數(shù)學(xué)全國(guó)教案八升九2數(shù)與形完美結(jié)合

數(shù)學(xué)全國(guó)版授課設(shè)計(jì)八升九2數(shù)與形圓滿結(jié)合數(shù)學(xué)全國(guó)版授課設(shè)計(jì)八升九2數(shù)與形圓滿結(jié)合25/25數(shù)學(xué)全國(guó)版授課設(shè)計(jì)八升九2數(shù)與形圓滿結(jié)合《動(dòng)向數(shù)學(xué)思想》授課設(shè)計(jì)教材版本：人教版.學(xué)校：.教師年級(jí)八升九授課時(shí)間年代日課時(shí)2課時(shí)課題第二講數(shù)與形的圓滿結(jié)合教材解析勾股定理是將代數(shù)與幾何聯(lián)系在一起的重要工具，在整個(gè)初中學(xué)習(xí)占有重要地位.為求線段長(zhǎng)度供應(yīng)新的方法，勾股定理的逆定理也為證明三角形是直角三角形多了一種方法.教材中的例1勾股定理的應(yīng)用，題目較簡(jiǎn)單；例2是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，難度都不大，能夠讓學(xué)生自主完成.例3的問(wèn)題很多，難度中等，以學(xué)生解析為主，老師有時(shí)進(jìn)行提示.例4難度較大，建議講解時(shí)放慢速度，并不時(shí)進(jìn)行提問(wèn)，以漁得魚部分可讓學(xué)生先獨(dú)立思慮.例5部分簡(jiǎn)單，學(xué)生可獨(dú)立完成.拓展延伸補(bǔ)充練習(xí)是勾股定理的應(yīng)用，可依照學(xué)生情況和上課時(shí)間進(jìn)行講解.知識(shí)技術(shù)1.掌握勾股定理及其逆定理的內(nèi)容；學(xué)會(huì)利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算、證明與作圖，會(huì)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀；教3.會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)責(zé)問(wèn)題；學(xué)4.領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想.數(shù)學(xué)思慮經(jīng)歷借助圖形思慮問(wèn)題的過(guò)程，初步建立幾何直觀，經(jīng)過(guò)勾股定理將圖形與方程目結(jié)合起來(lái)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想和方程的思想.標(biāo)問(wèn)題解決1.在定理的證明中培養(yǎng)學(xué)生的拼圖能力；2.經(jīng)過(guò)實(shí)責(zé)問(wèn)題的解決，提高學(xué)生解析、解決問(wèn)題的能力.感神態(tài)度1.經(jīng)過(guò)自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感覺(jué)；學(xué)生經(jīng)過(guò)合適訓(xùn)練，漸漸體驗(yàn)數(shù)學(xué)說(shuō)理的重要性；在活動(dòng)中，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和研究精神.授課重點(diǎn)、難點(diǎn)授課重點(diǎn)：勾股定理及其逆定理的內(nèi)容的理解與掌握.授課難點(diǎn)：應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)責(zé)問(wèn)題.授課準(zhǔn)備動(dòng)畫多媒體語(yǔ)言課件第一課時(shí)復(fù)備內(nèi)容及談?wù)撚涗浭谡n過(guò)程一、導(dǎo)入播放導(dǎo)入回顧：1.勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn)題．在使用勾股定理時(shí)，必定掌握直角三角形的前提條件，認(rèn)識(shí)直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)想法增加輔助線（平時(shí)作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．勾股定理逆定理：若是三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.勾股定理的逆定理能幫助我們經(jīng)過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在詳盡計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不能不加思慮的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而獲取錯(cuò)誤的結(jié)論．3.勾股數(shù)：凡是能夠構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù).勾股定理及其逆定理的應(yīng)用:勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)責(zé)問(wèn)題或詳盡的幾何問(wèn)題中，是密不能分的一個(gè)整體．平時(shí)既要經(jīng)過(guò)逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問(wèn)題的解決．二、授課新授典例表現(xiàn)例1印度數(shù)學(xué)家什迦邏(1141年—1225年)曾提出過(guò)“荷花問(wèn)題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水怎樣知深淺?”請(qǐng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問(wèn)題．答案：1解：設(shè)水深為x尺，則蓮花高度為（x+）尺.在直角三角形中,x2+22=(x+1)2，215解得：x=.答：水深為15尺.4師：請(qǐng)一名學(xué)生將這首古詩(shī)翻譯成與數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題.生：蓮花一開(kāi)始露出水面的部分長(zhǎng)為1尺，被風(fēng)吹到與水面平齊的時(shí)候，水2平方向距離為2尺，現(xiàn)問(wèn)湖水的深度是多少？師：說(shuō)說(shuō)你的解題思路.生：設(shè)水深為x尺，則蓮花的高度為（x+1）尺，恰好形成的是直角三角形，2利用勾股定理建立方程，即可解出x.學(xué)生獨(dú)立完成.以漁得魚：如圖，某公園內(nèi)有一棵大樹，為測(cè)量樹高，小明C處用側(cè)角儀測(cè)得樹頂端A的仰角為30°，已知側(cè)角儀高DC＝，BC＝30米，請(qǐng)幫助小明計(jì)算出樹高AB．