理學自動控制原理課件

什么是數(shù)學模型?

所謂的數(shù)學模型，是描述系統(tǒng)動態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式?？刂葡到y(tǒng)定量分析的基礎(chǔ)。數(shù)學模型的特點

1)相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學模型。抽象的變量和系統(tǒng)

2)簡化性和準確性：忽略次要因素，簡化之，但不能太簡單，結(jié)果合理

3)動態(tài)模型：變量各階導數(shù)之間關(guān)系的微分方程。性能分析

4)靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。放大倍數(shù)

數(shù)學模型的類型

1)微分方程：時域其它模型的基礎(chǔ)直觀求解繁瑣

2)傳遞函數(shù)：復頻域微分方程拉氏變換后的結(jié)果

3)頻率特性：頻域分析方法不同，各有所長2-1數(shù)學模型的概念2-1數(shù)學模型的概念1數(shù)學模型的建立方法

1)分析法：根據(jù)系統(tǒng)各部分的運動機理，按有關(guān)定理列方程，合在一起。

2)實驗法：黑箱問題。施加某種測試信號，記錄輸出，用系統(tǒng)辨識的方法，得到數(shù)學模型。

建模原則：選擇合適的分析方法－確定相應的數(shù)學模型－簡化列寫微分方程式的一般步驟

1)分析系統(tǒng)運動的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。

2)忽略一些次要因素，合理簡化。

2.2系統(tǒng)微分方程的建立數(shù)學模型的建立方法列寫微分方程式的一般步驟2.2系統(tǒng)微分方23)根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。

4)列寫中間變量的輔助方程。

方程數(shù)與變量數(shù)相等！

5)聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。

6)將方程式化成標準形。

與輸出有關(guān)的放在左邊，與輸入有關(guān)的放在右邊，導數(shù)項按降階排列，系數(shù)化為有物理意義的形式。3)根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。3

三個基本的無源元件：質(zhì)量m,彈簧k,阻尼器f對應三種阻礙運動的力:慣性力ma;彈性力ky;阻尼力fv

例2-1(P22例2-3)彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運動方程式。

解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。（2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。

KmfF(t)y(t)機械平移系統(tǒng)舉例解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：KmfF(t)y(4

（3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即

（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得

（6）整理方程得標準形

（4）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式KmfF(t)y(t)（3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即（5）將以上輔助方程5

電路系統(tǒng)舉例

例2-2（P21例2-1）電阻－電感－電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡微分方程式。令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為RCur(t)

uc(t)L令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為R6

解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。

（4）列寫中間變量i與輸出變量uc的關(guān)系式:

（5）將上式代入原始方程，消去中間變量得RCur(t)

uc(t)L（2）網(wǎng)絡按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負載效應。（3）由KVL寫原始方程：i(t)解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，7由KVL寫出電路方程利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。den=[a0a1…an][num,den]=zp2tf(z,p,k)G(s)H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)可用代數(shù)法則進行等效變換（2）擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(tt0)將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)考察帶有擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。把內(nèi)部變量結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系描述的den=110355024解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。如果略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的項，則：5）對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不唯一。施加某種測試信號，記錄輸出，用系統(tǒng)辨識的方法，得到數(shù)學模型。微分方程式為：c(t)=r(t)例2-7求指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。當輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。（6）整理成標準形，令T1

=L/R，T2=RC，則方程化為

線性微分方程的一般特征

觀察實際物理系統(tǒng)的運動方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式：由KVL寫出電路方程（6）整理成標準形，令T1=L/R，8式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。

從工程可實現(xiàn)的角度來看，上述微分方程滿足以下約束：

（1）方程的系數(shù)為實常數(shù)，由系統(tǒng)自身參數(shù)決定；（2）左端的階次比右端的高,n>=m。這是因為實際物理系統(tǒng)均有慣性或儲能元件；（3）方程式兩端的各項的量綱應一致。利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。

理學自動控制原理課件9

相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。上面兩個例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。例2-1例2-2令uc=q/C模擬技術(shù)：當分析一個機械系統(tǒng)或不易進行試驗的系統(tǒng)時，可以建造一個與它相似的電模擬系統(tǒng)，來代替對它的研究。相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同10

直流電動機是將電能轉(zhuǎn)化為機械能的一種典型的機電轉(zhuǎn)換裝置。在電樞控制的直流電動機中，由輸入的電樞電壓ua在電樞回路產(chǎn)生電樞電流ia

