機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)第一章教學(xué)課件

機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)MechanicalEngineeringMeasurementandTestTechnology12/6/20221教材：《機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)》

熊詩波黃長藝主編機(jī)械工業(yè)出版社參考書：《機(jī)械工程測(cè)量與試驗(yàn)技術(shù)》

黃長藝

盧文祥主編

機(jī)械工業(yè)出版社

總學(xué)時(shí)：

40=授課34+實(shí)驗(yàn)6成績：平時(shí)（出勤，作業(yè)）20%，考試80%，實(shí)驗(yàn)（出勤，報(bào)告）一票否決授課教師：吉野辰萌，y_教室：第1-9周，周一5,6節(jié)，一教#222

周四3,4節(jié)，逸夫樓#A20612/6/20222緒言（教材1-9頁）一、測(cè)試技術(shù)的重要性

測(cè)量—以確定被測(cè)物屬性量值為目的的全部操作。測(cè)試—是具有試驗(yàn)性質(zhì)的測(cè)量，可理解為測(cè)量與試驗(yàn)的結(jié)合。測(cè)試基本任務(wù)—獲取有用信號(hào)。12/6/20223二、測(cè)試過程和測(cè)試系統(tǒng)的一般組成

傳感器信號(hào)調(diào)理傳輸信號(hào)處理顯示記錄

激勵(lì)裝置反饋、控制觀察者被測(cè)對(duì)象傳感器—直接作用于被測(cè)量，按一定規(guī)律將被測(cè)量轉(zhuǎn)換成同樣或別種量輸出（通常是電信號(hào)）的器件。信號(hào)調(diào)理—把來自傳感器的信號(hào)進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成更適合傳輸和處理的形式。如幅值放大、阻抗轉(zhuǎn)換成電壓、頻率等。信號(hào)處理—進(jìn)行各種運(yùn)算、濾波分析、結(jié)果輸出、記錄和控制系統(tǒng)。12/6/20224激勵(lì)裝置—有些信息來自可檢測(cè)信號(hào)，用激勵(lì)裝置使其處于充分顯示這些參量特性的狀態(tài)中，以有效檢測(cè)載有這些消息的信號(hào)。消息—隱含于按一定規(guī)則組織起來的約定“符號(hào)”中的信息。信號(hào)—把消息轉(zhuǎn)換成更便于傳輸和處理的信息。信號(hào)是消息的載體，是消息的一種表現(xiàn)形式。信號(hào)分類—電信號(hào)、光信號(hào)、力信號(hào)、磁信號(hào)等。傳感器信號(hào)調(diào)理傳輸信號(hào)處理顯示記錄

激勵(lì)裝置反饋、控制觀察者被測(cè)對(duì)象12/6/20225三、課程研究內(nèi)容和性質(zhì)教學(xué)目的：對(duì)現(xiàn)代動(dòng)態(tài)測(cè)試工作有一個(gè)較完整的概念，并運(yùn)用于機(jī)械工程中某些參數(shù)的測(cè)試。能夠確定檢測(cè)機(jī)械工程中各種物理量的測(cè)試方法，設(shè)計(jì)合理的測(cè)試系統(tǒng)，初步掌握測(cè)試信號(hào)的分析與處理方法。12/6/20226學(xué)習(xí)內(nèi)容：（1）信號(hào)時(shí)域和頻域描述方法，建立信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)的概念，掌握頻譜分析和相關(guān)分析的基本原理和方法。（2）掌握測(cè)量裝置基本特性的評(píng)價(jià)方法和不失真測(cè)試條件，掌握一階、二階線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及其測(cè)定方法。（3）了解常用傳感器，常用信號(hào)調(diào)理工作原理和性能，較合理運(yùn)用。數(shù)字信號(hào)處理初步。12/6/20227四、測(cè)試技術(shù)的概況與發(fā)展（自學(xué)第一節(jié)）1、電路改進(jìn)

采用放大電路和集成電路，提高其性能。

2、新型傳感器應(yīng)用

（1）物性型傳感器開發(fā)（2）集成、智能化傳感器的開發(fā)（a）變參量測(cè)量化傳感器（b）傳感器與放大、運(yùn)算、補(bǔ)償電路一體化。

（3）化學(xué)傳感器開發(fā)3、廣泛應(yīng)用信息技術(shù)4、多變量測(cè)量系統(tǒng)的開發(fā)12/6/2022812/6/2022912/6/202210五、測(cè)量的基礎(chǔ)知識(shí)（自學(xué)第二節(jié)一至八）