（3取，結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）答案：解：設(shè)AE=x米，則AB=(x+1.4)米.在Rt△AED中，DE=BC=30米，∵∠ADE=30°，∴AD=2AE=2x米.∵AE2+DE2=AD2，∴x2+302=(2x)2.解得x=103.∴AB=103≈（米）.答：樹高AB為18.7米.師：依照題目條件能夠得出哪些數(shù)據(jù)？生：BE=DC=1.4米，DE=BC=30米，∠ADE=30°.師：怎樣運(yùn)用這些條件求AB的長(zhǎng)？生：由于BE=1.4米，因此只需求出AE的長(zhǎng)，設(shè)AE=x米.在Rt△AED中，由于∠ADE=30°，因此AD=2AC=2x，又知道DE=30米，利用勾股定理建立方程，即可解出x.知識(shí)檢驗(yàn)：6.如圖，一張長(zhǎng)方形紙片寬AB＝8cm，長(zhǎng)BC＝10cm．現(xiàn)將紙片折疊，使極點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處(折痕為AE)，求EC的長(zhǎng)．答案：解：設(shè)EC=xcm，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=CD=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=90°.由折疊可知，AF=AD=BC=10cm，EF=DE=（8-x）cm.在Rt△ABF中，BF=AF2AB2，=6cm則CF=BC-BF=4cm，在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，即42+x2=(8-x)2，解得x=3.即EC=3cm.總結(jié)：在求線段長(zhǎng)度時(shí)，可考慮放在直角三角形中利用勾股定理.一般需設(shè)未知數(shù)，建立方程進(jìn)行求解.例2顯然準(zhǔn)備用一段長(zhǎng)30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊長(zhǎng)為a米，由于受地地勢(shì)限制，第二條邊長(zhǎng)只能是第一條邊長(zhǎng)的2倍多2米.（1）請(qǐng)用a表示第三條邊長(zhǎng)；（2）問(wèn)第一條邊長(zhǎng)能夠?yàn)?米嗎？為何？請(qǐng)說(shuō)明原因；（3）可否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長(zhǎng)均為整數(shù)？若能，說(shuō)出你的圍法；若不能夠，請(qǐng)說(shuō)明原因.答案：解：（1）第一條邊為a米，則第二條邊為（2a+2）米，30-a-2a-2=28-3a.即第三邊為（28-3a）米.（2）若a=7，則三邊長(zhǎng)分別為7米，16米，7米.∵7+7＜16，∴不能夠構(gòu)成三角形.∴第一條邊長(zhǎng)不能以為7米.（3）∵a+(2a+2)＞28-3a，a+(28-3a)＞2a+2，13＜a＜13.32∵各邊為整數(shù)，∴a=5，a=6.①當(dāng)a=5時(shí)，三邊長(zhǎng)為5，12，13.∵52+122=132，∴是直角三角形.②當(dāng)a=6時(shí)，三邊長(zhǎng)為6，14，10.∵62+102≠142，∴不是直角三角形.（1）（2）問(wèn)較簡(jiǎn)單，學(xué)生獨(dú)立完成，請(qǐng)一名學(xué)生簡(jiǎn)單講解即可.師：第三問(wèn)要使三角形為直角三角形，且邊長(zhǎng)為整數(shù)，應(yīng)該怎樣考慮？生：由于三角形三邊必然滿足三邊關(guān)系，即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可求出a的取值范圍，而邊長(zhǎng)為整數(shù)，可確定a的值，再看三邊可否滿足勾股定理.師：也就是先考慮當(dāng)邊長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)a的值，再看可否滿足勾股定理.那為何不先假設(shè)三角形是直角三角形，利用勾股定理解出a，再看a是否是整數(shù)呢？生：由于三邊大小關(guān)系不能夠完好確定，就不能夠確定斜邊，則需分類談?wù)?，再運(yùn)用勾股定理建立方程，涉及的計(jì)算量大，不簡(jiǎn)略，此時(shí)方程較復(fù)雜也無(wú)法求解.師：在做題時(shí)，思慮方向不用然是唯一的，若是一種方法無(wú)法解出，可換個(gè)角度思慮問(wèn)題.以漁得魚：在△ABC中，三邊長(zhǎng)滿足b2-a2=c2，則互余的一對(duì)角是( )A.∠A與∠BB.∠C與∠AC.∠B與∠CD.∠A，∠B，∠C答案：B學(xué)生獨(dú)立思慮完成，請(qǐng)一名學(xué)生簡(jiǎn)單說(shuō)明即可.只需注意c不用然表示的是斜邊.經(jīng)過(guò)移項(xiàng)可得，b2=c2+a2.即斜邊長(zhǎng)為b，則∠B=90°，因此∠A+∠C=90°.以下命題：①若是a，b，c為一組勾股數(shù),那么4a，4b，4c仍是勾股數(shù)；②若是直角三角形的兩邊是3，4，那么斜邊必是5；③若是一個(gè)三角形的三邊是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a，b，c，(a>b=c)，那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正確的選項(xiàng)是( )A.①②B.①③C.①④D.②④答案：C請(qǐng)一名學(xué)生判斷解析每一項(xiàng)，如有錯(cuò)誤，請(qǐng)其他同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充指正.總結(jié)：利用三角形三邊滿足勾股定理來(lái)判斷是否是直角三角形，是較為常有的方法.例3.【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有出名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a，b，c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再研究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可獲取勾股定理：S梯形ABCD=，S△EBC=，S四邊形AECD=，則它們滿足的關(guān)系式為，經(jīng)化簡(jiǎn)，可獲取勾股定理．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)農(nóng)村（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25

