kejian2自動控制原理

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型前言

元件和系統(tǒng)微分方程的建立非線性微分方程的線性化

拉普拉斯變換法求解微分方程

傳遞函數(shù)的概念

結(jié)構(gòu)圖、信號流圖及梅森增益公式閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)小結(jié)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!前言

在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并對系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。

建立數(shù)學(xué)模型方法有分析法和實驗法。分析法是對系統(tǒng)各部分的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理或化學(xué)規(guī)律分別列寫相應(yīng)的運(yùn)動方程。實驗法是給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。本章重點(diǎn)研究分析法。

自控理論數(shù)學(xué)模型有多種形式。時域中有微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)數(shù)域中有傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；頻域中有頻率特性等。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型1線性元件的微分方程解:設(shè)回路電流為i(t),由基爾霍夫定律可寫出回路方程為ui(t)uo(t)CRLi(t)

例2-1圖為由電阻R、電感L電容C組成的無源網(wǎng)絡(luò),試列寫以ui(t)為輸入量,以uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程.圖2-1

RLC無源網(wǎng)絡(luò)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!①電樞回路電壓平衡方程式中Ea(V)是電樞反電勢,它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電勢,其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比,方向與電樞電壓ua(t)相反,即是反電勢系數(shù).(2-2)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!由式(2-2)~式(2-4）消去中間變量ia(t),Ea及Mm(t),便可得到以m(t)為輸出量,以ua(t)為輸入量的直流電機(jī)微分方程為(2-5)工程中電樞電路電感La較小,常忽略不計,因而上式可簡化為(2-6)式中Tm=RaJm/(Rafm+CmCe)是電動機(jī)機(jī)電時間常數(shù)(s);K1=Cm/(Rafm+CmCe),K2=Ra/(Rafm+CmCe)是電動機(jī)傳遞系數(shù).kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!式中:——阻尼器阻力。其大小與運(yùn)動速度成正比，方向與運(yùn)動方向相反，阻尼系數(shù)為f，即：——彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有：K——彈簧剛度聯(lián)立以上三式并整理得：（2-9）假定m、k、f均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!綜上所述，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下：根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量；分析元件工作中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程；消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程，便是元件時域的數(shù)學(xué)模型。一般應(yīng)將微分方程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān)的項寫在方程的右端，與輸出量有關(guān)的項寫在方程的左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!運(yùn)算放大器I

給定電壓ui與速度反饋電壓ut合成，產(chǎn)生偏差電壓并放大運(yùn)算放大器Ⅱ

u2與u1之間的微分方程為功率放大器采用晶閘管整流裝置,k3為比例系數(shù)直流電動機(jī)直接引用例2-2所求得的直流電動機(jī)微分方程式(2-6)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!4線性定常微分方程的求解當(dāng)系統(tǒng)微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便可對微分方程求解，并由此了解系統(tǒng)輸出量隨時間變化的特性。線性定常微分方程的求解方法有經(jīng)典法、拉氏變換法和數(shù)值計算方法。

用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)的微分方程時,可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù).傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能,而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響.拉普拉斯變換方法求解的優(yōu)點(diǎn)：拉普拉斯變換法可以直接將微分方程變換成代數(shù)方程，簡化求解過程；可以同時獲得解的瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量；可以求得微分方程的全解。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!⑵拉氏變換表表2－1拉氏變換表(參見教材表A-3)f(t)F(s)(t)11(t)1/st1/

s2tn-1/(n-1)!1/sne-at1/(s+a)sint/(s2+2)costs/(s2+2)

1b－a(e-at－e-bt)1/(s+a)(s+b)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都為零時：⑤積分定理：

式中：為在處的值LLkejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!其中：可查表。一般地，象函數(shù)F(s)是復(fù)變數(shù)s的有理代數(shù)分式kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!則有根據(jù)式(2-12)根據(jù)式(2-13),得原函數(shù)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!故有原函數(shù)(2-15)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!4.2拉氏變換發(fā)求解微分方程算例例2-7在例2-1中，若已知L＝1H，C＝IF，R＝lΩ，且電容上初始電壓uo(0)=0.1V，初始電流i(0)=0.1A，電源電壓ui(t)=1V。試求電路突然接通電源時，電容電壓uo(t)的變化規(guī)律。ui(t)uo(t)CRLi(t)解在例2-1中得網(wǎng)絡(luò)微分方程為kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程可歸結(jié)如下：考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s的代數(shù)方程；由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式；對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型-傳遞函數(shù)

