二階線性偏微分方程的分類(lèi)課件

第十章二階線性偏微分方程的分類(lèi)

本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念、分類(lèi)方法和偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化.特別對(duì)于常系數(shù)的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對(duì)后面的偏微分方程求解是十分有用的.第十章二階線性偏微分方程的分類(lèi)本章將介紹110.1基本概念(1)

偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；

為的偏導(dǎo)數(shù).有時(shí)為了書(shū)10.1基本概念(1)偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其2寫(xiě)方便，通常記(2)方程的階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為方程的階．(3)方程的次數(shù)偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱(chēng)為偏微分方程的次數(shù)．寫(xiě)方便，通常記(2)方程的階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)3(4)線性方程一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱(chēng)為線性方程，高于一次以上的方程稱(chēng)為非線性方程．(5)準(zhǔn)線性方程一個(gè)偏微分方程，如果僅對(duì)方程中所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱(chēng)方程為準(zhǔn)線性方程．(6)自由項(xiàng)在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱(chēng)為自由項(xiàng)．(4)線性方程一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有4例如：方程的通解和特解概念二階線性非齊次偏微分方程的通解為其中是兩個(gè)獨(dú)立的任意函數(shù)．因?yàn)榉匠虨槎A的，所以是兩個(gè)任意的函數(shù)．若給函數(shù)指定為特殊的，則得到的解例如：方程的通解和特解概念二階線性非齊次偏微分方程的5稱(chēng)為方程的特解．

n階常微分方程的通解含有n個(gè)任意常數(shù)，而n階偏微分方程的通解含有n個(gè)任意函數(shù)．10.2數(shù)學(xué)物理方程的分類(lèi)稱(chēng)為方程的特解．n階常微分方程的通解含有n個(gè)任意6

在數(shù)學(xué)物理方程的建立過(guò)程中，我們主要討論了三種類(lèi)型的偏微分方程：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程．這三類(lèi)方程描寫(xiě)了不同物理現(xiàn)象及其過(guò)程，后面我們將會(huì)看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn)．我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二次實(shí)曲線其中為常數(shù)，且設(shè)在數(shù)學(xué)物理方程的建立過(guò)程中，我們主要討論了三種類(lèi)型7則當(dāng)

時(shí)，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來(lái)對(duì)二階線性偏微分方程進(jìn)行分類(lèi).

下面主要以含兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析．而對(duì)于更多個(gè)自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討論的基本方法是一樣的．兩個(gè)自變量(x,y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為則當(dāng)時(shí)，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，8（10.2.1）其中為的已知函數(shù)．

定理10.2.1如果是方程(10.2.2)的一般積分，則是方程（10.2.1）其中為的已知函數(shù)．定理10.2.19(10.2.3)的一個(gè)特解．在具體求解方程(10.2.10)時(shí)，需要分三種情況討論判別式1.當(dāng)判別式以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解

時(shí)，從方程(10.2.10)可(10.2.3)的一個(gè)特解．在具體求解方程(10.2.1010也就是說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)的特征線．于是，令即可使得．同時(shí)，根據(jù)(10.2.4)式，就可以斷定．所以，方程(10.2.6)即為(10.2.4)也就是說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)的特征線．于是，11或者進(jìn)一步作變換于是有所以或者進(jìn)一步作變換于是有所以12又可以進(jìn)一步將方程(10.2.11)化為

這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為雙曲型方程．我們前面建立的波動(dòng)方程就屬于此類(lèi)型．2．當(dāng)判別式時(shí)：這時(shí)方程(10.2.10)一定有重根又可以進(jìn)一步將方程(10.2.11)化為這13因而只能求得一個(gè)解，例如，，特征線為

一條實(shí)特征線．作變換就可以使由(10.2.4)式可以得出，一定有，故可推出．這樣就可以任意選取另一個(gè)變換，只要它和彼此獨(dú)立，即雅可俾式因而只能求得一個(gè)解，例如，，特征線為一條實(shí)特征線．作變換14即可．這樣，方程(10.2.6)就化為

此類(lèi)方程稱(chēng)為拋物型方程．熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類(lèi)型．即可．這樣，方程(10.2.6)就化為此類(lèi)153.當(dāng)判別式面的討論，只不過(guò)得到的時(shí)：這時(shí)，可以重復(fù)上和是一對(duì)共軛的復(fù)函數(shù)，或者說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)的兩條特征線是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族．于是是一對(duì)共軛的復(fù)變量．進(jìn)一步引進(jìn)兩個(gè)新的實(shí)變量3.當(dāng)判別式面的討論，只不過(guò)得到的時(shí)：這時(shí)，可以重復(fù)上16于是所以

方程(10.2.11)又可以進(jìn)一步化為于是所以方程(10.2.11)又可以進(jìn)一步化為17

這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類(lèi)型．

綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類(lèi)型，只需討論判別式

即可.