一、量與量綱量值：用數(shù)值和計(jì)量單位的乘積來表示，用于定量地表達(dá)被測(cè)對(duì)象相應(yīng)屬性的大小(如3.4m；15kg；40℃)量綱：代表一個(gè)實(shí)體（被測(cè)量）的確定特征，而量綱單位則是該實(shí)體的量化基礎(chǔ)。如長度是一個(gè)量綱，而厘米則是長度的一個(gè)單位。一個(gè)量綱是惟一的，然而一種特定的量綱則可用不同的單位來測(cè)量。12/6/202211二、法定計(jì)量單位1）基本單位和單位代碼：國際單位制(SI)

長度—米(Metre)米(m)

質(zhì)量—千克(Kilogram)千克(kg)

時(shí)間—秒(Second)秒(s)

溫度—開爾文(Kelvn)開(K)

電流—安培(Ampere)安(A)

發(fā)光強(qiáng)度—坎德拉(Candela)坎(cd)

物質(zhì)的量—摩爾(Mol)摩(mol)12/6/2022122）輔助單位弧度（rad）：是一個(gè)圓內(nèi)兩條半徑在圓周上所截取的弧長與半徑相等時(shí)，它們所夾的平面角的大小。 球面度（sr）：是一個(gè)立體角，其頂點(diǎn)位于 球心，而它在球面上所截取的面積等于以球 半徑為邊長的正方形面積。3）導(dǎo)出單位 在基本單位和輔助單位選定后，按物理量之 間的關(guān)系，由基本單位和輔助單位以相乘或 相除所構(gòu)成的單位。12/6/202213三、測(cè)量方法直接測(cè)量：無需經(jīng)過函數(shù)關(guān)系計(jì)算，直接通過測(cè)量儀器得到被測(cè)值的測(cè)量。如測(cè)溫度、測(cè)尺寸?？煞譃榈染?等權(quán))直接測(cè)量；不等精度(不等權(quán))直接測(cè)量。間接測(cè)量：指在直接測(cè)量的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知函數(shù)關(guān)系，計(jì)算出被測(cè)量的量值的測(cè)量。組合測(cè)量：將直接測(cè)量或間接測(cè)量與被測(cè)量值之間按已知關(guān)系組成一組方程(函數(shù)關(guān)系)，通過解方程組得到被測(cè)值的方法。12/6/202214四、基準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)基準(zhǔn)：是用來保存、復(fù)現(xiàn)計(jì)量單位的計(jì)量器具。國家基準(zhǔn)：在特定計(jì)量領(lǐng)域內(nèi)，用來保存和復(fù)現(xiàn)該領(lǐng)域計(jì)量單位并具有最高的計(jì)量特性，經(jīng)國家鑒定、批準(zhǔn)作為統(tǒng)一全國量值最高依據(jù)的計(jì)量器具。副基準(zhǔn)：通過與國家基準(zhǔn)對(duì)比或校準(zhǔn)來確定其量值，并經(jīng)國家鑒定、批準(zhǔn)的計(jì)量器具，副基準(zhǔn)的位置僅低于國家基準(zhǔn)。工作基準(zhǔn)：通過與國家基準(zhǔn)或副基準(zhǔn)對(duì)比或校準(zhǔn)，用來檢定計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)量器具。12/6/202215五、測(cè)量誤差1)誤差定義：測(cè)量誤差=測(cè)量結(jié)果-真值(0-1)2)誤差分類：系統(tǒng)誤差—對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量過程中，出現(xiàn)某種保持恒定或按照確定的方式變化的誤差。隨機(jī)誤差—對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量中，誤差的正負(fù)號(hào)和絕對(duì)值以不可預(yù)知的方式變化。粗大誤差—是一種明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期誤差范圍的誤差。3)誤差表示：絕對(duì)誤差，用(0-1)公式計(jì)算相對(duì)誤差=絕對(duì)誤差÷真值12/6/202216第一章信號(hào)及其描述第一節(jié)信號(hào)分類與描述

一、信號(hào)的分類

信號(hào)分類確定性信號(hào)隨機(jī)信號(hào)連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)能量信號(hào)功率信號(hào)周期信號(hào)非周期信號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào)瞬變非周期信號(hào)12/6/202217（一）確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)1、確定性信號(hào)—可表示為一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，因而可確定其任何時(shí)刻的量值。2、隨機(jī)信號(hào)—一種不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其未來瞬時(shí)值，也無法用數(shù)學(xué)關(guān)系描述，它具有某些統(tǒng)計(jì)特征，由概率統(tǒng)計(jì)來估計(jì)其未來。12/6/2022181、確定性信號(hào)(1)周期信號(hào)—按一定時(shí)間間隔而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)，無始無終的信號(hào)，可表示為：x(t)=x(t+nT0)(n=1,2,3,…)(1-1)

