含絕對(duì)值不等式證明方法綜述

含絕對(duì)值不等式證明方法綜述1引言由于含絕對(duì)值不等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，也是近年來(lái)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，而且含絕對(duì)值不等式證明對(duì)中學(xué)生解題能力的提高也很有幫助，因此探討含絕對(duì)值不等式證明方法對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以及數(shù)學(xué)競(jìng)賽的訓(xùn)練具有一定的指導(dǎo)意義．2基本概念和基本結(jié)論2.1基本概念絕對(duì)值定義[6](pn):數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做a的絕對(duì)值.由絕對(duì)值的定義可知：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.用式子表示為:(1)a=a(a>0)(2)a=—a(a<0)(3)a=0(a=0).2.2基本結(jié)論TOC\o"1-5"\h\zx<a(a>0)Ox2<a2o—a<x<a.x>a(a>0)Ox2>a2ox>a或x<—a.|x—m<a(a>0)O—a<x—m<aom—a<x<a+m.|x—m>a(a>0)Ox>a或x—m<—aox>m+a或x<m—a.|x—m|=|m—x|,x2=x2.有關(guān)定理2.3.1一個(gè)重要不等式[2](P9)如果a,beR那么a2+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).2.3.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理⑵(P9)如果a,b是正整數(shù)，那么>爲(wèi)匸(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).關(guān)于絕對(duì)值不等式的定理及推論定理1[2](p21)|a|—b<|a+b\<|a|+|b|.

推論1[2](P22)推論2【2](p22)a-b|<|a一b\<a+|b|2.4去絕對(duì)值的方法（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義及有關(guān)同解定理．（2）兩邊平方法．（3）零點(diǎn)分區(qū)法．3含絕對(duì)值不等式證明方法舉例3.1兩邊平方法對(duì)于形式簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值不等式，可以考慮兩邊平方法去絕對(duì)值符號(hào)，然后再證明例1已知a<1,b<1,求證誥<1-證明要證1+ab證明要證1+ab需證(a+b)2<1.(1+ab)2因?yàn)?1+ab)2>0,所以a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2,所以(1一a2一b2)+a2b2>0,即(1—a2)(1—b2)>0.由問(wèn)<1,|b|<1,知(1-a2)(1—b2)>0成立.所以a+所以a+b1+ab<1成立.3.2零點(diǎn)分區(qū)法絕對(duì)值符號(hào)的存在是證明含絕對(duì)值不等式的一大障礙,對(duì)此常采取劃分區(qū)間逐段討論法先去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為一般不等式再證明.例2[3]（P140）已知x2+y2<1，其中x,y為實(shí)數(shù).求證3<|x+y|+|y++|2y一x—4<7.證明根據(jù)已知條件x2+y2<1,得y2<x2+y2<1,即一1<y<1.所以y+1>(-1)+1=0,因此|y+1|=y+1.再由X2<x2+y2<1，得一1<x<1.由此2x(—1)—1<2y—x<2x1—(—1),即一3<2y—x<3.所以2y—x—4<3—4=—1<0.那么|2x—y—4=—(2y—x—4)=—2y+x+4.下面分兩種情況討論：x+y>0時(shí)，|x+y|+|y+1|+|2y—x—4|=(x+y)+(y+1)—(2y—x—4)=2x+5,所以3=2x(—1)+5<2x+5<2x1+5=7.x+y<0時(shí)，|x+y|+|y+1|+|2y—x—4|=—(x+y)+(y+1)—(2y—x—4)=—2y+5,所以3=(-2)x1+5<—2y+5<(—2)x(—1)+5=7.綜合(1)、(2)得3<|x+y|+|y+1|+|2y—x—4\<7.3.3綜合法綜合法是由因?qū)Ч?，即從已知的條件或已知的真命題出發(fā)一步步推出結(jié)論成立的一種方法例3⑵(p22)已知|x<；,|y<；,|Z<：，求證|x+2y—3z|<￡.369證明|x+2y—3z|<|x|+|2y|+1—3z|=|x|+|2||y|+—3||z|=x+2|y|+3|z.

TOC\o"1-5"\h\z8||8s因?yàn)镠<3，ly<6，kl<9'III82838所以X+2|y+3zy+丁+==8?369所以|x+2y-3z|<8.3.4分析法分析法是執(zhí)果索因，即從結(jié)論開(kāi)始，一步步尋求上一步成立的條件，直至得出一個(gè)真命題為止對(duì)于含絕對(duì)值不等式不好入手，常采用分析法．例4求證a+|b|例4求證a+|b|