拉氏變換法求解系統(tǒng)微分方程時，可得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，且可用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制論中廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)⑴定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為初始條件為零時,輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比,記為G(S),即:（2-16）kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!式中于是,由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-17)ui(t)uo(t)CRLi(t)例2-8試求例2-1RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)解:該網(wǎng)絡(luò)微分方程已求出,如式(2-1)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!

②傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式,它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與輸入量的形式無關(guān),也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息.因此,可以用圖2-5的方塊圖表示一個具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng).圖2-5傳遞函數(shù)的圖示G(s)R(s)C(s)③傳遞函數(shù)與微分方程有相通性.在零初始條件下，若將微分方程的算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換便得到傳遞函數(shù);反之亦可.④傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t).脈沖響應(yīng)g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng),此時,

kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!在零初始條件下,對上式各項求拉氏變換,則得(2-21)由傳遞函數(shù)定義,于是有(2-22)同理,令ua(t)=0,可求得(2-23)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以是實數(shù),也可是復(fù)數(shù),系數(shù)K*=b0/a0稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益.這種用零點(diǎn)和極點(diǎn)表示傳遞函數(shù)的方法,在根軌跡法中使用較多.在復(fù)數(shù)平面上表示傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)時,稱為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖.在圖中一般用表示零點(diǎn),用表示極點(diǎn).傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后,也可以寫為如下因子連乘積的形式(2-25)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!圖2-6電位器及其特性kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!用一對相同的電位器組成誤差檢測器時,其輸出電壓為式中K1是單個電位器的傳遞系數(shù),是兩個電位器電刷角位移之差,稱誤差角.因此以誤差角為輸入時,誤差檢測器的傳遞函數(shù)與單個電位器的傳遞函數(shù)相同,即為在使用電位器時要注意負(fù)載效應(yīng)，即指在電位器輸出端接有負(fù)載時所產(chǎn)生的影響。圖示電位器輸出端接有負(fù)載電阻Rl時的電路圖，設(shè)電位器電阻是Rp，可求得電位器輸出電壓為kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!圖2-7測速發(fā)電機(jī)示意圖式中Kt

是測速發(fā)電機(jī)輸出斜率,表示單位角速度的輸出電壓.在零初始條件下,對上式拉氏變換可得直流測速發(fā)電機(jī)的傳遞函數(shù)為或分別用方塊圖表示如下:

sKtU(s)

KtU(s)圖2-8測速發(fā)電機(jī)的方塊圖kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!⑷兩相伺服電動機(jī)兩相伺服電動機(jī)具有重量輕、慣性小、加速特性好的優(yōu)點(diǎn),是控制系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的一種小功率交流執(zhí)行機(jī)構(gòu).兩相伺服電動機(jī)由互相垂直配置的兩相定子線圈和一個高電阻值的轉(zhuǎn)子組成.定子線圈的一相是激磁繞組,另一相是控制繞組,通常接在功率放大器的輸出端,提供數(shù)值和極性可變的交流控制電壓.兩相伺服電動機(jī)的轉(zhuǎn)矩-速度特性曲線有負(fù)的斜率,且呈非線性.圖2-9(b)是在不同控制電壓ua時,實驗測取的一組機(jī)械特性曲線.圖中的虛線是線性化曲線,其線性化方程可表示為kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!由前面兩式消去中間變量Ms和Mm,并在零初始條件下求拉氏變換,可求得兩相伺服電動機(jī)的傳遞函數(shù)為或式中Km=CM/(fm+CΩ)是電動機(jī)的傳遞系數(shù),Tm=Jm/(fm+CΩ)是電動機(jī)時間常數(shù)?？梢姡瑑上嗨欧姍C(jī)和直流電機(jī)的傳遞函數(shù)在形式上完全相同。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!應(yīng)該注意,求取無源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)時,一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)輸出端有無窮大的負(fù)載阻抗,輸入內(nèi)阻為零,否則應(yīng)考慮負(fù)載效應(yīng).圖2-11中,兩個RC網(wǎng)絡(luò)不相連接時,可視為空載,傳遞函數(shù)分別為圖2-11負(fù)載效應(yīng)示意圖kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對各變量所進(jìn)行的運(yùn)算,是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡便方法.