式中T0—周期Ax(t)km（1-2）如單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)x0,φ0—取決于初始條件的常數(shù)m

—質(zhì)量

k

—彈簧剛度t—時(shí)間12/6/202219(2)非周期信號(hào)—確定性信號(hào)中那些不具有周期重復(fù)性

的信號(hào)。

(a)準(zhǔn)周期信號(hào)—由兩種以上周期信號(hào)合成，但其

組成分量間無法找到公共周期（但有離散頻譜）。

(b)瞬變非周期信號(hào)—在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)存在，且

隨時(shí)間增長而衰減至零的信號(hào)。(1-3)衰減振蕩信號(hào)

如單質(zhì)點(diǎn)自由度加阻尼振動(dòng)，其質(zhì)點(diǎn)位移x(t)可表示為：12/6/202220連續(xù)信號(hào)x(t)t0離散信號(hào)x(t)t0（二）連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)連續(xù)信號(hào)—信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式中的獨(dú)立變量取

值是連續(xù)的則稱為連續(xù)信號(hào)。離散信號(hào)—若獨(dú)立變量取離散值，則稱為離

散信號(hào)。12/6/202221（三）能量信號(hào)和功率信號(hào)x(t)—電壓信號(hào)，加到電阻R上，其瞬間功率為：若R=1時(shí)信號(hào)的能量為當(dāng)x(t)滿足(1-4)則認(rèn)為信號(hào)的能量是有限的，并稱之為能量有限信號(hào)，簡稱能量信號(hào)。12/6/202222這種信號(hào)稱為功率有限信號(hào)或功率信號(hào)。而在有限區(qū)間（t1,t2）的平均功率是有限的，即若信號(hào)在區(qū)間（-∞，+∞）的能量是無限的，即→∞

（1-5）

（1-6）12/6/202223二、信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述時(shí)域描述：直接觀測(cè)或測(cè)量的信號(hào)，一般以

時(shí)間為獨(dú)立變量描述。特點(diǎn)：直接反映信號(hào)幅值隨時(shí)間變化的

關(guān)系。頻域描述：把時(shí)域描述信號(hào)經(jīng)適當(dāng)方法變換，

以頻率為獨(dú)立變量來表示的信號(hào)。特點(diǎn)：分解信號(hào)頻率結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)頻率與

幅值、頻率與相位的關(guān)系。12/6/20222412/6/20222512/6/20222612/6/20222712/6/20222812/6/202229第二節(jié)周期信號(hào)與離散頻譜一、傅里葉級(jí)數(shù)(Fourierseries)的三角函數(shù)展開式

在有限區(qū)間上,凡滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)x(t),均可展開成傅里葉級(jí)數(shù)（1-7）常值分量余弦分量正弦分量

其中T0—x(t)的周期

ω0=2π/T0（圓頻率）n=1,2,3,…（1-8）12/6/202230將式（1-7）改寫成（1-9）（頻域描述）式中bnan12/6/202231的關(guān)系為幅頻譜，的關(guān)系為相頻譜?？梢?，周期信號(hào)是由無數(shù)多個(gè)不同頻率的諧波疊加而成的。各頻率成分是ω0的整數(shù)倍，相鄰頻率間隔為

Δω0=ω0=2π/Τ0，ω0—基頻，稱為n次諧波。二、周期信號(hào)的幅頻譜和相頻譜0ωAnω02ω0幅頻譜和相頻譜示意圖3ω04ω00ωφnω03ω0A1A2A3A4a0φ1φ2φ3φ4

2ω04ω012/6/202232式中將該周期方波應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)展開，可得例：一個(gè)周期方波的一種時(shí)域描述形式表示為：-T0T0周期方波-AA-T0/2T0/2t0x(t)x(t)=x(t+nT0)

A

0<t<T0/2x(t）=

-A-T0/2<t<012/6/202233表明該周期方波由一系列幅值和頻率不等，相角為零的正弦信號(hào)此式可寫成其中

ω=nω0

n=1,3,5,…可見，若視t為參變量，以ω為獨(dú)立變量，則此式即為周期方波的頻域描述。

疊加而成。12/6/202234付氏級(jí)數(shù)展開-T0/2tT0/20-AAx(t)例：一個(gè)周期方波的一種時(shí)域描述形式表示為：12/6/202235令式中第一項(xiàng)t=-t,則同理，令式中第一項(xiàng)t=-t

