常微分方程(王高雄)第三版11課件

常微分方程常微分方程始于十七世紀牛頓、萊布尼茨、歐拉、伯努利…第一章

緒論始于十七世紀第一章緒論二體問題二體問題海王星的發(fā)現(xiàn)海王星的發(fā)現(xiàn)常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。物理、化學、生物、工程、航空航天、醫(yī)學、經(jīng)濟和金融領域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結為對相應的常微分方程描述的數(shù)學模型的研究。常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、§1.1常微分方程模型

微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導數(shù)的關系式.

為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律,往往是要對所研究的問題進行適當?shù)暮喕图僭O,建立數(shù)學模型,當問題涉及變量的變化率時,該模型就是微分方程,下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程.§1.1常微分方程模型微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)例1鐳的衰變規(guī)律:例1鐳的衰變規(guī)律:解:即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.解:即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.

將某物體放置于空氣中,在時刻時,測得它的溫度為10分鐘后測量得溫度為

試決定此物

例2物理冷卻過程的數(shù)學模型Newton冷卻定律:1.熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導;2.在一定的溫度范圍內(nèi),一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質的溫度之差成正比.

將某物體放置于空氣中,在時刻時,測得它的溫度為10分

設物體在時刻

的溫度為

根據(jù)導數(shù)的物理意義,則溫度的變化速度為

由Newton冷卻定律,得到

其中

為比例系數(shù).此數(shù)學關系式就是物體冷卻過程的數(shù)學模型.解:設物體在時刻的溫度為例3100元鈔票落地實驗

能否夾住關鍵在于人的反應時間能否小于人民幣經(jīng)過雙指所耗費的時間？

實質：自由落體運動牛頓第二定律：F=ma例3100元鈔票落地實驗能否夾住關鍵在于人的反應時間能于是得到經(jīng)計算，人民幣經(jīng)過雙指的時間不超過0.18秒，而一般人的反應時間大于等于0.2秒，因此夾不?。〗?下落的位移s(t)是時間t的一元函數(shù)于是得到經(jīng)計算，人民幣經(jīng)過雙指的時間不超過0.18秒，而例4傳染病模型:

長期以來,建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關專家和官員關注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機理分析的方法建立模型.(艾滋病,SARS,H5N1,埃博拉等)例4傳染病模型:長期以來,建立傳染病的數(shù)學解:根據(jù)題設,每個病人每天可使稱為SIS模型經(jīng)典的SI模型（易感染者和已感染者模型）解:根據(jù)題設,每個病人每天可使稱為SIS模型經(jīng)典的SI模型（解:消去r(t)，得到稱為SIR模型解:消去r(t)，得到稱為SIR模型思考與練習1.曲線上任一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù),求該曲線所滿足的微分方程.解:由題目條件有:思考與練習1.曲線上任一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形解:2.

求平面上過點(1,3)且每點切線斜率為橫坐標2倍的曲線所滿足的微分方程.解:設所求的曲線方程為由導數(shù)的幾何意義,應有即又由條件:曲線過(1,3),即于是得故所求的曲線方程為:2.求平面上過點(1,3)且每點切線斜率為橫坐標2倍的曲常微分方程常微分方程始于十七世紀牛頓、萊布尼茨、歐拉、伯努利…第一章

緒論始于十七世紀第一章緒論二體問題二體問題海王星的發(fā)現(xiàn)海王星的發(fā)現(xiàn)常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。物理、化學、生物、工程、航空航天、醫(yī)學、經(jīng)濟和金融領域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結為對相應的常微分方程描述的數(shù)學模型的研究。常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、§1.1常微分方程模型

微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導數(shù)的關系式.

為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律,往往是要對所研究的問題進行適當?shù)暮喕图僭O,建立數(shù)學模型,當問題涉及變量的變化率時,該模型就是微分方程,下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程.§1.1常微分方程模型微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)例1鐳的衰變規(guī)律:例1鐳的衰變規(guī)律:解:即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.解:即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.

將某物體放置于空氣中,在時刻時,測得它的溫度為10分鐘后測量得溫度為

試決定此物

例2物理冷卻過程的數(shù)學模型Newton冷卻定律:1.熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導;2.在一定的溫度范圍內(nèi),一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質的溫度之差成正比.

將某物體放置于空氣中,在時刻時,測得它的溫度為10分

設物體在時刻

的溫度為

根據(jù)導數(shù)的物理意義,則溫度的變化速度為

由Newton冷卻定律,得到

其中

為比例系數(shù).此數(shù)學關系式就是物體冷卻過程的數(shù)學模型.解:設物體在時刻的溫度為例3100元鈔票落地實驗

能否夾住關鍵在于人的反應時間能否小于人民幣經(jīng)過雙指所耗費的時間？

實質：自由落體運動牛頓第二定律：F=ma例3100元鈔票落地實驗能否夾住關鍵在于人的反應時間能于是得到經(jīng)計算，人民幣經(jīng)過雙指的時間不超過0.18秒，而一般人的反應時間大于等于0.2秒，因此夾不??！解:下落的位移s(t)是時間t的一元函數(shù)于是得到經(jīng)計算，人民幣經(jīng)過雙指的時間不超過0.18秒，而例4傳染病模型:

長期以來,建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關專家和官員關注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機理分析的方法建立模型.(艾滋病,SARS,H5N1,埃博拉等)例4傳染病模型:長期以來,建立傳染病的數(shù)學解:根據(jù)題設,每個病人每天可使稱為SIS模型經(jīng)典的SI模型（易感染者和已感染者模型）解:根據(jù)題設,每個病人每天可使稱為SIS模型經(jīng)典的SI模型（解:消去r(t)，得到稱為SIR模型解:消去r(t)，得到稱為SIR模型思考與練習1.曲線上任一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù),求該曲線所滿足的微分方程.解:由題目條件有