與結(jié)構(gòu)圖相比,信號流圖符號簡單,更便于繪制和應(yīng)用.但是,信號流圖只適用于線性系統(tǒng),而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線性系統(tǒng).1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對信號進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一些信號流向線組成,它包含四種基本單元:kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!

繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時，首先考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示；然后根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方框連接便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。結(jié)構(gòu)圖上可以用方框進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，也可以直觀了解各元部件的相互關(guān)系及其在系統(tǒng)中所起的作用。而且，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。

結(jié)構(gòu)圖中的方框與實際系統(tǒng)的元部件并非是一一對應(yīng)的。一個實際元部件可以用一個方框或幾個方框表示；而一個方框也可以代表幾個元部件或是一個子系統(tǒng)，或是一個大的復(fù)雜系統(tǒng)。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!圖2-14RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!（l）串聯(lián)方框的簡化（等效）傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框，若G1(s)的輸出量作為G2(s)的輸入量，則G1(s)與G2(s)稱為串聯(lián)連接。圖2-15方框串聯(lián)連接及其簡化kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!（3）反饋連接方框的簡化（等效）G(s)H(s)R(s)C(s)(a)E(s)B(s)圖2-17方框的反饋連接及其簡化R(s)C(s)(b)(s)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!例2-11試簡化圖2-18的結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-18例2-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!___kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!源節(jié)點(diǎn)(輸入節(jié)點(diǎn))

在該點(diǎn)上只有信號輸出支路，沒有信號輸入支路，一般代表系統(tǒng)的輸入量。名詞術(shù)語阱節(jié)點(diǎn)(輸出節(jié)點(diǎn))該點(diǎn)上只有輸入支路而沒有輸出支路，代表輸出量?；旌瞎?jié)點(diǎn)在該點(diǎn)上既有輸入支路又有輸出支路。若從混合節(jié)點(diǎn)引出一條具有單位增益的支路，可將混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)橼骞?jié)點(diǎn).kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!4信號流圖的繪制(1)由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖

含有微分或積分的線性方程，應(yīng)通過拉氏變換，變換為s的代數(shù)方程后再畫信號流圖。繪制時首先要對系統(tǒng)的每個變量指定一個節(jié)點(diǎn)，并按照變量的因果關(guān)系，從左向右順字排列；然后，用標(biāo)明支路增益的支路，根據(jù)方程式將各節(jié)點(diǎn)變量正確連接。例2-13試?yán)L制例2-10的無源網(wǎng)絡(luò)信號流圖。將各變量重新排列得下述方程式組：kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!(2)由結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖只需在結(jié)構(gòu)圖的信號線上用小圓圈標(biāo)志出傳遞的信號，便得到節(jié)點(diǎn)；用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，便得到支路，于是結(jié)構(gòu)圖就變換為相應(yīng)的信號流圖了。注意：1.盡量精簡節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，但源節(jié)點(diǎn)或阱節(jié)點(diǎn)不能合并掉；2.在結(jié)構(gòu)圖比較點(diǎn)之前沒有引出點(diǎn)時，只需在比較點(diǎn)后設(shè)置一個節(jié)點(diǎn);3.在比較點(diǎn)之前有引出點(diǎn)對，就需在引出點(diǎn)和比較點(diǎn)各設(shè)置一個節(jié)點(diǎn).kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!5梅森(Mason)增益公式

控制工程上常用梅森增益公式直接求取從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，以免簡化結(jié)構(gòu)圖或信號流圖的麻煩。

對于任意復(fù)雜信號流圖，求取從任意源節(jié)點(diǎn)到任意阱節(jié)點(diǎn)之間傳遞函數(shù)的梅森增益公式為(2-26)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!前向通路有一條(即n=1):p1=G1G2G3G4.回路有三個:

