保險精算學(xué)-躉繳純保費3

第四章人壽保險躉繳純保費的厘定

第三節(jié)死亡即刻賠付躉繳純保費的厘定死亡即刻賠付死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。利息強度回顧:利息力與利率的關(guān)系回顧:死亡效力定義：的瞬時死亡率，簡記死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系回顧:死亡效力與剩余壽命死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)即剩余壽命的分布函數(shù)tqx基本符號

——投保年齡的人。

——人的極限年齡

——保險金給付函數(shù)。

——貼現(xiàn)函數(shù)。

——保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值1、n年定期壽險定義保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。假定：歲的人，保額1元n年定期壽險基本函數(shù)關(guān)系躉繳純保費的厘定符號：厘定：現(xiàn)值隨機變量的方差方差公式記（相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費）所以方差等價為例4.3.1設(shè)計算例4.3.1答案2、終身壽壽險定義保險人對被被保險人在在投保后任任何時刻發(fā)發(fā)生的保險險責任范圍圍內(nèi)的死亡亡均給付保保險金的險險種。假定：歲歲的人人，保額1元終身壽壽險基本函數(shù)關(guān)關(guān)系躉繳純保費費的厘定符號：厘定：現(xiàn)值隨機變變量的方差差方差公式記所以以方方差差等等價價為為例4.3.2設(shè)(x)投保保終終身身壽壽險險，，保保險險金金額額為為1元元保險險金金在在死死亡亡即即刻刻賠賠付付簽單單時時，，(x)的剩剩余余壽壽命命的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為計算算例4.3.2答案案例4.3.2答案案3、、延延期期終終身身壽壽險險定義義保險險人人對對被被保保險險人人在在投投保保m年后后發(fā)發(fā)生生的的保保險險責責任任范范圍圍內(nèi)內(nèi)的的死死亡亡均均給給付付保保險險金金的的險險種種。。假定定：：歲歲的的人人，，保保額額1元元，，延延期期m年的的終終身身壽壽險險基本本函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系死亡亡即即付付定定期期壽壽險險躉躉繳繳純純保保費費的的厘厘定定符號號：：厘定定：：現(xiàn)值值隨隨機機變變量量的的方方差差方差差公公式式記所以以方方差差等等價價于于例4.3.3假設(shè)設(shè)（（x））投保保延延期期10年年的的終終身身壽壽險險，，保保額額1元元。。保險險金金在在死死亡亡即即刻刻賠賠付付。。已知知求：：例4.3.3答案案4、、n年定定期期生生存存保保險險定義義被保保險險人人投投保保后后生生存存至至n年期期滿滿時時，，保保險險人人在在第第n年末末支支付付保保險險金金的的保保險險。。假定定：：歲歲的的人人，，保保額額1元元，，n年定定期期生生存存保保險險基本本函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系躉繳繳純純保保費費的的厘厘定定符號號：：躉繳繳純純保保費費厘厘定定現(xiàn)值值隨隨機機變變量量的的方方差差：：5、、n年定定期期兩兩全全保保險險定義義被保保險險人人投投保保后后如如果果在在n年期期內(nèi)內(nèi)發(fā)發(fā)生生保保險險責責任任范范圍圍內(nèi)內(nèi)的的死死亡亡，，保保險險人人即即刻刻給給付付保保險險金金；；如如果果被被保保險險人人生生存存至至n年期期滿滿，，保保險險人人在在第第n年末末支支付付保保險險金金的的保保險險。。它它等等價價于于n年生生存存保保險險加加上上n年定定期期壽壽險險的的組組合合。。假定定：：歲歲的的人人，，保保額額1元元，，n年定定期期兩兩全全保保險險基本本函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系躉繳繳純純保保費費的的厘厘定定符號號：：厘定定記：：n年定定期期壽壽險險現(xiàn)現(xiàn)值值隨隨機機變變量量為為n年定定期期生生存存險險現(xiàn)現(xiàn)值值隨隨機機變變量量為為n年定定期期兩兩全全險險現(xiàn)現(xiàn)值值隨隨機機變變量量為為已知知則現(xiàn)值值隨隨機機變變量量方方差差因為為所以以2222例4.3.4（例例4.3.1續(xù)））設(shè)計算算例4.3.4答案案26、、延期期m年n年定定期期兩兩全全保保險險定義義被保保險險人人在在投投保保后后的的前前m年內(nèi)內(nèi)的的死死亡亡不不獲獲賠賠償償，，從從第第m+1年開開始始為為期期n年的的定定期期兩兩全全保保險險假定定：：歲歲的的人人，，保保額額1元元，，延延期期m年的的n年定定期期兩兩全全保保險險基本本函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系躉繳繳純純保保費費的的厘厘定定符號號：：厘定定現(xiàn)值值隨隨機機變變量量的的方方差差記：：m年延延期期n年定定期期壽壽險險現(xiàn)現(xiàn)值值隨隨機機變變量量為為m年延延期期n年定定期期生生存存險險現(xiàn)現(xiàn)值值隨隨機機變變量量為為m年延延期期n年定定期期兩兩全全險險現(xiàn)現(xiàn)值值隨隨機機變變量量為為已知知則27、、遞遞增增終終身身壽壽險險定義義：：遞遞增增終終身身壽壽險險是是變變額額受受益益保保險險的的一一種種特特殊殊情情況況。。