千米，BC=16千米，則兩個(gè)農(nóng)村的距離為千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建筑一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的地址并求出AP的距離．【知識(shí)遷移】借助上面的思慮過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式x29(16x)281的最小值（0＜x＜16）.答案：【小試牛刀】1112，1112a（a+b），b（ab），ca（a+b）-b（ab）=c.2-22-222【知識(shí)運(yùn)用】（1）41；（2）解：以下列圖，設(shè)AP=xkm，則BP=（40-x）km.在Rt△ADP中，PD2=AP2+AD2=x2+242，在Rt△BCP中，PC2=PB2+BC2=(40-x)2+162，∵PD=PC，∴PD2=PC2，∴x2+242=(40-x)2+162.解得x=16.答：AP的長(zhǎng)度為16km.【知識(shí)遷移】解：構(gòu)造以下列圖的圖形AD=3，AB=16，BC=9，AD⊥AB，BC⊥AB，設(shè)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，AP=x，則DP=x29，CP=(16x)281.作出點(diǎn)D關(guān)于線段AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，設(shè)線段CE與線段AB的交點(diǎn)為點(diǎn)P.由對(duì)稱可知DP=EP，則DP+PC=EP+PC=EC.過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，則AF=BC=9，AE=AD=3，∴EF=AF+AE=12，CF=AB=16，在Rt△CFE中，CE=EF2CF2=20.∴x29+(16x)281的最小值為20.小試牛刀師：請(qǐng)一名學(xué)生講解梯形ABCD和△EBC怎樣求解？生：S=1上底下底×高11，梯形ABCD(+)=(b+a)(a-b+b)=b(a+b)222S△EBC=1底×高=1b(a-b)，22師：四邊形AECD的面積怎樣求解？生1：梯形的面積減去三角形的面積.師：這句話自己沒(méi)有錯(cuò)，那后邊一空再怎么填？很顯然最后應(yīng)該利用這一關(guān)系建立等式.后邊的提示可獲取勾股定理，此時(shí)四邊形ABCD的面積應(yīng)該用字母c表示，四邊形AECD哪里含有c？生：兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度都為c.師：題目已直接給出AC⊥DE（可請(qǐng)學(xué)生簡(jiǎn)單講解原因），此時(shí)怎樣用對(duì)角線求面積？生：S四邊形AECD=S△ADE+S△ADC=1×DE×AF+