，則12/6/202236所以0ωAnω03ω0圖1-9周期方波信號(hào)的頻譜圖5ω07ω00ωφnω03ω05ω07ω012/6/202237φn=0t*****多值性：φnor

2kπ+φn取值范圍：-π?πor0?2π12/6/20223812/6/2022390bnanan>0bn>0an>0bn<0an<0bn<0an<0bn>012/6/202240同理，可展成余弦函數(shù)12/6/202241二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式根據(jù)毆拉公式（1-10）（1-11）（1-12）0ReIm12/6/202242將（1-11）（1-12）兩式代入（1-7）式，得(1-13)令(1-14a)(1-14b)(1-14c)（1-7）12/6/202243則或?qū)⑹剑?-8）代入式（1-14b）和（1-14c）得]sin(cos)([102/2/0000dtt)njtntxTTTò--=ww12/6/202244同理合并為(1-16)(n=0,+1,+2,···）(n=0,+1,+2,···）(m=-1,-2,···）12/6/202245說明：（1-17）式中（1-18）（1-19）與共軛，即;2．頻譜圖(Spectrummap)

作幅頻譜圖（偶函數(shù)）作相頻譜圖（奇函數(shù)）作實(shí)頻譜圖作虛頻譜圖1．表示方法一般情況下，cn是復(fù)數(shù)，可以寫成12/6/2022463．比較復(fù)指數(shù)形式雙邊譜三角函數(shù)形式單邊譜4．負(fù)頻率當(dāng)n

取負(fù)值時(shí)，諧波頻率 為“負(fù)頻率”，實(shí)際上角速度按其旋轉(zhuǎn)方向可以有正有負(fù)。0A/2ReImAω0

-ω0

φ

-φ

12/6/202247?￥=++=1000sincos)(ntntnatxwwnc-nc+)(nc-nc-)j(][12/6/202248周期信號(hào)頻譜具有三個(gè)特點(diǎn)：（1）周期信號(hào)的頻譜是離散的。（2）每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)。（3）各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相位角。12/6/202249三、周期信號(hào)的強(qiáng)度表示（詳見圖1-10）峰值xp：信號(hào)可能出現(xiàn)的最大瞬時(shí)值。(1-20)峰-峰值xp-p：在一個(gè)周期中最大瞬時(shí)值與最小瞬時(shí)值之差。周期信號(hào)的均值： (常值分量)周期信號(hào)的絕對(duì)均值： (全波整流)有效值： (信號(hào)的均方根值)有效值的平方： (信號(hào)的平均功率)(1-21)(1-22)(1-23)(1-24)12/6/20225012/6/202251第三節(jié)瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜衰減振蕩函數(shù)t指數(shù)衰減函數(shù)x(t)0t矩形脈沖函數(shù)x(t)0單一脈沖函數(shù)tx(t)0tx(t)0一．傅里葉變換(Fouriertransform)

周期為T0的信號(hào)其頻譜是離散的，當(dāng)時(shí)，頻率間隔無窮小，譜線無限靠近，最后演變成一條連續(xù)曲線。所以非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的，可理解為將非周期信號(hào)由無限多個(gè)頻率無限接近的頻率成分所組成的。

12/6/202252設(shè)有一個(gè)周期信號(hào)在區(qū)間以傅里葉級(jí)數(shù)表示為式中代入上式(1-25)著名的付里葉積分

12/6/202253上式圓括號(hào)中積分后為ω的函數(shù)，傅立葉變換（1-26）傅立葉逆變換（1-27）兩者為付里葉變換對(duì)，可記為把ω=2πf

代入(1-25)中，則(1-26)(1-27)變?yōu)椋?-28）（1-29）二者關(guān)系為(1-30)記為X(ω)12/6/202254式中為信號(hào)的連續(xù)幅頻譜，為連續(xù)相頻譜。一般是實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)，可以寫成（1-31）

注意：非周期信號(hào)的幅頻譜和周期信號(hào)幅頻譜很相似，但兩者是差別的，表現(xiàn)在量綱上。?的量綱與信號(hào)幅值量綱不一樣，它是單位頻寬上的幅值，更確切地說是頻譜密度函數(shù)。?量綱與信號(hào)幅值的量綱一樣。12/6/202255例1-3求矩形窗函數(shù)w(t)的頻譜定義：

