貝葉斯分析方法在投資組合中的應(yīng)用1

貝葉斯分析方法在投資組合中的應(yīng)用1摘要：傳統(tǒng)的均值—方差模型在投資組合理論中的應(yīng)用通常做法是將參數(shù)估計(jì)當(dāng)成真實(shí)取值，但是這樣卻忽略了風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)對(duì)投資的影響。因而，本文試圖將貝葉斯分析方法引入均值—方差模型，用于估計(jì)參數(shù)。研究表示清楚這種方法將有效地避免傳統(tǒng)均值—方差模型對(duì)參數(shù)取值的敏感性，能夠顯著提升模型的穩(wěn)定性。本文關(guān)鍵詞語(yǔ)：貝葉斯分析、投資組合、均值—方差模型引言1952年馬克威茲發(fā)表了一篇題為〔投資組合選擇〕的論文，成為現(xiàn)代投資組合理論的開(kāi)山之作。該理論框架重要思想是將方差用于量化風(fēng)險(xiǎn)，并以此為基礎(chǔ)建立風(fēng)險(xiǎn)—收益分析框架。[1]經(jīng)典投資組合理論建立在投資者在做出決策時(shí)清楚地了解所有信息，十分是金融資產(chǎn)的參數(shù)〔如資產(chǎn)收益率的期望和方差〕的假設(shè)之上。但是，這一假設(shè)很難成立。投資者往往在不知道確切的參數(shù)值時(shí)就做出投資決策，這就需要對(duì)非確切參數(shù)進(jìn)行估計(jì)了。因而，估計(jì)誤差將會(huì)對(duì)投資組合帶來(lái)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。所以，近年來(lái)，研究的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到怎樣解決估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)在投資組合及最優(yōu)投資組合中的影響之上。根據(jù)問(wèn)題的特殊性，我們?cè)噲D找到一種解決途徑——貝葉斯分析方法。在該方法下，收益率的均值和方差等參數(shù)設(shè)置為隨機(jī)變量而非某個(gè)固定取值。投資者在做出投資決策時(shí)所使用的收益率的預(yù)測(cè)分布，也相應(yīng)地做出調(diào)整。因而，均值—方差模型的高敏感性，能夠通過(guò)貝葉斯分析方法解決。在貝葉斯方法下，收益率的預(yù)測(cè)分布只依靠于歷史樣本數(shù)據(jù)，這使得模型的穩(wěn)健性得到提升。一、傳統(tǒng)均值—方差模型及其局限性〔一〕馬克威茲模型理論假設(shè)首先，投資者根據(jù)某一持倉(cāng)時(shí)間內(nèi)的證券收益的概率分布考慮投資選擇；其次，投資者根據(jù)證券的期望收益率估計(jì)組合的收益風(fēng)險(xiǎn)；再次，投資決定僅根據(jù)證券的風(fēng)險(xiǎn)和收益；最后，投資者是理性經(jīng)濟(jì)人，追逐利益最大風(fēng)險(xiǎn)最小化。[3]根據(jù)以上假設(shè)，馬克威茲確立了證券組合預(yù)期收益、風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算方法和有效界限理論，建立了資產(chǎn)優(yōu)化配置的均值—方差模型?！捕衬康暮瘮?shù)分析其中為組合收益，為第只股票的收益，為證券的投資比例，為組合總風(fēng)險(xiǎn)，為兩個(gè)證券之間的協(xié)方差。上式表示清楚，在限制條件下求解證券收益率使組合風(fēng)險(xiǎn)最小，可通過(guò)Lagrange目的函數(shù)求得。其經(jīng)濟(jì)意義是：投資者預(yù)先給定期望收益，通過(guò)上式確定總風(fēng)險(xiǎn)最小情況下，每個(gè)項(xiàng)目的投資比例。不同期望收益對(duì)應(yīng)不同最小方差組合，最終構(gòu)成最小方差集合。[4]〔三〕結(jié)論通過(guò)上面模型，我們能夠清楚地找出組合資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的影響因素。更主要的是，馬克威茲得出了“資產(chǎn)的期望收益由其本身風(fēng)險(xiǎn)的大小來(lái)決定〞這一結(jié)論。在馬克威茲開(kāi)創(chuàng)建立的“均值—方差〞或“均值—標(biāo)準(zhǔn)差〞二維投資時(shí)機(jī)集的有效界限上將該結(jié)論論述得很清楚，圖形如下：圖1均值—標(biāo)準(zhǔn)差二維投資時(shí)機(jī)集的有效界限上面的有效界限圖形揭示出：?jiǎn)蝹€(gè)資產(chǎn)或組合資產(chǎn)的期望收益率由風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)決定：收益率與風(fēng)險(xiǎn)成正比；風(fēng)險(xiǎn)對(duì)收益的決定是非線性〔二次〕的雙曲線〔或拋物線〕形式，這一結(jié)論是基于投資者為風(fēng)險(xiǎn)躲避型這一假定而得出的。詳細(xì)的風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)模型為：且為常量；表示個(gè)證券收益率的均值〔期望〕列向量，為資產(chǎn)組合的協(xié)方差矩陣，表示分量為的維列向量，上標(biāo)表示向量〔矩陣〕轉(zhuǎn)置。