，再由電樞電流ia與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩MD

，從而使電樞旋轉(zhuǎn)，拖動負載運動。

Ra和La分別是電樞繞組總電阻和總電感。在完成能量轉(zhuǎn)換的過程中，其繞組在磁場中切割磁力線會產(chǎn)生感應反電勢Ea，其大小與電樞控制的直流電動機（P21例2-2）MRauaLaiaif=常數(shù)Ea電樞控制的直流電動機（P21例2-2）MR11激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與外加電樞電壓ua相反。下面推導其微分方程式。（1）取電樞電壓ua為控制輸入，負載轉(zhuǎn)矩ML為擾動輸入，電動機角速度為輸出量；（2）忽略電樞反應、磁滯、渦流效應等影響，當激磁電流不變if時，激磁磁通視為不變，則將變量關(guān)系看作線性關(guān)系；（3）列寫原始方程式電樞回路方程：uaMRaLaiaif=常數(shù)Ea激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與外加電樞電壓ua相反。uaMR12電動機軸上機械運動方程：

J—負載折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量;MD

—電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩;ML

—合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩。（4）列寫輔助方程Ea=keke—電勢系數(shù)，由電動機結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。

MD=kmiakm—轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動機結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。（5）消去中間變量，得電動機軸上機械運動方程：J—負載折合到電動機軸13理學自動控制原理課件14令機電時間常數(shù)Tm:令電磁時間常數(shù)Ta:1)當電樞電感較小時，可忽略，可簡化上式如下：2-22一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)（2-21）令機電時間常數(shù)Tm:令電磁時間常數(shù)Ta:1)當電樞電感較152)對微型電機，轉(zhuǎn)動慣量J很小，且Ra、La都可忽略測速發(fā)電機3)隨動系統(tǒng)中，取θ為輸出4)在實際使用中，轉(zhuǎn)速常用n（r/min）表示,設(shè)ML=02)對微型電機，轉(zhuǎn)動慣量J很小，且Ra、La都可忽略測速發(fā)16小結(jié)物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗模擬的基礎(chǔ)。小結(jié)物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模 從動態(tài)性能看，在17通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元件（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。

系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等 系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)18線性代數(shù)方程的克萊姆法則—信號流圖的特征式；(3)反饋連接電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換3)求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。den1=[1,2,2]（3）方程式兩端的各項的量綱應一致。尼力與速度的平方有關(guān)；式中負反饋時取“+”號，單位階躍響應C(s)=G(s)R(s)=K/s(s+1)(s+2)(s+3)3)隨動系統(tǒng)中，取θ為輸出電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換（杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等）10s3+70s2+150s+96物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模例2-3求單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)的拉氏變換。s5+10s2+5s+6故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。不接觸回路回路之間沒有公共的節(jié)點和支路。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：可加性：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)齊次性：f(αx)=αf(x)或：f(αx1+βx2)=αf(x1)+βf(x2)2-3

數(shù)學模型的線性化（P25）線性代數(shù)方程的克萊姆法則線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)可以用線19非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不實際的系統(tǒng)20非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不實際的系統(tǒng)21線性系統(tǒng)微分方程的一般形式式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)，m≤n。線性系統(tǒng)微分方程的一般形式式中，a1，a2，…，an和b0，22線性化問題的提出非線性現(xiàn)象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方有關(guān)；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。

線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。線性化問題的提出非線性現(xiàn)象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻 線性23線性化的提出線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；

非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復雜的； 對于實際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線性化模型近似代替非線性模型進行處理，能夠滿足實際需要。線性化的提出線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內(nèi)具有24(x?x0)+

非線性系統(tǒng)數(shù)學模型的線性化（P27） 泰勒級數(shù)展開法(1)函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：(x?x0)y=f(x)=f(x0)++2df(x)

dxx=x0(x?x0)3+Lx=x0

1d3f(x)3!dx3x=x0

1d2f(x)2!dx2(x?x0)+ 非線性系統(tǒng)數(shù)學模型的線性化（P225y=f(x0)+(x?x0)如果略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的項，則：

df(x)

dxx=x0或：y-y0=Δy=KΔx，其中：K=0df(x)

dxx=x上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實際意義。y=f(x0)+(x?x0)如果略去含有26增量方程的數(shù)學含義就是將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。(2)對多變量系統(tǒng)，如：y=f(x1,x2)，同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。增量方程的數(shù)學含義就是將參考坐標的原點移(2)對多變量系統(tǒng)，27(x2?x20)+L

?f?x2(x1?x10)+

?f?x1y=f(x10,x20)+x1=x10x2=x20x1=x10x2=x20增量方程：y?y0=Δy=K1Δx1+K2Δx2靜態(tài)方程：y0=f(x10,x20),K2=其中：K1=