1×DE×CF2

2=1c·AF+

1c·CF=1c·(AF+CF)=1c2.2

2

2

2師：由此我們能夠得出一個(gè)結(jié)論，對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，比方菱形，菱形的對(duì)角線也是互相垂直的，菱形的面積也等于對(duì)角線乘積的一半.這個(gè)結(jié)論在今后做選擇或填空題時(shí)是能夠直接拿出來(lái)使用的.知識(shí)運(yùn)用（1）較簡(jiǎn)單，請(qǐng)一名學(xué)生講解即可.（1）連接CD，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求出CD.師：初中階段，求線段長(zhǎng)度的方法：①簡(jiǎn)單線段間的和倍差（初一接觸的檢點(diǎn)幾何）；②特別情況利用全等三角形、等腰三角形、三角形中位線、直角三角形中的斜邊中線及30°所對(duì)直角邊是斜邊一半等性質(zhì)轉(zhuǎn)變求線段長(zhǎng)度；③最常有的方法就是利用勾股定理，在沒(méi)有直角三角形時(shí)，經(jīng)常需構(gòu)造作垂線構(gòu)造直角三角形.知識(shí)運(yùn)用（2）師：怎樣用尺規(guī)作圖找到點(diǎn)P，使PC=PD？生：要使PD=PC，即找一點(diǎn)到線段CD的兩端點(diǎn)距離相等，這樣的點(diǎn)P應(yīng)該在線段CD的垂直均分線上.尺規(guī)作圖的畫法：分別以C，D為圓心，以大于1E，F(xiàn)，連接EF與線段CD的長(zhǎng)度為半徑畫兩段圓弧，兩段圓弧的交點(diǎn)為2AB的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.師：怎樣求出AP的長(zhǎng)度？生：設(shè)AP=x，利用勾股定理分別表示出DP2和CP2，建立方程.知遷移：怎樣將所求代數(shù)式化與已知相關(guān)的幾何模型？生：代數(shù)式中