i+a+ib證明要證a+|b|

i+a+|b|只需證(|a|+|b|)(1+|a+b|)>|a+冰1+|a|+|b|),只需證|a|+|b|+(|a|+|b|)|a+b>|a+b+(|a|+|b|)|a+b,只需證|a|+bl>|a+b，此式顯然成立.所以原式成立.3.5比較法在證明不等式的各種方法中，比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來(lái)證明的，其應(yīng)用非常廣泛．例5⑵(p29)已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1,c2+d2=1,求證|ac+bd\<1.證明顯然有|ac+bd\<1o-1<ac+bd<1.證明先證ac先證ac+bd>-1因?yàn)閍c+bd—(—1)=ac+bd++—因?yàn)?2a2+b2c2+d2=ac+bd++22(a+c)2+(b+d)2>o>,所以ac+bd所以ac+bd>-1.再證ac+bd<1.因?yàn)橐驗(yàn)?—(ac+bd)二二+—(ac+bd)——ac—cd(a—c)2+(b—d)22所以ac+bd<1.綜上得|ac+bd\<1.3.6放縮法(1+a(1+a2)—(1+b2)v1+a2+1+b2a+|b|]<性宇=|a—b|.|a+b|在證明含絕對(duì)值不等式過(guò)程中，有時(shí)需要對(duì)不等式進(jìn)行適度的放縮，但放縮時(shí)要根據(jù)題目要求及時(shí)調(diào)整放縮形式．例6已知函數(shù)fC)=\；1+X2,設(shè)a，bGr.證明f(a)—f(b)<a—b證明因?yàn)閒(a)—f(b)|=/+a2—看1+b2所以原不等式成立．3.7歸納法對(duì)于與自然數(shù)n有關(guān)的不等式問(wèn)題，往往采用歸納法進(jìn)行證明.應(yīng)用歸納法時(shí)，先假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，然后推證n=k+1時(shí)不等式也成立.從而使命題得證.例7已知n是自然數(shù)，a,bgR(i=1,2,A,n)，求證ii:a2+a2+A+a2<|a|+|a|+A+|a|.TOC\o"1-5"\h\z"12n12n證明(1)當(dāng)n=1，n=2時(shí)，不等式顯然成立.(2)設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即a2+a2+A+a2<|a|+|a|+A+|a|12k12k(3)當(dāng)n=k+1時(shí)，有a2+a2+A+a2+a212kk+1<|a+aA+a|+|a|12kk11<laJ+laJ+A+lakl+lak+11所以當(dāng)n二k+1時(shí)，不等式仍成立.

所以原命題成立．3.8構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造法的基本思想是通過(guò)構(gòu)造中介性的輔助元素，溝通不等式的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而得以證明．對(duì)于不等式兩邊結(jié)構(gòu)完全相同或相似的，可以聯(lián)想利用函數(shù)知識(shí)及不等式特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)增減性來(lái)研究．例8a例8a,b,ceR，求證a1+ac1+c分析由于不等式四個(gè)式子中出現(xiàn)的形式相似相當(dāng)于函數(shù)仏)=總在相應(yīng)四個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，因此設(shè)置輔助函數(shù)證明這個(gè)不等式．證明構(gòu)造函數(shù)f°證明構(gòu)造函數(shù)f°)=亡xe[0,+w)，則當(dāng)0<x<x時(shí),12x—1—二f(x)x—1—二f(x)—f(x)=-^-2|b||c|i+(a+bi+c)i+(a+bi+c)+1+(|a|+b+|c|)b++1+blc1+c^4—>0,11+x1+x(1+x)(1+x)2112所以函數(shù)f⑺亂在上是嚴(yán)格遞增的,|a+b+c|<|+bl+|c|,fC+b+ci)<fCi+閔+1』,所以原不等式成立．3.9換元法換元法的基本思想，就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，選取能以簡(jiǎn)代繁、化難為易的變量代換，使不等式得到證明的方法．通過(guò)合理?yè)Q元可以達(dá)到事半功倍的效果．例9設(shè)x，yeR，且x2+y2<1，求證x2+2xy—y2<J5.證明設(shè)x2+y2二九2，則由題設(shè)可知，九<1，并可設(shè)x二九cos0，y=九sin9，于是x2+2xy一y2=九2(cos29+2cos9sin9一sin29)

=九2(cos29+sin29)=sin(20+—).4所以x2+2xy—y2<九2邁<^：2.3.10積分法積分法是利用積分學(xué)的知識(shí)來(lái)證明不等式的一種方法，它的主要依據(jù)是積分學(xué)基本公式和基本性質(zhì)．例10已知x>1，求證5|x—1|<x5—1<5x4(x—1].證明由x>1可先去掉絕對(duì)值符號(hào)，得5(x—1)<x5—1<5x4(x—1)取tW6,x),則14<14<x4,有5<5t4<5x4，所以J5dt<J5t4dt<J5x4dt.11所以J5t4dt11所以J5t4dt=x5—1,5x4dt=5x4(x—1),5(x—1)<x5—1<5x4(x—1)4綜述由于含絕對(duì)值不等式的