?f?x2

?f?x1x1=x10x2=x20x1=x10x2=x20(x2?x20)+L ?f(x1?x1028C(s)B(s)x2=a12x12-6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方(1)通過拉氏變換，實數(shù)域復雜的微積分運算如果略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的項，則：4(s-1)(s-2)系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅（2）忽略電樞反應、磁滯、渦流效應等影響，當激磁電流不變if時，激磁磁通視為不變，則將變量關(guān)系看作線性關(guān)系；（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)P2=G2G3K2=1+G1線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作輸入節(jié)點(源點)只有輸出支路的節(jié)點，它代表系統(tǒng)的輸入變量。解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(tt0)電動機軸上機械運動方程：(2)支路：連接兩節(jié)點的定向線段，用符號“”表示。5+?3+0.c(t)=1(t)（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質(zhì)（3）方程式兩端的各項的量綱應一致。閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個特點用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：例2-7求指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。零極點既可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)，表示在復平面上，形成的圖稱傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。輸出節(jié)點(匯點)只有輸入支路的節(jié)點，它代表系統(tǒng)的輸出變量。先看最簡單的例子。x2為輸出信號(變量)；若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重積分在t=0的值為0時，a12為兩信號之間的傳輸(增益)。由結(jié)構(gòu)圖傳遞函數(shù)微分方程在MATLAB中，多項式通過系數(shù)行向量表示，（6）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時的誤差閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù)4）正確理解傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)和意義。(x?x0)+直流電動機是將電能轉(zhuǎn)化為機械能的一種典型的機電轉(zhuǎn)換裝置。非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復雜的；微分方程式為：相加點對兩個以上的信號進行代數(shù)運算，“+”號表示相加，“”號表示相減。MD—電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩;（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)和分母多項式，即：num=[b0b1…bm]滑動線性化——切線法y=f(x)線性化增量方程為：y0αΔy’ΔyAΔy≈Δy'=Δx?tgαΔx0x切線法是泰勒級數(shù)法的特例。

x0非線性關(guān)系線性化C(s)B(s)用拉氏變換求解微分方程的一般29非線性系統(tǒng)的線性化微分方程的建立步驟確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點；列出各組成元件在工作點附近的增量方程；消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；非線性系統(tǒng)的線性化微分方程的建立步驟確定系統(tǒng)各組成元件在平衡30實例：單擺運動線性化解：根據(jù)牛頓第二定律：將非線性項sinθo=θo在θo=0點附近泰勒展開實例：單擺運動線性化解：根據(jù)牛頓第二定律：將非線性項sin31一.復習拉氏變換及其性質(zhì)

1.定義

記X(s)=L[x(t)]

2.進行拉氏變換的條件

1)t0，x(t)=0；當t0，x(t)是分段連續(xù)；

2)當t充分大后滿足不等式x(t)Mect，M，c是常數(shù)。

3.性質(zhì)和定理

1)線性性質(zhì)

L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)

2-4線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一.復習拉氏變換及其性質(zhì)2-4線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)322)微分定理若,則…2)微分定理若,則…33若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重積分在t=0的值為0時，3)積分定理X（-1）(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理…若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重34

5)初值定理如果x(t)及其一階導數(shù)是可拉氏變換的，并且

4)終值定理

若x(t)及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的，limx(t)存在，并且sX(s)除原點為單極點外，在jω軸上及其右半平面內(nèi)應沒有其它極點，則函數(shù)x(t)的終值為：存在，則5)初值定理4)終值定理存在，則356)延遲定理L[x(t)1(t)]=esX(s)

L[eat

x(t)]=X(s+a)7)時標變換8)卷積定理6)延遲定理8)卷積定理364.舉例簡單信號的拉氏變換

例2-3

求單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)的拉氏變換。解：例2-4

求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變換。解：4.舉例簡單信號的拉氏變換例2-4求單位斜坡函數(shù)x(37例2-5

求正弦函數(shù)x(t)=sinωt的拉氏變換。解：

以上幾個函數(shù)是比較常用的，還有一些常用函數(shù)的拉氏變換可查表求得。例2-5求正弦函數(shù)x(t)=sinωt的拉氏變換。38例2-6

求函數(shù)x(t)的拉氏變換。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)

A1(tt0)例2-6求函數(shù)x(t)的拉氏變換。tx(t)0At0t39例2-7

求指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。解:例2-8

求e

0.2t的拉氏變換。解：例2-7求指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。例2-8求e40

，求x(0)，x()。解：例2-9

若二.復習拉氏反變換

1.定義由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)x(t)2.求拉氏反變換的方法

①根據(jù)定義，用留數(shù)定理計算上式的積分值②查表法，求x(0)，x(41

③部分分式法

一般，象函數(shù)X(s)是復變量s的有理代數(shù)公式，即

通常m<n，a1,…,an；

b0,…,bm均為實數(shù)。首先將X(s)的分母因式分解，則有式中p1,…,pn是

D(s)=0的根，稱為X(s)的極點。分兩種情況討論：（1）D(s)=0無重根。③部分分式法通常m<n，a1,42式中ci是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點si處的留數(shù)。（2）D(s)=0有重根。設(shè)有r個重根p1

