三峽大學(xué)線性代數(shù)試卷及答案

2012三峽大學(xué)線性代數(shù)期末試卷考試說(shuō)明：本課程為閉卷考試，考試時(shí)間100分鐘。滿分為：100分題號(hào) 一 二 三 四 五 六 總得分一．填空題（每題3分，共15分）1 1 1 1 R3的基為

0,

1,

1，則2在基,

,}下的坐1 0

0

1 3

1 2 3 標(biāo)為 。已知方陣A，且滿足方程A2A2I0，則A的逆矩陣A1 。設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩,向量 ,5T, k,2kT分別對(duì)應(yīng)于特征值21 2和3的特征向,則k 。1 2 34．若矩陣A2 3 5的秩r(A)2，則t 。 3 t 6 5．設(shè)B為3階矩陣，且A2,B3，則2AB1 。二．單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）向量組,1 2

, ,m

(m2)線性相關(guān)的充要條件( 。1,2,,m中至少有兩個(gè)向量成正比；1,2,,m中至少有一個(gè)零向量；1,2,,m中至少有一個(gè)向量可由其余的向量線性表示；1,2,,m中任一部分組線性相關(guān)。已知n階行列式A0，則下列表述正確的是（ 。A主對(duì)角線上的元素全為零；A的行向量組線性相關(guān)；AX0僅有零解；A*的秩為n。設(shè)B,C為同階方陣，下列結(jié)論成立的有（ 。(A）ABBA； （B）(AB)1A1B1；（C）若ACBC，則BC； （D）(AB)TBT。已知n元非齊次線性方程AXb，AX0為方程AXb對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則有（ 。AX0AXb有惟一解；AXb有惟一解的充要條件是rAn；AXbAX0有無(wú)窮多解；AXb有兩個(gè)不同的解，則AX0 的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)以上向量。

k1 22 k1

0的充要條件是（ 。011101110（）k1；B）k3C）k1或k3（）k011101110求n階行列式D 的值。 設(shè)矩陣B滿足方程2 5B1 1 1 3 0 3．設(shè)A1 2 3,B3 0 1,求AB，3A2B及ABT。2 3 1 2 1 1 3 2 44．求矩陣A2 0 2的特征值與特征向量。

4 2 3T,

,

(1,3,2,1)T，1 2 3 4 (2,6,4,5（10分）f(x

,x)x22x2x22xx

，利用正交變換法將二次型f化為1 2 3 1 2 3 13標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出正交矩陣（10）x2xx2x 01 2 3 4六．設(shè)線性方程組2xx

x

1 試確定a的值，使方程組有解，并求出其31 2 3 4xx 2xx a1 2 3 4（10分）8分）設(shè)向量組,1 2

, ,n

(n3)中，前n1個(gè)向量線性相關(guān)，后n1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，試證明： 可表示為, , 的線性組合；1 2 n1（2）n

不能表示為1

,,

n1

的線性組合。授課教師命題教師或命題負(fù)責(zé)人簽字

《線性代數(shù)》命題組年月日

院系負(fù)責(zé)人簽字 年月日2007-2008學(xué)年第2學(xué)期《線性代數(shù)》A卷答案一．填空題（每題3分，共15分）1 16；A1 AI3k34t3．2AB1 。2 3二．選擇題（每題3分，共15分）1．C; 2．B; ; 4．C; 5．D。三．計(jì)算下列各題（解法不唯一，答案僅供參考，下同8 31.(1)n1(n1)。2．B3 1。 3．AB2 2 43A2B9 6 7, ABT0 1。4 4 2 2 7 1 7 8 4IA1)2(8)1 2

3

81所對(duì)應(yīng)的特征向量T,( 8所對(duì)應(yīng)的特征向量T。3A,1 2

,,,3 4

)，對(duì)其進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣，A00

0 1 0 121 1 0 20 0 1 100 0 0 0極大無(wú)關(guān)組為,1 2

,}，且4

，1 2

1

。4 1 0 1 五．解：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣A0 2 0，特征多項(xiàng)式為IA(2)2， 1 0 1 1 2

2,3

0.1

2所對(duì)應(yīng)的特征向量有(0,1,0)T

及。30所對(duì)應(yīng)的特征向量。正交單位化后得YX,

1 1( ,0, )T,

1 1( ,0, )T，1 1 20

2 2 3 2 21 1因此，Q(Y,Y

2,Y)1 0

220f2y22y2。1 2 3 1 1 1 2220 22 1 2 1 2 0 六．解：(A,b)0 5 1

5 1 ，因此，當(dāng)a1時(shí)，方程組有解。 0 0 0 0 a 2

T 3 1 T一般解為 , , 0, 0

, , 1, 0

0, 1, 0, T。5

15 5 21由題設(shè)知2

,,

線性無(wú)關(guān)又, 1

線性相關(guān)所以 可1表示為,