T)

成立，則y

是周期函數(shù)，T稱(chēng)該函數(shù)的一個(gè)周期。若在所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱(chēng)其為最小正周期。（1

T

是

的周期，那)

也是它的周期。（2

若

是周期T

的函數(shù)，則yb)(a

是周期為

的周期函數(shù)。（3

若函數(shù)

的圖像關(guān)于直線(xiàn)xa和x

對(duì)稱(chēng)，則y

是周期

的函數(shù)。（4

若函數(shù)

滿(mǎn)足f(xa)，則y

是周期2a函數(shù)。4高斯函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x

，我們記不超過(guò)x

的最大整數(shù)

，通常稱(chēng)函數(shù)y

為取整函數(shù)。又稱(chēng)高斯函數(shù)。又x

，則函數(shù)y

稱(chēng)為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是x

的小數(shù)部分。高斯函數(shù)的常用性質(zhì)：（1

對(duì)任意xR有x1x1

（2

對(duì)任意xR

，函數(shù)

y

的值域?yàn)?/p>

[0,1)（3

高斯函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)，即對(duì)于任意x,x1

Rx1

x]]2（4

nZRxn]n

，后一個(gè)式子表明

y

是周期為1的函數(shù)。（5

若R[y]

（6）nNR二、綜合應(yīng)用例1設(shè)

是R上的奇函數(shù)，f(x2)時(shí)，f(x)x,求的值。例2

都是定義在R的奇函數(shù)2

在區(qū))

上的最大值為5，求F在(,0)上的最小值。

x2222x22x2222x223

2a例3已知44y

ya0

x2y)

______________例4a1,a,

均為實(shí)數(shù)，試求當(dāng)變化時(shí)，函數(shù)

sinsinsin

的最小值。例5解方程xlog(22

31)5

20x38)

4x15284x例6已知定義在R上的函數(shù)

滿(mǎn)足f(x)y)，當(dāng)x0時(shí)f0，；（1

：

為奇函數(shù)；2）求

在[上的最值3當(dāng)2時(shí),

式logt)f2

t2

2)

求實(shí)k

的取值范圍。11例7證明：對(duì)于一切大于的自然，恒(1)(1)(135

11

)

12例8

是定義在Z上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)

滿(mǎn)足

y)y)2f(x)f(y)f(1)0

①②

證：

是周期為4的期函數(shù)。例9給定實(shí)數(shù)，

為不大于x的最大整數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的序號(hào)是（）①x0②x1③x是周期函④x是函例10：方lg三、強(qiáng)化訓(xùn)練：

x20

的實(shí)根個(gè)數(shù)。1.已知abx4

、b實(shí)數(shù)5求lg3)的值。32.若方程x)a0

有唯一解，求a的所有取值。3.知函數(shù)

定義在非負(fù)整數(shù)集上，且對(duì)任意正整數(shù)x，有f(x)。若f(0)19924.函數(shù)

，求的值。定義在實(shí)數(shù)集R對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足等式f(27)f(7x).設(shè)0

的一個(gè)根是0

，記0區(qū)間中的根的個(gè)數(shù)是N，求N的最小值。5.若函

的圖像關(guān)于直線(xiàn)x

對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)，求證

是周期函數(shù)。6.求數(shù)a

n

的最小項(xiàng)，其中

a

n

224n69

a2

3

2,)7.已知

0

的解集[0,，解不等式

0.8.設(shè)

是定義)

上的增函數(shù)，對(duì)任意(0,)

，滿(mǎn)足f(y)

。（1求證：①當(dāng)

x0

x②)f(y)y（2若f(5)1

，解不等式1)2.9.已知a1)，滿(mǎn)足4x5)3x1)的x值。10.求和：

]

3x3223x322參考答案：例1周期為4，0.5例2af(x)

，G

為奇函數(shù)。F

(上最小值為-1.例3

[

上為增函數(shù)x2y)4例4(1sin)

1)換元后研究函數(shù)xsin

2

的單調(diào)性1

時(shí)y2a2min

1))

；a

時(shí)y2)min2例5構(gòu)造xlog(22

31)，利用單調(diào)性得：（2

構(gòu)造遞增函數(shù)x

4x

，利用

20x38)

解得2x9例6max

6;f(x)min

6

（3k221例7構(gòu)造

111(1)(1)(1352n1

，證明

是遞增數(shù)列，故

例8令y1例9④

得T例10

x22

（11

方程解得x

（2）當(dāng)0

時(shí)x]0lgx2

（矛盾）（3）當(dāng)1

1

3x10

3

（4x1000強(qiáng)化訓(xùn)練：132a