x2

9能夠看做是直角分

x和

3的直角三角形的斜，

(16

x)2

81能夠看作是直角（

16-x）和

9

的直角三角形的斜，再將x，（16-x）成一條，就可以獲取與已知形似的形，此AD=3，AB=16，BC=9.：由此能夠，我能夠利用勾股定理將代數(shù)化幾何.在的化點(diǎn)P是段AB上的一個(gè)點(diǎn)，即需找一點(diǎn)P使得點(diǎn)P到點(diǎn)C，D的距離之和最小.就是從前學(xué)的將，得的點(diǎn)怎么找？（學(xué)生在黑板上一畫形，一演示）生：找其中一點(diǎn)D關(guān)于段AB的稱點(diǎn)E，再接CE，段CE與段AB的交點(diǎn)即所求.：能明什么此距離最小，而不是其他點(diǎn)？生：此，由稱的性可知，DP=EP，DP+CP=EP+CP=CE.而若在段上其他地址再任意取一點(diǎn)P′，此DP′=EP′，DP′+CP′=EP′+CP′.利用兩點(diǎn)之段最短（三角形兩之和大于第三）可知EP′+CP′＞CE.因此在點(diǎn)P距離之和最小.：那么在就確定了最小就是段CE的度.怎樣求CE的度？生：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理.：（1）角互相垂直的四形的面等于角乘的一半.（2）求段的方法一般構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理.（3）利用勾股定理能夠?qū)⒋鷶?shù)化幾何.以得：如，四形ABCD是1的正方形，以角AC作第二個(gè)正方形ACEF，再以角AE作第三個(gè)正方形AEGH，這樣下去．（1）正方形ABCD的a1=1，按上述方法所作的正方形的依次a2，a3，a4，??，an，求出a2，a3，a4的；（2）依照以上律寫出an的表達(dá)式．答案：解：（1）在Rt△ABC中，AB=BC=1，則a2=AC=2.在Rt△ACE中，AC=CE=2，則a3=AE=2.在Rt△AHE中，AE=AH=2，則a4=HE=22.（2）an=(2)n-1.此題較簡(jiǎn)單，屢次運(yùn)用勾股定理，可請(qǐng)基礎(chǔ)較差的學(xué)生講解.引導(dǎo)學(xué)生在做這種規(guī)律型問(wèn)題時(shí)，在求前幾個(gè)時(shí)，就觀察數(shù)據(jù)變化的規(guī)律.三、牢固拓展知識(shí)檢驗(yàn)課堂練習(xí)2.下學(xué)今后，萍萍和曉曉從學(xué)校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若萍萍和曉曉行走的速度都是40米/分，萍萍用15分鐘到家，曉曉用20分鐘到家，萍萍家和曉曉家的距離為（）A.600米B.800米C.1000米D.不能夠確定答案：C3.如圖，分別以直角△ABC的三邊AB，BC，CA為直徑向外作半圓.設(shè)直線AB左邊陰影部分的面積為S1，右邊陰影部分的面積和為2，則（）SA.S＝SB.S＜SC.S＞SD.無(wú)法確定121212ACB答案：A四、課堂小結(jié)（1）在求線段長(zhǎng)度時(shí)，可考慮放在直角三角形中利用勾股定理.一般需設(shè)未知數(shù)，建立方程進(jìn)行求解.（2）能夠用勾股定理的逆定理來(lái)判斷是否是直角三角形.（3）勾股定理將代數(shù)和幾何結(jié)合在一起，能夠互相轉(zhuǎn)變.第二課時(shí)復(fù)備內(nèi)容及請(qǐng)授課過(guò)程論記錄一、課前發(fā)言師：由于勾股定理在實(shí)質(zhì)運(yùn)用中特別重要，在數(shù)學(xué)中的地位特別高，因此很多歷史名人都有研究勾股定理，比方我國(guó)清朝的康熙皇帝.一起來(lái)看看吧.（進(jìn)入例5）二、授課新授典例表現(xiàn)例5清朝康熙皇帝是我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣的帝王.近期，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著，其中有一文《積求勾股法》，它對(duì)“三邊長(zhǎng)為3，4，5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長(zhǎng)”這一問(wèn)題提出認(rèn)識(shí)法：“若所設(shè)者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開(kāi)之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之?dāng)?shù)”用.現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：“若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S，則第一步：S＝6m；第二步：m＝k；第三步：分別用3，4，5乘以k，得三邊長(zhǎng)”.（1）當(dāng)面積S等于150時(shí)，請(qǐng)用康熙的“積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)；（2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎？請(qǐng)寫出證明過(guò)程.答案：（1）解：依照題意，當(dāng)S=150時(shí)，m＝S=150=25，k＝m=25=5，66∴3×5=15，4×5=20，5×5=25.即該直角三角形的三邊長(zhǎng)為15，20，25.（2）證明：設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為3k，4k，5k，（k為整數(shù)）由于三角形為直角三角形且3k，4k為直角邊長(zhǎng).其面積S=1×3k×4k=6k2，2∴k2=