沒有不接觸回路,且前向通路與所有回路都接觸,故kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!于是,信號流圖特征式為因此,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為前向通路共有四條,其增益及余因式分別為1kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!應(yīng)用疊加原理,令N(s)=0,可直接求得輸入信號R(s)到輸出信號C(s)之間的傳遞函數(shù)為由可進(jìn)一步求得輸入信號作用下系統(tǒng)的輸出量C(s)為⑴輸入信號下的閉環(huán)傳遞函數(shù)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!上式表明,一定情況下系統(tǒng)的輸出只取決于反饋傳遞函數(shù)H(s)及輸入信號R(s),而與前向通路傳遞函數(shù)無關(guān),也不受擾動作用的影響.特別當(dāng)H(s)=1時,.從而實現(xiàn)了對輸入信號的完全復(fù)現(xiàn),且對擾動具有較強(qiáng)的抑制能力.顯然當(dāng)輸入信號R(s)和擾動作用N(s)同時作用時,系統(tǒng)輸出C(s)為在上式中,如果滿足的條件則可簡化為kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!本章小結(jié)1.數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)元、部件及系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是對系統(tǒng)進(jìn)行分析研究的主要依據(jù)。2.根據(jù)實際系統(tǒng)用解析法建立數(shù)學(xué)模型，一般必須首先分析系統(tǒng)各元、部件的工作原理，然后利用基本定律，并舍去次要因素及進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€性化處理，最后獲得既簡單又能反映元、部件及系統(tǒng)動態(tài)本質(zhì)的時域數(shù)學(xué)模型—微分方程。3.傳遞函數(shù)是一種復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型，結(jié)構(gòu)圖是傳遞函數(shù)的圖形表示法，它直觀形象地表示出系統(tǒng)中信號的傳遞變換特征，這將有助于對系統(tǒng)進(jìn)行分析研究。同時，根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，應(yīng)用等效變換法則或者梅森增益公式可以迅速求得系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!消去中間變量i(t),便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為(2-1)假定R、L、C都是常數(shù)，這是一個二階常系數(shù)線性微分方程,也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學(xué)模型。例2-2試列圖2.2所示電樞控制直流電動機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓ua(t)為輸入量，電動機(jī)轉(zhuǎn)速ωm(t)為輸出量。圖中Ra，La分別是電樞電路的電阻和電感；Mc是折合到電動機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激磁磁通設(shè)為常值。

kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!②電磁轉(zhuǎn)矩方程式中是電動機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù),是電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩.(2-3)③電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程(2-4)式中,是電動機(jī)和負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù);是電動機(jī)和負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量.kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!如果Ra和Jm都很小而忽略不計時,式(2-6)還可進(jìn)一步簡化為這時,m(t)與ua(t)成正比,于是,電動機(jī)可作為測速發(fā)電機(jī)使用.(2-7)例2-3

圖2-3a)所示為彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。當(dāng)受外力F(t)作用時，要求寫出系統(tǒng)的微分方程。F(t)x(t)mF2(t)F1(t)圖2-3機(jī)械位移系統(tǒng)b)F(t)x(t)mKfa)質(zhì)量m上受力情況如圖示。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律有：（2-8）kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!從以上分析可以發(fā)現(xiàn),物理結(jié)構(gòu)不同的元件或系統(tǒng),可以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型,例如，前述的RLC無源網(wǎng)絡(luò)和彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均是二階微分方程，我們稱之為相似系統(tǒng).相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本質(zhì)相似關(guān)系，利用它可以(1)用一個簡單系統(tǒng)去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng);(2)為控制系統(tǒng)的計算機(jī)數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ).(3)二階系統(tǒng)是一個十分典型的、有代表性的系統(tǒng).kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!2控制系統(tǒng)微分方程的建立

建立系統(tǒng)微分方程時，先由系統(tǒng)原理線路圖或方塊圖，分別列寫組成系統(tǒng)各元件的微分方程；然后，消去中間變量便得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程。

