線性代數(shù)(同濟第5版)復習要點

線性代數(shù)(同濟第5版)復習要點以矩陣為工具，以線性方程組問題為主線第一章行列式基本結(jié)論1．行列式的性質(zhì)（1）互換行列式的兩行，行列式變號.（2）行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.（3）把行列式的某一行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行對應(yīng)的元素上去，行列式不變.2．行列式按行（按列）展開定理3行列式等于它的任一行的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即3．克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即那末，線性方程組有唯一的解主要計算計算行列式：1．數(shù)字行列式化為上三角形；2．計算有規(guī)律的n階行列式.例1．（例7）計算行列式2．（例8）計算行列式第二章矩陣及其運算基本概念注意：1．矩陣可乘條件、乘法規(guī)則2.矩陣乘法不滿足交換律3．矩陣乘法有零因子出現(xiàn)：，但卻有4．消去律不成立：，推不出基本結(jié)論1．轉(zhuǎn)置2．方陣的行列式（行列式性質(zhì)1）；;3．的伴隨矩陣4．逆矩陣推論若（或），則方陣的逆陣滿足下述運算規(guī)律：（i）若可逆，則亦可逆，且.（ii）若可逆，數(shù)，則可逆，且（iii）若為同階方陣且均可逆，則亦可逆，且（iv）若可逆，則亦可逆，且基本計算用上面基本結(jié)論進行簡單計算主要計算求：公式法基本證明用上面基本結(jié)論進行簡單證明例（例11）求矩陣的逆矩陣第三章矩陣的初等變換與線性方程組基本結(jié)論線性方程組解的判定：1.元非齊次線性方程組有解.有解時，（記）（1）時，有唯一解（2）時，有無窮多解2．齊次線性方程組（是的特殊情形）由于永遠滿足，故總有解（至少有零解）從而（1）時，有唯一零解（2）時，有（無窮多）非零解基本計算1．會求矩陣的秩2．會用矩陣的秩判別線性方程組有沒有解，有解時，有多少解3．會用初等變換求矩陣的逆初等變換；(包括求矩陣方程，用；主要計算設(shè)非齊次線性方程組，試問此線性方程組有解嗎？若有解，有多少解？會用初等變換求矩陣的逆例1．（例5）設(shè)求矩陣的秩，并求的一個最高階非零子式2．用初等變換求矩陣的逆矩陣3．（例13）設(shè)有線性方程組問取何值時，此方程組（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無限多個解？并在有無限多解時求其通解．第四章向量組的線性相關(guān)性基本概念1．向量組的線性相關(guān)性向量的線性組合、線性表示、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的等價2．向量組的秩極大線性無關(guān)組、向量組的秩3．向量空間向量空間的基的定義、基的求法、向量空間的維數(shù)、維數(shù)的求法向量組所生成的向量空間為4．線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)基本結(jié)論1．線性表出定理1向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩．定理2向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩.即.推論向量組與向量組等價的充分必要條件是定理3設(shè)向量組能由向量組線性表示，則.向量組的線性相關(guān)性定理4向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣秩小于向量個數(shù)；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是定理5（1）若向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)．（2）個維向量組成的向量組，當維數(shù)小于向量個數(shù)時一定線性相關(guān)．（3）設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式是唯一的．3．向量組的秩定理6矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．推論（最大無關(guān)組的等價定義）設(shè)向量組是向量組的部分組，若向量組線性無關(guān)，且向量組能由向量組線性表示，則向量組是向量組的一個最大無關(guān)組．4．解的結(jié)構(gòu)（1）齊次線性方程組性質(zhì)1若為的解，則也是的解．性質(zhì)2若為的解，為實數(shù)，則也是的解．的基礎(chǔ)解系：，通解是定理7設(shè)矩陣的秩，則元齊次線性方程組的解集的秩.（2）非齊次線性方程組性質(zhì)3設(shè)及都是的解，則為導出組的解．性質(zhì)4設(shè)是方程的解，是方程的解，則仍是方程的解．的通解是：5．向量空間向量組所生成的向量空間為基本計算一般地，要判別一個向量是否可由向量組線性表出？設(shè)按分量形式寫出來就是（*）定理可由向量組線性表出（*）有解2.一般地，要判別一個向量組是否線性相關(guān)？設(shè)按分量寫出來就是（**）定理向量組線性相關(guān)齊次線性方程組（**）有非零解3.基和維數(shù)的求法4．線性方程組解的結(jié)構(gòu)（1）齊次線性方程組基礎(chǔ)解系（2）非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的求法主要計算1．設(shè)矩陣，求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示．2．設(shè)非齊次線性方程組，試問（1）此線性方程組有解嗎？若有解，有多少解？（第三章內(nèi)容）（2）若有無窮多解，求其通解（要求通過它的導出組的基礎(chǔ)解系給出的通解）.（第四章內(nèi)容）基本證明向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量的組的等價、極大線性無關(guān)組、向量組的秩的證明向量空間的基、維數(shù)的證明基礎(chǔ)解系、解的結(jié)構(gòu)的證明主要證明1．線性無關(guān)的證明2．的列是的解例1．（例11）設(shè)矩陣求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示．2．（例16）設(shè)非齊次線性方程組，試問（1）此線性方程組有解嗎？若有解，有多少解？（2）若有無窮多解，求其通解（要求通過它的導出組的基礎(chǔ)解系給出的通解）.3．（例6）已知向量組線性無關(guān)，,,，試證向量組線性無關(guān)．（第五章§1定理1、§2定理2）4．（例13）設(shè)，證明：.第五章相似矩陣及二次型基本概念一．內(nèi)積內(nèi)積的定義：向量的長度：、當時，稱為單位向量．向量的夾角：向量的正交：時，稱向量與正交正交向量組、正交基、規(guī)范正交基正交矩陣：二．矩陣的特征值、特征向量特征值、特征向量三．相似矩陣，對稱陣的對角化四．二次型及其標準形，正定二次型，正定矩陣基本結(jié)論一．內(nèi)積（i）；（ii）（iii）1．非負性：對任意都有;當且僅當時,2．齊次性:;3．三角不等式：定理1若維向量 是一組兩兩正交的非零向量，則線性無關(guān)．二．特征值、特征向量定理2設(shè)是方陣的個特征值，依次是與之對應(yīng)的特征向量．如果各不相同，則線性無關(guān)．三．相似矩陣，對稱陣的對角化四．二次型及其標準形，正定二次型，正定矩陣基本計算1．向量的長度：2．向量的夾角的求法：3．正交化方法：設(shè)線性無關(guān)4．單位化：5．特征值的求法、特征向量的求法6．對稱陣的對角化方法7．求