，則式中ci是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點si處的留數(shù)。（243利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。控制系統(tǒng)定量分析的基礎(chǔ)。在零初始條件下，對上式兩端進行拉氏變換得例2-7求指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。例2-13求解微分方程：輸出量c(t)成比例變化。因此對系統(tǒng)的研究，可變成對系統(tǒng)傳函的零、極點的研究了，這就是根軌跡法(chaper4)。（3）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)的響應用微分方程求解，需確定積分常數(shù)，階次高時麻煩；MD=kmia微分方程式為：c(t)=r(t)例2-5求正弦函數(shù)x(t)=sinωt的拉氏變換。>>[r,p,k]=residue(num,den)若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，den2=[2,3,3,2]由于一一對應的關(guān)系，可以直接根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，利用梅遜公式直接寫出傳遞函數(shù)。令R(s)=0有Pk—第K條前向通路的傳輸；（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中變量因果關(guān)系i=r+1,…,n…利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。i=r+1,443.舉例

例2-10，求原函數(shù)x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)3.舉例例2-10，求原函數(shù)x(t)。解：45的原函數(shù)x(t)。例2-11

求解：s2

+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1

j)的原函數(shù)x(t)。例2-11求解：s2+2s+246

的原函數(shù)x(t)。解：例2-12

求的原函數(shù)x47

用微分方程求解，需確定積分常數(shù)，階次高時麻煩；當參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時，需重新列方程求解，不利于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對性能的影響。用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：

1)對微分方程兩邊進行拉氏變換。

2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在s域的解。

3)求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。線性常系數(shù)微分方程的求解（對照課本26頁）微分方程式r(t)c(t)求解代數(shù)方程時域解c(t)Ls的代數(shù)方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-1線性常系數(shù)微分方程的求解（對照課本26頁）微分方程式r(t)48

例2-13

求解微分方程：

解：兩邊取拉氏變換

s2Y(s)

sy(0)

y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/sy(t)=5/25et

+

3/2e2t初始條件：y(0)=1,y(0)=2例2-13求解微分方程：解：兩邊取拉氏變換y49

例2-14

圖示的RC電路，當開關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。

解：設(shè)輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)。由KVL寫出電路方程

電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換RC

uruc例2-14圖示的RC電路，當開關(guān)K突然接通后，試求出電50當輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時，

得

式中右端第一項是由輸入電壓ur(t)決定的分量，是當電容初始狀態(tài)uc(0)=0時的響應，故稱零狀態(tài)響應；

第二項是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當輸入電壓ur(t)=0時的響應，故稱零輸入響應。當輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時，得51

用拉氏變換求解的優(yōu)點：1）復雜的微分方程變換成簡單的代數(shù)方程2）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換中,不用另行確定積分常數(shù)3）若所有的初值為0，拉氏變換式可直接用s代替,得到。當然，階次高時，求拉氏反變換也不太容易，幸運的是，往往并不需要求出解，可用圖解法預測系統(tǒng)的性能，可用相關(guān)性質(zhì)得到解的特征，初值、終值等，滿足工程需要。傳遞函數(shù)的定義和實際意義（對照課本29頁）

微分方程是時域中的數(shù)學模型，傳遞函數(shù)是采用L[]法求解微分方程時引申出來的復頻域中的數(shù)學模型，它不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時對系統(tǒng)性能的影響，是經(jīng)典控制理論中最重要的模型。1定義

在線性定常系統(tǒng)中，當初始條件為零時，系統(tǒng)輸出拉氏變換與輸入拉氏變換的比，稱為傳遞函數(shù)，用G(S)表示。用拉氏變換求解的優(yōu)點：傳遞函數(shù)的定義和實際意義（對照52即例2-7中，若令uc(0)=0，則有于是

可見，輸入與輸出之間的關(guān)系僅取決于電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)（固有特性）,與輸入的具體形式無關(guān)，無論輸入如何，系統(tǒng)都以相同的傳遞作用輸出信息或能量，因此稱之為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是代數(shù)式，其傳遞作用還經(jīng)常用方框圖直觀的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)即例2-7中，若令uc(0)=0，則有于是53一般的，設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。在零初始條件下，對上式兩端進行拉氏變換得(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++am1s

+

am

)R(s)按定義，其傳遞函數(shù)為一般的，設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為式中，r(t)是輸入量，54G(s)是由微分方程經(jīng)線性拉氏變換得到，故等價，只是把時域變換到復頻域而已，但它是一個函數(shù)，便于計算和采用方框圖表示，廣泛應用。其分母多項式就是微分方程的特征多項式，決定系統(tǒng)的動態(tài)性能。從描述系統(tǒng)的完整性來說，它只能反應零狀態(tài)響應部分。但在工程實際當中：1）都是零初始條件的，即系統(tǒng)在輸入作用前是相對靜止的，即輸出量及其各階導數(shù)在t=0的值為零。2）輸入在t=0以后才作用于系統(tǒng)，即輸入及其各階導數(shù)在t=0的值為零；對于非0初始條件時，可采用疊加原理。G(s)是由微分方程經(jīng)線性拉氏變換得到，故等價，只是55

傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(a)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學模型，與系統(tǒng)的微分方程相對應。

(b)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。

(c)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因為拉氏變換是一種線性變換。(d)傳遞函數(shù)描述的是一對確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對中間變量不反應。

(e)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運動情況。（零狀態(tài)解）(f)傳遞函數(shù)一般為復變量s的有理分式，它的分母多項式是系統(tǒng)的特征多項式，且階次總是大于或等于分子多項式的階次，即nm。并且所有的系數(shù)均為實數(shù)。(g)傳遞函數(shù)與脈沖響應一一對應，是拉氏變換與反變換的關(guān)系。

系統(tǒng)辨識

傳遞函數(shù)的性質(zhì)562G(s)的微觀結(jié)構(gòu)G(s)是關(guān)于s的有理分式，可分解成多種形式：1）零極點表達式

可知：傳遞函數(shù)定，零、極點和kg唯一確定，反之亦然。因此傳遞函數(shù)可用零極點和傳遞系數(shù)等價表示。零極點既可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)，表示在復平面上，形成的圖稱傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。反映系統(tǒng)的動態(tài)性能。因此對系統(tǒng)的研究，可變成對系統(tǒng)傳函的零、極點的研究了，這就是根軌跡法(chaper4)。傳遞系數(shù)，根軌跡增益2G(s)的微觀結(jié)構(gòu)G(s)是關(guān)于s的有理分式，可分57

2）時間常數(shù)表達式較容易分解成一些典型環(huán)節(jié)，第5章會大量應用p1p2j1

1

j

023p3z1

例如，試畫出下面?zhèn)鬟f函數(shù)的零極點圖。2）時間常數(shù)表達式較容易分解成一些典型環(huán)節(jié)，第5章會大58再次提出傳遞函數(shù)以下特點：

(1)通過拉氏變換，實數(shù)域復雜的微積分運算轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算；

(2)輸入典型信號時，其輸出與傳遞函數(shù)有一定對應關(guān)系，當輸入是單位脈沖函數(shù)時，輸入的象函數(shù)為1，其輸出象函數(shù)與傳遞函數(shù)相同； （3）令傳遞函數(shù)中的s=jω，則系統(tǒng)可在頻率域內(nèi)分析（詳見第五章）；（4）G（s）的零極點分布決定系統(tǒng)動態(tài)特性（第四章）。再次提出傳遞函數(shù)以下特點：(1)通過拉氏變換，實592-6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

可看成是若干稱為典型環(huán)節(jié)的基本因子的乘積，一般認為典型環(huán)節(jié)有6種，這些典型環(huán)節(jié),對應典型電路。這樣劃分對系統(tǒng)分析和研究帶來很大的方便。分述如下：

自動控制系統(tǒng)可以用傳遞函數(shù)來描述，任一復雜的傳遞函數(shù)G(s)，都可表示為：2-6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)可看成是若干稱為典型環(huán)節(jié)601.比例環(huán)節(jié)（杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等）運動方程式c(t)=K

r(t)

傳遞函數(shù)G(s)=K

單位階躍響應C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可見，當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量c(t)成比例變化。

r(t)1c(t)t0K1.比例環(huán)節(jié)r(t)1c(t)t0K612.慣性環(huán)節(jié)微分方程式：

式中，T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個負實極點p=1/T，無零點。傳遞函數(shù)：

j

01/T單位階躍響應:2.慣性環(huán)節(jié)式中，T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣性環(huán)623.積分環(huán)節(jié)微分方程式：傳遞函數(shù)：

階躍響應曲線是按指數(shù)上升的曲線。0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T3.積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：階躍響應曲線是按指數(shù)上升的曲線63單位階躍響應：

當輸入階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出隨時間直線增長，增長速度由1/T決定。當輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。4.微分環(huán)節(jié)微分方程式為：r(t)t01c(t)t01T單位階躍響應：當輸入階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出隨時間直線64

c(t)=T(t)

由于階躍信號在時刻t=

0有一躍變，其他時刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對階躍輸入的響應只在t=

0時刻產(chǎn)生一個響應脈沖。

理想的微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中很少獨立存在，常見的為帶有慣性環(huán)節(jié)的微分特性，傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：G(s)=Ts單位階躍響應：r(t)t01c(t)t0T