這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為橢圓型方程．拉普拉斯(La1810.3二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)于二階線性偏微分方程(10.3.1)若判別式為，則二階線性偏微分方程分為三類(lèi)：10.3二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)于二階線性偏微分方程(19時(shí)，方程稱(chēng)為雙曲型;時(shí)，方程稱(chēng)為拋物型;時(shí)，方程稱(chēng)為橢圓型;1.雙曲型偏微分方程因?yàn)殡p曲型方程對(duì)應(yīng)的判別式所以特征曲線是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線，時(shí)，方程稱(chēng)為雙曲型;時(shí)，方程稱(chēng)為拋物型;時(shí)，方程稱(chēng)為橢圓型20設(shè)特征方程的解為令(10.3.2)進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问皆O(shè)特征方程的解為令(10.3.2)進(jìn)行自變21(10.3.3)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量代換，令或則偏微分方程又變?yōu)?10.3.3)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第22(10.3.4)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第二種形式．注：上式中的“*”號(hào)不代表共軛，僅說(shuō)明是另外的函數(shù)。如與是兩個(gè)不同的函數(shù)。

2．拋物型偏微分方程(10.3.4)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第二種形式．注23因?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰呐袆e式線是一族實(shí)函數(shù)曲線．，所以特征曲其特征方程的解為(10.3.5)因此令進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?10.3.6)因?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰呐袆e式線是一族實(shí)函數(shù)曲線．，所以特24上式稱(chēng)為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．3.橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程的判別式，所以特征曲線是一組共軛復(fù)變函數(shù)族．其特征方程的解為(10.3.7)若令上式稱(chēng)為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．3.橢圓型偏微分方程橢圓25(10.3.8)作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?10.3.9)上式稱(chēng)為橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．(10.3.8)作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?10.32610.4二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡(jiǎn)

如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式的方程還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)．下面按三種類(lèi)型分別介紹化簡(jiǎn)的方法1.雙曲型

對(duì)于下列含常系數(shù)的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還可進(jìn)一步化簡(jiǎn)10.4二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡(jiǎn)如27注：上式中用小寫(xiě)字母代表常系數(shù)，以便與我們不妨令大寫(xiě)字母代表某函數(shù)區(qū)別開(kāi)來(lái),例如．為了化簡(jiǎn)，從而有(10.4.2)注：上式中用小寫(xiě)字母代表常系數(shù)，以便與我們不妨令大寫(xiě)字母28其中

由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)(10.4.3)式中均為常系數(shù)．若令其中由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含29

則有(10.4.4)(10.4.5)其中(10.4.4)(10.4.5)其中30對(duì)于含常系數(shù)的拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）

（10.4.6）還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)．上式中小寫(xiě)字母均為常系數(shù)．為了化簡(jiǎn)，不妨令從而有(10.4.7)2.拋物型對(duì)于含常系數(shù)的拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）

（10.4.313.橢圓型對(duì)于下列第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程(含常系數(shù))(10.4.8)還可以進(jìn)一步進(jìn)行化簡(jiǎn)．上式中小寫(xiě)字母的為常系數(shù)．3.橢圓型對(duì)于下列第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程(含常系數(shù)32為了化簡(jiǎn)，不妨令從而有(10.4.9)其中為了化簡(jiǎn)，不妨令從而有(10.4.9)其中33

