上冊-第五章ch5-4習(xí)題課

第四反常積常義積推

反常積分(廣義積分一、無窮限的二 函數(shù)的反常積一、無窮限的反常積引例.曲 和直線及x軸所圍成的開口yxyx2A1bAx2其含義可理解b

1bA

2

lim b

b

x

11 b b定義1

f(x)C[a

),取ba,則稱此極限為f(x的無窮限反常積分,記 發(fā)散.類似地

f(x)C(,

fx)C(limlima

f(x)dx

blimlim

(x)dxc為任意取定的常數(shù)只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分說明:上述定義中若出

并非不定型它表明該反常積分發(fā)散引入記F()

x

F(x)

F()

x

F(x)則有類似牛–萊公式的計算表達式f(a

F(x)

F()

F(a)bb

f(x)dx

F(x)

F(b)

F()f(x)dx

F(x)

F()

F()yy11yy11x2ox: [arctanx:2思考

()2分析 原積分發(fā)散注意:對反常積分,只有在收斂的條件下才能使“偶倍奇零”的性 則會出現(xiàn)錯誤例2.證明第一類p積分時發(fā)散.證:p1時有

p1時收斂;p1時

ln

aa

px1 a1pa

a1,

ppa1因此p>1時反常積分收斂其值為p≤1時,反常積分發(fā)散.

p1;例3.計算反常積解 原式

tept

eptd0p2

ept p2二 函數(shù)的反常積引例:曲

x軸y軸和直

所圍成開口曲邊梯形的面積其含義可理解

yx1A d1

Alim2(1 定義2

f(x)C(a

b],而在點a的右鄰域

則稱此極限為f(x[ab上的反常積分記這時稱反常積 收斂;如果上述極限不存在就稱反常積 發(fā)散類似地若

f(x)C[a

b),而在b的左鄰域 鄰域

caf(x)dx

f(x)dx1

c1

f(x)dx

2

f(x)dxb 為瑕點(奇點).說明

若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第間斷點,則本質(zhì)上是常義積分,而不是反常積分例如則也有類似牛–萊公式b的計算表達式bbb為瑕點b

a

(x)dx

F(b)

F(a)a為瑕點

a

(x)dx

F(b)

F(aab都為瑕點bab

(x)dx

F(b)

F(a注意:若瑕點c(ab),bab

(x)dx

F(b)

F(c)F(c)

F(a)可相消嗎例4.計算反常積解顯然瑕點為a所

arcsina

a 0

arcsin12例5.討論反常積 的收斂性0dx

1dx

1

1解

1x2

0x2

xx

所以反常積 發(fā)散例 計算廣義積分

2xln22解 2

d(lnx)2 xln2

ln.

x)2故原廣義積3例 計算廣義積

x瑕2 (2

22

(x

(x

21 1

2

d(

2

3(x

1)1/3 10(1

0(

1)3

d(

3(

333223 (223

(

1)3

3(132).2 (x2例7.證明第二類反常積q≥1時發(fā)

q1時收斂證q=1時

ln

x

aq≠1

(b

(

1

q

1

a

q(b

q1時該廣義積分收斂q1時該廣義積分發(fā)散

1 反常積

內(nèi)容小常義積內(nèi)容小兩個重要的反常積

p1(p1)ap1

p

q說明:(1)有時通過換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.xx

)2xdt )2x

d(x) ) x2

0(x 0 d02t(2)當(dāng)一題同時含兩類反常積分時應(yīng)劃分積分區(qū)間,,例,令xt則原式令t

tan一、填空題1、廣義積

dx當(dāng) 時收斂；當(dāng) x發(fā)散2、廣義積分1dx 時收斂； 時0xq散3、廣義積

時收斂 2時發(fā)散

x(lnx)k 1x41x

dx 15、廣義積分111x

6、廣義積分

f(t)dt的幾何意義 二、判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計1e

cosh

(p

；2 x

2x3 xnexdx

n為自然

、

2 2

(1

x)25、

6

xln

dx2 x2

x2)271ln0

xdx三、求當(dāng)

k

，廣義積分

(ba)ba(xa)kb

k

，這廣義積分發(fā)散0,212

x四、

f(x)

x,0

x

，試用分段函數(shù)表xx

f(t)dt

,2練習(xí)題答一、1、

p1；2

1,k4、發(fā)散；5、1；6、過

x

y軸的線左邊,曲線y

fx

x軸二、1

；2；3、n；4、發(fā)散p25、22 6、0；7、(1)n3三、當(dāng)

1時收斂于1

(b

a)1k

10 1

2

x4四、4

f(t)dt

,0x2.