（1-32）解：根據(jù)歐拉公式代入上式（1-33）式中T—窗寬12/6/202256上式中定義圖形見右圖1θ3π4π-π0π2πsincθ

函數(shù)只有實(shí)部，沒有虛部。其幅頻譜為（1-34）其相位頻譜視的符號(hào)而定，當(dāng)為正值時(shí)相角為零，為負(fù)值時(shí)相角為12/6/2022571-T/2T/2t0w(t)IeRe<0Re>0Re-4/T-3/T-2/T–1/T1/T

2/T

3/T

4/Tπf-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0TW(f)φ(f)0圖1-1212/6/202258二．傅里葉變換的主要性質(zhì)傅里葉變換把信號(hào)的時(shí)域與頻域描述建立對(duì)應(yīng)關(guān)系（一）奇偶虛實(shí)性一般X(f)是實(shí)變量f的復(fù)變函數(shù)，由歐拉公式可寫成（1-35）式中（1-36）（1-37）12/6/202259·

x(t)為實(shí)函數(shù)→

實(shí)部為偶函數(shù)虛部為奇函數(shù)·x(t)為實(shí)偶函數(shù)→

為實(shí)偶函數(shù)，·x(t)為實(shí)奇函數(shù)→

為虛奇函數(shù)，·x(t)為虛偶函數(shù)→

為虛偶函數(shù)，·x(t)為虛奇函數(shù)→

為實(shí)奇函數(shù)，此性質(zhì)有助于估計(jì)傅立葉變換對(duì)的響應(yīng)圖形性質(zhì)，減少計(jì)算?！墒剑?-36）和（1-37）知12/6/202260（二）對(duì)稱性若證明:由令u和f對(duì)換令u=t

所以證畢0A-T/2T/2t0x(t)-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0ATX(f)x(f)-f0/2fAf0/2-2/f0t2/f0-1/f01/f00Af0X(t)12/6/202261（三）時(shí)間尺度改變特性若證明：(1)當(dāng)時(shí)間尺度壓縮(k>1)時(shí)，圖c其頻譜的頻帶加寬，幅值降低。

(2)當(dāng)時(shí)間尺度擴(kuò)展(k<1)時(shí)，圖a其頻譜的頻帶邊窄，幅值增高。(3)壓縮時(shí)間尺度,提高處理信號(hào)效率,后續(xù)處理頻帶加寬,容易失真。

(4)擴(kuò)展時(shí)間尺度，處理后續(xù)信號(hào)容易，但效率太低。

0X(f)-1/2T1/2TX(f/2)/200-2/T2/T-1/T1/TAT/22ATAT2X(2f)fffAx(2t)-T/20T/2-TTttt-T/40T/4x(t)0AAx(t/2)擴(kuò)展k=0.5正常k=1壓縮k=2a)b)c)12/6/202262(四)時(shí)移和頻移特性1．若（1-40）證明：令t=t-t0

代入上式所以（時(shí)移特性）12/6/20226312/6/202264式(1-40)說明將信號(hào)時(shí)域中平移，其幅頻譜不變，而相位譜中相角的改變量與頻率f成正比，即。三次諧波的頻率為3f0

，則相移為以教科書21頁表1-1的方波相頻譜為例，其中，則基波頻率為，相移為400Tt=12/6/2022652．如（1-41）證明：令所以由歐拉公式知式（1-41）左側(cè)是時(shí)域信號(hào)x(t)與頻率為f0的正、余弦信號(hào)之和的乘積。（頻移特性）12/6/202266若則（1-42）證明：交換積分順序根據(jù)時(shí)移特性（五）卷積定理1時(shí)域卷積

和卷積定義為：12/6/202267（五）卷積定理2頻域卷積

若則（1-43）證明：交換積分順序根據(jù)頻移特性證畢12/6/202268（六）微分和積分特性由于（1-29）對(duì)式(1-29)中t進(jìn)行微分同理（1-44）12/6/202269對(duì)式(1-28)中f進(jìn)行微分同理（1-45）同樣可證明（1-46）（1-28）12/6/202270三、幾種典型信號(hào)的頻譜（一）矩形窗函數(shù)的頻譜從上例1-3中看出：（1）一個(gè)時(shí)域有限區(qū)間內(nèi)的信號(hào)，其頻譜卻延伸至無限頻率。（2）在f=0～±1/T之間的譜峰，幅值最大，稱為主瓣，兩側(cè)峰值稱為旁瓣。（3）主瓣寬度為2/T與時(shí)域窗寬度T成反比，T↑→截取時(shí)間長，主瓣寬度小。（4）在時(shí)域中截取信號(hào)一段記錄相當(dāng)w(t)x(t)W(f)*X(f)1-T/2T/2t0x(t)IeRe<0Re>0Re-4/T-3/T-2/T–1/T1/T;;2/T;