含有兩個(gè)自變量的線性偏微分方程的一般形式也可以寫(xiě)成下面的形式：其中L是二階線性偏微分算符，G是x,y的函數(shù)．線性偏微分算符有以下兩個(gè)基本特征：10.5線性偏微分方程解的特征含有兩個(gè)自變量的線性偏微分方程的一般形式也可34其中均為常數(shù)．進(jìn)一步有如下結(jié)論：1.齊次的線性偏微分方程的解有以下特性：為方程的解時(shí)，則也為方程的解；(1).當(dāng)為方程的解，則也是方程的解；(2)若2.非齊次的線性偏微分方程的解具有如下特性：其中均為常數(shù)．進(jìn)一步有如下結(jié)論：1.齊次的線性偏微分方程35為非齊次方程的特解，為齊次方程的通解，則為非齊次方程的通解；(1)若(2)若則3．線性偏微分方程的疊加原理需要指出:線性偏微分方程具有一個(gè)非常重要的特性，稱(chēng)為疊為非齊次方程的特解，為齊次方程的通解，則為非齊次方程的通解；36加原理，即若是方程（其中L是二階線性偏微分算符）的解.如果級(jí)數(shù)

收斂，且二階偏導(dǎo)數(shù)存在（其中為任意常數(shù)），則一定是方程的解程右端的級(jí)數(shù)是收斂的）．（當(dāng)然要假定這個(gè)方加原理，即若是方程（其中L是二階線性偏微分算符）的解.如37第十章二階線性偏微分方程的分類(lèi)

本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念、分類(lèi)方法和偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化.特別對(duì)于常系數(shù)的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對(duì)后面的偏微分方程求解是十分有用的.第十章二階線性偏微分方程的分類(lèi)本章將介紹3810.1基本概念(1)

偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；

為的偏導(dǎo)數(shù).有時(shí)為了書(shū)10.1基本概念(1)偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其39寫(xiě)方便，通常記(2)方程的階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為方程的階．(3)方程的次數(shù)偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱(chēng)為偏微分方程的次數(shù)．寫(xiě)方便，通常記(2)方程的階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)40(4)線性方程一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱(chēng)為線性方程，高于一次以上的方程稱(chēng)為非線性方程．(5)準(zhǔn)線性方程一個(gè)偏微分方程，如果僅對(duì)方程中所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱(chēng)方程為準(zhǔn)線性方程．(6)自由項(xiàng)在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱(chēng)為自由項(xiàng)．(4)線性方程一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有41例如：方程的通解和特解概念二階線性非齊次偏微分方程的通解為其中是兩個(gè)獨(dú)立的任意函數(shù)．因?yàn)榉匠虨槎A的，所以是兩個(gè)任意的函數(shù)．若給函數(shù)指定為特殊的，則得到的解例如：方程的通解和特解概念二階線性非齊次偏微分方程的42稱(chēng)為方程的特解．

n階常微分方程的通解含有n個(gè)任意常數(shù)，而n階偏微分方程的通解含有n個(gè)任意函數(shù)．10.2數(shù)學(xué)物理方程的分類(lèi)稱(chēng)為方程的特解．n階常微分方程的通解含有n個(gè)任意43

在數(shù)學(xué)物理方程的建立過(guò)程中，我們主要討論了三種類(lèi)型的偏微分方程：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程．這三類(lèi)方程描寫(xiě)了不同物理現(xiàn)象及其過(guò)程，后面我們將會(huì)看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn)．我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二次實(shí)曲線其中為常數(shù)，且設(shè)在數(shù)學(xué)物理方程的建立過(guò)程中，我們主要討論了三種類(lèi)型44則當(dāng)

時(shí)，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來(lái)對(duì)二階線性偏微分方程進(jìn)行分類(lèi).

下面主要以含兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析．而對(duì)于更多個(gè)自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討論的基本方法是一樣的．兩個(gè)自變量(x,y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為則當(dāng)時(shí)，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，45（10.2.1）其中為的已知函數(shù)．

定理10.2.1如果是方程(10.2.2)的一般積分，則是方程（10.2.1）其中為的已知函數(shù)．定理10.2.146(10.2.3)的一個(gè)特解．在具體求解方程(10.2.10)時(shí)，需要分三種情況討論判別式1.當(dāng)判別式以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解

時(shí)，從方程(10.2.10)可(10.2.3)的一個(gè)特解．在具體求解方程(10.2.1047也就是說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)的特征線．于是，令即可使得．同時(shí)，根據(jù)(10.2.4)式，就可以斷定．所以，方程(10.2.6)即為(10.2.4)也就是說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)的特征線．于是，48或者進(jìn)一步作變換于是有所以或者進(jìn)一步作變換于是有所以49又可以進(jìn)一步將方程(10.2.11)化為