解系統(tǒng)被控對象是電動機(jī)（帶負(fù)載），系統(tǒng)的輸出量是轉(zhuǎn)速ω，參據(jù)量是ui。系統(tǒng)由給定電位器、運(yùn)算放大器I、運(yùn)算放大器Ⅱ、功率放大器、測速發(fā)電機(jī)、減速器等組成。分別列寫各元部件微分方程：例2-4試列寫圖2-4所示速度控制系統(tǒng)的微分方程。圖2-4R2kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!齒輪系設(shè)速比為i，電機(jī)轉(zhuǎn)速ωm經(jīng)齒輪系減速后變?yōu)棣赜袦y速發(fā)電機(jī)其輸出電壓ut與轉(zhuǎn)速ω成正比Kt為比例系數(shù)（2-10）3線性系統(tǒng)的基本特性疊加原理兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個外作用單獨(dú)作用時分別產(chǎn)生的輸出之和，且外作用的數(shù)值增大若干倍時，其輸出亦相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。因此對線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計時，如果有幾個外作用同時加于系統(tǒng)，則可將它們分別處理，依次求出各個外作用單獨(dú)加入時系統(tǒng)的輸出，然后將它們疊加。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!4.1拉普拉斯(Laplace)變換（參見附錄A）⑴定義：設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t

≥0時,f(t)有定義，且積分在s的某一域內(nèi)收斂,則稱F(s)為f(t)的拉氏變換，記作F(s)=L[f(t)],F(s)又稱為象函數(shù)，f(t)稱為原函數(shù)。

(2-11)(s是一個復(fù)參量)若F(s)是f(t)的拉氏變換，稱f(t)為F(s)的拉氏逆變換，記作f(t)=L-1[F(s)].F(s)和f(t)為一個拉氏變換對。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!②位移定理：⑶基本定理設(shè)F(s)=L[f(t)],F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],α,β為常數(shù)①線性定理：③相似定理：α為實常數(shù)④微分定理：kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!⑥終值定理：⑷拉氏反變換定義：拉氏反演積分求拉氏逆變換的方法在實際使用時，采用部分分式展開法，即將復(fù)雜函數(shù)展開成簡單函數(shù)的和當(dāng)：時⑦初值定理：kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!例2-5解(1)A(s)=0無重根時，可有或(2-12)根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)有(2-13)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!(2)A(s)=0有重根時重根項的待定系數(shù)(2-14)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!例2-6根據(jù)式(2-14)根據(jù)式(2-12)根據(jù)式(2-15)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!對網(wǎng)絡(luò)微分方程兩邊求拉氏變換并代入已知數(shù)據(jù)，經(jīng)整理后有在上式中，前兩項是由網(wǎng)絡(luò)輸入電壓產(chǎn)生的輸出分量，與初始條件無關(guān)，故稱為零初始條件響應(yīng)；后一項則是由初始條件產(chǎn)生的輸出分量，與輸入電壓無關(guān)，故稱為零輸入響應(yīng)，它們統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)的單位階躍響應(yīng)。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!5非線性微分方程的線性化實際上所有現(xiàn)實中的系統(tǒng)都不是線性的，為了便于分析和求解，通常要對系統(tǒng)進(jìn)行“理想化”和“線性化”處理；手段:a.忽略非線性;b.小偏差線性化法,取某平衡狀態(tài)點(diǎn)A,泰勒級數(shù)展開,小范圍內(nèi)以直代曲.

一般地,自動控制系統(tǒng)在正常情況下都處于一個穩(wěn)定的工作狀態(tài)，而其被控量的偏差一般不會很大，只是“小偏差”。在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時，通常是將系統(tǒng)的穩(wěn)定工作狀態(tài)作為起始狀態(tài)，僅僅研究小偏差的運(yùn)動情況，因而這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!設(shè)線性定常系統(tǒng)的n階線性常微分方程為設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為零,即零初始條件,對上式中各項分別求拉氏變換,令C(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)]可得s的代數(shù)方程為kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!