65因此，它是對系統(tǒng)每個元件功能和信號流向的圖解表示，也就是對系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解表示。物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模1）信號流圖只能代表線性代數(shù)方程組。由結(jié)構(gòu)圖化簡傳遞函數(shù)5）對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不唯一。4)在實際使用中，轉(zhuǎn)速常用n（r/min）表示,設(shè)ML=0舉例例2-10有一線性系統(tǒng)，它由下述方程式描述：c(t)=T(t)>>den=[15972];MD—電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩;舉例例2-10（3）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)的響應Pk—第K條前向通路的傳輸；例2-7求指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。分別求兩者串聯(lián)、并聯(lián)連接時的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，以上幾個函數(shù)是比較常用的，還有一些常用函數(shù)的拉氏變換可查表求得。ac與gi，ghj;abd與gi，ghjdxx=x0(a0sn+a1sn1++an1s+an)C(s)=可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。

式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T稱為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，ξ

為阻尼比，n為自然振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對位于s左半平面的共軛極點：傳遞函數(shù)為：或5.二階振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為：因此，它是對系統(tǒng)每個元件功能和信號流向的圖解表示，也就是對系66單位階躍響應：式中，β=cos－1ξ。響應曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振蕩環(huán)節(jié)。c(t)t01np1p2

jd

ξn

j

0舉例：RLC串連電路，平移系統(tǒng)，直流電機單位階躍響應：式中，β=cos－1ξ。響應曲線c(t)t676.延遲環(huán)節(jié)微分方程式為：c(t)=r(t)傳遞函數(shù)為：單位階躍響應：

c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t01無理函數(shù)的工程近似：AB6.延遲環(huán)節(jié)c(t)=1(t)r(t)t01c68結(jié)構(gòu)圖的定義及基本組成1.結(jié)構(gòu)圖的定義

定義:由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

2-7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

下圖為討論過的直流電動機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用方框圖可描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，但卻不能定量分析，有了傳遞函數(shù)的概念后，就可迎刃而解。放大器電動機測速機urufuae+-2-7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

下圖為討論過的直流電動機轉(zhuǎn)速控69

轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)由三個環(huán)節(jié)（元件）構(gòu)成，把各元件的傳遞函數(shù)代入相應的方框中，并標明兩端對應的變量，就得到了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

用G(s)代替相應的元件，好處：補充了方框中各變量之間的定量關(guān)系，既能表明信號的流向，又直觀的了解元件對系統(tǒng)性能的影響；因此，它是對系統(tǒng)每個元件功能和信號流向的圖解表示，也就是對系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解表示。Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)由三個環(huán)節(jié)（元件）構(gòu)成，把各元件的70

2.結(jié)構(gòu)圖的基本組成

1）畫圖的4種基本元素

信號傳遞線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，傳遞線上標明被傳遞的信號。指向方框表示輸入，從方框出來的表示輸出。r(t),R(s)

分支點

表示信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)2.結(jié)構(gòu)圖的基本組成r(t),R(s)分71

方框

表示對輸入信號進行的數(shù)學運算。方框中的傳遞函數(shù)是單向的運算算子，使得輸出與輸入有確定的因果關(guān)系。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加點對兩個以上的信號進行代數(shù)運算，“+”號表示相加，“”號表示相減。外部信號作用于系統(tǒng)需通過相加點表示。方框表示對輸入信號進行的數(shù)學運算。方框中的傳遞722）結(jié)構(gòu)圖的基本作用：

(a)簡單明了地表達了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評價每一個元件對系統(tǒng)性能的影響。信號的傳遞嚴格遵照單向性原則，對于輸出對輸入的反作用，通過反饋支路單獨表示。

(b)對結(jié)構(gòu)圖進行一定的代數(shù)運算和等效變換，可方便地求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

(c)s=0時，表示的是各變量間的靜態(tài)特性，否則，動態(tài)特性。結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟

(1)列寫每個元件的原始方程（保留所有變量，便于分析），要考慮相互間負載效應。

(2)設(shè)初始條件為零，對這些方程進行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)，然后分別以一個方框的形式將因果關(guān)系表示出來，而且這2）結(jié)構(gòu)圖的基本作用：73些方框中的傳遞函數(shù)都應具有典型環(huán)節(jié)的形式。

(3)將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。

例2-16

畫出下圖所示RC網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)圖。

R

C

u1

u2

解：(1)列寫各元件的原始方程式

i些方框中的傳遞函數(shù)都應具有典型環(huán)節(jié)的形式。RCu1u74(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來得圖。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些75

結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式

1.三種基本連接形式

(1)串聯(lián)。相互間無負載效應的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。

故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由圖可知：

U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去變量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式G2(s)U(s)C(s)G1(s)R76

(2)并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。

由圖有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+(2)并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各77C(s)=C1(s)C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)