1,2習(xí)題定積分及其相關(guān)問一、與定積分概念有關(guān)的問題用定積分概念與性質(zhì)求極用定積分性質(zhì)估1與變限積分有關(guān)的1例1

lim

xnexx

dx 1

xne解:因 時

01e

xn,所1xnex

001e

dx

0x

n1xnex利 準(zhǔn)則

01exdx說明思考例1下列做法對嗎

因為

依賴于n,且0

1例2

(考研98解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡化成積分和 nsink

nsin

nsinknn k而

k

nk

k

n

n 2n2nnklimnnklimsink 1sinxdx02

則例3證則證:令令得故例

f(

在區(qū)間[ab

(x)b證明b

f(x)dx

(b

a)2b b

(x) 根 不等bb

2b x)( b

2 2

(x

f

dxba2例5.求可微函數(shù)f(x解等式兩邊對x求導(dǎo)2f(

f(x)

f(

sin2cos不妨設(shè)f f(x)

f(x)dx1

2

cos1ln(22

x)f(x)

1ln(22

x)f(00得

1ln2 f(x)

1ln(22

x)

1ln3二、有關(guān)定積分計算和證明的方例6求

1

20解原式

x

x0 4(cos02 2

x)dx

4

cosx)dx例

0

1e2xdx. 令exsint,

xt0xt026xlnsint

dt sin

cos2sin 6cost(2

)dt 2 63 3 6sin

6

ln(2

3) 21[1例 求[1

sin8

ln2

1原式0

x)dx2

1ln(12

x)dx

2ln(10

3ln3

22例 2

min{x

,x2x2

xmin{x

,x2}2x2

x

是偶函數(shù)原式

20

1,x2}dx11

x2dx

2ln232例10選擇一個常數(shù)c解t

xc,

bctac

td因為被積函數(shù)為奇函數(shù),cac(bc) c

a2可使原式為0例11.證令因此

(x)

(0

x

224故所證等式成立例12f(x在[ab上連續(xù),在(ab內(nèi)可導(dǎo)f(x)

f(2

a存在,證明xa

x在(abf(x0在(abb2a2

baf(x)db

b在(ab相異的點bf(

a2)

a

f(x)d

(03考研證

f(2xa存在

f(2x

a)0,xa

x

xaf(x)在[ab]上連續(xù)f(a0.在(ab)內(nèi)單調(diào)增因

f(x)

所以ff(x)

f(a)

x(a,b)設(shè)Fx)

x2

g(x)gx

f(x)

F(

g(x)滿 中值定理條件于是存(a,bbaF(b)ba

F(a)

b2a2

(x2g(b)

g(a)

a

(t)d

f(t)d

xa

(t)dt

b2a2

b即ba

(t)d

f(

f()

f()

f()

f(a)在[a,]上 日中值定f

(a,代入(2)中結(jié)論bb2a2 ba

(t)d

f(

a)

f(

a2)

bab

f(x)d計算下列 (2

4x)2x

c0c

1cos2x

xcccx

te2tdt;

4.

x21

x)n2

x

(

6.0

ln(1

7.若

x)在[ab]上連續(xù)，證明存在

[ab]，bab

(x)dx

(b

abf2 f2

1(b

a)3

f(3

35

3.c5 25.3 1

n2 ln

ln8測驗題一、選擇題1、n

2

n2

n2 （A）0

（B）24

22

xln(t0

dt （B）ln(t21)；（C）2xln(x2 （D）2tln(t21)3、x0

xsint2dt x

B 3

0（A）e1

（B）2（C）e2 （D2 5、下列積分中，使用變換正確的是（33

,令1sin3x

xarctant

x31

x2dx，

xsint xln(1x2 1

1x

dx11

u

1x2dx，令xt 126、下列積分中，值為零的是 1211

x

x3dx11

dx

x2sin 7

f

1

f(2)3

f'(2)5,2則2

xf''(

（

x8

f(x)

1

f(

1 1 ,x=（

1e（A）1

ln(1

1)； （B）2e

ln(1

e2)

ln3；（C）1

ln(1

1)e

ln2;（D）1

ln(1

1)e

x2x （C）1ln4 322

0x

4x

ln3；

； ln3 二、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、Fx

1t1txx t

x2sint2.、由方程0t

dt

dt

1，

yx函數(shù)，求dy三、求下列定積分