在零初始條件下,對上式進(jìn)行拉氏變換,令Uo(s)=L[uo(t)],Ui(s)=L[ui(t)]得(2-18)由傳遞函數(shù)定義得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為(2-19)⑵性質(zhì)①傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù),具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì).有m≤n且所有系數(shù)均為實數(shù).kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義:一是指輸入量是在t≥0時才作用于系統(tǒng),因此在t=0-時輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零;二是指輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài),即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時的值也為零.現(xiàn)實的工程控制系統(tǒng)多屬此類情況.⑶物理意義例2-9試求例2-2電樞控制直流電機(jī)的傳遞函數(shù)解:在例2-2中已求得電樞控制直流電機(jī)簡化后的微分方程為(2-20)根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理,可分別求出ua(t)到m(t)和Mc(t)到m(t)的傳遞函數(shù).先求,為此令Mc(t)=0,則有kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!式中,---------稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn);-------稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn).2傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后,可寫為如下形式(2-24)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!式中,一次因子對應(yīng)于實數(shù)零極點(diǎn),二次因子對應(yīng)于復(fù)數(shù)零極點(diǎn).稱為時間常數(shù),稱為傳遞系數(shù)或增益.傳遞函數(shù)的這種表示形式在頻率法在使用較多.顯然，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根。3典型元部件的傳遞函數(shù)

為建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，必須首先了解各種元部件的數(shù)學(xué)模型及其特性。⑴電位器電位器是一種把線位移或角位移變換為電壓量的裝置.在控制系統(tǒng)中,單個電位器用作為信號變換裝置,如圖2-6(a)所示;一對電位器可組成誤差檢測器,如圖2-6(b)所示.kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!空載時,單個電位器的電刷角位移θ(t)與輸出電壓u(t)的關(guān)系曲線如圖2-6(c)所示.圖中的階梯形狀是由繞線線徑產(chǎn)生的誤差,理論分析時可用直線近似.由圖可得輸出電壓為式中,是電刷單位角位移對應(yīng)的輸出電壓,稱電位器傳遞系數(shù)(V/rad),其中E是電位器電源電壓(V),是電位器最大工作角(rad).對上式求拉氏變換,可得電位器的傳遞函數(shù)為上式表明,電位器的傳遞函數(shù)是一個常值,故稱比例元件,可用圖2-6(d)所示的方塊圖來表示.kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!⑵測速發(fā)電機(jī)

測速發(fā)電機(jī)是用于測量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置.在控制系統(tǒng)中常用的有直流和交流測速發(fā)電機(jī),如圖2-7所示.圖2-7(a)是永磁式直流測速發(fā)電機(jī)的原理線路圖,其輸出電壓與轉(zhuǎn)子角速度的關(guān)系為kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!圖2-7(b)是交流測速發(fā)電機(jī)的示意圖.在結(jié)構(gòu)上它有兩個互相垂直放置的線圈,其中一個是激磁繞組,接入一定頻率的正弦額定電壓;另一個是輸出繞組.當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時,輸出繞組產(chǎn)生與轉(zhuǎn)子角速度成比例的交流電壓u(t),其頻率與激磁電壓頻率相同,其傳遞函數(shù)及方塊圖亦同直流測速發(fā)電機(jī).⑶電樞控制直流伺服電動機(jī)直流伺服電動機(jī)在控制系統(tǒng)中廣泛用作執(zhí)行機(jī)構(gòu),用來對被控對象的機(jī)械運(yùn)動實現(xiàn)快速控制.根據(jù)例2-9的式(2-22)和式(2-23)可用下列方塊圖表示三種情況下的直流伺服電動機(jī).kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!圖2-9兩相伺服電動機(jī)及其特性式中Mm是電動機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩,m

是電動機(jī)角速度,CΩ=dMm/dm是阻尼系數(shù),即機(jī)械特性線性化的直線斜率,Ms是堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩,由圖2-9(b)可得Ms=CMua.kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁!⑸無源網(wǎng)絡(luò)為了改善控制系統(tǒng)的性能,常在系統(tǒng)中引入無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件.無源網(wǎng)絡(luò)通常是由電阻、電容和電感組成.求無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),可用前述的方法,即列寫網(wǎng)絡(luò)微分方程，進(jìn)行拉氏變換，從而得到輸出量與輸入量間的傳遞函數(shù)。此外還可采用復(fù)數(shù)阻抗法.用復(fù)數(shù)阻抗法表示電阻時仍為R,電容的復(fù)數(shù)阻抗為1/Cs,電感的復(fù)數(shù)阻抗為Ls.