故環(huán)節(jié)并聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+C(s)=C1(s)C2(s)G1(s)G278

(3)反饋連接

連接形式是兩個方框反向并接，如圖所示。相加點處做加法時為正反饋，做減法時為負反饋。由圖有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接的等效傳遞函數(shù)。(3)反饋連接由圖有C(s)=G79G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定義：G(s)：前向通道傳遞函數(shù)

E(s)C(s)H(s)：反饋通道傳遞函數(shù)

C(s)B(s)H(s)=1單位反饋系統(tǒng)G(s)H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)

E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中負反饋時取“+”號，正反饋時取“-”號。G(s)R(s)C(s)定義：R(s)C(s)G(s)H(802.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù)考察帶有擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。它代表了常見的閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般形式。（1）控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++2.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù)（1）控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)G181（2）擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令R(s)=0有

（3）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)的響應

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++（2）擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)（3）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)82（4）控制輸入下的誤差傳遞函數(shù)（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)（6）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時的誤差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)（6）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)833.閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個特點

閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點通過定量分析，更令人信服。（1）外部擾動的抑制——較好的抗干擾能力（2）系統(tǒng)精度有可能僅取決于反饋通道的精度（3）各傳遞函數(shù)具有相同的特征方程式。動態(tài)特性相同（固有屬性）與輸入和輸出無關(guān)3.閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個特點閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點通過定量84結(jié)構(gòu)圖的等效變換

變換的原則：變換前后應保持信號等效。1.引出點后移GRCRGRC1/GR2引出點前移GRCCGRCGC規(guī)律一：各前向通道傳遞函數(shù)的乘積保持不變規(guī)律二：各回路傳遞函數(shù)的乘積保持不變結(jié)構(gòu)圖的等效變換GRCRGRC1/GR2引出點前移GRCC854.比較點前移3.比較點后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F4.比較點前移3.比較點后移GFGRC+FRGCF+865.比較點互換或合并R1CR2++R3R1CR2++R3結(jié)構(gòu)圖的簡化

對于復雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一般都有相互交叉的回環(huán)，當需要確定系統(tǒng)的傳函時，就要根據(jù)結(jié)構(gòu)圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉，然后按方框的連接形式等效，依次化簡。R1CR2+R35.比較點互換或合并R1CR2++R3R1CR287RCG1G2G3H1H2例2-17用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H2例2-17用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下88方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G89

例2-18用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。RG1G2CG3RG1G2CG3解：例2-18用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。90RG1G2CG3RG1G2CG31/G2RG1G2CG3RG1G2CG31/G291舉例2：試求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

舉例2：試求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。92解：1、A點前移；

解：1、A點前移；932、消去H2(s)G3(s)反饋回路2、消去H2(s)G3(s)反饋回路943、消去H1(s)反饋回路3、消去H1(s)反饋回路95信號流圖的基本概念

1.定義：信號流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。先看最簡單的例子。有一線性系統(tǒng)，它由下述方程式描述：x2=

a12x1式中，x1為輸入信號(變量)；x2為輸出信號(變量)；a12為兩信號之間的傳輸(增益)。即輸出變量等于輸入變量乘上傳輸值。若從因果關(guān)系上來看，x1為“因”，x2為“果”。這種因果關(guān)系，可用下圖表示。信號傳遞關(guān)系函數(shù)運算關(guān)系變量因果關(guān)系x1a12x22-8信號流圖及梅遜公式信號流圖的基本概念x1a12x22-8信號流圖及梅遜公式96

下面通過一個例子，說明信號流圖是如何構(gòu)成的。設(shè)有一系統(tǒng)，它由下列方程組描述：

x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x4把內(nèi)部變量結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系描述的一清二楚a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32下面通過一個例子，說明信號流圖是如何構(gòu)成的。a43a44x972.信號流圖的基本元素

(1)節(jié)點：用來表示變量，用符號“O”表示，并在近旁標出所代表的變量。

(2)支路：連接兩節(jié)點的定向線段，用符號“”表示。支路具有兩個特征：

有向性限定了信號傳遞方向。支路方向就是信號傳遞的方向，用箭頭表示。

有權(quán)性限定了輸入與輸出兩個變量之間的關(guān)系。支路的權(quán)用它近旁標出的傳輸值(增益)表示。2.信號流圖的基本元素98

3.信號流圖的幾個術(shù)語

節(jié)點及其類別

輸入節(jié)點(源點)

只有輸出支路的節(jié)點，它代表系統(tǒng)的輸入變量。如圖中x1。

混合節(jié)點

既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點，如圖中x2、x3。

輸出節(jié)點(匯點)

只有輸入支路的節(jié)點，它代表系統(tǒng)的輸出變量。如圖中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x23.信號流圖的幾個術(shù)語混合節(jié)點既有輸入支路，又99

