概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講主講教師：楊勇佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!1.學(xué)會使用簡單事件表示復(fù)雜事件章例如：設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，用它們表示下列事件：（1）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生；A∪B∪C（2）A，B，C同時(shí)發(fā)生；ABC（3）A不發(fā)生；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!2.常用公式P(

)=

P(A-B)=P(A)－P(AB)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!（6）條件概率設(shè)A、B是兩個(gè)事件。若P(B)>0，則若P(A)>0，則（7）獨(dú)立性相互獨(dú)立或概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!解：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!例4:三人獨(dú)立地去破譯一份密碼,已知每個(gè)人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人分別編號為1,2,3，故，所求為P(A1∪A2∪A3)。記Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}，i=1,2,3。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!例5：8支步槍中有5支已校準(zhǔn)過,3支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。求：所用的槍是校準(zhǔn)過的概率。解：設(shè)A={射擊時(shí)中靶}，B1={槍校準(zhǔn)過},

B2={槍未校準(zhǔn)}，則B1,B2是Ω一個(gè)劃分，得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!則B1,B2,B3是Ω一個(gè)劃分，得P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!由貝葉斯公式有

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!即隨機(jī)變量X具有概率分布(4)均勻分布，記作：X～U（a,b）即隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!(7)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X~

N(0,1)即隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)或隨機(jī)變量X具有分布函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

pk=P{X=xk},k=1,2,…,

則X的分布函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!如何求解P(Y≤y)?在求P(Y≤y)過程中,關(guān)鍵的一步是設(shè)法從{g(X)≤y}中解出X,從而得到與{g(X)≤y}等價(jià)的X的不等式。再利用已知的

X的分布，求出相應(yīng)的Y的分布函數(shù)

FY(y)。3連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布通過分布函數(shù)FY(y)可以求出概率密度函數(shù)求隨機(jī)變量函數(shù)

Y

=

g(X)

的分布函數(shù)F(y)=P(Y≤y)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!解：例1：設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X－2－101概率1/51/61/33/10求X的分布函數(shù)F(x)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!解：設(shè)X的分布函數(shù)為Fx(x),Y的分布函數(shù)為FY(y)，則例4：設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度求Y=2X+8的概率密度。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!求導(dǎo)可得當(dāng)y>0時(shí),例5：設(shè)X具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。解：設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和FX(x),注意到Y(jié)=X2≥0，故當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!例6：設(shè)隨機(jī)變量X在

(0,1)

上服從均勻分布，求

Y=-2ln

X的概率密度。解：在區(qū)間

(0,1)

上，函數(shù)lnx<0，故

y

=-2lnx>0,于是y

=-2lnx在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù)由前述定理，得注意取絕對值概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!1.二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

pij，i=1,2,,j=1,2,.于是,(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為第三章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!則X的邊緣概率分布為Y的邊緣概率分布為設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)向量，聯(lián)合概率分布為3二維離散型隨機(jī)向量的邊緣分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!5隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,對任意的x,y,若則稱X與Y相互獨(dú)立。用聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)表示上式,就是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!例1：設(shè)(X,Y)的概率密度為求(1).c的值;(2).邊緣密度。=5c/24=1,c=24/5;解:(1).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!注意積分限注意取值范圍概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!解:對一切x,y∈R,均有f(x,y)=fX(x)fY(y).故，X與Y相互獨(dú)立。例2：設(shè)(X,Y)的概率密度為問(1)P(0<X<1,0<Y<1),(2)X與Y是否獨(dú)立？(2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!（4）加法公式若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A)；（5）乘法公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!解：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!例3：

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。故,P(AB)=P(A)P(B).解：由于P(A)=4/52=1/13,這說明事件A,B獨(dú)立。問事件A,B是否獨(dú)立？P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且P(A1∪A2∪A3)A1，A2，A3相互獨(dú)立，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!例6：一批同型號的螺釘由編號為I,II,III的三臺機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%,25%。各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%,2%和1%?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求:這顆螺釘由I,II,III號機(jī)器生產(chǎn)的概率各為多少?解：設(shè)A={螺釘是次品},

B1={螺釘由I號機(jī)器生產(chǎn)},

B2={螺釘由II號機(jī)器生產(chǎn)},

B3={螺釘由III號機(jī)器生產(chǎn)}。則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!解：記A={將信息X傳送出去}，B={接收到信息X}。則例7：

將兩信息分別編碼為X和Y后傳送出去，接收站接收時(shí)，X被誤收作Y的概率為0.02，而Y被誤收作X的概率為0.01。信息X與信息Y傳送的頻率程度之比為2：1。若接收站收到的信息是X,問原發(fā)信息也X是的概率是多少？并且

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!第二章1.常見概率分布(1)（0－1）分布（兩點(diǎn)分布）,記成X～b(1,p)。即隨機(jī)變量X具有概率分布P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二項(xiàng)分布,記成X~b(n,p)。

即隨機(jī)變量X具有概率分布E(X)=np,D(X)=np(1-p).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!即隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)(5)指數(shù)分布，記成X~E(λ)。(6)正態(tài)分布,記作即隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!定義1:設(shè)

X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù)F(x)=P{X≤x},-∞<x<＋∞為隨機(jī)變量

X

的分布函數(shù)。2.常見概念因此隨機(jī)變量

X

的分布函數(shù)F(x)實(shí)際表示事件{X≤x}的概率例如

F(1)實(shí)際表示事件{X≤1}的概率.F(-1)實(shí)際表示事件{X≤-1}的概率.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

f(x)

則X的分布函數(shù)為因此概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!其中x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù)，定理1:

設(shè)X是一個(gè)取值于區(qū)間[a,b],具有概率密度fX(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量,又設(shè)

y=g(x)處處可導(dǎo)的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),記

(α,

β)

為g(x)的值域，則隨機(jī)變量Y

=

g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!解：例2：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!解：當(dāng)X取值-1，0，1，2時(shí)，

Y取對應(yīng)值4，1，0和1。由P{Y=0}=P{X=1}=0.1，P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7，P{Y=4}=P{X=-1}=0.2.例3：設(shè)隨機(jī)變量

X

有如下概率分布：求Y=(X–1)2的概率分布。得

Y

的概率分布：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!于是Y的密度函數(shù)注意到得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!則Y=X2

的概率密度為：若X～U（1,4）,即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!已知X在(0,1)上服從均勻分布，代入

的表達(dá)式中得即Y服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)1講共46頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!概率密度設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對任意實(shí)數(shù)

x,y,有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)向量,f(x,y)為(X,Y