圖2-1的RLC無源網(wǎng)絡(luò)用復(fù)數(shù)阻抗表示后的電路如圖2-10所示.圖中Z1=R+Ls,Z2=1/Cs.由圖可直接寫出電路的傳遞函數(shù)為Z1Z2uiuo圖2-10復(fù)阻抗表示的RLC電路kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第69頁!若將G1(s)與G2(s)兩方塊串聯(lián)連接,如圖2-11右端,其傳遞函數(shù)為但是,若將兩個RC網(wǎng)絡(luò)直接連接,則由電路微分方程可求得連接后電路的傳遞函數(shù)為單容水槽、電加熱爐和雙容水槽的傳遞函數(shù)kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第70頁!⑴信號線.帶有箭頭的直線,箭頭表示信號的流向,在直線旁標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)，如圖2-12(a);⑵引出點(diǎn)(測量點(diǎn)).表示信號引出或測量的位置,從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全性同，如圖2-12(b);⑶比較點(diǎn)(綜合點(diǎn)).對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算,“+”號表示相加，“-”號表示相減，“+”號可省略，如圖2-12(c);⑷方框(環(huán)節(jié)).對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換,框內(nèi)為元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù),如圖2-12(d).方框可視作單向運(yùn)算的算子，方框的輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積,C(s)=G(s)U(s)。圖2-12結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第71頁!例2-10

繪制如圖2-13所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖圖2-13RC無源網(wǎng)絡(luò)

解將無源網(wǎng)絡(luò)視為一個系統(tǒng)，組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對應(yīng)于系統(tǒng)的元部件。設(shè)電路中各變量如圖中所示，應(yīng)用復(fù)阻抗概念，根據(jù)基爾霍夫定律寫出以下方程：

按照這些方程可分別繪制相應(yīng)元件的方框圖如圖2-14(a)-(d)所示。然后用信號線按信號流向依次將各方框連接起來，便得到無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，見圖2-14(e).kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第72頁!2結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖通過等效變換(簡化)可方便地求取閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或系統(tǒng)輸出量響應(yīng)。實際上，該過程對應(yīng)于由元部件運(yùn)動方程消去中間變量求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)過程。復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其方框間的連接是錯綜復(fù)雜的，但方框間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。結(jié)構(gòu)圖簡化的一般方法是移動引出點(diǎn)或比較點(diǎn)，交換比較點(diǎn)，進(jìn)行方框運(yùn)算將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。在簡化過程中應(yīng)遵循變換前后變量關(guān)系保持等效的原則，具體而言，就是變換前后前向通路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變，回路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第73頁!（2）并聯(lián)方框的簡化（等效）

傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框，如果它們有相同的輸入量，而輸出量等于兩個方框輸出量的代數(shù)和，則G1(s)與G2(s)稱為并聯(lián)連接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)(a)R(s)C(s)(b)圖2-16方框并聯(lián)連接及其簡化kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第74頁!⑷比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動

為便于方框的簡化運(yùn)算，有時需移動比較點(diǎn)或引出點(diǎn)位置。這時應(yīng)注意移動前后必須保持信號的等效性，且比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間一般不宜交換其位置。此外，“-”號可在信號線上越過方框移動，但不能越過比較點(diǎn)和引出點(diǎn)。表2-2結(jié)構(gòu)圖簡化（等效變換）的基本規(guī)則kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第75頁!kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第76頁!-__-__kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第77頁!圖2-19例2-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化例2-12試簡化圖2-20的結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-20例2-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解在圖中由于G1(s)與G2(s)之間有交叉的比較點(diǎn)和引出點(diǎn)，不能直接進(jìn)行方框運(yùn)算，但也不可簡單地互換其位置。最簡便方法是按規(guī)則(5)和規(guī)則(8)分別將比較點(diǎn)前移,引出點(diǎn)后移；然后進(jìn)一步簡化直至求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。kejian2自動控制原理共88頁，您現(xiàn)在瀏