S，k=

s（k＞0），6即：將面積除以6，爾后開(kāi)方，即可獲取倍數(shù).此題較簡(jiǎn)單，建議讓學(xué)生獨(dú)立完成.以漁得魚：我國(guó)古籍《周髀算經(jīng)》中早有記錄“勾三股四弦五”，下面我們來(lái)研究?jī)深愄仄渌垂蓴?shù)．(1)經(jīng)過(guò)觀察完成下面兩個(gè)表格中的空格(以下a，b，c為Rt△ABC的三邊，且a＜bc)：表一表二(2)我們發(fā)現(xiàn)，表一中a為大于1的奇數(shù)，此時(shí)b，c的數(shù)量關(guān)系是中a為大于4的偶數(shù)，此時(shí)b，c的數(shù)量關(guān)系是；(3)一般地，關(guān)于表一，用含a的代數(shù)式表示b=；關(guān)于表二，用含

；表二a的代數(shù)式表示

b=

；(4)我們還發(fā)現(xiàn)，表一中的三邊長(zhǎng)“3，4，5”與表二中的“6，8，10”成倍數(shù)關(guān)系，表一中的“5，12，13”與表二中的“10，24，26”恰好也成倍數(shù)關(guān)系．請(qǐng)直接利用這一規(guī)律計(jì)算：在Rt△ABC中，當(dāng)a=3，b=4時(shí)，斜邊c的值．55答案：（1）40；35；（2）c=b+1；c=b+2；（3）a21；a21；24（4）解：∵32+42=52，(1×3)2+(1×4)2=(1×5)2，555c=1.學(xué)生獨(dú)立完成.可比拼學(xué)生答題速度及正確度.例4閱讀：如圖①，在△ABC中，3∠A+∠B=180°，BC=4，AC=5，求AB的長(zhǎng)．小明的思路：如圖②，作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延伸線上取點(diǎn)D，使得DE=AE，連接BD，易得∠A=∠D，△ABD為等腰三角形，由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD為等腰三角形，依照已知條件可得AE和AB的長(zhǎng)．解決以下問(wèn)題：（1）圖②中，AE=__________，AB=__________；（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．①如圖③，當(dāng)3∠A+2∠B=180°時(shí)，用含a，c式子表示b；（要求寫解答過(guò)程）②當(dāng)3∠A+4∠B=180°，b=2，c=3時(shí)，可得a=__________．答案：（1）9；6；2（2）①解：作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延伸線上取點(diǎn)D，使得DE=AE，連接BD，則BE是邊AD的中垂線，故AB=BD，∠A=∠D.3∠A+2∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，∴2∠A+∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠D+∠DBC，2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC.∵∠A=∠D，∴∠A+∠ABC=∠DBC，即∠DCB=∠A+∠ABC=∠DBC，BD=DC，BD=DC=AB=c.設(shè)EC=x，∴DE=AE=bc，2∴EC=AE-AC=bc-b=cb，2BE2=BC2-EC2，BE2=AB2-AE2，a2-(cb)2=c2-(bc)2，22解得b=c2a2.c②15.3解析：（2）②作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延伸線上取點(diǎn)D，使得AB=AD，連接BD，故AB=AD=3，∠ABD=∠D.∵3∠A+4∠B=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，∴2∠A+3∠ABC=∠ACB=∠D+∠CBD=∠ABC+∠CBD+∠CBD，∴2∠A+2∠ABC=2∠CBD，∴∠A+∠ABC=∠CBD=∠BCD，∴BD=CD=AD-CD=1，在Rt△BDE和Rt△AEB中，BD2-DE2=AB2-AE2，即12-(1-CE)2=32-(2+CE)2，解得CE=5，6∴BE=AB2AE2=35，6∴a=BE2CE2=15.3師：簡(jiǎn)單解析一下小明的思路.生：經(jīng)過(guò)作輔助線構(gòu)造了等腰△ABD，做垂線構(gòu)造直角三角形，再經(jīng)過(guò)角度的轉(zhuǎn)變又獲取等腰△BCD.師：線段AE和AB分別怎樣求解？生：由于△BCD是等腰三角形，則DC=BC=4，AD=AC+CD=9，又由于△ABF是等腰三角形，BE⊥AD，因此AE=1AD.利用勾股定理先求出BE的長(zhǎng)度，再利用勾股2定理即可求得AB的長(zhǎng)度.第（2）問(wèn)，提示學(xué)生模擬小明思路師：這道題由“3∠A+∠B=180°”改為“3∠A+2∠B=180°”條件很近似，再將具體數(shù)據(jù)改為字母，但是一般情況下，做題方法不變，可模擬已有的方法和思路.因此不如依舊構(gòu)造等腰△ABD，做垂線得直角三角形.