[5]〔四〕理論局限馬克威茲組合理論是一個(gè)投資主體多元化的理論，也是一個(gè)能夠分析怎樣有效地分散投資的分析框架。但在實(shí)際使用中，馬克威茲模型有一定的局限性和困難：1、馬克威茲模型所需要的基本輸入包含證券的期望收益率、方差和兩兩證券之間的協(xié)方差。當(dāng)證券的數(shù)量較多時(shí)，基本輸入估計(jì)量非常大，使得馬克威茲模型的運(yùn)用遭到很大限制。2、數(shù)據(jù)誤差帶來(lái)的解的不可靠性。馬克威茲模型需要將證券的期望收益率、期望的標(biāo)準(zhǔn)差和證券之間的期望相關(guān)系數(shù)作為已經(jīng)知道數(shù)據(jù)作為基本輸入。但期望數(shù)據(jù)是未知的，需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)，因而運(yùn)用這些數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生誤差風(fēng)險(xiǎn)。3、解的不穩(wěn)定性。解的不穩(wěn)定性限制了馬克威茲模型在實(shí)際制訂資產(chǎn)配置政策方面的應(yīng)用。假如對(duì)改動(dòng)過(guò)的數(shù)據(jù)進(jìn)行從新估計(jì)，利用馬克威茲模型就會(huì)得到新的資產(chǎn)權(quán)重的解，這意味著必需對(duì)資產(chǎn)組合進(jìn)行調(diào)整。二、貝葉斯分析方法簡(jiǎn)介及其運(yùn)用〔一〕貝葉斯分析方法簡(jiǎn)介貝葉斯分析方法是基于貝葉斯定理而發(fā)展起來(lái)用于系統(tǒng)地論述和解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的方法。一個(gè)完全的貝葉斯分析〔fullBayesiananalysis〕包含數(shù)據(jù)分析、概率模型的構(gòu)造、先驗(yàn)信息和效應(yīng)函數(shù)的假設(shè)以及最后的決策。貝葉斯分析的基本方法是將關(guān)于未知參數(shù)的先驗(yàn)信息與樣本信息綜合，再根據(jù)貝葉斯定理，得出后驗(yàn)信息，然后根據(jù)后驗(yàn)信息去推斷未知參數(shù)。由Bayesian公式得：對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量,條件概率密度:故，在主觀概率論中或其中：是的先驗(yàn)概率密度函數(shù)。是出現(xiàn)時(shí)，的條件概率密度,又稱似然函數(shù)。是的邊沿密度，或稱預(yù)測(cè)密度。是觀察值為的后驗(yàn)概率密度?！捕尘幊谈牧坚槍?duì)馬克威茲模型的局限性，我們利用R軟件進(jìn)行編程，讓計(jì)算機(jī)代替人工手算。這能夠大大減少工作量，且能降低毛病率。1、極大似然估計(jì)程序圖2極大似然估計(jì)算法程序展現(xiàn)2、改良后的貝葉斯方法程序圖4貝葉斯算法程序展現(xiàn)在極大似然估計(jì)下所得出的結(jié)果要承當(dāng)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)所引起的解的不可靠及不確定性。估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)源于投資者在不知道確切的參數(shù)值時(shí)，為做出投資決策對(duì)非確切參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，而估計(jì)誤差將會(huì)對(duì)投資組合帶來(lái)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。而在貝葉斯方法下，參數(shù)的取值并不是某一固定值，而是被看作隨機(jī)變量。收益率的預(yù)測(cè)分布只依靠于歷史樣本數(shù)據(jù)，大大降低了進(jìn)行參數(shù)估計(jì)所帶來(lái)的估計(jì)誤差及風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)投資者關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)和收益具有先驗(yàn)分布時(shí)，在觀察到歷史股票收益率之后，能夠通過(guò)貝葉斯公式得到風(fēng)險(xiǎn)和收益的后驗(yàn)分布，然后計(jì)算出下一時(shí)刻股票收益率的權(quán)重。三、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)及優(yōu)勢(shì)分析〔一〕數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)為證明將貝葉斯分析方法與馬克威茲模型相結(jié)合后，所得結(jié)果將改善傳統(tǒng)模型解的不穩(wěn)定性，我們將用同一組數(shù)據(jù)分別用傳統(tǒng)算法程序、貝葉斯算法程序運(yùn)行。