假假定定受受益益金金額額為為剩剩余余壽壽命命的的線線性性遞遞增增函函數(shù)數(shù)特別別：：一年年遞遞增增一一次次一年年遞遞增增m次一年年遞遞增增無無窮窮次次（（連連續(xù)續(xù)遞遞增增））保險險利利益益：：如被被保保險險人人在在第第一一保保單單年年度度內(nèi)內(nèi)死死亡亡，，則則在在死死亡亡時時立立即即給給付付保保險險金金1元，，如被被保保險險人人在在第第二二保保單單年年度度內(nèi)內(nèi)死死亡亡，，則則在在死死亡亡時時立立即即給給付付保保險險金金2元，，。。。。。。。。。一年年遞遞增增一一次次一年年遞遞增增一一次次現(xiàn)值值隨隨機機變變量量躉繳繳保保費費厘厘定定將每每一一個個保保單單年年度度分分為為均均等等的的m個時時間間段段，，如被被保保險險人人在在第第一一保保單單年年度度的的第第一一個個1/m年內(nèi)內(nèi)死死亡亡，，則則在在死死亡亡時時立立即即給給付付保保險險金金1/m元，，如被被保保險險人人在在第第一一保保單單年年度度的的第第二二個個1/m年內(nèi)死亡亡，則在在死亡時時立即給給付保險險金2/m元，。。。。。。如被保險險人在第第二保單單年度的的第一個個1/m年內(nèi)死亡亡，則在在死亡時時立即給給付保險險金1+1/m元，如被保險險人在第第二保單單年度的的第二個個1/m年內(nèi)死亡亡，則在在死亡時時立即給給付保險險金1+2/m元，。。。。。。。。一年遞遞增m次一年遞遞增m次現(xiàn)值隨隨機變變量躉繳保保費厘厘定一年遞遞增無無窮次次（連連續(xù)遞遞增））現(xiàn)值隨隨機變變量躉繳保保費厘厘定如被保保險人人在時時刻T時死亡亡，則則在死死亡時時立即即給付付保險險金T元8、遞遞減定定期壽壽險定義：遞減減定期壽險險是變額受受益保險的的另一種特特殊情況。。假定受益益金額為剩剩余壽命的的線性遞減減函數(shù)特別：一年遞減一一次一年遞減m次一年遞減無無窮次（連連續(xù)遞減））一年遞減一一次現(xiàn)值隨機變變量躉繳保費厘厘定一年遞減m次現(xiàn)值隨機變變量躉繳保費厘厘定一年遞減無無窮次（連連續(xù)遞減））現(xiàn)值隨機變變量躉繳保費厘厘定死亡即刻賠賠付與死亡亡年末賠付付的關(guān)系（（剩余壽壽命在分數(shù)數(shù)時期均勻勻分布假定定）以終身壽險險為例，有有剩余壽命命等于整值值剩余壽命命加死亡之之年分數(shù)生生存壽命：：則有死亡年末給給付與死亡亡即刻給付付躉繳純保保費之間的的關(guān)系(UDD)在滿足如下下兩個條件件的情況下下，死亡即即刻賠付凈凈躉繳純保保費是死亡亡年末賠付付凈躉繳純純保費的倍倍。。條件1：條件2：只依賴于剩剩余壽命的的整數(shù)部分分，即例4.3.6（x）歲的人投保保5年期的的兩全保險險，保險金金額為1萬萬元，保險險金死亡即即刻給付，，按附錄2示例生命命表計算（1）20歲的人按按實質(zhì)利率率為2.5%計算的的躉繳純保保費。（2）60歲的人按按實質(zhì)利率率為2.5%計算的的躉繳純保保費。（3）20歲的人按按實質(zhì)利率率為6%計計算的躉繳繳純保費。。（4）60歲的人按按實質(zhì)利率率為6%計計算的躉繳繳純保費。。例4.3.6答案例4.3.7對（50））歲的男性性第一年死死亡即刻給給付5000元，第第二年死亡亡即刻給付付4000元，以此此按年遞減減5年期人人壽保險，，根據(jù)附錄錄2生命表表，以及死死亡均勻分分布假定，，按年實質(zhì)質(zhì)利率6%計算躉繳繳純保費。。例4.3.7答案第四節(jié)遞歸方程式式離散型終身身壽險的躉躉繳保費的的遞推公式式躉繳純保費費遞推公式式公式一：(x)以躉繳純保保費Ax元購買離散散型單位金金額終身壽壽險,所得到保險險利益是,如被保險人人在第一個個保單年度度內(nèi)死亡,則在該保單單年度末時時給付保險險金1元.如在第一年年末仍生存存,則保險人在在此時以金金額Ax+1元為被保險險人購買一一張1元的終身壽壽險保單,作為對該保保險人在x+1歲時的”生存給付”.躉繳純保費費遞推公式式公式一：理解:(x)的單位金額額終身壽險險在第一年年末的價值值等于(x)在第一年死死亡的情況況下1單位的賠付付額,或生生存滿一年年的情況下下凈躉繳保保費。。若在公式一一中用(1-qx)代替px,并兩邊乘以以(1+i)lx,則可得如下下公式二.躉繳純保費費遞推公式式公式二：解釋：個x歲的被保險險人所繳的的躉繳保費費之和經(jīng)過過一年的積積累，當年年年末可為為所有的被被保險人提提供次年的的凈躉繳保保費，，還可可以為所有有在當年