看經(jīng)過(guò)角的轉(zhuǎn)變能不能夠獲取等腰三角形.（建議此時(shí)分小組談?wù)?，先談?wù)撦o助線的做法到證明△BCD為等腰三角形，思路：構(gòu)造等腰△ABD，做垂直，再證△BCD是等腰三角形.）生：作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延伸線上取點(diǎn)D，使得DE=AE，連接BD.這樣就構(gòu)造了同樣的等腰△ABD和直角三角形.圖形有點(diǎn)改變，還可以判斷△BCD是等腰三角形，由于3∠A+2∠B=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，因此2∠A+∠ABC=∠ACB.而∠ACB=∠D+∠DBC，因此2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC，∠A+∠ABC=∠DBC，DB=DC.師：再在直角三角形中利用勾股定理.第（3）問(wèn)，老師引導(dǎo)解析.模擬著構(gòu)造等腰△ABD，能夠讓學(xué)生試一試構(gòu)造同樣圖形，此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)法獲取△BCD為等腰三角形，再提示以AB和AD為腰構(gòu)造等腰三角形.以漁得魚：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的均分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)．AB=42，設(shè)AE=x，BF=y．（1）AC的長(zhǎng)是；（2）若x+y=3，求四邊形CEDF的面積；（3）當(dāng)DE⊥DF時(shí)，試試究x，y的數(shù)量關(guān)系．答案：（1）4；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的均分線，∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB，AD=BD=CD.在等腰直角△ACD中，DM⊥AC，1∴DM=AC=2.同理DN=2.∵S△ABC=1AC·BC=1×4×4=8，22S△ADE=1AE·DM=x，S△BDF=1BF·DN=y,22∴S四邊形CEDF=S△ABC-S△ADE-S△BDF=8-x-y=5.（3）解：∵DE⊥DF，∴∠2+∠3=90°.CD⊥AB，∴∠1+∠2=90°.∴∠1=∠3.在△ADE和△CDF中，3,ADCD,ADCF,∴△ADE≌△CDF，AE=CF.x+y=AE+BF=CF+BF=BC=4.此題較簡(jiǎn)單，可讓學(xué)生獨(dú)立思慮完成，并請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行講解.拓展延伸：1.王老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬近來(lái)”的課題研究時(shí)涉及了以下幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你依照以下所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短行程的長(zhǎng).（1）如圖1，在一張長(zhǎng)方形紙片上，AC=4cm，BC=4cm，一只螞蟻欲從A點(diǎn)爬到B處；（2）如圖2，在一個(gè)圓柱形杯子上，底面半徑為6，杯子的高度為8cm，一只螞cm蟻欲從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)；（3）如圖3，正方體的棱長(zhǎng)為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)A沿著正方體表面爬到點(diǎn)C′處；（4）如圖4，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm，側(cè)棱長(zhǎng)為6cm，一只螞蟻從正四棱柱底面的點(diǎn)A沿著棱柱表面爬到C′處.答案：解：（1）連接AB，在Rt△ABC中，AC=4cm，BC=4cm，∴AB=AC2BC2=5cm.∴最短距離是5cm.（2）將圓柱體側(cè)面張開(kāi)，以下列圖，連接AB，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=1CC′=6cm，2∴AB=AC2BC2=10cm.∴最短距離是10cm.（3）將正方體張開(kāi)，以下列圖，連接AC′，在Rt△AA′C′中，AA′=5cm，A′C′=10cm，∴AC′=22=55cm.AA′AC∴最短距離是55cm.（4）將正四棱柱張開(kāi)，以下列圖，連接AC′，在Rt△AA′C′中，AA′=6cm，A′C′=10cm，∴AC′=22′AC=136=234cm.AA連接AC′，在Rt△AD′C′中，AD′=11cm，D′C′=5cm，∴AC′=2DC2=146cm.AD′136＞146，∴最短距離是234cm.三、牢固拓展知識(shí)檢驗(yàn)課堂練習(xí)1.已知△ABC中，∠A＝1∠B＝1∠C，則它的三條邊之比為（23