3/T;4/Tπf-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0TW(f)φ(f)012/6/202271（二）δ函數(shù)及其頻譜1．δ函數(shù)的定義在ε時(shí)間內(nèi)激發(fā)一個(gè)矩形脈沖（或三角脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖等),其面積為1。當(dāng)時(shí)，有（1-47）從面積(通常稱其為δ函數(shù)的強(qiáng)度)的角度看（1-48）t矩形脈沖-ε/20ε/21/εSε(t)01δ(t)tδ函數(shù)12/6/2022722．δ函數(shù)的采樣性質(zhì)由δ(t)函數(shù)性質(zhì)強(qiáng)度為f(0)的δ(t)函數(shù)從數(shù)值上看從面積（強(qiáng)度）看則為f(0)，即(1-49)對(duì)于延時(shí)δ函數(shù)δ(t-t0),它與f(t)乘積只在t=t0時(shí)刻不等于零即積分(1-50)12/6/202273

從式（1-49）和（1-50）表明:（1）任意函數(shù)f(t)與δ(t-t0)的乘積是一個(gè)強(qiáng)度為f(t0)的δ函數(shù)δ(t-t0)。（2）該乘積在有限區(qū)間的積分是f(t)在t=t0的值f(t0)（3）此性質(zhì)對(duì)連續(xù)信號(hào)的離散采樣是十分重要的。12/6/2022743．δ函數(shù)與其它函數(shù)的卷積x(t)與δ函數(shù)的卷積為由于δ函數(shù)為偶函數(shù)

所以（1-51）同理當(dāng)δ函數(shù)為δ(t±t0)時(shí)可見,函數(shù)x(t)與δ函數(shù)的卷積結(jié)果就是發(fā)生在δ函數(shù)坐標(biāo)位置上(坐標(biāo)原點(diǎn))簡單將函數(shù)重構(gòu)圖。A0tx(t)*δ(t)0tAx(t)01tδ(t)-t00t0tx(t)*δ(t+t0)x(t)*δ(t-t0)x(t)*δ(t±t0)0tx(t)t-t00t0δ(t+t0)δ(t-t0)δ(t±t0)12/6/2022754．δ(t)的頻譜密度(1-53)其逆變換為(1-54)f01Δ(f)t01δ(t)δ函數(shù)具有無限寬頻譜，而且是等強(qiáng)度的，也稱為“均勻譜”。根據(jù)付里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)、時(shí)移性質(zhì)和頻移性質(zhì)，可得到以下付里葉變換對(duì)

時(shí)

域

頻

域

δ(t)←→1

（單位瞬時(shí)脈沖）

（均勻頻譜密度函數(shù)）

1←→δ(f)

（幅值為1的直流量）

（在f=0處有脈沖譜線）

δ(t-t0)←→e-j2πft0

（δ函數(shù)時(shí)移t0）

(各頻率成分分別相移-2πft0)ej2πf0t

←→δ(f-f0)

(復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù))（將δ（f）頻移到f0）(1-55)12/6/202276（三）正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)據(jù)歐拉公式可推出用式(1-55)傅里葉變換對(duì)(1-56)(1-57)看出：正、余弦函數(shù)是把頻域中兩個(gè)δ函數(shù)向不同方向頻移后的差或和的付里葉逆變換，參見函數(shù)和頻譜圖。1/21/2-f0f0-f0f0-1/21/200ffImX(f)x(t)=cos2πf0tx(t)=sin2πf0t00ttReX(f)頻譜密度12/6/202277（四）周期單位脈沖序列的頻譜密度此序列常稱為梳狀函數(shù)，并用comb(t,Ts)表示（1-58）式中Ts—周期n=±1,±2,…因此，此函數(shù)是周期函數(shù)。表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式（1-59）式中

fs=1/Ts，系數(shù)Ck為因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)，式（1-58）中只有一個(gè)δ函數(shù)δ(t)，且所以12/6/202278式（1-59）變成根據(jù)式（1-55）可得comb(t,Ts)函數(shù)頻譜comb