通道及其類別

通道從某一節(jié)點開始，沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過一些支路而終止在另一節(jié)點的路徑。用經(jīng)過的支路傳輸?shù)某朔e來表示。開通道如果通道從某一節(jié)點開始，終止在另一節(jié)點上，而且通道中的每個節(jié)點只經(jīng)過一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4

閉通道(回環(huán))

如果通道的終點就是起點的開通道。如a23a32，a33(自回環(huán))

。通道及其類別a33x1a12x2x3a23a100

前向通道

從源節(jié)點到匯節(jié)點的開通道。

不接觸回路回路之間沒有公共的節(jié)點和支路。4.信號流圖的基本性質(zhì)

1）信號流圖只能代表線性代數(shù)方程組。

2）節(jié)點表示系統(tǒng)的變量，表示所有流向該節(jié)點的信號之（代數(shù)）和；而從該節(jié)點流向各支路的信號，均用該節(jié)點變量表示。

3）信號在支路上沿箭頭單向傳遞，后一節(jié)點變量依賴于前一節(jié)點變量，即只有“前因后果”的因果關(guān)系。

4）支路相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。

5）對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不唯一。前向通道從源節(jié)點到匯節(jié)點的開通道。101信號流圖的繪制方法

1.直接法

例2-19

RLC電路如圖2-28所示，試畫出信號流圖。解：(1)列寫原始方程

(2)取拉氏變換，考慮初始條件：i(0+)，uc(0+)

(3)整理成因果關(guān)系RCur(t)

uc(t)Li(t)信號流圖的繪制方法解：(1)列寫原始方程(2)取拉氏變換，102

(4)畫出信號流圖如圖所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R1Cs1Ls+R(4)畫出信號流圖如圖所示。Ur(s)Uc(s)I(s)11032.翻譯法例2-20

畫出下圖所示系統(tǒng)的信號流圖。

R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻譯法可直接作出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對應的信號流圖。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)-H(s)2.翻譯法R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E104系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖信號流圖變量節(jié)點輸入變量源節(jié)點比較點引出點

混合節(jié)點傳輸線

方框支路輸出端匯節(jié)點系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖信號流圖105梅遜增益公式

1.梅遜增益公式輸入輸出節(jié)點間總傳輸?shù)囊话闶綖槭街蠵—

總傳輸(增益)；

n—

從源節(jié)點至匯節(jié)點前向通道總數(shù)；

Pk—第K條前向通路的傳輸；

—信號流圖的特征式；

k—第k條前向通路特征式的余因子式梅遜增益公式式中P—總傳輸(增益)；106

線性代數(shù)方程的克萊姆法則

為所有不同回環(huán)的增益之和；

為每兩個互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

為每三個互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

為在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。為所有不同回環(huán)的增益之和；為每兩個互不接觸回環(huán)增益乘積之和107

解：信號流圖的組成：4個單回環(huán)，一條前向通道

=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)

bidjfkP1=abcdefgh1=10=1例2-21求圖所示系統(tǒng)的信號流圖輸入x0至輸出x8的總傳輸G。x0ax8bcdefghijkm解：信號流圖的組成：4個單回環(huán)，一條前向通道例2-2108

例2-22

已知系統(tǒng)的信號流圖如下，求輸入x1至輸出x2和x3的傳輸。bx1gx2ax3jhci23efd

解：單回路：ac，abd，gi，ghj，

aegh

兩兩互不接觸回路：

ac與gi，ghj;abd與gi，ghj

＝1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)x1到x2的傳輸：

P1=2ab1=1

(gi+ghj)

P2=3gfab2

=1例2-22已知系統(tǒng)的信號bx1gx2ax3jhc109bx1gx2ax3jhci23efd

x1到x3的傳輸：

P1=3

1=1(ac+abd)

P2=2ae2=1bx1gx2ax3jhci23efdx1到x3的傳輸：110例2-23試求信號流圖中的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。RCG1K111G2G31

解：單回路：G1，G2，G3，G1G2兩兩互不接觸回路:G1和G2，G1和G3，

G2和G3，G1G2和G3例2-23試求信號流圖中的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。R111RCG1K111G2G31三個互不接觸回路:G1，

G2和G3

前向通道：P1=G1G2G3K1=1P2=

G2G3K2=1+G1P3=

G3K3=1+G2RCG1K111G2G31P4=

G2

(1)G3K4=1RCG1K111G2G31三個互不接觸回路:112梅遜增益公式在結(jié)構(gòu)圖上的應用由于一一對應的關(guān)系，可以直接根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，利用梅遜公式直接寫出傳遞函數(shù)。例2-19已知結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試用梅遜公式求C(s)/R(s)。R(s)C(s)G1(s)G3(s)H(s)﹣+++++G2(s