專題13 概率統(tǒng)計解答題-【2023高考必備】2013-2022十年全國高考數(shù)學真題分類匯編（全國通用版）（原卷版）

2013-2022十年全國高考數(shù)學真題分類匯編專題13概率統(tǒng)計解答題一、解答題1．(2022年全國甲卷理科·第19題)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0．5，0．4，0．8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．2．(2022年全國乙卷理科·第19題)某地經過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：)和材積量(單位：)，得到如下數(shù)據：樣本號ｉ12345678910總和根部橫截面積0．040．060．040．080080．050．050．070．070．060．6材積量0．250．400．220．540．510．340．360．460．420．403．9并計算得．(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)(精確到0．01)；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關系數(shù)．3．(2022新高考全國II卷·第19題)在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的．從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．(以樣本數(shù)據中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0．0001)．4．(2022新高考全國I卷·第20題)一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．(ⅰ)證明：；(ⅱ)利用該調查數(shù)據，給出的估計值，并利用(ⅰ)的結果給出R的估計值．附，0．0500．0100．001k3．8416．63510．8285．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第21題)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．(1)已知，求；(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；(3)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義．6．(2021年新高考Ⅰ卷·第18題)某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0．8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0．6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．(1)若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；(2)為使累計得分期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．7．(2020年新高考I卷(山東卷)·第19題)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度(單位：)，得下表：3218468123710(1)估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；(2)根據所給數(shù)據，完成下面的列聯(lián)表：(3)根據(2)中列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，0．0500．0100．0013．8416．63510．8288．(2020新高考II卷(海南卷)·第19題)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度(單位：)，得下表：(1)估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；(2)根據所給數(shù)據，完成下面的列聯(lián)表：(3)根據(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，9．(2021年高考全國乙卷理科·第17題)某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據如下：舊設備9.810.31001029.99.810.010.110.29.7新設備10110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．(1)求，，，；(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．10．(2021年高考全國甲卷理科·第17題)甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?附：0．0500．0100．001k3．8416．63510．82811．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第19題)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束．經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設每場比賽雙方獲勝的概率都為，(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．12．(2020年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第18題)某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調查該地區(qū)某種野生動物數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數(shù)據(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，．(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(shù)(精確到0．01)；(3)根據現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關系數(shù)r=，≈1．414．13．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第18題)某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質量等級[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”．根據所給數(shù)據，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好附：，P(K2≥k)0．0500．0100．001k38416．63510．82814．(2019年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第17題)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比．根據試驗數(shù)據分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于”，根據直方圖得到的估計值為．(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表)．15．(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅱ卷理科·第18題)分制乒乓球比賽，每贏一球得分，當某局打成平后，每球交換發(fā)球權，先多得分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結果相互獨立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個球該局比賽結束．求；求事件“且甲獲勝”的概率．16．(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅰ卷理科·第21題)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定，對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為X．(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則()，其中，，．假設，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性．17．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷(理)·第18題)(12分)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種生產方式，為比較兩咱生產方式的效率，選取名工人，將他們隨機分成兩組，每組人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間(單位：)繪制了如下莖葉圖：第一種生產方式第二種生產方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；(2)求名工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)，并將完成生產任務所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產方式第二種生產方式(3)根據(2)的列聯(lián)表，能否有的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：18．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷(理)·第18題)(12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額(單位：億元)的折線圖．為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數(shù)據(時間變量的值依次為)建立模型①：；根據2010年至2016年的數(shù)據(時間變量的值依次為)建立模型②：．(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．19．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理)·第20題)(12分)某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．(2)現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．(i)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？20．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科·第19題)(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布．(1)假設生產狀態(tài)正常，記表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9．9510．129．969．9610．019．929．9810．0410．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據，用剩下的數(shù)據估計和(精確到0．01)．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．21．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第18題)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關．如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據,得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(Ⅱ)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?22．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第18題)(12分)淡水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)某頻率直方圖如下：(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50kg,估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關：箱產量＜50kg箱產量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值(精確到0．01)23．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第18題)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用相關系數(shù)加以說明;(Ⅱ)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.參考數(shù)據:,,,.參考公式:相關系數(shù)回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為:,.24．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第18題)(本題滿分12分)某險種的基本保費為(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下：一年內出險次數(shù)01234概率0．300．150．200．200．100．05(=1\*ROMANI)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(=2\*ROMANII)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率；(=3\*ROMANIII)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．25．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第19題)(本小題滿分12分)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(I)求的分布列；(=2\*ROMANII)若要求，確定的最小值；(=3\*ROMANIII)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在與之中選其一，應選用哪個？26．(2015高考數(shù)學新課標2理科·第18題)(本題滿分12分)某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579(Ⅰ)根據兩組數(shù)據完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，得出結論即可)；(Ⅱ)根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件：“地區(qū)用戶的滿意度等級高于地區(qū)用戶的滿意度等級”．假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立．根據所給數(shù)據，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求的概率．27．(2015高考數(shù)學新課標1理科·第19題)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費(單位：千元)對年銷售量(單位：)和年利潤(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量(=1,2，···，8)數(shù)據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。46．656．36．8289．81．61469108．8表中，。(Ⅰ)根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(Ⅱ)根據(Ⅰ)的判斷結果及表中數(shù)據，建立關于的回歸方程；(Ⅲ)已知這種產品的年利率與、的關系為．根據(Ⅱ)的結果回答下列問題：(i)年宣傳費時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？(ii)年宣傳費為何值時，年利率的預報值最大？附：對于一組數(shù)據,，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：、28．(2014高考數(shù)學課標2理科·第19題)(本小題滿分12分)某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2．93．33．64．44．85．25．9(Ⅰ)求y關于t的線性回歸方程；(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農村