圖3歷史數(shù)據(jù)樣本展現(xiàn)31、極大似然法程序分析結(jié)果圖5極大似然估計(jì)算法結(jié)果展現(xiàn)2、貝葉斯方法程序分析結(jié)果圖6貝葉斯算法結(jié)果展現(xiàn)〔二〕優(yōu)勢(shì)分析1、計(jì)算機(jī)編程很好地解決了基本輸入量過(guò)大問(wèn)題無(wú)論普通算法程序還是貝葉斯算法程序，都為我們節(jié)省了大量的運(yùn)算時(shí)間，并提升了計(jì)算結(jié)果的精確性。兩個(gè)程序合適大量數(shù)據(jù)的運(yùn)算。例如將上證十支股票〔深發(fā)展A、江西銅業(yè)、*ST力陽(yáng)、中國(guó)石化、三一重工、中金黃金、金龍汽車、五糧液、開(kāi)開(kāi)實(shí)業(yè)〕2007-2010四年約10000個(gè)數(shù)據(jù)的收益率導(dǎo)入傳統(tǒng)均值—方差模型程序，運(yùn)行時(shí)間為10小時(shí)，平均一分鐘運(yùn)行循環(huán)語(yǔ)句三次。假如采取人工計(jì)算這10000個(gè)數(shù)據(jù)，再對(duì)所得的20000個(gè)結(jié)果進(jìn)行加工，時(shí)間成本難以計(jì)算，且容易產(chǎn)生計(jì)算毛病。由此可見(jiàn)，計(jì)算機(jī)程序的確有效地解決了基本輸入量過(guò)大的問(wèn)題。2、貝葉斯方法很好地改良了解的不可靠性馬克威茲模型解的不可靠性來(lái)源于投資者將未知的證券期望收益率、標(biāo)準(zhǔn)差及期望相關(guān)系數(shù)利用最大似然估計(jì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)后作為已經(jīng)知道數(shù)據(jù)代入模型，卻忽略由此所產(chǎn)生的估計(jì)誤差風(fēng)險(xiǎn)。而貝葉斯方法并不依靠于以上數(shù)據(jù)，僅與歷史數(shù)據(jù)相關(guān)，且歷史數(shù)據(jù)恒定，故降低了估計(jì)誤差風(fēng)險(xiǎn)，使得模型的解的可靠性得以提升。例如，圖5中V9的第17與第16行差值為0.07，而圖6中的差值卻為0.03，圖5數(shù)據(jù)這種跳躍性顯示出極大似然估計(jì)帶來(lái)的解的不可靠性，而貝葉斯方法則明顯的跳躍性，進(jìn)而改良了解的不可靠性。3、貝葉斯方法有效地解決了解的不穩(wěn)定性在圖5、圖6兩組數(shù)據(jù)中，第1行數(shù)據(jù)表示10支股票的權(quán)重，其他行表示運(yùn)用滑動(dòng)平均計(jì)算所得結(jié)果。比較圖5與圖6的數(shù)據(jù)，我們不難發(fā)現(xiàn)，圖6的數(shù)據(jù)變化幅度小，基本處于恒定狀況，而圖5的數(shù)據(jù)經(jīng)常有跳躍性變化。例如用V9的第一行與第二行數(shù)據(jù)進(jìn)行比照，圖6中，二者之差為0.3，圖5中，二者之差僅為0.05。這樣，我們能夠得到結(jié)論：傳統(tǒng)均值—方差模型在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)于資產(chǎn)收益率的期望和方差取值特別敏感，而且直接使用參數(shù)的估計(jì)值作為真實(shí)取值會(huì)產(chǎn)生估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)，使得投資決策處于非最優(yōu)狀況。我們提出的基于貝葉斯分析方法的均值—方差投資組合選擇方式，在進(jìn)行投資決策時(shí)使用資產(chǎn)收益率的預(yù)測(cè)分布取代參數(shù)固定取值的概率分布，進(jìn)而構(gòu)建了能夠綜合考慮參數(shù)不確定性和估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)的分析框架。我們所提出的估計(jì)方法能夠有效克制傳統(tǒng)均值—方差模型對(duì)參數(shù)的敏感性，進(jìn)而在很大水平上提升最優(yōu)投資組合的穩(wěn)健性。結(jié)語(yǔ)我們國(guó)家股票市場(chǎng)的投資者〔包含機(jī)構(gòu)投資者〕在投資決策中重要應(yīng)用技術(shù)分析面和基本面進(jìn)行分析，而這兩種分析方法都是重視單只證券，基本上忽略了證券收益的相關(guān)性。馬克威茲投資組合理論的核心思想是利用不同證券收益的相關(guān)性分散風(fēng)險(xiǎn)。我們將傳統(tǒng)估計(jì)方法進(jìn)行改良，使馬克威茲模型更具有實(shí)用價(jià)值。通過(guò)以上分析闡述，貝葉斯方法有效地改善了馬克威茲模型的解的不可靠性及解的穩(wěn)定性，借助計(jì)算機(jī)軟件，我們找到了克制歷史樣本數(shù)據(jù)輸入量過(guò)大的解決方法。改良了以上三點(diǎn)馬克威茲模型的缺陷，使得該模型能夠順利地應(yīng)用于金融領(lǐng)域，切實(shí)有效地為投資者處理金融投資問(wèn)題。以下為參考文獻(xiàn)%E9%A6%96%E9%A1%B5.1本文由嘉興學(xué)院大學(xué)生研究訓(xùn)練〔SRT〕項(xiàng)目贊助2嘉興學(xué)院2011年校級(jí)重點(diǎn)教改項(xiàng)目〔依托經(jīng)濟(jì)管