）∶1∶

2

∶

3∶2

∶

2∶

3

∶4∶1答案：B5.如圖①是我國(guó)古代出名的“趙爽弦圖”的表示圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC=6，BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延伸一倍，獲取以下列圖的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外面周長(zhǎng)是．答案：767.如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF.（1）請(qǐng)說(shuō)明：DE=DF；（2）請(qǐng)說(shuō)明：BE2+CF2=EF2；（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面積.（直接寫結(jié)果）答案：（1）證明：連接AD，在等腰直角△ABC中，D是斜邊BC的中點(diǎn)，1∴AD=BD=BC，AD⊥BC，∠DAF=∠B=45°，∴∠1+∠2=90°.∵DE⊥DF，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.在△ADF和△BDE中，3,ADBD,DAFB,∴△ADF≌△BDE.DF=DE.（2）證明：延伸DE至點(diǎn)G，使DG=DE，連接CG和FG，在△BDE和△CDG中，BDCD,4,DEDG,∴△BDE≌△CDG，∴BE=CG，∠B=∠DCG=45°.又∵DE⊥DF，DE=DG，∴EF=FG.∵∠FCD=45°，∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=90°.在Rt△FCG中，CG2+FC2=FG2，∴BE2+FC2=EF2.（3）解：S△DEF=1DE2=1EF2=1(BE2+CF2)=25.244拓展創(chuàng)新：昨年某省將地處A，B兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合性大學(xué)，為了方便A，B兩地師生的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距2km的A，B兩地之間修筑一條筆直公路（即圖中的線段AB），經(jīng)測(cè)量，在A地的北偏東60°方向、B地的西偏北45°方向C處有一個(gè)半徑為0.7km的公園，問(wèn)計(jì)劃修筑的這條公路會(huì)不會(huì)穿過(guò)公園？為何？3≈）答案：解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.設(shè)CD=x米.由題意可知，∠CBD=45°，∠CAD=30°.在等腰Rt△BCD中，BD=CD.在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC=2CD=2x，AD=AC2CD2=3x.AB=AD+BD