這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為雙曲型方程．我們前面建立的波動(dòng)方程就屬于此類(lèi)型．2．當(dāng)判別式時(shí)：這時(shí)方程(10.2.10)一定有重根又可以進(jìn)一步將方程(10.2.11)化為這50因而只能求得一個(gè)解，例如，，特征線為

一條實(shí)特征線．作變換就可以使由(10.2.4)式可以得出，一定有，故可推出．這樣就可以任意選取另一個(gè)變換，只要它和彼此獨(dú)立，即雅可俾式因而只能求得一個(gè)解，例如，，特征線為一條實(shí)特征線．作變換51即可．這樣，方程(10.2.6)就化為

此類(lèi)方程稱(chēng)為拋物型方程．熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類(lèi)型．即可．這樣，方程(10.2.6)就化為此類(lèi)523.當(dāng)判別式面的討論，只不過(guò)得到的時(shí)：這時(shí)，可以重復(fù)上和是一對(duì)共軛的復(fù)函數(shù)，或者說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)的兩條特征線是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族．于是是一對(duì)共軛的復(fù)變量．進(jìn)一步引進(jìn)兩個(gè)新的實(shí)變量3.當(dāng)判別式面的討論，只不過(guò)得到的時(shí)：這時(shí)，可以重復(fù)上53于是所以

方程(10.2.11)又可以進(jìn)一步化為于是所以方程(10.2.11)又可以進(jìn)一步化為54

這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類(lèi)型．

綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類(lèi)型，只需討論判別式

即可.

這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為橢圓型方程．拉普拉斯(La5510.3二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)于二階線性偏微分方程(10.3.1)若判別式為，則二階線性偏微分方程分為三類(lèi)：10.3二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)于二階線性偏微分方程(56時(shí)，方程稱(chēng)為雙曲型;時(shí)，方程稱(chēng)為拋物型;時(shí)，方程稱(chēng)為橢圓型;1.雙曲型偏微分方程因?yàn)殡p曲型方程對(duì)應(yīng)的判別式所以特征曲線是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線，時(shí)，方程稱(chēng)為雙曲型;時(shí)，方程稱(chēng)為拋物型;時(shí)，方程稱(chēng)為橢圓型57設(shè)特征方程的解為令(10.3.2)進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问皆O(shè)特征方程的解為令(10.3.2)進(jìn)行自變58(10.3.3)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量代換，令或則偏微分方程又變?yōu)?10.3.3)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第59(10.3.4)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第二種形式．注：上式中的“*”號(hào)不代表共軛，僅說(shuō)明是另外的函數(shù)。如與是兩個(gè)不同的函數(shù)。

2．拋物型偏微分方程(10.3.4)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第二種形式．注60因?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰呐袆e式線是一族實(shí)函數(shù)曲線．，所以特征曲其特征方程的解為(10.3.5)因此令進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?10.3.6)因?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰呐袆e式線是一族實(shí)函數(shù)曲線．，所以特61上式稱(chēng)為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．3.橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程的判別式，所以特征曲線是一組共軛復(fù)變函數(shù)族．其特征方程的解為(10.3.7)若令上式稱(chēng)為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．3.橢圓型偏微分方程橢圓62(10.3.8)作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?10.3.9)上式稱(chēng)為橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．(10.3.8)作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?10.36310.4二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡(jiǎn)

如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式的方程還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)．下面按三種類(lèi)型分別介紹化簡(jiǎn)的方法1.雙曲型

對(duì)于下列含常系數(shù)的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還可進(jìn)一步化簡(jiǎn)10.4二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡(jiǎn)如64注：上式中用小寫(xiě)字母代表常系數(shù)，以便與我們不妨令大寫(xiě)字母代表某函數(shù)區(qū)別開(kāi)來(lái),例如．為了化簡(jiǎn)，從而有(10.4.2)注：上式中用小寫(xiě)字母代表常系數(shù)，以便與我們不妨令大寫(xiě)字母65其中

由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)(10.4.3)式中均為常系數(shù)．若令其中由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含66

則有(10.4.4)